REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

GEOMETRIA ANALITICA

GUÍA DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1ER CORTE

1.- Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (12).

2.- La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2), hallar el otro punto.3. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo. Sol: (2, 3); 20.

4.- Hallar las coordenadas de un punto (x,y) que divida al segmento determinado por los puntos

)3,6(y )7,1( 21 −PP en la relación dada 3

2=r

Sol: P (3, 3)

5.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divida al segmento determinado por A(-2,1) y

B(3, -4) en la relación 3

8−=r

Sol: P (6, -7)

6.- El extremo del diámetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es B (2,6). Hallar las

coordenadas A(x,y) del otro extremo. 2

1−=r

Sol: A (-10,-4)

7.- Los puntos extremos de un segmento son los puntos P1 (2, 4) y P2 (8, -4). Hallar el punto P(x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P: PP1 = -2.Sol: (1, -2).

8.- Los extremos de un segmento son los puntos ( )4,71P y ( )4,12 −−P . Hallar la razón

21 : PPPP en que el punto ( )2,1 −P divide al segmento.

Sol: r =3

3.- Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices.Sol: (-1, 4), (5, 6), (3, -2)

10.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (5, -2). Grafique y señale el ángulo.Sol: º6.116 ,2 =−= αm

11- Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa del otro punto es 4. Hallar su ordenada. Sol: 5

12.- Hallar los ángulos internos del triangulo cuyos vértices son A (-3,-2), B (2, 5) y C(4,2).Sol: º1.86,º2.69,º7.24 === γβα

13.- Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45º con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5, 3).Sol: 72 −=m

14.- Aplicando el concepto de pendiente, comprobar cuales de los siguientes puntos son colineales.

a) (2, 3), (-4, 7) y (5, 8)b) (4, 1), (5,-2) y (6,-5)c) (-1,-4), (2, 5) y (7,-2)

Sol: a) NO, b) SI, c) NOVerificar el resultado por la formula de la distancia.

15.- El triángulo con vértices A (1,5); B (4,2); C (5,6) ¿Es isósceles?Demostrarlo a través de la ecuación de distancia entre dos puntos.

16.- El triángulo con vértices A (-5,6); B (2,3); y C (5,10) ¿Es un triángulo rectángulo?Demostrarlo a través de la ecuación de distancia entre dos puntos.

17.- Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7); B (8,6) y C (7,-1). Sol: P (4,3)

18.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Determine las coordenadas de sus tres vértices. Sol: P1 (-1,4); P2 (8,6); P3 (2,-2)

19.- Hallar los puntos de trisección (división del segmento en tres partes iguales) y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (-7) y P2 (-19). Sol: P3 (-15), P4 (-11); Pm (-13)

20.- Hallar el ángulo α ubicado en el vértice C dentro del paralelogramo cuyos vértices son A (-2,-1); B (1,5); C (10,7) y D (7,3).Sol: α ≈ 40º.

21.- Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) (-2, 1) son los vértices de un triangulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. Sol: 33,41 y 56,19

22.- Demostrar que los puntos P (2,-2), B (-8,4), C (5,3), son los vértices de un triángulo rectángulo. Halle su perímetro.

23.-Demostrar que los puntos A (3,8); B (-11,3); y C (-8,-2) son los vértices de un triángulo isósceles.

24.- Demostrar que los puntos A (3,3); B (-3,-3); y P ( 33,33− ) son los vértices de un

triángulo equilátero.

25.- Los vértices de un triangulo son ( )3,1−A , ( )5,3B y ( )1,7 −C . Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.Sol: 94.8=AC y 47.4=DE

26.- Una recta 1l pasa por los puntos ( )2,3 y ( )6,4 −− y la otra recta 2l pasa por el punto

( )1,7− y por el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A sabiendo que 1l es

perpendicular a 2l .

Sol: 1=x

27.- Demostrar que la recta que pasa por los 2 puntos ( )5,2− y ( )1,4 es perpendicular a la que

pasa por los puntos ( )1,1− y ( )7,3 .

28.- Los puntos P (2,-4) y Q (6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Halla:a) Los otros dos vérticesb) Los ángulos del paralelogramo

29.- Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de ordenadas; otros dos vértices opuestos son B (3,1) y D (-5,-3). Halla las coordenadas de los vértices A y C, y el área del rombo.

30.- Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto ( )yxP , que pertenezca a la

recta que pasa por el punto ( )1,3 − y que tiene una pendiente igual a 4.

Sol: 0134 =−−YX

31.- Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto ( )yxP , que pertenezca a la

recta que pasa por los dos puntos ( )1,2 − y ( )3,7 .

Sol: 01354 =−− YX

32.- En cada uno de los ejercicios discútase la ecuación estudiando las intercepciones, simetría y extensión. Después trácese la grafica correspondiente.

a. 5x + 4y – 20 = 0b. 3x2 + 3y2 -10 = 0c. 16y2 – x = 0d. x3 – x – y = 0e. x2 + y2 – 2x – 2y = 14

33. En cada uno de los casos siguientes construir la curva de la ecuación dada.a. xy – 2y – 3 = 0b. xy – 3y – x = 0c. x4 – 4 x2 – y = 0d. x2 – 2xy + y2 – 6x – 6y +3 = 0e. x y2 – 9x – y – 1 = 0

34.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45o

35.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7).

36.- Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax – By + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos C (-3, 1) y D (1, 6).Sol: A= 20/19, B= 16/19

37.- Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0, 3x + 2y – 7 = 0. Sol: 80,16o

39.- Hallar la ecuación de una recta determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir sus intersecciones, son 3 y -5, respectivamente. Sol: 5x – 3y -15 = 0

40.- Hallar la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1, -3). Sol: 4x + 3y + 13 = 0

GUÍA DE EJERCICIOS DE RECTAS

1.- Hallar las ecuaciones de las rectas con las condiciones dadas:

Pendiente 3 y pasa por el punto (-2, 7). Sol: 0133 =+− yx

Pendiente -4/3 y pasa por el punto (-1, 7). Sol: 01734 =++ yx

Pasa por los puntos (-2, 6) y (3,-5). Sol: 08511 =−+ yx

Pendiente 0 y pasa por el punto (3, 8). Sol: 08 =−y

Pasa por los puntos (8,-2) y (7,-2). Sol: 02 =+y

Pendiente 0 e intersección con y igual a -5. Sol: 05 =+y

Pendiente -3 e intersección con y igual a cero. Sol: 03 =+ yx

2.- Hallar la pendiente y la intersección con Y de la recta 0172 =++ yx .

Sol:7

1

7

2 −=→−= bm

3.- Hallar ambas intersecciones de la recta 0852 =++ yx .

Sol: con 4−=x con 5

8−=y

4.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela a la recta 035 =−+ yx .

Sol: 0195 =++ yx

5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta 0432 =++ yx .

Sol: 01323 =−− yx

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (5, 7).Sol: 02985 =++ yx

7.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-5, 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (7, 0) y (-8, 1).Sol: 07815 =+− yx

8.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (6, 2) y (-1, 3).Sol: 030214 =−− yx

9.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene por extremos (1, 7) y (-3, 2).Sol: 037108 =−+ yx

10.- Use la forma de ecuación de la recta adecuada para calcular la pendiente y la ordenada en el origen. Represente su lugar geométrico.

a) 0843 =+− yx

b) 02 =+ yx

c) 2045 =+ yx

d) 73 += yxSol:

a) 24

3 =→= bm b) 02

1 =→−= bm

c) 54

5 =→−= bm d)3

7

3

1 −=→= bm

m>0

m<0

m no esta definida m = 0

Resumen de ecuaciones

Punto pendiente ( )11 xxmyy −=−

Que pasa por dos puntos ( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

Pendiente ordenada enel origen

bxmy += .

Ecuación general 0=++ CByAx

Rectas paralelas 21 mm =

Rectas perpendiculares2

121

11

mmmm

−=→−=×

Recta horizontal ky =Recta vertical kx =