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Prueba Integral Lapso 2010-1 175-176-177 –1/8

Elaborado por: Richard Rico. Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Matemática I (175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 – 236 – 280 – 508 –

521 – 542 – 610 – 611 – 612 – 613 Área De Matemática Fecha: 19 – 06 – 2010

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 11.

OBJ 1 PTA 1 Si α y β son las aproximaciones por defecto y por exceso con cinco cifras significativas del número 564 , 279,

entonces 2βα +

es igual a:

Justifica tu respuesta

a. 564 , 275 b. 564 , 27 c. 564 , 28 d. 564 , 270 Solución: De acuerdo a la definición de aproximaciones por defecto y por exceso y de cifras significativas dadas en las páginas 70-71 del Módulo I, tenemos que:

α = 564 , 27 y β = 564 , 28.

Entonces:

2βα +

= 2

2856427,564 ,+ =

2551128 ,

= 564 ,275

Opción correcta la a. ♦ OBJ 2 PTA 2

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.

Dadas las siguientes afirmaciones, indica en el espacio subrayado, con una V si es verdadera o con una F si es falsa.

Justifica tus respuestas.

a. Todo número real siempre es irracional _____. b. Los números racionales son expresiones decimales infinitas no periódicas _____. c. El conjunto de los números reales se obtiene de la unión entre los conjuntos de los números racionales y de

los irracionales_____.

Solución:

a. F Hay números reales que no son irracionales por ejemplo x = 5 o x =32

¿por qué?

a. F Ver página 65, del Módulo I del texto.

b. V Ver página 108, del Módulo I del texto. ♦



OBJ 3 PTA 3 El ingreso (en bolívares) obtenido en cierto negocio basado en la venta de x unidades de un producto está dado por: 4 x + 200.

¿Cuántas unidades deben venderse para que los ingresos excedan a 13 000 bolívares?

Sugerencia: Para que el ingreso exceda a 13 000 bolívares., debe cumplirse: 4 x + 200 > 13 000.

Solución:

Para que el ingreso exceda a 13 000 bolívares., debe tenerse que:

4 x + 200 > 13 000, es decir,

4 x > 12 800, o lo que es lo mismo:

x > 3 200.

Por consiguiente, deben venderse más de 3 200 unidades. ♦ OBJ 4 PTA 4 En un sistema de coordenadas representa el siguiente subconjunto de puntos del plano: { P(x , y): y > x }. Indica, además, de que tipo de subconjunto se trata: Conjunto con un número finito de puntos, curvas, regiones acotadas o regiones no acotadas en el plano.

Solución:

Para representar los puntos del plano dada por el conjunto { P(x, y): y > x }, se dibuja primero la recta de ecuación y = x, luego se ubican los y > x para obtener la región aproxima dada en la siguiente gráfica: Esta región del plano no esta acotada y además posee un número infinito de puntos. ♦

y > x

1

−1

−1 1

y = x



OBJ 5 PTA 5 Sean una funciones f, g, h: D ⊆ IR IR definidas por:

[1] 29

( )3

xf x

−=

[2] ( )

6( )4 4

xg xx+

=+

[3] ( )h x = −3x − 2

Determina el dominio de f, g y h.

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos de las tres partes.

Solución:

[1] 29

( )3

xf x

−= , Debemos tomar la parte positiva de la raíz para que sea una función.

El dominio es cuando 09 2 ≥− x , es decir que el dominio es [ ]3,3−

[2] ( )

6( )4 4

xg xx+

=+

, su dominio es IR − { −4 }

[3] ( )h x = −3x − 2, su dominio son todos los números reales. ♦

OBJ 6 PTA 6 En la figura se muestra el diagrama de barras obtenido de los datos del número de heridos recibidos en un hospital de lunes a sábado de una determinada semana.

mar

tes

sába

do

mié

rcol

es

lune

s

juev

es

vier

ne

10 15

30 25 20

40 35

Heridos recibidos en un hospital



De acuerdo a la información suministrada señala:

[1] ¿En cuántas clases se dividieron los datos? [2]¿Cuál es la clase que tiene la mayor frecuencia? ; [3] ¿Cuál su frecuencia? y [4] ¿Cuál es su porcentaje?

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente tres de las cuatro preguntas.

Solución: [1] Los datos suministrados se dividieron en seis clases correspondientes a las 6 barras del diagrama. Cada clase corresponde a un día de la semana. [2] La clase que tiene la mayor frecuencia es la del día sábado, [3] con un total de 40 heridos.

[4] El porcentaje de esta clase se calcula dividiendo el número de datos en la clase entre el número total de datos, que en nuestro caso es igual a la suma de datos en cada clase: 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 40 = 140

Así el porcentaje de esta clase es: 14040 x 100 = 0,29 x 100 = 29%. ♦

OBJ 7 PTA 7

Dadas las sucesiones de términos generales an = 54

1n3

++

y bn = 6n

343

3 −− , n ∈ N, Calcula el valor

del límite nnnbalím

∞→

Solución:

Ver página 56 del Módulo III del texto. ♦

OBJ 8 PTA 8

Calcule el valor del límite de la siguiente función: xlím→+∞

3

2 3

54 6

x xx x−+

Solución: (Ver páginas 116 y 178 del Módulo III )

3

2 3

5lim4 6x

x xx x→+∞

−+

= ( )( )

2

2

1 5lim

4 6x

x x

x x x→+∞

−

+ =

2

2

1 5lim4 6x

xx x→+∞

−+

.

Dividimos entre x2 tanto el numerador como denominador de la fracción del límite que obtuvimos y resulta:

3

2 3

5lim4 6x

x xx x→+∞

−+

=

2

2

2

2

1 5

lim4 6x

xx

x xx

→+∞

−

+ =

21 5 0 5 5lim .4 0 6 66

x

x

x→+∞

− −= = −

++ ♦



OBJ 9 PTA 9

Sea g: IR → IR la función definida por g(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−≠+

5x15x5x

,,

.

Estudie la continuidad de la función g.

Solución:

La función g es continua en todo punto x ≠ 5, porque es la ecuación de una recta. En x = 5, tenemos que:

5xlím−→

g(x) = 5x

lím−→

(x + 5) = 0.

Como g(−5) = 1, tenemos que:

5xlím−→

g(x) ≠ g(−5).

Por lo tanto g es continua en todo punto del recta, salvo en x = −5 (ver p. 136 del Módulo III). Otra manera de hacer este problema es haciendo una gráfica del función g y observando que esta no es continua en x = −5. ♦

EDUCACION, MENCION DIFICULTAD DE APRENDIZAJE Y PREESCOLAR 175

OBJ 10 PTA 10 Determine el valor de H en el siguiente triángulo:

10cm 15cm

4cm

H

Solución:

Según el Teorema de Thales, tenemos: 104

25=

H, así que H = 10 cm (Ver ejercicio 1, página 76, Módulo IV)♦



OBJ 11 PTA 11 Calcula la base b del número 62 b el cual es el doble del número 26 b . Solución: Ver respuesta al ejercicio propuesto 3.4.1.3 en la página 157, del Módulo IV (175) del texto. ♦

ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA 176

OBJ 10 PTA 10

Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos opciones.

Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si son falsos: a. En una economía de mercado, la renta disponible se distribuye en gastos de consumo y ahorro _____.

b. Si la función de consumo es de la forma: C = a + bY, al valor de la pendiente b se le conoce como Propensión Media al Consumo ____.

c. La productividad marginal de un factor F, representa el aumento en la cantidad producida, cuando este factor F se incrementa en una unidad ____.

Solución: a. V Ver página 42 y Glosario en el Módulo IV (176) del texto. b. F Ver página 45 y el Glosario en el Módulo IV (176) del texto. c. V Ver página 55 y el Glosario, Módulo IV (176) del texto. ♦

OBJ 11 PTA 11

Las utilidades vendidas de un producto durante el intervalo de tiempo [0 ; 20] sigue un comportamiento que puede representarse por la función V dada a continuación

V(x)=

[ )[ )

[ )

260 0,83760 10 8,16

62720 16, 20

t tt t

tt

⎧⎪ ∈⎪

+ ∈⎨⎪⎪ ∈⎩

a) Obtén la representación gráfica de la función V b) Determina el valor máximo de dicha ecuación c) ¿En qué momento las ventas alcanzan un valor de 2 000 unidades?

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos de las tres preguntas.

Solución: Ver página 97 del Módulo IV (176) del texto ♦



INGENIERIA, MATEMATICA Y EDUCACION MATEMATICA 177

OBJ 10 PTA 10

Utilice un triangulo rectángulo cuyos catetos son iguales y cada uno mide una unidad para “demostrar” mediante un “razonamiento” que:

22 = Nota: Recuerde que estamos en presencia de una falacia de tipo geométrico. Solución Ver el ejercicio propuesto 1.2.4.3 en la página 49 en el Módulo IV (177) del texto. ♦ OBJ 11 PTA 11

Para el logro del objetivo debes responder correctamente dos opciones

Indica con una V o una F según que la afirmación hecha se verdadera o falsa respectivamente. Dada la siguiente tabla:

AÑO POBLACION (N) Ln Nn

1961 7 578 266 2,014903

1971 10 631 166 2,360854

1981 14 913 926 2,701361

1990 18 225 635 2,901422

Y considere la función exponencial: 4,3,2,1,0,.7578266 .2768655,0.0 === neeNN nna

n

Entonces podemos afirmar que:

Justifica tu respuesta

a. El valor que se obtiene de 3N es 17389749 (para el año 1990) _____

b. El porcentaje de error que se obtiene al comparar 3N con el valor de la población mostrado en la tabla para el año 1990 es 4,58 %. _____

c. Si se considera que los porcentajes de error para los años 1961, 1971 y 1981 son respectivamente 0%, 5,97% y 11,59 %, estos errores nos indican que la fórmula no es aplicable para calcular la población en el año 1981(donde el error es grande). ____

Solución:



a. V Al hacer los cálculos tenemos:

17389749.7578266 )3(.2768655,03 == eN

b. V Al hacer los cálculos tenemos:

% error = %58,410018225635

1738974918225635=

− x (para el año 1990)

c. F Pues, el error de 11,59 % en el año 1981 no es grade (esta por debajo del 25%), de hecho es ligeramente

bajo. Además, el error calculado para año 1990 disminuye (4,58%). Por tanto, no hay suficientes evidencias para

pensar que la formula no sea aplicable al caso de estudio.

♦

FIN DEL MODELO

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