2. MARCO TEORICO Y ANTECEDENTES 2.1. Perspectiva procedimental de los errores en el lgebra inicialAl principio la mayor parte de las investigaciones sobre el aprendizaje del lgebra se han enfocado en los errores de los alumnos, particularmente cuando resuelven ecuaciones, como lo muestran los trabajos de Wagner y Kieran(1989), Kieran y Filloy (1989), Cedillo (1991), Kieran (1992) entre otros. Para Medina(1998) estas investigaciones se realizan desde las perspectivas diferentes de los psiclogos cognitivos y de los didactas de las Matemticas y estn dirigidas a determinar los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje del lgebra, en los que se pueden diferenciar : los procesos cognitivos que se derivan de considerar la Aritmtica como fundamento del lgebra y los procesos especficos del pensamiento algebraico, y los intentos continuados de los investigadores de desarrollar una teora de la enseanza-aprendizaje del lgebra. Dentro de estas perspectivas conceptualistas primitivas, Bolea(2003) menciona que la mayora de las explicaciones consideran que los errores que cometen los estudiantes tienen su origen el marco de referencia aritmtico. Posteriormente los investigadores comenzaron a realizar un abordaje que se conoce como procedimental o segn Bolea perspectiva psicolingstica y proceptualista en la que se ampla el conceptualismo para incluir el lenguaje, el significado y el significante. Entre ellos, Vergnaud(1987), cuya concepcin constructivista toma en cuenta el papel del lenguaje. Consideramos que aqu tambin son importantes los aportes de Godino y Batanero (1994) que adoptan una teora pragmtica del significado. Bolea tambin hace referencia dentro de esta perspectiva procedimental a la Teora APOE (enfoque cognitivista) en la que se basa Ursini y Trigueros (1997) para definir la nocin de variable como entidad conceptual, analizando su lugar en la enseanza y las concepciones que los alumnos tienen de ellos. Las aproximaciones descriptas anteriormente, siempre trataron de dar respuesta a distintos problemas didcticos del lgebra inicial, sin embargo, Bolea considera que no cuestionan el modelo del lgebra escolar de la institucin educativa. La autora tambin cita otros aspectos que las investigaciones dentro del enfoque cognitivo no se han cuestionado y que nosotros rescatamos porque nos resultan de inters para nuestro trabajo de investigacin: "Por qu la introduccin al lgebra escolar siempre est ligada a la aritmtica? cul es la relacin entre el lenguaje funcional y el lenguaje algebraico? Por qu las frmulas que aparecen en el trabajo algebraico de Secundario no se retoman en el momento de introducir el estudio de funciones? "(Bolea,2003, p 32).2.2. Modelo 3UVEn esta investigacin, siguiendo la perspectiva procedimental de los errores en el lgebra, nos interesa focalizarnos en la nocin de variabilidad por ello consideramos los aportes de Ursini (1994) que relaciona generalizacin con variable, pero ampla el concepto de variable realizando la siguiente clasificacin : -Incgnita, cuyo valor se puede determinar con exactitud tomando en consideracin las restricciones del problema. -Nmero Generalizado, es decir, aquella que aparece en generalizaciones y en mtodos generales. Podemos afirmar que es un instrumento que se emplea para expresar una generalizacin. Tambin cuando se quiere expresar matemticamente un patrn, una regularidad o un mtodo general, se usan las variables para representar los nmeros generales involucrados. -Relacin Funcin, se presenta en una relacin de variacin conjunta con otras variables. Es decir, uno esttico y uno dinmico, entendemos por este aspecto esttico cuando se pone nfasis en la correspondencia esttica entre dos cantidades y por un aspecto dinmico cuando se ven las dos cantidades como entidades en movimiento y se percibe su comportamiento global de manera relacionable. Se deben tener en cuenta cada uno de los aspectos en los que la variable puede presentarse ya que ello favorecer la posibilidad de interpretar, en un problema dado, el significado de la variable, es decir, darse cuenta del papel que la variable juega en esa situacin; operar con y sobre el smbolo empleado para representarla; utilizarla con el fin de representar un problema de manera simblica (Ursini y Trigueros, 1997,p 1 - 17). Esto significa que los malos entendimientos que tienen los estudiantes alrededor del uso de letras en las ecuaciones contribuyen significativamente para esta dificultad. Al respecto Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) tambin consideran que la concepcin de ecuacin necesita de la nocin de variable.2.3 Enfoque Ontosemitico del Conocimiento y la Instruccin MatemticaEn Enfoque Ontosemitico (EOS) se configura a travs de tres teoras fundamentales : La Teora de los Significados sistmicos ( TSS), Teora de las funciones Semiticas ( TFS) y Teora de las Configuraciones Didcticas (TCD). En nuestro trabajo nos interesan las dos primeras.En el EOS se entiende a la comprensin como una competencia que posee el alumno, no tanto como un proceso mental. Es decir que un alumno comprende un determinado objeto matemtico cuando lo usa de manera competente en diversas prcticas. Es decir, la capacidad se traduce en la realizacin de prcticas que son evaluables pblicamente.2.3.1. Teora de los Significados sistmicos.La Teora de Significados Sistmicos de Godino y Batanero (1994) adopta una teora pragmtica del significado. Pochulu (2012, p 66) menciona que la misma "se elabor a partir de presupuestos antropolgicos y pragmatistas para el conocimiento matemtico, donde el significado de un objeto (conceptual) es entendido a travs de un sistema de prcticas (matemticas) que un sujeto (persona o institucin) pone en juego y no slo por su definicin o concepto asociado al mismo".Las representaciones juegan un importante papel en la comprensin matemtica, como se muestra en Contreras, Luque y Ordez (2004), Contreras, Font, Luque y Ordez (2001) y Font (2000). Adems, la influencia comprensin/representacin es recproca ya que, por una parte, el tipo de representacin ostensiva que se utilice incide en el tipo de comprensin generada en el alumno; por otra, el modelo de comprensin del alumno determina la clase de representacin ostensiva que se puede utilizar. En este sentido comprender el objeto matemtico, en tanto que uso competente, requiere utilizar representaciones diferentes y convertir una representacin en otra.Configuracin epistmica de los objetos matemticos: expresin algebraica y ecuacin de primer gradoAl tener en cuenta los significados de los objetos matemticos se puede realizar una configuracin epistmica. Para nuestra investigacin hemos propuesto la configuracin epistmica de dos objetos que consideramos de inters para la enseanza inicial del lgebra:

,2.3.2.Teoria de funciones semiticasLa Teora de las funciones semiticas tiene como objeto central las funciones semiticas que son definidas por Godino (2003) como correspondencias (relaciones de dependencia o funcin) entre un antecedente (expresin o significante) y un consecuente (contenido o significado), establecidas por un sujeto (persona o institucin) de acuerdo con un cierto criterio o cdigo de correspondencia. Estos cdigos pueden ser reglas (hbitos, convenios) que informan a los sujetos implicados sobre los trminos (funtivos) que se deben poner en correspondencia en las circunstancias fijadas.(p. 286)Nosotros asumimos, al igual que Godino, que cualquier objeto matemtico(ostensivo o no ostensivo) puede ser expresin o contenido Asimismo las relaciones de dependencia entre expresin y contenido pueden ser de tipo representacional (un objeto se pone en lugar de otro), o instrumental u operatoria (un objeto usa a otro u otros como instrumento).El autor mencionado tambin seala que la nocin de funcin semitica permite proponer una interpretacin del conocimiento y la comprensin de un objeto O por parte de un sujeto X (persona o institucin) en trminos de las funciones semiticas que X puede establecer, en unas circunstancias fijadas, en las que interviene el objeto O. Puesto que cada funcin semitica implica un acto de semiosis por un agente interpretante, constituye un conocimiento y hablar de conocimiento equivaldr a hablar de significado, esto es, de funcin semitica2.4 Algunas Investigaciones sobre enseanza de objetos del lgebra En Argentina podemos mencionar algunas investigaciones que nos parecen pertinentes a la temtica que queremos investigar. En la Universidad Nacional de Salta Alurralde (2007) realiz una investigacin sustentada en el marco de la Dialctica instrumento - objeto y la Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD) referida al uso de las letras en el lgebra por parte de los alumnos ingresantes en las carreras de Ingeniera. En el mismo slo se realiza una aproximacin en cuanto a las dificultades que presentaron los alumnos concluyendo que en primer lugar las mismas giran alrededor de las generalizaciones cuando deben utilizar las letras como nmeros generales, y en segundo lugar al utilizar las letras como variables en relacin funcional. Pozas (2009), de la Universidad Nacional del Comahue, realiz un estudio preliminar y exploratorio en la escuela secundaria acerca del lenguaje algebraico y resolucin de ecuaciones concluyendo que la resolucin de problemas verbales puede dar sentido al uso de smbolos del lgebra, observando que los alumnos utilizan cinco tipos de representaciones. Desde la perspectiva de las representaciones considera que sera factible efectuar un estudio aplicando un nuevo instrumento con el propsito de analizar los sistemas de representacin que utilizan los estudiantes ante determinados problemas algebraicos para disear estrategias didcticas que apunten progresivamente hacia niveles ms abstractos en el uso del simbolismo algebraico. Abrate, Font y Pochulu (2008) investigaron acerca de mtodos de resolucin de ecuaciones que emplean los alumnos y textos escolares, concluyendo que en el nivel secundario y en los textos escolares del mismo nivel generalmente se usa la transposicin de trminos, y que dicho mtodo no es inocuo para el aprendizaje de los estudiantes, aunque conlleva a dificultades que no todos logran superar. Engler, Vrancken,Hecklein, Muller (2008) realizaron un estudio sobre el pensamiento variacional en el nivel medio y superior concluyendo que los alumnos no comprenden los conceptos matemticos que involucran variacin y cambio y que como consecuencia de ello, en el aula, surgen interpretaciones que no corresponden con el conocimiento matemtico aceptado. El trabajo les permiti confirmar los resultados de numerosas investigaciones sobre el escaso e inadecuado desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en alumnos ingresantes a la universidad, sin embargo al igual que Alurralde no realizan aportes para sortear dicha problemtica.