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lgebra linealy sus aplicaciones

TERCERA EDICIN ACTUALIZADA

David C. LayUniversity of Maryland College Park

TRADUCCIN

Jess Elmer Murrieta Murrieta

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ContenidoPrefacio ix

Nota para los estudiantes xv

Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economae ingeniera 11.1 Sistemas de ecuaciones lineales 2

1.2 Reduccin por filas y formas escalonadas 14

1.3 Ecuaciones vectoriales 28

1.4 La ecuacin matricialAx= b 40

1.5 Conjuntos solucin de los sistemas lineales 50

1.6 Aplicaciones de los sistemas lineales 57

1.7 Independencia lineal 65

1.8 Introduccin a las transformaciones lineales 73

1.9 La matriz de una transformacin lineal 82

1.10 Modelos lineales en negocios, ciencias e ingeniera 92

Ejercicios suplementarios 102

lgebra de matrices 105EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseode aviones 1052.1 Operaciones de matrices 107

2.2 La inversa de una matriz 118

2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 128

2.4 Matrices partidas 1342.5 Factorizaciones de matrices 142

2.6 El modelo de Leontief de entrada y salida 152

2.7 Aplicaciones a los grficos por computadora 158

2.8 Subespacios de Rn 167

2.9 Dimensin y rango 176


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x Contenido

Determinantes 185EJEMPLO INTRODUCTORIO: Determinantes en geometra analtica 185

3.1 Introduccin a los determinantes 1863.2 Propiedades de los determinantes 192

3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 201


Espacios vectoriales 215EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control 2154.1 Espacios y subespacios vectoriales 216

4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 226

4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 2374.4 Sistemas de coordenadas 246

4.5 La dimensin de un espacio vectorial 256

4.6 Rango 262

4.7 Cambio de base 271

4.8 Aplicaciones a ecuaciones en diferencias 277

4.9 Aplicaciones a cadenas de Markov 288


Valores propios y vectores propios 301EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinmicos y los bhosmanchados 3015.1 Vectores propios y valores propios 302

5.2 La ecuacin caracterstica 310

5.3 Diagonalizacin 319

5.4 Vectores propios y transformaciones lineales 327

5.5 Valores propios complejos 335

5.6 Sistemas dinmicos discretos 3425.7 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales 353

5.8 Estimaciones iterativas para valores propios 363


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Ortogonalidad y mnimos cuadrados 373EJEMPLO INTRODUCTORIO: Reajuste del Nivel de Referencia

Norteamericano 3736.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad 375

6.2 Conjuntos ortogonales 384

6.3 Proyecciones ortogonales 394

6.4 El proceso Gram-Schmidt 402

6.5 Problemas de mnimos cuadrados 409

6.6 Aplicaciones a modelos lineales 419

6.7 Espacios con producto interior 427

6.8 Aplicaciones de los espacios con producto interior 436


Matrices simtricas y formas cuadrticas 447EJEMPLO INTRODUCTORIO:Procesamiento de imgenesmulticanal 4477.1 Diagonalizacin de matrices simtricas 449

7.2 Formas cuadrticas 455

7.3 Optimizacin restringida 463

7.4 La descomposicin en valores singulares 471

7.5 Aplicaciones al procesamiento de imgenes y a la estadstica 482


ApndicesA Unicidad de la forma escalonada reducida A1

B Nmeros complejos A3

Glosario A9

Respuestas a ejercicios impares A19ndice I1

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C A P T U L O 6

C A P T U L O 7

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Prefacio

La respuesta de estudiantes y profesores a las primeras tres ediciones delgebra lineal ysus aplicacionesha sido muy gratificante. Esta tercera edicin actualizadaproporciona

un apoyo sustancial tanto para la enseanza como para el uso de tecnologa en el curso.Como antes, el texto presenta una introduccin elemental moderna al lgebra lineal yuna amplia seleccin de interesantes aplicaciones. El material es accesible a estudiantesque hayan adquirido la madurez necesaria, por lo general, en clculo, despus de com-pletar satisfactoriamente dos semestres de matemticas a nivel universitario.

La meta principal del texto es ayudar a los estudiantes a dominar los conceptos y lashabilidades bsicas que despus utilizarn en sus carreras. Los temas incluidos siguenlas recomendaciones del Linear Algebra Curriculum Study Group, las cuales se basan enuna investigacin cuidadosa de las necesidades reales de los estudiantes y en un consen-so logrado entre profesionales de muchas disciplinas que utilizan lgebra lineal. Esperoque este curso sea una de las clases de matemticas ms tiles e interesantes que puedantomarse durante los estudios universitarios.

CARACTERSTICAS DISTINTIVASIntroduccin temprana de conceptos claveMuchas ideas fundamentales del lgebra lineal se introducen en siete lecturas, una lec-tura al inicio de cada captulo, en el establecimiento concreto de Rn, y despus se exa-minan de manera gradual desde diferentes puntos de vista. Posteriormente aparecengeneralizaciones de estos conceptos como extensiones naturales de ideas familiares, vi-sualizadas a travs de la intuicin geomtrica desarrollada en el captulo 1. En la opinindel autor, una de las caractersticas positivas del texto es que el nivel de dificultad esbastante uniforme a lo largo del curso.

Una visin moderna de la multiplicacin de matricesLa notacin correcta es crucial, y el texto reeja la forma real en que los cientficos eingenieros aplican el lgebra lineal en la prctica. Las definiciones y comprobaciones seenfocan en las columnas de una matriz en lugar de en sus entradas. Un tema esencial esconsiderar un producto vector-matrizAxcomo una combinacin lineal de las columnasdeA. Este moderno enfoque simplifica muchos argumentos, y vincula las ideas de espa-cio vectorial con el estudio de sistemas lineales.

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Transformaciones linealesLas transformaciones lineales forman un hilo que se entreteje en la tela de este texto.Su utilizacin mejora el sentido geomtrico de lo escrito. Por ejemplo, en el captulo 1,

las transformaciones lineales proporcionan una visin dinmica y grfica de la multipli-cacin matriz-vector.

Valores propios y sistemas dinmicosLos valores propios aparecen equitativamente pronto en el texto, en los captulos 5 y 7.Como este material se estudia durante varias semanas, los alumnos tienen ms tiempodel usual para absorber y revisar estos conceptos crticos. Los valores propios se aplicana sistemas dinmicos discretos y continuos, los cuales aparecen en las secciones 1.10,4.8, 4.9, y en cinco secciones del captulo 5. Algunos cursos llegan al captulo 5 en unascinco semanas pues cubren las secciones 2.8 y 2.9 en lugar del captulo 4. Estas dossecciones opcionales presentan todos los conceptos del espacio vectorial incluidos en elcaptulo 4, mismos que son necesarios para abordar el captulo 5.

Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadradosEstos temas reciben un tratamiento ms comprensible en comparacin con el que se en-cuentra comnmente en los textos bsicos. El Linear Algebra Curriculum Study Groupha enfatizado la necesidad de contar con una unidad sustancial en los problemas deortogonalidad y mnimos cuadrados, debido a que la ortogonalidad cumple un papelimportante en los clculos computacionales y en el lgebra lineal numrica, y porque lossistemas lineales inconsistentes surgen muy frecuentemente en el trabajo prctico.

CARACTERSTICAS PEDAGGICASAplicacionesUna amplia seleccin de aplicaciones ilustra el poder del lgebra lineal para explicarprincipios fundamentales y simplificar los clculos en ingeniera, ciencia computacio-nal, matemticas, fsica, biologa, economa y estadstica. Algunas aplicaciones apare-cen en secciones diferentes; otras se explican mediante ejemplos y ejercicios. Adems,cada captulo abre con un ejemplo introductorio que especifica la etapa apropiada paraefectuar determinada aplicacin del lgebra lineal, y proporciona una motivacinpara desarrollar las matemticas que siguen. Despus, el texto retoma la aplicacin enuna seccin cercana al final del captulo.

Un fuerte nfasis geomtricoEn el curso, todos los conceptos importantes reciben una interpretacin geomtrica, de-bido a que muchos estudiantes aprenden de mejor manera cuando pueden visualizar unaidea. Existe una cantidad sustancialmente mayor de ilustraciones de lo usual, y algunasde las figuras no han aparecido nunca antes en un texto de lgebra lineal.

EjemplosEn contraste con lo que se acostumbra en la mayor parte de los libros de lgebra, este textodedica una proporcin ms grande de su material de exposicin a ejemplos. Existen msejemplos de los que ordinariamente presentara un profesor en clase. Pero como han sidoescritos con cuidado y de manera detallada, los estudiantes pueden leerlos por s mismos.

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Teoremas y demostracionesLos resultados importantes se establecen como teoremas. Otros conceptos tiles se des-pliegan dentro de recuadros iluminados para utilizarse como referencias rpidas. La

mayor parte de los teoremas tienen comprobaciones formales, escritas pensando en losalumnos principiantes. En algunos casos, los clculos esenciales de una comprobacin semuestran en un ejemplo seleccionado cuidadosamente. Algunas verificaciones de rutinase dejan para la seccin de ejercicios, cuando esto resulta benfico para los estudiantes.

Problemas de prcticaAntes de cada serie de ejercicios aparecen algunos problemas de prctica seleccionadosen forma cuidadosa. La serie de ejercicios va seguida por soluciones completas. Estosproblemas se enfocan en dificultades potenciales que pueden encontrarse en la serie deejercicios o proporcionan un calentamiento para la ejecucin posterior de los ejerci-cios; con frecuencia, las soluciones contienen sugerencias o advertencias tiles acercade la tarea.

EjerciciosLa abundancia de ejercicios incluye desde clculos de rutina hasta preguntas conceptualesque requieren de mayor reexin. Un buen nmero de preguntas innovadoras destacanlas dificultades conceptuales que el autor ha encontrado en los estudiantes a travs de losaos. Cada serie de ejercicios se organiza cuidadosamente, en el mismo orden generalque el texto: las asignaciones de tarea pueden encontrarse con facilidad cuando slo se haestudiado una parte de determinada seccin. Una caracterstica notable de los ejercicios essu simplicidad numrica. Los problemas se desdoblan rpidamente, por lo que los estu-diantes pasan poco tiempo realizando clculos numricos. Los ejercicios se concentran eninducir la comprensin de los temas, en vez de demandar clculos mecnicos.

Preguntas de verdadero o falsoPara estimular a los estudiantes a leer todo el texto y a pensar de manera crtica, se handesarrollado 300 preguntas simples del tipo verdadero o falso que aparecen en 33 seccio-nes del texto, justo enseguida de los problemas computacionales. Estas preguntas puedenresponderse directamente a partir del texto y preparan al estudiante para los problemasconceptuales que vienen despus. Los estudiantes aprecian estas preguntas luego dereconocer la importancia de leer el texto con cuidado. Con base en pruebas de clase ydiscusiones con estudiantes, se decidi no poner las respuestas en el texto. Para compro-bar la comprensin del material, existen 150 preguntas adicionales del tipo verdadero ofalso (casi siempre al final de los captulos.) El texto proporciona respuestas simples V/F

a la mayor parte de estas preguntas, pero omite las justificaciones a las respuestas (que,por lo general, requieren de cierta reexin).

Ejercicios de escrituraPara todos los estudiantes de lgebra lineal resulta esencial poseer la capacidad de escri-bir enunciados matemticos coherentes, no slo para quienes obtendrn un ttulo en ma-temticas. El texto incluye muchos ejercicios para los cuales parte de la respuesta consisteen proporcionar una justificacin escrita. Los ejercicios conceptuales que requieren unacomprobacin corta contienen, por lo general, sugerencias que ayudan al estudiante a ini-ciar la bsqueda de la solucin. Para gran parte de los ejercicios de escritura con nmeroimpar, se incluye una solucin al final del texto o se proporciona una sugerencia.

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Temas computacionalesEl texto acusa el impacto de la computadora tanto en el desarrollo como en la prcticadel lgebra lineal en las ciencias y la ingeniera. Las frecuentes notas numeradas dirigen

la atencin hacia aspectos de cmputo y distinguen entre conceptos tericos, digamos lainversin de matrices, e implementaciones de computadora, tales como las factorizacio-nes LU.

CD ANEXO Y SOPORTE EN LA REDLa edicin actualizada del texto incluye una copia completa (en ingls) de la Gua deestudio(Study Guide) en el CD anexo. Esta gua fue escrita para ser una parte integraldel curso. Un cono SG en el texto dirige a los estudiantes a subsecciones especiales dela guaque sugieren cmo dominar los conceptos clave del curso. La gua proporcionauna solucin detallada a cada tercer ejercicio con nmero impar, lo que permite a losestudiantes verificar su trabajo. Se proporciona una explicacin completa cada vez que

un ejercicio de escritura con nmero impar tiene slo una sugerencia en las respuestas.Existen advertencias frecuentes que identifican los errores comunes y muestran cmoevitarlos. Los recuadros de MATLAB presentan comandos cada vez que uno de stos esnecesario. Los apndices en la Gua de estudioproporcionan informacin comparableacerca de Maple, Mathematica y calculadoras grficas TI y HP.

Inicio del trabajo con tecnologaSi su curso incluye algn trabajo con MATLAB, Maple, Mathematica o calculadoras TIo HP, puede leer uno de los proyectos que aqu se presentan para obtener una introduc-cin a la tecnologa. (Vea la pgina 104 del texto.)

Archivos de datosCientos de archivos contienen datos para alrededor de 900 ejercicios numricos incluidosen el texto, estudios de caso y proyectos de aplicacin. Los datos estn disponibles en unadiversidad de formatos para MATLAB, Maple, Mathematica y las calculadoras grfi-cas TI-83+/86/89 y HP48G. Al permitir a los estudiantes la introduccin de matrices yvectores para un problema en particular con unos cuantos golpes de tecla, los archivosde datos eliminan errores de entrada y ahorran tiempo en la realizacin de tareas.

Nuevos proyectos de MATLABEstos proyectos exploratorios invitan a los estudiantes a descubrir aspectos matemticosy numricos que son bsicos en lgebra lineal. Escritos por Rick Smith, fueron desa-

rrollados para acompaar un curso computacional de lgebra lineal en University ofFlorida, donde se ha utilizadolgebra lineal y sus aplicacionespor muchos aos. Losproyectos estn sealados mediante el cono CD en puntos adecuados del texto. Alre-dedor de la mitad de los proyectos exploran conceptos fundamentales como el espaciode columna, la diagonalizacin, y las proyecciones ortogonales; otros se enfocan enaspectos numricos como los ops, mtodos iterativos, y la DVS, y algunos examinanaplicaciones como las cadenas de Markov.

www.pearsoneducacion.net/layEsta pgina web contiene el material incluido en el CD anexo, excepto la Gua de estu-dioy los nuevos proyectos de MATLAB. Adems, el sitio contiene el primer captulo

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del texto actualizado y el primer captulo de la Gua de estudio(en ingls). Este materiales proporcionado para ayudar a los profesores a iniciar con su curso, tal como si unalibrera distribuyera el texto justo antes de que las clases comenzaran. Para los estudian-tes, el sitio en red contiene hojas de repasoy exmenes de prctica(con soluciones)que cubren los temas principales del texto. Provienen de manera directa de cursos que elautor ha impartido en los ltimos aos. Cada hoja de repaso identifica definiciones clave,teoremas y habilidades de una parte especfica del texto.

Aplicaciones por captulosEl sitio en la red tambin contiene siete casos de estudio, los cuales amplan los temasintroducidos al inicio de cada captulo al agregar datos del mundo real y oportunidadespara efectuar una exploracin ms profunda. Por otro lado, ms de veinte proyectos deaplicacin hacen extensivos los temas del texto o introducen nuevas aplicaciones, comoranuras cbicas, rutas de vuelo en aerolneas, matrices de dominancia en competenciasdeportivas, y cdigos de correccin de errores. Algunas aplicaciones matemticas son

las tcnicas de integracin, la localizacin de races polinomiales, las secciones cni-cas, las superficies cuadrticas, y los extremos para funciones de dos variables. Tambinse incluyen temas de lgebra lineal numrica, como nmeros de condicin, factorizacinde matrices, y el mtodo QR para encontrar valores propios. Entrelazados en cada an-lisis se encuentran ejercicios que pueden involucrar grandes series de datos (y por enderequerir el uso de la tecnologa para resolverlos).

RECURSOS PARA EL PROFESORPgina de recursos para profesoresEn la pgina Web www.pearsoneducacion.net/lay el profesor tambin puede acceder a

una pgina de descarga donde encontrar todos los archivos de los materiales que acom-paan al libro de texto. Entre otras cosas, esta pgina incluye:

Manual de soluciones a los ejercicios del libro. Banco de exmenes en formato electrnico. Dos captulos adicionales a los del libro impreso. Manuales de las aplicaciones y calculadoras ms utilizadas.

Curso de CourseCompass en lneaEste libro cuenta tambin con un curso precargado en CourseCompass, que es una plata-forma completa para cursos en lnea desarrollada por Blackboard Technologies y com-plementada con contenidos de Pearson Educacin. En sta el profesor puede asignar

exmenes y tareas, organizar todos los materiales del curso, comunicarse con sus alum-nos y administrar las calificaciones. Para mayor informacin, visite www.pearsonedu-cacion.net/coursecompass

RECONOCIMIENTOSEl autor expresa su gratitud a muchos grupos de personas que lo han ayudado a travs delos aos con diferentes aspectos del libro.

Se agradece a Israel Gohberg y Robert Ellis por ms de quince aos de colaboracinen la investigacin del lgebra lineal, lo cual ha conformado en gran medida una visinparticular de esta materia.

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Ha sido un privilegio trabajar con David Carlson, Charles Johnson, y Duane Porteren elLinear Algebra Curriculum Study Group. Sus ideas sobre la enseanza del lgebralineal han inuido en este texto de muchas maneras importantes.

Agradezco de manera sincera a los siguientes revisores por su anlisis cuidadoso ysus sugerencias constructivas:

Revisores de la tercera edicin y ejecutores de pruebas en claseDavid Austin, Grand Valley State UniversityG. Barbanson, University of Texas at AustinKenneth Brown, Cornell UniversityDavid Carlson, San Diego State UniversityGreg Conner,Brigham Young UniversityCasey T. Cremins, University of MarylandSylvie DesJardins, Okanagan University CollegeDaniel Flath, University of South Alabama

Yuval Flicker, Ohio State UniversitvScott Fulton, Clarkson UniversityHerman Gollwitzer,Drexel UniversityJeremy Haefner, University of Colorado at Colorado SpringsWilliam Hager, University of FloridaJohn Hagood,Northern Arizona UniversityWilly Hereman, Colorado School of MinesAlexander Hulpke, Colorado State UniversityDoug Hundley, Whitman CollegeJames F. Hurley, University of ConnecticutJurgen Hurrelbrink,Louisiana State UniversityJerry G. Ianni,La Guardia Community College (CUNY)Hank Kuiper,Arizona State UniversityAshok Kumar, Valdosta State University

Earl Kymala, California State University,SacramentoKathryn Lenz, University of Minnesota-DuluthJaques Lewin, Syracuse UniversityEn-Bing Lin, University of ToledoAndrei Maltsev, University of MarylandAbraham Mantell,Nassau Community CollegeMadhu Nayakkankuppam, University of

Maryland-Baltimore County

Lei Ni, Stanford UniversityGleb Novitchkov, Penn State UniversityRalph Oberste-Vorth, University of South FloridaDev Sinha,Brown UniversityWasin So, San Jose State UniversityRon Solomon, Ohio State UniversityEugene Spiegel, University of ConnecticutAlan Stein, University of ConnecticutJames Thomas, Colorado State UniversityBrian Turnquist,Bethel CollegeMichael Ward, Western Oregon UniversityBruno Welfert,Arizona State UniversityJack Xin, University of Texas at Austin

Para esta actualizacin de la tercera edicin, agradezco a Thomas Polaski, de Win-throp University, quien revis materiales complementarios de la tercera edicin y siem-pre estuvo dispuesto a dar un consejo. Tambin estoy agradecido con Rick Smith, deUniversity of Florida, por adaptar sus proyectos de MATLAB para la actualizacin, ycon Jeremy Case, de Taylor University, por su ayuda con los proyectos. Por ltimo, agra-dezco a todo el personal de Addison-Wesley por su trabajo en esta actualizacin.

David C. Lay

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Nota paralos estudiantes

Este curso puede ser el ms interesante y valioso entre todas las clases de matemticas

que pueden cursarse durante los estudios universitarios. De hecho, algunos estudiantesme han escrito o hablado despus de graduarse y an utilizan de manera ocasional estetexto como una referencia en sus carreras en varias corporaciones importantes y enescuelas de posgrado en ingeniera. Los siguientes comentarios ofrecen algunos con-sejos prcticos e informacin que pueden ayudarle a dominar el material y a disfrutarel curso.

En lgebra lineal, los conceptosson tan importantes como los clculos. Los ejer-cicios numricos simples que inician cada serie de ejercicios slo ayudan a verificar sucomprensin de los procedimientos bsicos. Posteriormente, en su carrera, las compu-tadoras realizarn los clculos, pero ser necesario elegir los adecuados, saber cmointerpretar los resultados, y despus explicar las soluciones a otras personas. Por estarazn, en el texto muchos ejercicios le piden explicar o justificar los clculos realizados.

Con frecuencia se solicita una explicacin escrita como parte de la respuesta. Para lagran mayora de los ejercicios con nmero impar, encontrar la explicacin deseada o almenos una buena sugerencia. Debe evitar la tentacin de buscar las respuestas a los ejer-cicios hasta no haber intentado escribir una solucin por usted mismo. De otra manera,es posible considerar que algo ha sido comprendido an cuando en realidad no sea as.

Para dominar los conceptos del lgebra lineal, es necesario leer y releer el texto consumo cuidado. Los trminos nuevos se presentan en negritas, algunas veces encerradosen recuadros de definicin. Al final del texto se incluye un glosario de trminos. Los con-ceptos importantes se establecen como teoremas o se incluyen en recuadros iluminados,para utilizarse como referencia rpida. Es recomendable leer las cuatro primeras pginasdel prefacio para aprender ms sobre la estructura del texto. Esto le proporcionar unmarco para comprender la manera en que se desarrollar el curso.

En sentido prctico, el lgebra lineal es un lenguaje. Este lenguaje debe aprendersede la misma forma en que se aprende un idioma extranjero con trabajo diario. Elmaterial presentado en una seccin no se comprende con facilidad a menos que se hayaestudiado por completo el texto y se hayan resuelto los ejercicios de las secciones pre-vias. Por eso es necesario mantenerse al corriente con el curso, lo cual le ahorrar muchotiempo y angustia.

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Notas numricasSe recomienda leer las notas numricas incluidas en el texto, incluso si no se est utili-zando una computadora o calculadora grfica junto con el libro. En la vida real, la mayor

parte de las aplicaciones de lgebra lineal implican clculos que estn sujetos a algnerror numrico, an cuando dicho error pueda ser muy pequeo. Las notas numricas leadvertirn acerca de dificultades potenciales al utilizar posteriormente el lgebra linealen su carrera, y si estudia estas notas ahora, existe una mayor posibilidad de que lasrecuerde despus.

Si el lector disfruta la lectura de las notas numricas, es posible que luego deseetomar un curso de lgebra numrica. Debido a la alta demanda de mayor poder compu-tacional, los cientficos en computacin y los matemticos trabajan en el lgebra linealnumrica para desarrollar algoritmos ms rpidos y confiables con qu realizar clculos,y los ingenieros elctricos disean computadoras ms rpidas y pequeas para ejecutarlos algoritmos. Este campo resulta estimulante, y su primer curso en lgebra lineal loayudar a prepararse para abordarlo.

xx Nota para los estudiantes

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Cifras de inexin, WEB 223Interpolacin de polinomios, WEB 27, 184Isomorfismo, 177, 251Matriz jacobiana, WEB 209Polinomio de Laguerre, 261Transformadas de Laplace, 140, 202

Polinomio de Legendre, 436Transformaciones lineales en clculo, 232-233, 329-330Secuencia de Lucas, WEB 325Ranuras, WEB 26Desigualdad del tringulo, 433Polinomios trigonomtricos, 440

lgebra lineal numricaMatriz de banda, 151Matriz diagonal en bloques, 138, 140Factorizacin de Cholesky, 462, 492Matriz compaera, 372Nmeros de condicin, 131-132, WEB 131, 133-134, 200, 445,

478Rango efectivo, 268, 474Aritmtica de punto otante, 10, 23, 211Subespacios fundamentales, 270, 380, 479Rotacin de Givens, 104Matriz de Gram, 492Matriz de Hilbert, 134Reexin de Householder, 184, 444Matriz mal condicionada (problema), 131, 414Mtodo de potencia inversa, 366-368Mtodos iterativos, 363-370Mtodo de Jacobi para los valores propios, 317LAPACK, 115, 138

Problemas a gran escala, 106, 138, 374Factorizacin LU, 142-146, 149, WEB 150, 486Conteos de operacin, 23, 125, 143-144, 146, 190, 195Productos externos, 117, 136Procesamiento paralelo, 2, 116Pivoteo parcial, 20, 146Descomposicin polar, 492Mtodo de potencia, 363-366Potencias de una matriz, WEB 114Seudoinversa, 480, 492Algoritmo QR, 318, 368Factorizacin QR WEB 150, 405-407, WEB 405, 445Factorizacin para revelacin del rango 150, 300, 486

Teorema del rango, WEB 265, 271Cociente de Rayleigh, 369, 445Error relativo, 445Complemento de Schur, 139Factorizacin de Schur, 445Descomposicin en valores singulares, 150, WEB 447, 471-482Matriz dispersa, 106, 155, 195Descomposicin espectral, 453Factorizacin espectral, 150Matriz tridiagonal, 151Matriz de Vandermonde, 184, 212, 372Arquitectura de tubera vectorial, 138

Ciencias fsicasViga en voladizo, 286Centro de gravedad, 39Reacciones qumicas, 59-60, 63Malla de cristal, 248, 255Descomposicin de una fuerza, 389

Sonido grabado digitalmente, 278Eliminacin Gaussiana, 14Ley de Hooke, 120Interpolacin de polinomios, WEB 26, 184Primera ley de Kepler, 426Imagen de satlite, 447Modelos lineales en geologa y geografa, 423-424Estimacin de la masa para sustancias radiactivas, 425Sistema de masa y resorte, 223-224, 244Modelo para circos glaciales, 423Modelo para el pH del suelo, 423Matrices de giro de Pauli, 183Movimiento peridico, 335

Formas cuadrticas en fsica, 456Datos de radar, 140Datos ssmicos, 2Sonda espacial, 140Flujo de calor de estado estable, 12, 101, WEB 150Principio de superposicin, 77, 96, 354Ecuacin de los tres momentos, 286Flujo de trfico, WEB 61-62, 64Superficie de tendencia, 423Clima, 296Experimento en tnel de viento, 27

EstadsticaAnlisis de varianza, 412Covarianza, 484-485, 489Rango completo, 270Bloques de Helmert, 374Error de mnimos cuadrados, 413Lnea de mnimos cuadrados, WEB 373, 419-421Modelo lineal en estadstica, 419-425Cadenas de Markov, 288-298, 310Forma de desviacin media para los datos, 421, 484Inversa de Moore-Penrose, 480Procesamiento de imgenes multicanal, 447-448, 483-484, 489Regresin mltiple, 423-424

Polinomios ortogonales, 431Regresin ortogonal, 491Potencias de una matriz, WEB 114Anlisis del componente principal, 447-448, 485-487Formas cuadrticas en estadstica, 456Reajuste del Nivel de Referencia Norteamericano, 373-374Coeficientes de regresin, 419Sumas de cuadrados (en regresin), 427, 437-438Anlisis de tendencia, 438-440Varianza, 427, 485Mnimos cuadrados ponderados, 428, 436-438

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1Ecuaciones linealesen lgebra lineal

EJEMPLO INTRODUCTORIO

Modelos lineales en economae ingeniera

A finales del verano de 1949 Wassily Leontief, profesor

de Harvard, introdujo cuidadosamente la ltima de sus

tarjetas perforadas en la computadora de la universidad,

la Mark II. Las tarjetas contenan informacin acerca de la

economa de Estados Unidos, y representaban un resumen

de ms de 250,000 piezas de informacin producidas

por la oficina encargada de las estadsticas laborales en

Estados Unidos despus de dos aos de trabajo intenso.

Leontief haba dividido la economa de Estados Unidos

en 500 sectores, tales como la industria del carbn, laindustria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada

sector, escribi una ecuacin lineal que describa la forma

en que dicho sector distribua sus salidas hacia otros

sectores de la economa. Debido a que la Mark II, una

de las computadoras ms grandes de la poca, no poda

manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500

incgnitas, Leontief haba condensado el problema en un

sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas.

La programacin de la computadora Mark II para

las 42 ecuaciones de Leontief requiri varios meses deesfuerzo, y l estaba ansioso por ver cunto tiempo le

tomara a la mquina resolver el problema. La Mark II

zumb y destell durante 56 horas hasta que finalmente

produjo una solucin. La naturaleza de esta solucin se

analizar en las secciones 1.6 y 2.6.

Leontief, quien recibi el Premio Nobel de Economa

en 1973, abri la puerta a una nueva era en el modeladomatemtico de la economa. Sus esfuerzos desplegados

en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos

significativos de las computadoras para analizar lo que

entonces era un modelo matemtico a gran escala.

Desde entonces, los investigadores de muchos otros

campos han empleado computadoras para analizar

modelos matemticos. Debido a las masivas cantidades

de datos involucrados, por lo general, los modelos son

lineales; esto es, se describen mediante sistemas de

ecuaciones lineales.La importancia del lgebra lineal para las

aplicaciones se ha elevado en proporcin directa al

aumento del poder de las computadoras, cada nueva

generacin de equipo y programas de cmputo dispara

una demanda de capacidades an mayores.

WEB

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Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazn del lgebra lineal,y este captulo los utiliza para introducir algunos de los conceptos centrales dellgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones 1.1 y 1.2 se

presenta un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este algo-ritmo se utilizar para realizar clculos a lo largo del texto. En las secciones 1.3 y 1.4 semuestra cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin vectorialy a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas que involucran combi-naciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Losconceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y transformaciones linea-les, que se estudian en la segunda mitad del captulo, desempearn un papel esencial alo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del lgebra lineal.

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUna ecuacin linealen las variables x1, . . . ,xnes una ecuacin que puede escribirsede la forma

a1x1 + a2x2 + + anxn= b (1)donde by los coecientes a1, . . . , anson nmeros reales o complejos, por lo general co-nocidos. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejerciciosdel libro, nest normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida real, npuede serigual a 50, 5000, o incluso a valores ms grandes.

Por lo tanto, la ciencia de las computadoras est

slidamente ligada al lgebra lineal mediante elcrecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de

datos y los clculos a gran escala.Los cientficos e ingenieros trabajan ahora en

problemas mucho ms complejos de lo que crean

posible hace unas cuantas dcadas. En la actualidad, ellgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un

mayor valor potencial en muchos campos cientficos yde negocios que cualquier otra materia de matemticas.El material incluido en este texto proporciona la base

para un trabajo posterior en muchas reas interesantes.A continuacin se presentan unas cuantas posibilidades;

posteriormente se describirn otras. Exploracin petrolera. Cuando un barco busca

depsitos submarinos de petrleo, diariamentesus computadoras resuelven miles de sistemas de

ecuaciones lineales por separado. La informacinssmica para elaborar las ecuaciones se obtienea partir de ondas de choque submarinas creadas

mediante explosiones con pistolas de aire. Las

ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superficiemarina y se miden empleando gefonos conectados a

extensos cables instalados debajo del barco. Programacin lineal. En la actualidad, muchas

decisiones administrativas importantes se toman conbase en modelos de programacin lineal que utilizan

cientos de variables. Por ejemplo, la industria delas aerolneas emplea programas lineales para

crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,monitorear las ubicaciones de los aviones, o planearlos diversos programas de servicios de apoyo como

mantenimiento y operaciones en terminal.

Redes elctricas. Los ingenieros utilizan programasde cmputo de simulacin para disear circuitos

elctricos y microchips que incluyen millones detransistores. Estos programas utilizan tcnicasde lgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales.

2 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal

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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3

Las ecuaciones

4x1 5x2 + 2 = x1 y x2= 2

6 x1 + x3son ambas lineales porque pueden reordenarse algebraicamente como en la ecuacin

(1): 3x1 5x2=2 y 2x1 + x2 x3= 2

6

Las ecuaciones

4x1 5x2= x1x2 y x2= 2

x1 6 no son lineales debido a la presencia dex1x2en la primera ecuacin y

x1en la se-

gunda.Un sistema de ecuaciones lineales(o sistema lineal) es una coleccin de una o

ms ecuaciones lineales que involucran las mismas variables digamos,x1, . . . ,xn.Unejemplo es

2x1

x2 +1.5x3=

8

x1 4x3= 7 (2)

Una solucindel sistema es una lista (s1, s2, . . . , sn) de nmeros que hacen de cada ecua-cin un enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , snsustituyen, respectivamente, a

x1, . . . ,xn. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del sistema (2) porque, cuando estosvalores sustituyen en (2) ax1,x2yx3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a8 =8 y 7 =7.

El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solucin del sistemalineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentessi tienen el mismo conjuntosolucin. Esto es, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo sistema,y cada solucin del segundo sistema es una solucin del primero.

Determinar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales resultasencillo porque consiste en localizar la interseccin de dos rectas. Un problema tpico es

x12x2= 1x1 +3x2= 3

Las grficas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se denotan mediante 1y 2. Unpar de nmeros (x1,x2) satisface las dos ecuaciones de este sistema si, y slo si, el pun-to (x1,x2) pertenece tanto a 1como a 2. En el sistema anterior, la solucin es el puntonico (3, 2), lo cual puede verificarse con facilidad. Vea la figura 1.

FIGURA 1 Exactamente una solucin.

2

3

x2

x1

l1

l2

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x12x2+ x3= 02x28x3= 8

4x1+ 5x2+ 9x3= 9

1 2 10 2 8

4 5 9

Por supuesto, la interseccin de dos rectas no debe darse necesariamente en un solopunto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo tanto, intersecar en todoslos puntos sobre la recta. En la figura 2 se muestran las grficas que corresponden a lossiguientes sistemas:

Las figuras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos generales acerca de los sistemaslineales, los cuales sern verificados en la seccin 1.2.

Un sistema de ecuaciones lineales puede

1. no tener solucin, o

2. tener exactamente una solucin, o

3. tener una cantidad infinita de soluciones.

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucino una infinidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ningunasolucin.

Notacin matricial

La informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta enun arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema

(3)

con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz

FIGURA 2 (a) Sin solucin. (b) Con infinidad de soluciones.

2

3

x2

x1

l1

l2

(a)

2

3

x2

x1

l1

(b)

x12x2 = 1 x12x2 = 1x1+ 2x2 = 3 x1+ 2x2 = 1

(a) (b)

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se denomina matriz coeciente (o matriz de coecientes) del sistema (3), y

(4)

se denomina matriz aumentadadel sistema. (Aqu, la segunda fila contiene un ceroporque la segunda ecuacin podra escribirse como 0x1+2x28x3=8.) La matrizaumentada de un sistema consta de su matriz de coeficientes con una columna adicionalque contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones.

El tamao de una matriz indica el nmero de filas y columnas que la integran. Lamatriz aumentada (4) que se present lneas arriba tiene 3 filas y 4 columnas y se conocecomo una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4). Si my nson enteros positivos, una matriz

mnes un arreglo rectangular de nmeros con mfilas y n columnas. (El nmero defilas siempre va primero.) La notacin matricial simplificar los clculos de los ejemplosque se presentan enseguida.

Resolucin de un sistema lineal

En esta seccin y en la siguiente se describe un algoritmo, o procedimiento sistemtico,para resolver sistemas lineales. La estrategia bsica es reemplazar un sistema con unsistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) que sea ms fcil deresolver.

Dicho de manera sencilla, utilice el trminox1que est presente en la primera ecua-cin de un sistema para eliminar los trminosx1que haya en las otras ecuaciones. Des-pus use el trminox2presente en la segunda ecuacin para eliminar los trminosx2enlas otras ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que obtenga un sistema de ecuaciones

equivalente muy simple.Para simplificar un sistema lineal se utilizan tres operaciones bsicas: reemplazar

una ecuacin mediante la suma de la propia ecuacin y un mltiplo de otra ecuacin,intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de una ecuacin por unaconstante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, se ver por qu estas tres opera-ciones no cambian el conjunto solucin del sistema.

EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3).

Solucin El procedimiento de eliminacin se muestra enseguida con y sin notacinmatricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos:

Mantenga x1en la primera ecuacin y elimnela de las otras ecuaciones. Para haceresto, sume 4 veces la ecuacin 1 a la ecuacin 3. Por lo general, luego de alguna prcticaeste tipo de clculos se realizan mentalmente:

x12x2 + x3= 02x28x3= 8

4x1 +5x2 +9x3= 9

1 2 1 00 2 8 8

4 5 9 9

4[ecuacin 1]:+ [ecuacin 3]:

[nueva ecuacin 3]:

4x18x2 + 4x3= 04x1 +5x2 + 9x3= 9

3x2 +13x3= 9

1 2 1 00 2

8 8

4 5 9 9

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El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin original:

Ahora, multiplique la ecuacin 2 por 1/2 para obtener 1 como el coeficiente para x2.(Este clculo simplificar la aritmtica del siguiente paso.)

Utilicex2en la ecuacin 2 para eliminar 3x2en la ecuacin 3. El clculo mental es

El nuevo sistema tiene una forma triangular:1

Al final, se desear eliminar el trmino 2x2de la ecuacin 1, pero resulta ms eficienteutilizar primerox3en la ecuacin 3, para eliminar los trminos 4x3y +x3en las ecua-ciones 2 y 1. Los dos clculos mentales son

Es conveniente combinar los resultados de estas dos operaciones:

Ahora, despus de haber limpiado la columna que est sobre la x3en la ecuacin 3, re-grese a lax2en la ecuacin 2 y sela para eliminar el 2x2ubicado sobre ella. Debidoal trabajo previo realizado con x3, ahora no existe ninguna operacin que involucre atrminos dex3.

1En la prxima seccin, el trmino intuitivo triangular se reemplazar por uno ms preciso.

x12x2 + x3= 0x2 4x3= 4

3x2 +13x3= 9

1 2 1 00 1 4 40 3 13 9

3[ecuacin 2]: 3x212x3= 12+ [ecuacin 3]: 3x2 +13x3= 9

[nueva ecuacin 3]: x3= 3

x12x2 + x3 = 0x24x3 = 4

x3 = 3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

4[ec. 3]:+ [ec. 2]:

[nueva ec. 2]:

4x3= 12x24x3= 4x2 =16

1[ec. 3]:+ [ec. 1]:

[nueva ec. 1]:

x3= 3x12x2 +x3= 0x12x2 = 3

x12x2 = 3x2 = 16

x3= 3

1 2 0 30 1 0 160 0 1 3

x12x2 + x3= 02x2 8x3= 83x2 +13x3= 9

1 2 1 00 2 8 80 3 13 9

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Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema

En esencia, el trabajo ya est hecho. Se observa que la solucin nica del sistema ori-ginal es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos clculos involucrados, resulta unabuena prctica verificar las operaciones. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucin,sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule:

Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, as que (29, 16, 3) es

una solucin del sistema.

En el ejemplo 1 se ilustra cmo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecua-ciones corresponden a las operaciones sobre las filas apropiadas de la matriz aumentada.Las tres operaciones bsicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguien-tes operaciones sobre la matriz aumentada.

OPERACIONESELEMENTALESDEFILA

1. (Reemplazo) Reemplazar una fila por la suma de s misma y un mltiplo deotra fila.2

2. (Intercambio) Intercambiar dos filas.

3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una fila por una constantedistinta de cero.

Las operaciones de fila pueden aplicarse a cualquier matriz, no nicamente a unaque surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices sonequivalentes por las si existe una sucesin de operaciones elementales de fila queconvierta una matriz en la otra.

Es importante advertir que las operaciones de fila son reversibles. Si dos filas seintercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales mediante otro intercambio.Si una fila se escala mediante una constante cdistinta de cero, al multiplicar despusla nueva fila por 1/cse obtiene la fila original. Por ltimo, considere una operacin de

reemplazo que involucra dos filas por ejemplo, las filas 1 y 2 y suponga que a la fila 2se le suma la fila 1 multiplicada por cpara producir un nueva fila 2. Si desea revertiresta operacin, sume a la nueva fila 2 la fila 1 multiplicada por cy obtenga la fila 2original. Vea los ejercicios 29 a 32 al final de esta seccin.

Por el momento, nuestro inters reside en las operaciones de fila sobre la matrizaumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se transformaen otro nuevo mediante operaciones de fila.

(29, 16, 3)

Cada una de las ecuacionesoriginales determina un plano enel espacio tridimensional. El punto

(29, 16, 3) pertenece a los tresplanos.

2Una parfrasis comn del reemplazo de una fila es sumar a una fila un mltiplo de otra fila.

x1 =29x2

=16

x3= 3

1 0 0 29

0 1 0 16

0 0 1 3

(29)2(16) + (3)=29 32 + 3 = 02(16)8(3)=32 24 = 8

4(29) +5(16) +9(3)= 116 + 80 + 27 = 9

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Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de fila, puede advertirse que cual-quier solucin del sistema original contina siendo una solucin del sistema nuevo. Asi-mismo, como el sistema original puede producirse mediante operaciones de fila sobre elsistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo tambin es una solucindel sistema original. Esta explicacin justifica el hecho siguiente.

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas,entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solucin.

Aunque el ejemplo 1 es extenso, puede afirmarse que, despus de algn tiempo deprctica, los clculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los ejercicioslas operaciones de fila sern muy fciles de realizar, lo cual permitir que el estudiantese enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizaroperaciones de fila de manera precisa porque se utilizarn a lo largo de todo el libro.

En el resto de esta seccin se muestra cmo utilizar las operaciones de fila para deter-minar el tamao de un conjunto solucin, sin resolver por completo el sistema lineal.

Preguntas de existencia y unicidad

En la seccin 1.2 se estudiar porqu un conjunto solucin para un sistema lineal puedeno contener ninguna solucin, contener solamente una solucin, o contener una infi-nidad de soluciones. Para determinar cul posibilidad es verdadera para un sistema enparticular, se formulan dos preguntas.

DOSPREGUNTASFUNDAMENTALESACERCADEUNSISTEMALINEAL

1. El sistema es consistente? Es decir, existe al menos una solucin?2. Si existe solucin, slohay una? Esto es, la solucin es nica?

Estas dos preguntas aparecern a lo largo del texto en muchas formas diferentes. En estaseccin y en la prxima, se mostrar cmo contestarlas mediante operaciones de filasobre la matriz aumentada.

EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente:

Solucin ste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se realizan las operacionesnecesarias para obtener la forma triangular

En este punto ya se conocex3; si su valor se sustituyera en la ecuacin 2, sera posiblecalcularx2y, por ende, se podra determinarx1a partir de la ecuacin 1. Por lo tanto,

x12x2 + x3=0x24x3=4

x3=3

1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

x12x2 + x3= 02x2

8x3

= 8

4x1 +5x2 +9x3=9

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existe una solucin; y el sistema es consistente. (De hecho,x2se determina nicamentecon la ecuacin 2 puesto quex3tiene un solo valor posible, y por lo tantox1se resuelvesolamente a partir de la ecuacin 1. De manera que la solucin es nica.)

EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente:

(5)

Solucin La matriz aumentada es

Para obtener unax1en la primera ecuacin, se intercambian las filas 1 y 2:

Para eliminar el trmino 5x1en la tercera ecuacin, se agrega a la fila 3 la fila 1 multi-plicada por 5/2:

(6)

Enseguida, utilice el trminox2en la segunda ecuacin para eliminar el trmino (1/2)x2de la tercera ecuacin. Sume a la fila 3 la fila 2 multiplicada por 1/2:

(7)

Ahora, la matriz aumentada est en forma triangular. Para interpretarla de manera co-rrecta, regrese a la notacin con ecuaciones:

(8)

La ecuacin 0 =5/2 es una forma corta de 0x1+0x2+0x3=5/2. Desde luego, estesistema en forma triangular tiene una contradiccin. No existen valores dex1,x2,x3quesatisfagan (8) porque la ecuacin 0 =5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tienen elmismo conjunto solucin, el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solu-cin).

Preste atencin especial a la matriz aumentada en (7). Su ltima fila es tpica de unsistema inconsistente en forma triangular.

2 3 2 10 1 4 80 1/2 2 3/2

x24x3=82x13x2 +2x3=15x18x2 +7x3=1

0 1 4 82 3 2 15 8 7 1

2 3 2 10 1 4 85 8 7 1

2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2

2x13x2 +2x3= 1x2

4x3

= 8

0 =5/2

Este sistema es inconsistenteporque no existe un punto quepertenezca de manera simultneaa los tres planos.

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P R O B L E M A S D E P R C T I C A

A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de prctica antes de trabajarcon los ejercicios. Despus de cada serie de ejercicios se presentan las soluciones.

1. Exprese con sus propias palabrasla siguiente operacin elemental de fila que deberealizarse para resolver los sistemas presentados a continuacin. [Para (a), existe ms

de una respuesta posible.]

2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada mediante operacionesde fila a la forma que se presenta a continuacin. Determine si el sistema es consis-tente.

3. Es (3, 4, 2) una solucin del siguiente sistema?

4. Para cules valores de h y kes consistente el siguiente sistema?

NOTANUMRICA

En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven empleando unacomputadora. Para una matriz de coeficientes cuadrada, los programas de cmpu-

to casi siempre usan el algoritmo de eliminacin que se presenta aqu en la seccin1.2, con pequeas modificaciones para mejorar su precisin.

La gran mayora de los problemas de lgebra lineal que se presentan en los ne-gocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la aritmtica de punto

otante. Los nmeros se representan como decimales .d1dp 10r, donde res unentero y el nmeropde dgitos a la derecha del punto decimal usualmente se encuen-tra entre 8 y 16. Normalmente, las operaciones aritmticas con estos nmeros resultaninexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al nmero de dgitosalmacenados. El error de redondeo tambin se presenta cuando un nmero como1/3 es introducido a la computadora, puesto que su representacin debe aproximarsemediante un nmero finito de dgitos. Por fortuna, las inexactitudes de la aritmticade punto otante muy pocas veces causan problemas. Las notas numricas incluidasen este libro lo prevendrn, ocasionalmente, sobre aspectos que podr necesitar tener enconsideracin ms adelante en su carrera.

a.x1 +4x22x3 +8x4= 12x27x3 +2x4=4

5x3 x4= 7x3 +3x4=5

b.x13x2 +5x32x4= 0x2 +8x3 =4

2x3 = 3x4= 1

5x1 x2 +2x3= 72x1 +6x2 +9x3= 07x1 +5x23x3= 7

1 5 2 60 4

7 2

0 0 5 0

2x1 x2=h6x1 +3x2=k

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Resuelva los sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las opera-

ciones elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matrizaumentada. Utilice el procedimiento de eliminacin sistemticadescrito en esta seccin.

3. Encuentre el punto (x1,x2) que pertenece tanto a la lneax1+5x2=7 como a la lneax12x2=2. Vea la figura.

4. Encuentre el punto de interseccin de las rectasx15x2=1y 3x17x2=5.

Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz au-mentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias palabraslas siguientes dos operaciones elementales de fila que deben rea-

lizarse en el proceso para resolver el sistema.

En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema linealha sido reducida mediante operaciones de fila a la forma que semuestra. En cada caso, ejecute las operaciones de fila apropiadasy describa el conjunto solucin del sistema original.

1.1 EJERCICIOS

Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14.

x1 +3x3 = 2x2 3x4= 3

2x2 +3x3 +2x4= 13x1 +7x4= 5

x1 2x4= 32x2 +2x3 = 0

x3 +3x4= 12x1 +3x2 +2x3 + x4= 5

15.

16.

1 7 3 40 1 1 30 0 0 1

0 0 1 2

1 4 9 00 1 7 0

0 0 2 0

7. 8.

1

1 0 0

4

0 1 3 0 70 0 1 3 10 0 0 2 4

1 2 0 3 20 1 0 4 70 0 1 0 6

0 0 0 1 3

9.

10.

x1 +5x2= 72x17x2= 5

2x1 +4x2= 45x1 +7x2= 11

1. 2.

1 4 5 0 70 1 3 0 60 0 1 0 2

0 0 0 1 5

1 6 4 0 10 2 7 0 40 0 1 2 30 0 3 1 6

5.

6.

x2

x1

x1 + 5x2= 7x1 2x2= 2

x2 + 4x3 = 5x1 + 3x2 + 5x3

= 2

3x1 + 7x2 + 7x3 = 6x13x2 +4x3= 4

3x17x2 +7x3= 84x1 +6x2 x3= 7x1 3x3= 8

2x1 +2x2 +9x3= 7x2 +5x3= 2

x13x2 =5x1 + x2 +5x3=2

x2 + x3=0

11.

12.

13. 14.

Determine si los sistemas de los ejercicios 15 y 16 son consisten-tes. No resuelva los sistemas por completo.

17. Las tres rectasx14x2=1, 2x1x2=3, y x13x2

=4 tienen un punto de interseccin comn? Explique su res-

puesta.18. Los tres planosx1+2x2+x3=4,x2x3=1, yx1+3x2=

0 tienen al menos un punto de interseccin comn? Expliquesu respuesta.

En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de htales que la matriz dada es la matriz aumentada de un sistemalineal consistente.

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En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta seccinse citan directamente, se han modificado un poco (pero siguensiendo verdaderos), o se han alterado de alguna forma que losvuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como ver-dadero o falso yjustique su respuesta. (Si el enunciado es verda-dero, d la ubicacin aproximada en el texto donde aparece unosimilar o haga referencia a una definicin o teorema. Si es falso,d la ubicacin del enunciado que se cita o utiliza de manera inco-rrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que no es verdaderoen todos los casos.) En muchas secciones de este texto aparecernpreguntas similares del tipo verdadero/falso.

23. a. Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b. Una matriz de 5 6 tiene seis filas. c. El conjunto solucin de un sistema lineal que incluya las

variablesx1, . . . ,xnes una lista de nmeros (s1, . . . , sn) quehace de cada ecuacin del sistema un enunciado verdaderocuando los valores s1, . . . , snsustituyen, respectivamente,ax1, . . . ,xn.

d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema li-neal involucran la existencia y la unicidad.

24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales defila no cambian nunca el conjunto solucin del sistema li-neal asociado.

b. Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen elmismo nmero de filas.

c. Un sistema inconsistente tiene ms de una solucin.

d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismoconjunto solucin.

25. Encuentre una ecuacin que involucre a g, hy k, la cual per-mita que esta matriz aumentada corresponda a un sistemaconsistente:

1 4 7 g0 3 5 h

2 5 9 k

26. Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres sistemaslineales cuyo conjunto solucin seax1=2,x2=1,x3=0.

27. Suponga que el sistema presentado a continuacin es con-sistente para todos los valores posibles de fy g. Qu puedeafirmarse acerca de los coeficientes cy d? Justifique su res-puesta.

x1 +3x2=fcx1 +dx2= g

28. Suponga que a, b, cy dson constantes de tal forma que aes diferente de cero y el sistema presentado a continuacin

es consistente para todos los valores posibles de fy g. Qupuede afirmarse acerca de los nmeros a, b, cy d? Justifiquesu respuesta.

ax1 +bx2=fcx1 +dx2= g

En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operacin elemental defila que transforma la primera matriz en la segunda, determineentonces la operacin de fila inversa que transforma la segundamatriz en la primera.

Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calores determinar la distribucin de la temperatura en estado establesobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presen-te alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en lafigura representa la seccin transversal de una viga de metal, conun ujo de calor insignificante en la direccin perpendicular a laplaca. Sean T1, . . . , T4las temperaturas en los cuatro nodos in-teriores de la malla que se muestra en la figura. En un nodo, latemperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatronodos ms cercanos a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo.3Por ejemplo,

3Vea Frank M. White,Heat and Mass Transfer (Reading, MA:Addison-Wesley Publishing, 1991), pp. 145149.

T1= (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1T2 T4= 30

1 h 4

3 6 8

1 h 32 4 6

1 3 24 h 8

2 3 h6 9 5

19. 20.

21. 22.

0 2 51 4 73 1 6

,

1 4 70 2 53 1 6

1 3 40

2 6

0 5 9

,

1 3 40 1

3

0 5 9

1 2 1 00 5 2 84 1 3 6

,

1 2 1 00 5 2 80 7 1 6

1 2 5 00 1 3 20 3 9 5

,

1 2 5 00 1 3 20 0 0 1

29.

30.

31.

32.

10

10

40

40

20 20

30 30

1 2

4 3

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33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin pro-porcione un estimado para las temperaturas T1, . . . , T4.

34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Suge-rencia:Para acelerar los clculos, intercambie las filas 1 y 4antes de comenzar las operaciones de reemplazo.]

S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. a. Para realizar clculos a mano, lo mejor es intercambiar las ecuaciones 3 y 4.Otra posibilidad es multiplicar la ecuacin 3 por 1/5; o reemplazar la ecuacin 4por su suma con la fila 3 multiplicada por 1/5. (En cualquier caso, no utilice

x2en la ecuacin 2 para eliminar 4x2en la ecuacin 1. Espere hasta alcanzar laforma triangular y hasta que los trminos conx3yx4hayan sido eliminados de lasprimeras dos ecuaciones.)

b. El sistema est en forma triangular. La simplificacin posterior comienza conx4en la cuarta ecuacin. Utilice estax4para eliminar todos los trminos conx4locali-zados arriba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la ecuacin 4, multiplicada

por 2, con la ecuacin 1. (Despus de esto, vaya a la ecuacin 3, multiplquela por1/2, y utilice la ecuacin resultante para eliminar los trminos con x3ubicadosarriba de ella.)

2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es

La tercera ecuacin vuelvex3=0, que ciertamente es un valor permisible parax3.Despus, al eliminar los trminos conx3en las ecuaciones 1 y 2, es posible encontrarvalores nicos parax2yx1. Por lo tanto, existe una solucin y es nica. Compare esta

situacin con la del ejemplo 3.3.Resulta sencillo verificarsi una lista especfica de nmeros es una solucin. Sean

x1=3,x2=4, yx3=2, y encuentre que

Aunque se satisfacen las primeras dos ecuaciones, la tercera no, entonces (3, 4, 2)no es una solucin al sistema. Observe el uso de parntesis cuando se hacen susti-tuciones, los cuales son muy recomendables como proteccin contra errores arit-mticos.

4. Cuando la segunda ecuacin se reemplaza por su suma con la primera ecuacin mul-tiplicada por 3, el sistema se convierte en

Si k+3hes diferente de cero, el sistema no tiene solucin. El sistema es consistentepara cualesquiera valores de hy kque produzcan k+3h=0.

x1 +5x2 + 2x3= 64x2 7x3= 2

5x3= 0

5(3) (4) + 2(2)= 15 4 4=72(3) + 6(4) + 9(2)= 6 + 2418=07(3) + 5(4)3(2)= 21 + 20 + 6=5

2x1 x2=h0=k+ 3h

Como (3, 4, 2) satisface las dosprimeras ecuaciones, se encuentrasobre la lnea de interseccin delos dos primeros planos. Como(3, 4, 2) no satisface las tresecuaciones, no pertenece a lostres planos.

(3, 4, 2)

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1.2 REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADASEn esta seccin se perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 en un algoritmo de reduccin

por filas que permitir analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales.

1

Las preguntasfundamentales de existencia y unicidad, expuestas en la seccin 1.1, podrn contestarseutilizando la primera parte del algoritmo.

El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una matriz aumentadapara un sistema lineal o no. Entonces, la primera parte de esta seccin trata acerca deuna matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir dos clases importantesde matrices que incluyen las matrices triangulares de la seccin 1.1. En las definicio-nes presentadas a continuacin, una fila o una columna distinta de ceroen una matrizsern una fila o una columna que contengan al menos una entrada diferente de cero; unaentrada principal de una fila se refiere a la entrada diferente de cero que se encuentrams a la izquierda (en una fila distinta de cero).

Una matriz escalonada(respectivamente, matriz escalonada reducida) es unamatriz que est en forma escalonada (respectivamente, forma escalonada reducida). Lapropiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrn escalonado(comoescalera) que avanza hacia abajo y a la derecha de la matriz. La propiedad 3 es unasimple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluy aqu para enfatizarla.

Las matrices triangulares de la seccin 1.1, tales como

D E F I N I C I N Una matriz rectangular est en forma escalonada (o en forma escalonada porlas) si tiene las tres propiedades siguientes:

1. Todas las filas distintas de cero estn arriba de cualquier fila integrada slo porceros.

2. Cada entrada principal de una fila est en una columna situada a la derecha dela entrada principal de la fila que se encuentra arriba de dicha entrada.

3. Todas las entradas que se localicen en una columna situada debajo de una en-trada principal son ceros.

Si una matriz en forma escalonada satisface las siguientes condiciones adiciona-les, entonces se encuentra en forma escalonada reducida(o forma escalonada

reducida por las):

4. La entrada principal de cada fila distinta de cero es 1.

5. Cada 1principales la nica entrada distinta de cero en su columna.

1Este algoritmo es una variacin de lo que se conoce comnmente como eliminacin gaussiana. Los matem-ticos chinos utilizaron un mtodo de eliminacin similar alrededor del ao 250 a.C. El proceso no se conocien la cultura occidental sino hasta el siglo , cuando un famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss,lo descubri. Un ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, populariz el algoritmo al emplearlo en un texto sobregeodesia en 1888.

2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2

y

1 0 0 29

0 1 0 16

0 0 1 3

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estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est en forma escalonada redu-cida. A continuacin se presentan ejemplos adicionales.

EJEMPLO 1

Las siguientes matrices estn en forma escalonada. Las entradas prin-cipales () pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*)pueden tener cualquier valor (incluso cero).

Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida porque las entradas princi-pales son nmeros 1, y abajo y arriba de cada 1 principal slo existen ceros.

Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por las (esto es, transformarsemediante operaciones elementales de fila) para producir ms de una matriz en formaescalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de operaciones de fila. Sin embargo,la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es nica. El teorema

siguiente se comprueba en el apndice A incluido al final del texto.

Si una matrizAes equivalente por filas a una matriz escalonada U, se dice que Uesuna forma escalonada (o una forma escalonada por filas) de A; si Uest en su formaescalonada reducida, se afirma que es la forma escalonada reducida de A. [La mayorade los programas de matrices y de las calculadoras con capacidad para resolver matricesutilizan la abreviatura RREF para encontrar la forma escalonada reducida (por filas).

Algunos usan REF para la forma escalonada (por filas) (del ingls row reduced echelonform y row echelon form).]

Posiciones pivote

Cuando las operaciones de fila sobre una matriz producen una forma escalonada, lasoperaciones de fila posteriores para obtener la forma escalonada reducida no cambianlas posiciones de las entradas principales. Como la forma escalonada reducida es nica,las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en cualquier forma es-calonada obtenida a partir de una matriz dada.Estas entradas principales correspondena los nmeros 1 principales que hay en la forma escalonada reducida.

T E O R E M A 1 Unicidad de la forma escalonada reducida

Cada matriz es equivalente por filas a una y slo una matriz escalonada reducida.

0 0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1


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En el ejemplo 1, los cuadros () identifican las posiciones pivote. Muchos conceptosfundamentales incluidos en los primeros cuatro captulos de este libro estarn conecta-dos de una forma u otra con las posiciones pivote que aparecen en una matriz.

EJEMPLO 2 Reduzca por filas la matriz Aque se muestra a continuacin hasta laforma escalonada, y localice las columnas pivote deA.

Solucin Use la misma estrategia bsica aplicada en la seccin 1.1. El elemento supe-rior de la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda de la matriz es laprimera posicin pivote. En esta posicin, debe colocarse una entrada distinta de cero, o

pivote. Una buena alternativa es intercambiar las filas 1 y 4 (porque las comparacionesmentales en el siguiente paso no involucrarn fracciones).

Cree ceros debajo del pivote 1, para ello sume mltiplos de la primera fila a las filasde abajo, y obtenga la matriz (1) que se presenta enseguida. La posicin pivote de lasegunda fila debe estar lo ms a la izquierda que sea posible a saber, en la segundacolumna. Se elegir al 2 en esta posicin como el siguiente pivote.

Sume la fila 2 multiplicado por 5/2 a la fila 3, y la fila 2 multiplicado por 3/2 a lafila 4.

D E F I N I C I N En una matrizA, una posicin pivote es una ubicacin en Aque corresponde aun 1 principal en la forma escalonada reducida deA. Una columna pivotees unacolumna deAque contiene una posicin pivote.

1 4 5 9 70 2

Pivote

4 6 60 5 10 15 15

Prxima columna pivote

0 3 6 4 9

A =

0 3 6 4 9

1

2

1 3 1

2 3 0 3 11 4 5 9 7

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 0 0

0 0 0 5 0

1

Pivote

4 5 9 71 2 1 3 12 3 0 3 1

Columna pivote

0 3 6 4 9

(1)

(2)

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La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices encontradas en la seccin1.1. No hay forma de crear una entrada principal en la columna 3! (No pueden usarselas filas 1 o 2 porque al hacerlo se destruira el arreglo escalonado de las entradas prin-cipales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una entrada principal en lacolumna 4 intercambiando las filas 3 y 4.

La matriz est en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de A son co-lumnas pivote.

Un pivote, como el ilustrado en el ejemplo 2, es un nmero distinto de cero situadoen una posicin pivote que se utiliza cuando es necesario para crear ceros por medio deoperaciones de fila. Los pivotes empleados en el ejemplo 2 fueron 1, 2 y 5. Debe ad-vertirse que estos nmeros no son los mismos que los elementos reales deAubicados enlas posiciones pivote iluminadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesin diferen-te de operaciones de fila podra involucrar un conjunto de pivotes distinto. Adems, unpivote no ser visible en la forma escalonada si la fila se escala para convertir el pivote enun 1 principal (lo cual muchas veces es conveniente para realizar clculos a mano).

Con el ejemplo 2 como gua, ahora es posible describir un procedimiento eficientepara transformar una matriz en una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudiocuidadoso y el dominio de este procedimiento producirn grandes dividendos durantetodo el curso.

Algoritmo de reduccin por las

El algoritmo que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y produce una matriz enforma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada reducida. Elalgoritmo se ilustra mediante un ejemplo.

EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de fila para transformar la siguientematriz a la forma escalonada y despus a la forma escalonada reducida:

A =

0

Posiciones pivote

3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 1

Columnas pivote

1 4 5 9 7

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93 9 12 9 6 15

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 5

Pivote

0

Columnas pivote

0 0 0 0 0

Forma general:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

(3)


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Solucin

PASO1

Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda. Eneste caso es una columna pivote. La posicin pivote est en la parte superior.

PASO2

Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es

necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posicin pivote.

Intercambie las filas 1 y 3. (Tambin podran haberse intercambiado las filas 1 y 2.)

PASO3

Use operaciones de reemplazo de fila para crear ceros en todas las posicionesubicadas debajo del pivote.

Como paso preliminar, se podra dividir la fila superior entre el pivote, 3. Pero con dosnmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil como sumar la fila 1 multiplicada por 1a la fila 2.

PASO4

Cubra (o no tome en cuenta) la fila que contiene la posicin pivote y cubra todaslas filas, si existe alguna, por encima de sta. Aplique los pasos 1, 2 y 3 a la sub-matriz restante. Repita el proceso hasta que no haya ms filas distintas de cero pormodificar.

Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la siguiente columna pivote;para el paso 2, en dicha columna se seleccionar como pivote la entrada superior.

0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93

Columna pivote

9 12 9 6 15

3

Pivote

9 12 9 6 153 7 8 5 8 90 3 6 6 4 5

3

Pivote

9 12 9 6 150 2 4 4 2 60 3 6 6 4 5

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Para el paso 3, se podra insertar el paso opcional de dividir la fila superior de lasubmatriz entre el pivote 2. En vez de eso, se suma 3/2 veces la fila superior a la filade abajo. Esto produce

Cuando se cubre la fila que contiene la segunda posicin pivote para el paso 4, queda unanueva submatriz que tiene solamente una fila:

Se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa sin tener que aplicar lospasos 1, 2 y 3 en esta submatriz. Si se quisiera obtener la forma escalonada reducida,tendra que efectuarse un paso ms.

PASO5

Empiece con el pivote situado ms a la derecha trabajando hacia arriba y a la iz-quierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hgalo 1 medianteuna operacin de escalamiento.

El pivote situado ms a la derecha est en la fila 3. Se crean ceros encima de l, sumandomltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 2 y 1.

El siguiente pivote est en la fila 2. Escale esta fila dividindola entre el pivote.

Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la fila 2 a la fila 1.

3 9 12 9 6 150 2

Pivote

4 4 2 60 3 Nueva columna pivote6 6 4 5

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6

0 0 0 0 1 4

3 9 12 9 0 90 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4

Fila escalada por 1

2

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6

0 0 0 0 1

Pivote

4

3 9 12 9 0 90 2 4 4 0 140 0 0 0 1 4

Fila 1 + (6)Fila 3Fila 2 + (2)Fila 3

3 0 6 9 0 720 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4

Fila 1 + (9)Fila 2


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Por ltimo, se escala la fila 1 al dividirla entre el pivote 3.

sta es la forma escalonada reducida de la matriz original.

La combinacin de los pasos 1 a 4 se llama fase progresiva del algoritmo de reduc-cin por filas. El paso 5, que produce la forma escalonada reducida nica, se llamafaseregresiva.

1 0 2 3 0 240 1

2 2 0

7

0 0 0 0 1 4

Fila escalada por 1

3

1 0 5 10 1 1 4

0 0 0 0

x1 5x3=1x2 + x3=4

0 =0

Soluciones de sistemas lineales

El algoritmo de reduccin por filas conduce directamente a una descripcin explcitadel conjunto solucin de un sistema lineal cuando se aplica, el algoritmo, a la matrizaumentada del sistema.

Por ejemplo, suponga que la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transfor-mada en la forma escalonada reducidaequivalente

Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistemade ecuaciones asociado es

(4)

Las variables x1 y x2correspondientes a columnas pivote de la matriz se denominanvariables bsicas.2La otra variable,x3, se llamavariable libre.

Cuando un sistema es consistente, como en (4), el conjunto solucin puede descri-birse de manera explcita al resolver el sistema de ecuaciones reducidopara las variablesbsicas en trminos de las variables libres. Esta operacin es posible debido a que la

NOTANUMRICA

En el paso 2 que se mostr con anterioridad, un programa de computadora general-mente selecciona como pivote en una columna la entrada que tenga el mayor valorabsoluto. Esta estrategia, llamadapivoteo parcial, se usa porque reduce los erroresde redondeo en los clculos.

2Algunos textos utilizan el trmino variables principales porque corresponden a las columnas que contienenlas entradas principales.

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forma escalonada reducida coloca cada variable bsica en una, y slo una, ecuacin. En(4), se puede despejarx1de la primera ecuacin yx2de la segunda. (La tercera ecuacinno se toma en cuenta porque no ofrece restricciones a las variables.)

(5)

Al afirmar quex3es libre, se implica la posibilidad de asignarle cualquier valor. Unavez que se efecta esta asignacin, las frmulas de (5) determinan los valores parax1y

x2. Por ejemplo, cuandox3=0, la solucin es (1, 4, 0); cuandox3=1, la solucin es (6,3, 1). Cada asignacin diferente de x3determina una solucin (diferente) del sistema,ycada solucin del sistema est determinada por una asignacin de x3.

La solucin de (5) se denomina solucin generaldel sistema porque proporciona

una descripcin explcita de todaslas soluciones.

EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentadase ha reducido a

Solucin La matriz est en forma escalonada, pero se requiere la forma escalonada re-

ducida antes de despejar las variables bsicas. A continuacin se completa la reduccinpor filas. El smbolo ~ colocado antes de una matriz indica que sta es equivalente porfilas a la matriz precedente.

Existen cinco variables puesto que la matriz aumentada tiene seis columnas. Ahora elsistema asociado es

(6)

Las columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5; as que las variables bsicas son x1,x3yx5. Las variables restantes,x2yx4, deben ser libres. Al despejar las variables bsicas, se

1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7

1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7

1 6 2 5 0 100 0 2 8 0 100 0 0 0 1 7

1 6 2 5 0 100 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7

1 6 0 3 0 0

0 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7

x1= 1 + 5x3x2= 4 x3x3es libre

x1 +6x2 +3x4 =0x34x4 =5

x5=7


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obtiene la solucin general:

(7)

Observe que el valor dex5ya qued fijado por la tercera ecuacin del sistema (6).

Descripciones paramtricas de conjuntos solucin

Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramtricasde conjuntos solucinen los cuales las variables libres actan como parmetros. Laresolucin de un sistema

significa encontrar una descripcin paramtrica del conjunto solucin, o determinar queel conjunto solucin est vaco.Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el conjunto solucin per-

mite obtener muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en el sistema (4) se po-dra sumar cinco veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 y obtener el sistema equivalente

Podra tratarse ax2como parmetro y despejar x1y x3en trminos de x2, y se tendrauna descripcin precisa del conjunto solucin. Sin embargo, para ser consistente, se es-tablece la convencin (arbitraria) de usar siempre las variables libres como parmetrospara describir un conjunto solucin. (La seccin de respuestas incluida al final del texto

reeja tambin esta convencin.)Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solucin est vaco, incluso si el

sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto solucin notiene representacinparamtrica.

Sustitucin regresiva

Considere el sistema siguiente cuya matriz aumentada est en forma escalonada pero noen forma escalonada reducida:

Un programa de computadora resolvera este sistema por sustitucin regresiva, en lugarde calcular la forma escalonada reducida. Esto es, el programa resolvera la ecuacin 3parax4en trminos dex5y sustituira la expresin parax4en la ecuacin 2; resolverala ecuacin 2 parax2y luego sustituira las expresiones parax2yx4en la ecuacin 1 ydespejarax1.

El formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar la fase regresiva dereduccin por filas, la cual produce la forma escalonada reducida, requiere el mismonmero de operaciones aritmticas que la sustitucin regresiva. Pero la disciplina delformato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de cometer errores durante los

x1=6x2 3x4x2es libre

x3= 5 + 4x4x4es libre

x5= 7

x1 +5x2 =21x2 +x3= 4

x17x2 +2x35x4 +8x5= 10x

23x

3 +3x

4 + x

5= 5

x4 x5= 4

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3x2 6x3 + 6x4 +4x5= 53x1 7x2 + 8x3 5x4 +8x5= 93x1 9x2 + 12x3 9x4 +6x5= 15

clculos efectuados a mano. Se recomienda de manera enfticausar solamente la formaescalonada reducidapara resolver un sistema. La Gua de estudio (Study Guide) queacompaa a este texto ofrece algunas sugerencias tiles para realizar operaciones de filacon exactitud y rapidez.

Preguntas de existencia y unicidad

Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco eficiente para re-solver un sistema, est considerada como el mecanismo correcto para resolver las dospreguntas fundamentales enunciadas en la seccin 1.1.

EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema

Solucin La matriz aumentada de este sistema se redujo por filas en el ejemplo 3 a

(8)

Las variables bsicas son x1, x2y x5; las variables libres son x3y x4. No hay ninguna

ecuacin del tipo 0 =1 que origine un sistema inconsistente, as que podra usarse sus-titucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es evidente la existenciade una solucin. Adems, la solucin no es nicaporque existen variables libres. Cadaasignacin diferente dex3yx4determina una solucin distinta. Por lo tanto, el siste-ma tiene un nmero infinito de soluciones.

NOTANUMRICA

En general, la fase progresiva de la reduccin por filas es mucho ms larga que la faseregresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide generalmente enops(uoperaciones en punto otante). Unopes una operacin aritmtica (, , *, /) condos nmeros reales en punto otante.3Para una matriz de n (n 1), la reduccina la forma escalonada puede requerir 2n3/3 n2/2 7n/6 ops (lo cual es aproxi-madamente 2n3/3 ops cuando nes moderadamente grande por ejemplo, n30).Por otro lado, la reduccin posterior a la forma escalonada reducida necesita cuando

mucho n2

ops.

3Tradicionalmente, un opera slo una multiplicacin o una divisin porque la suma y la resta requeranmucho menos tiempo y podan no tomarse en cuenta. La definicin de opque se da aqu es la preferida enla actualidad, como consecuencia de los avances en la arquitectura de computadoras. Vea Golub y Van Loan,

Matrix Computations,2a. edicin (Baltimore: The Johns Hopkins Press, 1989), pp. 1920.

3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 60 0 0 0 1 4


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Cuando un sistema est en forma escalonada y no contiene ninguna ecuacin del tipo0=b, con bdiferente de 0, toda ecuacin distinta de cero contiene una variable bsicacon un coeficiente diferente de cero. Las variables bsicas estn completamente determi-nadas (sin variables libres), o por lo menos una de las variables bsicas puede expresarseen trminos de una o ms variables libres. En el primer caso existe una solucin nica; enel ltimo, hay un nmero infinito de soluciones (una para cada asignacin de valores alas variables libres).

Estas observaciones justifican el teorema siguiente.

El procedimiento siguiente define cmo encontrar y describir todas las solucionesde un sistema lineal.

P R O B L E M A S D E P R C T I C A

1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada es

1 3 5 00 1 1 3

T E O R E M A 2 Teorema de existencia y unicidad

Un sistema lineal es consistente si, y slo si, la columna del extremo derecho dela matriz aumentada noes una columna pivote esto es, si, y slo si, una formaescalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma

[0 0 b] con bdiferente de cero.

Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solucin contiene (i) unasolucin nica, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un nmero infinitode soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre.

USODELAREDUCCINPORFILASPARARESOLVERUNSISTEMALINEAL

1. Escriba la matriz aumentada del sistema.

2. Utilice el algoritmo de reduccin por filas para obtener una matriz aumentadaequivalente de forma escalonada. Decida si el sistema es o no consistente. Sino hay solucin, detngase; en caso contrario, contine con el siguiente paso.

3. Contine la reduccin por filas hasta obtener la forma escalonada reducida.

4. Escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz obtenida en elpaso 3.

5. Reescriba cada ecuacin diferente de cero del paso 4 de manera que su nicavariable bsica est expresada en trminos de cualesquiera variables libres queaparezcan en la ecuacin.

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2. Encuentre la solucin general del sistema

x1 2x2 x3 + 3x4= 0

2x1 + 4x2 + 5x3

5x4

=3

3x1 6x2 6x3 + 8x4= 2

En los ejercicios 1 y 2, determine cules matrices estn en formaescalonada reducida y cules slo en forma escalonada.

6. Repita el ejercicio 5 para una matriz de 3 2 diferente decero.

Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matricesaumentadas se dan en los ejercicios 7 a 14.

1.2 EJERCICIOS

1. a.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

b.

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

c.

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

d.

1 1 0 1 1

0 2 0 2 2

0 0 0 3 3

0 0 0 0 4

2. a.

1 1 0 10 0 1 1

0 0 0 0

b.

1 1 0 00 1 1 0

0 0 1 1

c.

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

d.

0 1 1 1 1

0 0 2 2 2

0 0 0 0 3

0 0 0 0 0

3.

1 2 3 4

4 5 6 7

6 7 8 9

4.

1 3 5 7

3 5 7 9

5 7 9 1

Reduzca por filas las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la formaescalonada reducida. Encierre las posiciones pivote incluidas enla matriz final y en la matriz original, y enumere las columnaspivote.

15. a.

0 0 0 0

b.

0 0 0 0 0 0 0

5. Describa las formas escalonadas posibles de una matriz de2 2 distinta de cero. Utilice los smbolos (), * y 0, como

en la primera parte del ejemplo 1.

En los ejercicios 15 y 16 se utiliza la notacin del ejemplo 1 para

matrices en forma escalonada. Suponga que cada matriz repre-senta la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones lineales.En cada caso, determine si el sistema es consistente. De ser as,establezca si la solucin es nica.

7. 1 3 4 7

3 9 7 6 8.

1 4 0 7

2 7 0 10

9. 0 1 6 5

1 2 7 6 10. 1 2 1 3

3 6 2 2

11.

3 4 2 09 12 6 06 8 4 0

12.

1 7 0 6 50 0 1 2 31 7 4 2 7

13.

1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 4

0 0 0 0 0 0

14.

1 2 5 6 0 50 1 6 3 0 20 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0


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En los ejercicios 17 y 18, determine el valor o los valores de htales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema linealconsistente.

En los ejercicios 19 y 20, elija h y kde tal forma que el sistema

a) no tenga solucin, b) tenga una solucin nica, y c) tenga mu-chas soluciones. D respuestas por separado para cada inciso.

En los ejercicios 21 y 22, seale cada enunciado como verdaderoo falso. Justifique cada respuesta.4

21. a. En algunos casos, una matriz se puede reducir por filas ams de una matriz en forma escalonada reducida, usandodiferentes secuencias de operaciones de fila.

b. El algoritmo de reduccin por filas se aplica solamente amatrices aumentadas para un sistema lineal.

c. Una variable bsica de un sistema lineal es una variableque corresponde a una columna pivote en la matriz de co-eficientes.

d. Encontrar una descripcin paramtrica del conjunto so-lucin de un sistema lineal es lo mismo que resolver elsistema.

e. Si una fila en la forma escalonada de una matriz aumenta-da es [0 0 0 5 0], entonces el sistema lineal asociado esinconsistente.

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