139270634 Cntrol de Calidad 1
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Índice de capacidad para proceso con doble especificificación
Proceso con sólo una especificación
Índice de capacidad de largo plazo: Pp y Ppk
Índice de capacidad para variables de atributos
Estimación de índices de capacidad mediante una muestra (estimación por
intervalo)
Estudio real (integral) de capacidad
Diseño de tolerancia
Índices de capacidad de
proceso
Proceso con doble
especificación
Cp
Ci
K y Cpk
Z Cpm
Proceso con una
especificación
CPL
Cps
Largo plazo
Pp
Ppk
Variable de atributo
Estimación por intervalo
Análisis de tolerancia
Eliminación de límíte
Fijación de límite
Monte carlo Estudio integral
Capacidad de procesos. Índices de capacidad para procesos con doble especificación Capacidad del proceso.: Es la medida en que las variables de salida de un proceso cumplen con sus especificaciones. Valor nominal= N Especificación inferior = EI Especificación superior=ES
Índice Cp. Es el índice de capacidad potencial del proceso, se define de la siguiente manera.
C P = 𝐸𝑆 ;𝐸𝐼
6𝜎
Donde 𝜎 representa la desviación estándar del proceso, ES y EI son las especificaciones superiores e inferiores para la característica de calidad. El índice de calidad Cp compara el ancho de las especificaciones o variación tolerada para el proceso o variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real del proceso
𝐶𝑃 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
La interpretación del índice Cp para que el proceso pueda considerarse potencialmente capaz de cumplir con las especificaciones se requiere que la variación real siempre sea menor que la variación tolerada. De aquí que lo deseable es que el índice Cp sea mayor que 1, y si el valor del índice Cp es menor que es una evidencia de que no cumple con las especificaciones.
Se tiene que índice Cp debe ser mayor que 1,33, o que 1,50 si se requiere tener
un proceso bueno, pero debe ser mayor o igual que dos si se requiere tener un
Proceso de clase mundial.
VALORES DEL CP Y SU INTERPRETACIÓN Tabla 5,1
ÍNDICES: Cr , Cpk , Cpi, Cps
Cr : es la comparación entre la variación real y la tolerada. Representa la proporción
de la banda de especificaciones que es cubiertas por el proceso.
Cpk : evalúa la capacidad real de un proceso, tomando en cuanta las dos
especificaciones, la variación y el tratado del proceso
Cpi : indica si el proceso cumple con las especificaciones inferiores de una
característica de calidad
Cps : mide la manera en que el proceso cumple con las especificación
superior de una de sus variables de salida
𝐶𝑟 = 6𝜎
𝐸𝑆 ;𝐸𝐼, 𝐶𝑝𝑘 = 𝐴𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑝𝑖 𝑦 𝐶𝑝𝑠
𝐶𝑝𝑖 = 𝜇;𝐸𝐼
3𝜎 𝐶𝑝𝑠 = 𝐸𝑆 ; 𝜇
3𝜎
El índice Cr es el inverso del Cp , ya que compara la variación real contra la
variación tolerada. Con este índice se requiere que el numerador sea menor que
El denominador, es decir, lo deseable son valores Cr pequeños menores que 1
Los dos primeros índices anteriores no toma en cuenta el centrado del proceso ,
como se puede Observar los siguiente índices toman en cuenta la media del
proceso y evalúan la capacidad para cumplir con la especificación inferior y
superior respectivamente. Las distancia de la media a una de las
especificaciones del proceso representa la variación tolerada para el proceso de
un solo lado de la media
Por eso se divide entre 3 𝜎, en lugar de entre 6 𝜎 . Los índices unilaterales se
Interpretan más o menos similar al índice de capacidad CP . De aquí en adelante
entre más grande sean estos índices mejor se cumplirá con las especificaciones
El índice Cpk es igual al índice unilateral más malo, por lo que si el valor del Cpk
es satisfactorio, eso indicará que el proceso en realidad es capaz.
EJEMPLO:
Una característica de calidad importante en la fabricación de un llanta es la longitud
de capa, que para cierto tipo de llanta debe ser de 780 mm con una tolerancia de :;10
mm . La longitud es el resultado de un proceso de corte, por lo que este proceso debe
garantizar que la longitud esté entre las especificaciones inferior EI=770 y la superior
ES=790, con un valor ideal o nominal de N=780. Para monitorear el correcto
Funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toman cinco capas y se
miden. De acuerdo con las mediciones hechas en el último mes, en el que el proceso
Ha estado trabajando de manera estable, se tiene que la media y la desviación
estándar del proceso son 𝜇 = 781 𝑦 𝜎 = 4, respectivamente. Con base en esto se
requiere tener una evaluación de la manera que el proceso ha estado cumpliendo con
las especificaciones. Haremos esto con base en los índices de capacidad.
𝐶𝑝 = 790;7706 4
<2024<0,83
La variación es de 20, pero la variación real de 24 es mayor. Por tanto, el proceso es
incapaz , ya que genera capas con una longitud no satisfactoria. De acuerdo con la
información de la tabla anterior el proceso es de tercera categoría no adecuado para el
trabajo, y en función de la tabla siguiente se espera que aproximadamente 1,64% de
las capas tengan una longitud no satisfactoria.
Proceso con doble especificación
(Índice Cp )
Con respecto a una sola
especificación Cpi y Cps
Valor del índice
% fuera de las dos
especificaciones Partes por millon fuera
% fuera de las dos
especificaciones Partes por millon fuera
0,2 54,8506% 548506,000 27,43% 274253
0,3 36,8120% 368120,000 18,41% 184060
0,4 23,0139% 230139,000 11,51% 115070
0,5 13,3614% 133614,000 6,68% 66807
0,6 7,1861% 71861,000 3,59% 35930
0,7 3,5729% 35729,000 1,79% 17864
0,8 1,6395% 16395,000 0,82% 8198
0,9 0,6934% 6934,000 0,35% 3467
1 0,2700% 2700,000 0,14% 1350
1,2 0,0967% 967,000 0,05% 483
1,3 0,0096% 96,000 0,02% 159
1,4 0,0027% 27,000 0,00% 48
1,5 0,0007% 7,000 0,00% 13
1,6 0,0002% 2,000 0,00% 3
1,7 0,0000% 0,000 0,00% 1
1,8 0,0000% 0,000 0,00% 0
1,9 0,0000% 0,000 0,00% 0
2 0,0000% 0,000 0,00% 0
Los índices Cp , Cpi y Cps en términos de la cantidad de piezas malas (corto plazo)
bajo normalidad y proceso centrado en el cao de la doble especificación
Tabla 5,2
El índice de descentrado de proceso o índice de localización, K, es una medida de
especializada para evaluar el centrado del proceso, ya que mide en términos relativos
y porcentuales que tan descentrado o alejado está de la media de un proceso el valor
nominal, N, para la característica de calidad.
Este índice se calcula de la siguiente manera:
𝑘 = 𝜇;𝑁12 𝐸𝑆;𝐸𝐼
∗100
De esta forma el índice K es igual ala media del proceso 𝜇 menos el valor nominal
para la característica de calidad N, dividida entre la mitad de las especificaciones. Es
decir, el índica mide que tan descentrado está el proceso en función de la mitad de la
amplitud de la especificaciones , y al multiplica por 100 se convierte en una medida
porcentual.
Por ejemplo la longitud de la capa de llanta, el índice K es
𝑘 = 781;78012 790;770
∗100<10%
De esta forma la media está desviada 10% a la derecha del valor nominal, por lo que
el centrado del proceso se puede considerar aceptable y esto no contribuye de manera
Significativa a la baja capacidad del proceso.
Por tanto si el signo del índice K es positivo significa que la media del proceso es
mayor al valor nominal, y será negativo cuando la media sea menor que el valor
nominal
Valores K menores a 20% en términos absolutos se puede considerar como aceptable
pero a medida que el valor absoluto de k sea más grande que 20%, indica un proceso
muy descentrado, lo que puede contribuir de manera significativa a que la capacidad del
proceso para cumplir las especificaciones sea baja.
Índice Cpm (índice de taguchi)
Taguchi propone una definición alternativa de los índices de capacidad del proceso, la
cual se fundamenta en lo que él denomina función de perdida. Al índice propuesto por
Taguchi, que se denota con Cpm, toma en cuenta en forma simultánea el centrado y la
variabilidad del proceso está definido por
𝐶𝑝𝑚 = 𝐸𝑆;𝐸𝐼
6𝜏 donde 𝜏 = 𝜎2 + 𝜇 + 𝑁 2
N el valor nominal de la característica de calidad ; EI y ES son las especificaciones
inferiores y superiores. El valor de N generalmente es igual al punto medio de las
especificaciones, es decir, N=0,5(ES + EI). Nótese que el índice Cpm compara el ancho de
la especificaciones con 6𝜏 , pero 𝜏 no sólo toma en cuenta la variabilidad del proceso a
través de 𝜎2, si no que tambien toma en cuenta el centrado a través de 𝜇 − 𝑁 2 . De
esta forma, si el proceso está centrado, es decir, si 𝜇 = 𝑁 , entonces el Cp y Cpm son
iguales.
Interpretación: Cuando el índice Cpm es mayor que uno, entonces eso quiere decir
Que el proceso cumple con las especificaciones, y en particular que la media del
proceso está dentro de tercera parte media de la banda de las especificaciones.
Si Cpm es mayor que 1,33 entonces el proceso cumple con especificaciones, pero
a demás la media del proceso esta dentro de la quinta parte media del rango de
especificaciones. Por ejemplo para las llantas el índice es:
𝐶𝑝𝑚 = 790;770
6 42: 781:780 2<
2024,74
<0,81
que al ser menor que uno muestra que el proceso que corta la capa de llanta
No es capaz , como ya lo sabíamos por los análisis previos.
Es necesario recordar que las interpretaciones de los índices antes visto, para
que sean aplicables como pronósticos del desempeño del proceso en el futuro
inmediato, es importante que los procesos sean estables. Además se requieren
que las características de calidad se distribuyan en forma normal o por lo menos
no tan diferente de ésta. Algo relevante es que los cálculos de los índices están
basados en los parámetros poblacionales del proceso 𝜇 y 𝜎. Si los cálculos son
basados en una muestra pequeña, la interpretación cambia, como lo veremos
más adelante
En la industria existen gran cantidad de variables con una especificación,, ya sea
variables del tipo entre más grande mejor, donde lo que interesa es que sea
mayores a cierto valor mínimo (EI); o variables del tipo entre más pequeña mejor ,
donde lo que se requiere es que nunca exceda un cierto valor máximo (ES).
Suponga que una característica de calidad tiene especificaciones de 50 :
; 1. Para
tener idea de la capacidad del proceso para cumplir con estas especificaciones , se
obtiene una muestra aleatoria de 40 unidades producidas por el proceso. De las
mediciones de esas 40 unidades se obtiene que la media y la desviación estándar
para la muestra son:
𝑥 = 50,15 𝑦 𝑆 = 0,289
Con ello se pueden estimar los índices
𝐶 𝑝 = 51;496(0,289)
<1,15
𝐶 𝑝𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 50,15;493 0,289
, 51;50,153 0,289
= 𝑀𝑖𝑛 1,33 , 0,98 = 0,98
𝐶 𝑝𝑚 = 51;49
6 0,289 2: 50,15;50 2<1,02
Para tener una idea del índice poblacional del proceso, se calcula un intervalo de
confianza con una confianza del 95%
𝐶𝑝 = 1,15 ± 1,96 1,15
2 40;1<1,15±0,26 = (0,89, 1,41) 𝐶 𝑝𝑘 = 0,98 ± 1,96 0,98 2
2 40;1+ 1
9 40
= 0,98 ± 0,24 = 0,74, 1,22
EJEMPLO
𝐶 𝑝𝑚 = 1,02 ± 1,961,02
40
12:
50,15;50 2
0,289 2
1:50,15;50 2
0,289 2
= 1,02 ± 0,22 = 0,8, 1,24
El 0,26, 0,24 y el 0,22 son los errores de estimación y son iguales a la mitad del
intervalo de confianza. De esta manera, con una confianza del 95% el verdadero
valor del índice Cp está entre 0,89 y 1,41, el Cpk se localiza con una confianza del
95% entre 0,74 y 1,22, y el índice Cpm entre 0,80 y 1,24. Por tanto, con base en la
muestra sería riesgoso afirmar que el proceso es potencialmente capaz, ya que el
verdadero valor del Cp podría ser hasta 0,89; pero también sería riesgoso afirmar
que es malo, ya que el verdadero valor del Cp podría ser de 1,41. Lo mismo se puede
decir respecto a la capacidad real, ya que lo mismo puede ser malo (Cpk =0,74 y Cpm
=0,80 ), y bueno si (Cpk = 1,22 y Cpm = 1,24). Para reducir esta incertidumbre y el
error de estimación, es necesario medir mas pieza (incrementar el tamaño de la
muestra)
De manera general, si se toma una muestra aleatoria de un proceso para evaluar
su capacidad, entonces con base en los intervalos de confianza para los índices se
puede encontrar tres tipos de procesos:
1, Procesos con muy buena capacidad. Se tiene este caso cuando el límite inferior
de los intervalos de confianza para los índices es mayor que 1,33 (o por lo menos
Que 1,0).
2, Procesos con muy mala capacidad. Se podrá afirmar esto cuando el límite superior
De los intervalos de confianza para los índices sea menor que 1,0.
3. Procesos con una capacidad intermedia o incertidumbre sobre su capacidad real
Se presenta cuando no esta en ninguno de las dos situaciones anteriores, es decir,
Cuando el intervalo incluya al número uno al 1,33, como en el caso del ejemplo
Anterior. En esta situación , se debe seguir monitoreando el proceso hasta tener un
tamaño de muestra mayor, para así tener una mayor certidumbre sobre la capacidad
Del correspondiente proceso.
ESTUDIO REAL (INTEGRAL) DE CAPACIDAD
(Proceso descentrado). De manera similar a los ejemplos anteriores, en otro modelo
De llanta para automóviles se tiene la longitud de capa debe ser de 550 mm con
Una tolerancia de ± 8 mm. La longitud de la capa es el resultado de un proceso
de corte de una tira de hule, que debe garantizar que la longitud esté entre las espe-
cificaciones inferiores EI = 542 y la superior ES= 558, con un valor ideal o nominal
N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación, y en
general para monitoriar el correcto funcionamiento del proceso de corte, en este caso,
cada hora toma cinco capas y se mide. Los datos obtenidos en últimos cuatro días se
muestran en la siguiente tabla: