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1.- Análisis del problema

En la teoría de propagación de enfermedades, muchos modelos de las que se utilizan son simplificaciones de comunidades de individuas más o menas grandes, cuyo único aspecto evolución de la enfermedad a estudiar, sin tener en cuenta otros factores como el crecimiento. En el trabajo se ha incluido un apartado extra en el que se trata distintas modelas de crecimiento de una población, con el fin de elegir uno de ellos para nuestro problema, en función de características que discutiremos en dicho apartado.

1.1- Modelos de propagación de enfermedades

La idea principal de este trabajo es estudiar distintos modelos de propagación de una enfennedad en comunidades estáticas y dinámicas. Usaremas das en particular. El primero de ellos se representará por das variables: las individuos infectados de una población, que denominaremos”y(t)", y las que no lo están y por tanto son susceptibles de enfermar, "x(t)'\ Sabemos entonces que, si todas los individuos tienen la misma probabilidad de infectarse, y existe un límite de usuarios infectados. Este límite es es la población total, a la que designaremos como "m", no siendo una variable que dependa del tiempo en este primer modelo. Podemos usar un modelo de tipo logistico, que explicaremas en el apartado 1.2 con más detalle.

&=kty(nt-y)

Donde ki es una constante de infección. Se denota con subíndice, a pesar de ser la única constante del 1er modelo, puesto que se corresponde con la constante de infección de nuestro 2o modelo. En nuestro problema, dicha constante la tenemos como valor, pero en otro caso podría ser posible hallarla mediante ajuste lineal de datos estadísticos.

La cantidad de individuos susceptibles a enfermar en cada momento se daría como

El sistema tiende a que todos las individuos se infecten y los individuas sanos desaparezcan cuando el tiempo crece indefinidamente. Dicha ecuación diferencial de primer orden tiene una solución analítica. Desarrollando la ecuación diferencial,

dv . i 2-£=k,my-k,y

Se trata de una ecuación diferencial de Bemouilli. Para resolverla, realizamos el cambio

/i 1 dy — 1 duu[,]=-y:Í=~T,

Sustituyendo, nos queda la siguiente ecuación diferencial lineal completa:

=-k1mu+k ldt

Cuya solución es del tipo:

y(‘)=-----—rm

Siendo C una constante que se ajusta conociendo un valor de y(t); en nuestro problema de valores iniciales, de y(0).

En el segundo modelo, añadimos una variable más: z(t). Esta da cuenta de los individuos que, a efectos de la enfennedad, se eliminan de la población total m (m(t) cuando la población dependa del tiempo). Esto quiere decir que hay individuos que ya no se tienen en cuenta para el desarrollo de la enfennedad porque se inmunizan, porque son aislados, porque mueren a causa de esta, etc. En definitiva, que lian pertenecido a la población total como parte del grupo y(t) y que ahora pueden encontrarse vivos o

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muertos, pero no pueden infectar ni ser infectadas.

En este modelo, suponemos que es la población de individuas saludables x(t) la que decrece a cero exponencialmente, de la fonna

x(t)=x(0)e iu,tíU{,i

Siendo x(0) las individuos sanas en t=0, ki la constante de infección que aparecía en el modelo anterior y fe la constante de recuperación, relacionada con la velocidad de crecimiento del grupo de población z(t) y que por tanto aparece en la ecuación diferencial de esta. Aunque llamemos a esta constante de "recuperación", esto no significa que las individuas z(t) están sanadas; simplemente, como lie mas comentado anteriormente, no se computan como infectados, pero pueden estar aislados en cuarentena o muertas.

La variación de z(t) depende de las individuos del grupo y(t) que halla. La ecuación diferencial mediante b cual se determina z(t) parte de considerar que la suma de todas las individuas grupas x(t), y(t), z(t) resultan el conjunto total m.

m=x{t)+y{t)+z[t)Además, el crecimiento de b pobbción z(t) depende de b cantidad de infectados y(t)

que haya, mediante b constante de recuperación anterior. De esta forma, la ecuación diferencial queda:

=k2 y=k2 (m-z — *}=k2[ m-z—x(0)e~<k,lkl*'11)

Esta es b ecuación que rige nuestro 2o modelo. A diferencia del primero, este no se puede resolver analíticamente. Por lo que no podemos comprobar los resultadas numéricas con los valores reales; pero si la aproximación numérica en el otro modelo resulta bastante acertada con el número de intervalos tomado, podríamos suponer que en este las resultados numéricos obtenidas también son fiables

Una vez que y(t) alcance aproximadamente el valor m, el crecimiento de la población z(t) será a ritmo constante. Este modelo sirve para periodas de tiempo cortos, pues vemos que el grupo de pobbción z(t) puede crecer indefinidamente, al no existir una limitación a su crecimiento.

Una corrección de este modelo seria convertir la ecuación diferenicial de z(t) en una función logística, imponiendo como limite m(t). La ecuación quedaría:

íltEl modelo, obviamente, se complicaría, y esta modificación tampoco admitiría

solución analítica. Como el problema tratará de periodos de tiempo de un mes, en el cual z(t) no alcanza un tamaño considerable con respecto a m(t), no realizaremos esta corrección sobre el modelo.

Cuando el tamaño de la población varía (m(t) es una función dependiente del tiempo), como los elementas de la población que crecen son las susceptibles a enfermar y no las infectados ni las recuperadas, hay que realizar la siguiente modificación:

^=kl(m-z-(m-y( O)}*^) y=m-z-(m-y(Estas serán las ecuaciones con las que elaboraremos el tercer modelo para nuestro

problema.

1.2 - Modelos de poblacionesA continuación, vamos a estudiar tres tipos de modelos: uno con crecimiento fijo,

otro con crecimiento variable siguiendo el coeficiente de crecimiento una ecuación de una recta, y un modelo logistico.

En el primero, se trata de un crecimiento exponencial, en el cual la varición de b población es proporcional a esta, mediante una constante de proporcionalidad o. Expresada en tanto por ciento, b ecuación diferencial de b pobbción queda:

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dP — o p dt 100

Sirve para intervalos muy pequeñas; para el crecimiento mundbl, del orden de 1 decena de añas o menas. Examinando datos tabuladas obtenidos [1], es fácil observar que la tasa de crecimiento de b población mundial varía considerablemente cuando elegimos más de 5-10 años seguidos. Parece lógico pensar que este modelo no nos servirá para nuestro problema, pero a pesar de ello lo ejecutaremos y graficaremos, con el objetivo de comprobar si esto es cierto o no.

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En el 2o modelo, se predice que el crecimiento decrecerá linealmente, desde un o, hasta un <J2, entre un tiempo ti y ti En este caso, la dependencia de o(t) con el tiempo es directamente proporcional. Su ecuación será:

Aunque se puede extender su uso más allá del área de trabajo del ltfr modelo, la dificultad asociada a este es que hemos propuesto que la tasa de crecimiento varié linealmente sabiendo la tasa de crecimiento entre das tiempos dadas. No es, por tanto, un modelo para usar en periodos muy amplios de tiempo. De hecho, el tiempo idóneo para trabajar con este modelo es en el periodo t. -1,. Esto es porque hemos propuesto que el crecimiento sigue esa recta, predicha hasta ese año. Si extendiésemos este modelo a periodas de tiempo mayores, podría ocurrir das casas, dependiendo de su pendiente. Si la pendiente es negativa, veremos que, en algún momento, la población alcanzaría su máximo, como demostraremos en las apartadas siguientes, para después decrecer cada vez más rápidamente hasta extinguirse, cosa que sabemos que no ocurre con las poblaciones reales. Si la pendiente es positiva, la población crecería más rápidamente cada vez, sin limite ninguno. Además, deberíamos conocer das puntas de esa recta, por

Año Población

Tasa de crecimiento inferanual(%)

1990 5,287,166,778 1.569

1991 5,370,142,696

1.5811992 5,455,057,

5231.513

1993 5,537,583,721

1.462

1994 5,618,516,091 1.442

1995 5,699,516,291

1.411

1996 5,779,912,412 1.361

1997 5,858,582,659 1.322

1998 5,936,039,484 1.299

1999 6,013,121,531

1.275

2000 6,089,810,661 1.261

2001 6,166,582,980 1.245

2002 6,243,351,444 1.225

2003 6,319,822,330

1.217

2004 6,396,726,866 1.201

2005 6,473,525,274 1.201

2006 6,551,256,997 1.197

2007 6,629,668,134

1.185

20086,708,1%,774 1.166

2009 6,786,381,274

1.140

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lo que debemos usar datos estadísticas o realizar un estudio más profundo sobre la población y sus características.

Por último, recurrimos al modelo de población más conocido: el logistico. Surge como un refinamiento del de crecimiento exponencial. En este, la variación de una población con respecto del tiempo es igual a la población que haya, por una constante positiva si crece hacia el infinito, o negativa si decrece hasta 0. Esto quiere decir que. cuanto más población haya, más rápido crecerá o decrecerá, pues más individuos participarán en el proceso de crecimiento o decrecimiento.

El problema del crecimiento exponencial positivo es que no hay ningún impedimento matemático para que se siga desarrollando la población; no existe un "tope". Lo que se quiere señalar es que, para periodas de tiempo muy grandes, según el modelo la población crecerá ininterrumpidamente, tendiendo al infinito cuando el tiempo también lo haga. Esto no tiene ningún sentido real, pues una población no puede crecer indefinidamente al verse limitada por el alimento del que dispone, el espacio y las depredadores que la acechan, entre otros paramétras.

No ocurre asi si la constante del crecimiento exponencial es negativa; en ese caso, la población cuando el tiempo tiende hacia infinito es 0. Aquí, población no decrece indefinidamente hacia valores negativas, sino que existe un limite con sentido físico: la extinción de esa población. El modelo de tipo exponencial negativo lo hemas utilizado en el caso del x(t) (las personas susceptibles de infectarse) en nuestro segundo modelo de infección, puesto que estarnas considerando que no se toman medidas contra la enfermedad antes de que un individuo se infecte y, por tanto, cada individuo finalmente se infectará. Como hemas dicho, cuando se infecta, puede pasar a formar parte del colectivo z(t), dentro del cual se engloban las personas que son aisladas, tratadas, que están inmunizadas o que han muerto a causa de la enfermedad.

Sin embargo, existe una forma de modelizar el hecho de que la velocidad de crecimiento de una población dependa de la cantidad de individuos por la que esté compuesta y, al mismo tiempo, que exista un limite máximo al cual pueda tender esa población al existir una cantidad finita de recursos: a esto se le llama el modelo logistico. La ecuación que uitiliza en la que se basa este fue publicada por Pierr François Verhulst en 1838, y tiene gran aplicación no solo en la propagación de enfermedades, sino también en las poblaciones biológicas y difusión de noticias a través de las redes sociales.

La ecuación que nosotros utilizaremas será del tipo:

—-SL.pl p -P)=aP(P -P) dt 100 ma‘ ' *“■

Donde el limite para la población será P«**, 2.- MetodologíaUna vez espuesto los distintos modelas, explicaremos un poco los valores con las

que simularemos los distintas modelos y la justificación de estas. Pero para tratar el problema de la difusión de la enfermedad, antes probaremos las distintas modelas poblacionales, con el fin de justificar la elección del modelo logistico.

2.1- Metodología del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la población mundial

Se prueban los distintas modelos de poblaciones. Los datas que tenemos son para poblaciones mundiales, asi que las parámetras con las que operaremas son:

a = 2000, tiempo inicial en añas b = 2050, tiempo final en añasn = 500, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso entre cada punto

calculado h = 0.1Po = 6000, habitantes en millones de habitanteso = 1.25, tasa de crecimiento para el 1er modeloai = 1.25, tasa de crecimiento inicial para el 2o modeloo» = 0.45, tasa de crecimiento final para el 2o modelocf = 5 • 1 fr6, tasa de crecimiento para el 3er modelo

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P«m\= 10000, población máxima en millones de habitantes

Para las 3 modelos, utilizaremas el método de Runge-Kutta de orden 4, por ser bastante preciso y tratarse de una sola ecuación diferencial cada vez. Destaca el hecho de que para la resolución de problemas logísticas se necesita ese valor tan pequeño de o' para que el sistema conveija, pues se ha observado que para valores mayores como 0,0004 o 0,004 el método de Runge-Kutta presentaba problemas de estabilidad. También lo hace si, para cualquiera de los modelas usados, el tamaño del paso entre un nodo y otro es menor de 0,1. Por esto, el número de intervalos que hay que tomar es:

También estudiaremos para qué fecha, con las valores que hemos impuesto, la población según el 2o modelo es máxima y empieza a decrecer. Para el momento en el que esto ocurre, ese es el valor máximo de tiempo máximo hasta al cual podríamos extrapolar nuestro modelo. Una vez que ejecutarías todos estos datas, veremos que el mejor modelo para representar la variación de la población total de nuestro problema de propagación de enfermedades es el logistico, puesto que, además de ser bastante usado en el ámbito de la biología, es eficaz a largo plazo y no es preciso un estudio profundo sobre la población a tratar.

2.2 - Metodología del problema de la propagación de enfermedadesPrimero, probaremos los das modelos de propagación para una población estática

m, y compararemos en el primero de ellos la solución aproximada con la exacta, pues he mas demastrado en el apartado anterior que su ecuación diferencial corresponde a un a ecuación de Bernouilli cuyo resultado podemos obtener analíticamente. Los parámetros, para los dos modelas, son:

a= 0, tiempo inicial en días b= 30, tiempo final en díasn = 300, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso h =0.1

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ki = 2-10'*, constante de infecciónki = 104, constante de desaparicióny0= 10‘, individuos infectados iniciales.\o = 9,9-104, individuas susceptibles de enfermar inicialesm = 10', individuos totales de la población estática, que son las mismos que las de la población total inicial del 3er modelo nw = 1.510', población máxima para el 3er modelo o* = 4 -10 . tasa de crecimiento para el 3er modelo

Para el primer caso, la solución exacta del modelo es

vi t )=----------- ---------9,9 • 10" V0*+ 10" 5

Para una población total variable, usaremos la siguiente ecuación diferencial:

Í^L=4 10"6m(1.5 10?-m)ilt

Junto con la ecuación diferencial del 3er modelo:

^=10 4(m— z—{m— 10í)e~<12i} at

La tasa de crecimiento en b ecuación diferencbl de m(t) es un orden de magnitud menor que en el usado para el crecimiento de poblaciones con el fin de que se aprecie el efecto del crecimiento en el posterior análisis de los datas.

3.- Códigos de Matlab 3.1Modelos de poblaciones El código a usar es% POBLACIONES DINAMICAS% —% 1) Si la población sigue una ecuación de crecimiento variable como en una % rectaf- inl ine<’(1.25+<0.4 5-1.25»./<2050-2000».* <t-2 000»>.*P./100* ,11', 'P ’ > ¡% 2» Si la población t iene un crecimiento f i jo de 1.25% g-inl ine < '1.2 5.* P./100' , ' t ' , 'P’>;

3» Si la población sigue un modelo logist ico - inl ine<'P.*(10000-P» *5.e-06' , ' t ' , 'P'} ;

% Parámetros de Runge-Kuttaa-2000;b-2050;P0-6000; % En mil lones de habitantes n-500;[t i ,P1]-rungekutta(f,a, b, P0,n» ;[ t2, P2 ]-rungekutta (g,a,b, P0,n> ;[ t3, P3]-rungekutta (h,a, b, P0,n» ;