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ENSEANZA DE LA MATEMTICA EN

LA EDUCACIN SUPERIOR

CTEDRA

Ricardo Cantoral*Presentacin

La enseanza en general y la de las matemti-cas en particular son asuntos de la mayorimportancia para la sociedad contempornea.Con el paso del tiempo, las sociedades hanconformado instituciones, con la finalidad dearticular el saber cientfico y matemtico conla cultura de la sociedad, buscando propiciaren la poblacin una visin cientfica delmundo.

Este artculo presenta una interpretacin deaspectos relativos a la enseanza de la mate-mtica del nivel universitario. Se conforma detres partes principales: la primera se centra enel examen de las relaciones entre enseanzay aprendizaje de las matemticas. La segundaencara, desde una perspectiva macro, laestructura del sistema educativo nacional y elpapel que en ella desempea la enseanza dela matemtica. Por ltimo en la tercera seanalizan algunos aspectos referentes a lasrelaciones entre enseanza, texto escolares yprcticas docentes. Debemos aclarar que esteensayo no pretende ser exhaustivo en cuantoa brindar un panorama del estado que guardala enseanza de la matemtica en la educa-cin superior, aunque s aspira a brindar unaperspectiva sugerente y contempornea dealgunos aspectos tanto a los docentes dematemticas como a los interesados en elcampo de la investigacin educativa.1

Enseanza y aprendizaje de las matemticas

Este apartado se refiere al examen de las relacio-nes entre la enseanza y el aprendizaje de lasmatemticas en tanto actividades de naturalezasocial. Se centra en el estudio de los procesosdel pensamiento matemtico que se producen enel curso de una relacin didctica, es decir unarelacin que trata de aquello que el profesor sepropone ensear en matemticas y lo que enefecto los estudiantes son susceptibles de apren-der. Nuestro objetivo es explorar el sentido quetiene el desarrollo del pensamiento matemticoentre los estudiantes en el transcurso de laenseanza.

Cuando hablamos del pensamiento humano,del razonamiento, de la memoria, de la abstrac-cin o, ms ampliamente, de los procesos men-tales, dirigimos nuestra mirada hacia la sicologay el estudio de las funciones mentales. Para lossiclogos, las preguntas: cmo piensan lasgentes? cmo se desarrollan los procesos delpensamiento? o en qu medida la accin huma-na adquiere habilidad en la resolucin de ciertastareas? constituyen la fuente de reflexin yexperiencia cotidianas. De manera que el pen-samiento como una de las funciones mentalessuperiores se estudia sistemtica y cotidianamen-te en diversos escenarios profesionales.

De qu podra tratar entonces el pensamientomatemtico. Sabemos, por ejemplo, que la sico-loga se ocupa de entender cmo aprende la

*Investigador titular del

Departamento de Mate-

mtica Educativa, Centro

de Investigacin y de

Estudios Avanzados del

Instituto Politcnico Na-

cional (DME-Cinvestav,

IPN); miembro regular de

la Academia Mexicana

de Ciencias.

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gente y cmo realizan diversas tareas o cmo sedesempean en su actividad. De este modo,usaremos el trmino pensamiento matemticopara referirnos a las formas en que piensan lasgentes matemticas.

Los investigadores sobre el pensamientomatemtico se ocupan de entender cmo piensala gente un contenido especfico, que en nuestrocaso son las matemticas. Se interesan porcaracterizar o modelar los procesos de compren-sin de los conceptos y procesos matemticos.

Este inters por estudiar la sicologa del pen-samiento matemtico es relativamente nuevo,aunque podramos decir que es, sobre todo,alentador, pues con ello se abriga la esperanzade que el desarrollo de este programa de inves-tigacin mejore de manera significativa los pro-cesos educativos en matemticas en los distintosniveles de los sistemas escolares contempor-neos.

Dado que la actividad humana involucra pro-cesos de razonamiento y factores de experienciacuando se desempean cualquier clase defunciones, nos interesa que al hablar de pensa-miento matemtico nos ubiquemos en el sentidode la actividad matemtica como una formaespecial de actividad humana. De modo quedebemos interesarnos por entender las razones,los procedimientos, las explicaciones, lasescrituras o las formulaciones verbales que elalumno construye para responder a una tareamatemtica, del mismo modo que nos ocupa-mos por descifrar los mecanismos mediante loscuales la cultura y el medio contribuyen en laformacin de los pensamientos matemticos.Nos interesa entender, aun en el caso de que surespuesta a una pregunta no se corresponda connuestro conocimiento, las razones por las que supensamiento matemtico opera como lo hace.De este modo, habremos de explicar con baseen modelos mentales y didcticos, las razonespor las que persistentemente los alumnos consi-deran que 20 es 0 aunque su profesor insista enque 20=1; o bien que consideren que (a+b)2 =a2+b2 y no, como lo dicen los textos, (a+b)2 =a2+2ab+b2.

En este sentido es que nos interesa analizarlas ejecuciones de los alumnos ante tareasmatemticas, tanto simples como complejas,

como formas de entender el proceso de cons-truccin de los conceptos y procesos matemti-cos, al mismo tiempo que sabremos que en esalabor su propio pensamiento matemtico esttambin en pleno curso de constitucin.

Durante las ltimas dcadas ha surgido estaperspectiva terica para los asuntos educativos.En nuestra opinin, esta idea permite desentraarla naturaleza del conocimiento matemtico entoda actividad humana. Hace ya algn tiempo,destacados matemticos profesionales, comoHadamard, Poincar, Polya o Freudenthal, seinteresaron en explorar la sicologa del razona-miento matemtico y lo hicieron medianteestudios del tipo introspectivo, analizaron supropia actividad personal o estudiaron sistem-ticamente las producciones de jvenes escola-res. Del mismo modo, la obra de Piaget tuvo unaconsiderable influencia en el esclarecimiento delpensamiento humano, ms especficamente susestudios sobre la construccin de la nocin denmero, de las representaciones geomtricas,del razonamiento proporcional y del pensamientoprobabilstico, que han tenido una fuerte influen-cia en el entendimiento de las nociones matem-ticas.

Aunque esos hallazgos han jugado un papelfundamental en el terreno de la investigacincontempornea, la currcula matemtica y losmtodos de enseanza se han inspirado durantemucho tiempo slo en ideas que provienen de laestructura de las matemticas formales y enmtodos didcticos apoyados en la memoria y enla algoritmia, en los que con frecuencia el estu-diante se encuentra imposibilitado de percibir losvnculos que tienen los procedimientos con lasaplicaciones ms cercanas en su vida cotidiana yse priva entonces de experimentar sus propiosaprendizajes en otros escenarios distintos de losque le provee su saln de clase.

Si quisiramos describir el proceso de desa-rrollo del pensamiento matemtico tendramosque considerar que ste suele interpretarse dedistintas formas: por un lado se le entiende comouna reflexin espontnea que los matemticosrealizan sobre la naturaleza de su conocimiento ysobre la naturaleza del proceso de descubrimien-to e invencin en matemticas. Por otro lado, seentiende al pensamiento matemtico como parte

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de un ambiente cientfico en el cual los concep-tos y las tcnicas matemticas surgen y sedesarrollan en la resolucin de tareas. Por ltimouna tercera visin considera que el pensamientomatemtico se desarrolla en todos los sereshumanos en las mltiples tareas cotidianas.

Desde esta ltima perspectiva, el pensamientomatemtico no est enraizado ni en los funda-mentos de la matemtica ni en la prctica exclu-siva de los matemticos, sino que trata de todaslas formas posibles de construir ideas matemti-cas, incluidas aquellas que provienen de la vidacotidiana. Por tanto, se asume que la construc-cin del conocimiento matemtico tiene muchosniveles y profundidades; por citar un ejemplo,elijamos el concepto de volumen, el cual esformado de diferentes propiedades y diferentesrelaciones con otros conceptos matemticos.Los nios de seis a siete aos suelen ocuparsede comparar recipientes, quitarles y agregarleslquido y medir de algn modo el efecto de susacciones sobre el volumen, aunque la idea devolumen no est plenamente construida en supensamiento. En tanto que algunas propiedadestridimensionales del volumen de losparaleleppedos rectos o los prismas como porejemplo las relaciones que se pueden encontrarentre longitudes, reas y volmenes seabordan en la escuela cuando los jvenes tienenentre 15 y 16 aos; slidos de revolucin eintegrales mltiples se estudian entre los 18 y 21aos; de manera que el pensamiento matemticosobre la nocin de volumen se desarrolla a lolargo de la vida de los individuos. Por tanto, laenseanza y el aprendizaje de las matemticasen la escuela debera tomar en cuenta dichaevolucin.

De este modo habremos de entender, en unsentido moderno, que el pensamiento matemti-co incluye, por un lado, pensamiento sobretpicos matemticos y, por otro, procesos delpensamiento avanzados, como abstraccin,justificacin, visualizacin, estimacin o razona-miento mediante hiptesis. El pensamientomatemtico, entonces, debe operar sobre unared compleja de conceptos, unos avanzados yotros ms elementales. Quizs por eso losestudiantes no puedan entender lo que significa

una ecuacin diferencial al menos de queentiendan a un cierto nivel, que va ms all delslo manejo de las tcnicas asociadas, otrosconceptos matemticos, como la diferencial, laintegral, la funcin, la variable o, incluso, elnmero, y adems deben articularlos bajodiferentes contextos de representacin, comoformas grficas, ordenamientos numricos,representaciones analticas, lenguaje natural oprocesamiento icnico de la informacin.

Dado que, para un profesor, ensear es crearlas condiciones que producirn la apropiacindel conocimiento por parte de los estudiantes;para un estudiante, aprender significainvolucrarse en una actividad intelectual cuyaconsecuencia final es la disponibilidad de unconocimiento con su doble estatus de herra-mienta y de objeto; tradicionalmente se haconsiderado a la enseanza de las matemticascomo una suerte de arte que libremente quedabajo el virtuosismo del profesor. El efecto de esaenseanza sobre el aprendizaje del alumno,suele ser evaluada con relacin al buen compor-tamiento escolar del estudiante, a la aprobacin oreprobacin del curso y no se discute muchoqu ocurre con el aprendizaje, se confunde puesla acreditacin con el aprendizaje. En esta visinse supone que el aprendizaje de los alumnosdepende exclusivamente de la atencin quepresten y del seguimiento que hagan a la exposi-cin del profesor, del dominio que ste tengatanto al nivel del arte en su enseanza como al desu maestra en el tema. Esta visin, aunquedomina en las aulas escolares contemporneas,est cambiando paulatinamente y, en nuestraopinin, sus ms profundas transformaciones anestn por llegar.

Ante estas prcticas escolares que bienpodramos llamar tradicionales, hoy en cambioemergen concepciones que sealan a la activi-dad matemtica en un sentido ms amplio, segnlas cuales dicha actividad no debe restringirse alas limitaciones puramente formales pues, comotoda actividad humana, depende de una enormevariedad de restricciones de naturaleza cultural,histrica e institucional. Factores como la motiva-cin, la afectividad, la imaginacin, la comuni-cacin, los aspectos lingsticos o los de repre-

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sentacin juegan un papel fundamental en laconformacin de las ideas matemticas entrelos estudiantes.

Desde esta perspectiva, nuestra forma deaprender matemticas no puede ser reducida ala mera copia del exterior, o digamos que a suduplicado, sino ms bien es el resultado desucesivas construcciones cuyo objetivo esgarantizar el xito de nuestra actuacin ante unacierta situacin. Una implicacin educativa deeste principio consiste en reconocer que tene-mos todava mucho que aprender al analizar lospropios procesos de aprendizaje de nuestrosalumnos. Nos debe importar, por ejemplo, sabercmo los jvenes de bachillerato operan con losnmeros, cmo entienden a la pendiente de unarecta, como construyen y comparten significadosrelativos a la nocin de funcin o cmo se expli-can a s mismos la nocin de azar. Esta visinrompe con el esquema clsico de enseanza,segn el cual el maestro ensea y el alumnoaprende. Estos mtodos permiten explorar y usar,para una enseanza renovada, las formas natura-les o espontneas como los estudiantes piensanmatemticas. El papel del profesor es, en estaperspectiva, mucho ms activo, pues, a diferen-cia de lo que podra creerse, sobre l recaemucho ms la responsabilidad del diseo y lacoordinacin de las situaciones de aprendizaje.

Otra visin de aprendizaje que ms reciente-mente se est poniendo a funcionar es conocidacomo la aproximacin sociocultural del aprendi-zaje. Segn est, se considera que la mente estms all de la piel y, en esa medida, los procesosmentales humanos poseen una relacin esencialcon los escenarios culturales, histricos einstitucionales. De modo que se presenta unmarco a partir del cual es posible hablar dedistintas formas de pensar matemticas alconsiderar que el escenario modifica dichospensamientos. As encontramos en la literaturade este programa que se habla de la forma depensar durante el siglo XIX, o bien, sobre el tipode razonamiento de los estudiantes o del profe-sor en el saln de clase.

Segn Rgine Douady, destacada fundadorade la didctica de la matemtica en Francia, sabermatemticas implica dos aspectos. Por un lado, la

disponibilidad funcional de nociones y teoremasmatemticos para enfrentar problemas e interpre-tar nuevas situaciones. En este proceso, dichasnociones y teoremas tienen un estatus deherramienta en tanto que sirven para que alguienacte sobre un problema en determinado contex-to y por otra parte, tambin implica identificar a lasnociones y a los teoremas como parte de uncuerpo de conocimientos reconocidos social-mente. As se formulan definiciones, se estable-cen relaciones entre nociones mediante teore-mas y se prueban las conjeturas adquiriendoentonces el estatus de objeto. Al adquirir eseestatus, se descontextualizan y despersonalizan,lo cual permite su aprendizaje. Este proceso dedescontextualizacin y despersonalizacinparticipa en el proceso de apropiacin delconocimiento.

Para un profesor, ensear es crear de lascondiciones que producirn la apropiacin delconocimiento por parte de los estudiantes. Paraun estudiante, aprender significa involucrarse enuna actividad intelectual cuya consecuencia finales la disponibilidad de un conocimiento con sudoble estatus de herramienta y de objeto. Paraque haya aprendizaje y enseanza, es necesarioque el conocimiento sea un objeto importante,casi esencial de la interaccin entre el profesor ysus alumnos, es decir que el conocimiento seauna manifestacin importante de los juegos dela escuela.

En seguida mostramos un ejemplo interesantede tratamiento del contenido, pues ha sidoconstruido atendiendo a las formas como losestudiantes se comportan ante ciertas tareas,como aqullas relativas al tratamiento didcticodel clculo mental. Como sabemos, el clculomental es una actividad matemtica que noprecisa de la escritura y que puede desarrollarseen periodos breves del tiempo de una clase.Secuencias de cinco a diez minutos permiten alos jvenes desarrollar habilidades de pensa-miento que usaran en su formacin posterior.

De manera verbal, el profesor propone opera-ciones por realizar mientras que los estudiantesescuchan y memorizan la pregunta. Despus,stos resuelven las operaciones y comunican algrupo y al maestro su resultado. A continuacin

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el profesor les demanda una explicacin de susclculos, as favorece la discusin entres losdiferentes mtodos propuestos y busca que losestudiantes los defiendan o refuten. Ello tiene,por supuesto, una intencin didctica. Esteproceso permite a los alumnos distinguir mto-dos y seleccionar aquellos ms veloces oefectivos.

En esas actividades, los alumnos usan teore-mas como herramientas, aunque no seanconscientes de emplearlos. Por ejemplo, ante lapregunta del maestro de cunto es 11 por 11, unjoven da como respuesta una cifra menor que110. Otro alumno dice que esa respuesta nopuede ser correcta, pues 11 por 10 es 110 y el haobtenido algo menor que 110. Este argumentoexhibe el uso del teorema: si c>0 y a

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anza y los mecanismos del pensamientomatemtico. Una cuestin fundamental deimportancia contempornea consiste en adecuaruna instruccin, en el sentido ms vasto deltrmino, a las exigencias del pensamiento, delaprendizaje y de los contextos histricos, institu-cionales y culturales que requiere la actividadmatemtica. La tarea, como puede verse, noresulta simple. En una atmsfera donde laenseanza se reduce a la comunicacin deverdades eternas, resulta muy complejo plantearun rediseo sustentado en la exploracin deverdades relativas. De este intento surge unainterrogante bsica: de qu manera el conoci-miento sobre los procesos de aprendizaje dematemticas puede afectar benficamente a laenseanza?

Una razn que nos sirve para explicar lacomplejidad del conocimiento matemticoconsiste en observar que la mayora de lasnociones matemticas toman un papel dual: el deproceso y el de objeto, en funcin de la situaciny del nivel de conceptualizacin del alumno.

Por lo comn, el aprendizaje de un conceptoincluye muchas etapas que pueden desarrollarsedurante periodos muy prolongados de tiempo yque eventualmente quedan por completo fuerade un semestre escolar. Por ejemplo, se debeiniciar con el desarrollo de un proceso entrminos concretos, y en la medida en que elalumno se familiarice con los procesos, stostomaran la forma de una serie de operacionesque pueden ser desarrolladas y coordinadas ensu pensamiento, entonces el alumno habradquirido un pensamiento operacional conrespecto a ese concepto. En una etapa posterior,la imagen mental de este proceso cristalizar enuna nueva y nica entidad, digamos que en unnuevo objeto. Una vez que ste ha sido adquirido,el estudiante habr desarrollado cierta habilidadpara pensar dicha nocin, ya sea al nivel dinmi-co, como un proceso, o al nivel esttico, comoun objeto. Esto manejo dual posibilita al estudian-te pensar en trminos de posibilidades: Queocurrir si hago o no hago cierta operacin?

En esos trminos, uno de los pasos msesenciales en el aprendizaje de las matemticases el de construir objetos matemticos: es decir,

hacer de un proceso un objeto. De modo queuno de los principales objetivos del currculosera, desde esta perspectiva, desarrollar elpensamiento operacional, el pensamiento sobreun proceso, en trminos de operaciones sobreobjetos.

Dado que la matemtica trata con nmeros,variables o funciones, por citar algunos elemen-tos, todos ellos pueden ser considerados comoobjetos. Esos objetos son articulados entre smediante relaciones en que cada objeto es a suvez parte de una estructura ms amplia de obje-tos. Los procesos se componen de operacionessobre esos objetos, y transforman a los objetosmismos. Por ejemplo, toda funcin especficapuede ser considerada como un proceso queopera sobre nmeros: los transforma en otrosnmeros y despus ser considerada como unobjeto en s misma, un objeto susceptible detransformaciones mediante otro proceso que serealice sobre ella, como por ejemplo derivarla,integrarla o graficarla. Esta dualidad proceso-objeto parece estar en la base de la construccinde los conceptos matemticos.

De modo que la enseanza de las matemti-cas sacara provecho de las investigacionessobre el pensamiento matemtico y sobre lasformas en que se concibe al conocimiento mate-mtico y a su construccin, si estas fuentes epis-temolgicas son analizadas en detalle. En laenseanza usual, estos hechos suelen serdesconocidos tanto por los profesores como porlos diseadores de currculo o los autores delibros de texto, de manera que con frecuencia secorre el riesgo de perder un amplio espectro deposibilidades de enriquecer la accin didctica.

Un profesor que conozca estos asuntos podrreconocer la existencia de varias epistemologas:la del profesor, la del alumno o la del saber. Eneste momento, quiz la visin ms extendidaentre los profesores sea aquella que consiste enasumir que los conceptos matemticos son enti-dades ya elaboradas y que slo deben ser comu-nicados a sus alumnos en una enseanza pulcray libre de dificultades, olvidando que esosconceptos deben ser construidos por los estu-diantes como herramientas que pueden aplicarseen varias situaciones.

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El sistema educativo mexicano

Segn datos de la Secretara de EducacinPblica de Mxico, en el ciclo escolar que inicien septiembre del 2000 en el sistema nacional deeducacin se matricularon casi 29 millones dealumnos, distribuidos de manera que 24 millonesse encuentran en la educacin bsica; 2 millones850 mil en la educacin media y 1,833,300 en laeducacin superior. Por su parte, grosso modo,del total de los estudiantes que cursan la educa-cin superior, la mayora (94%) corresponden algrado superior, y el resto (6%) se encuentraadscrito al posgrado.

El cuadro muestra la pirmide del sistema deeducacin nacional, donde tambin se ubica laeducacin superior.

La variedad de opciones que ofrece el niveleducativo superior incluye a las universidadespblicas autnomas, universidades pblicasestatales, instituciones dependientes del Estado,instituciones privadas libres e institucionesprivadas reconocidas por la Secretara de Educa-cin Pblica, los gobiernos de los estados o losorganismos descentralizados del Estado.

La participacin del sector privado en el nivelsuperior, excluyendo a la educacin normal, esde 24%. Adems de las instituciones que ofreceneducacin superior ya descritas, existen otras,adscritas a diversas dependencias del sectorpblico, que imparten estudios especializados enreas como la militar, la naval, la agropecuaria, lade salud y la de relaciones exteriores.

EspecializacinMaestra

tecnolgicasUniversidades

Preescolar

Primaria

Secundaria

Bachilleratogeneral

Bachilleratobivalente

Profesionaltcnico

Formacinpara eltrabajo

NormalLicenciatura universitaria

Licenciatura Institutostecnolgicos

Nivel0

Nivel1

Nivel2

Nivel3

Nivel4

Nivel5

Estructura del Sistema Educativo Mexicano

Nivel6

Los niveles educativos se dan con base en la Clasificacin Internacional Normalizada de la Educacin (CINE, versin 1997).

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L L

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L

Doctorado

Nota: Mercado LaboralL

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Las ofertas profesionales de licenciatura seagrupan en seis reas, de acuerdo con criteriosestablecidos internacionalmente y que han sidoasumidos por la ANUIES: ciencias naturales yexactas; educacin y humanidades; cienciasagropecuarias; ciencias de la salud; ingeniera ytecnologa, y ciencias sociales y administrativas.

La duracin de los estudios universitarios varaentre escuelas e instituciones. Generalmente secursan en cuatro o cinco aos. La modalidadsemestral es la ms socorrida. Las escuelas yfacultades por lo comn ofertan ms de unacarrera. La calificacin acadmica del profesora-do de educacin superior en Mxico ha idomejorando poco a poco. Muchos tienen licencia-tura como nivel mximo de estudios, aunquecada vez hay ms profesores con grado demaestra y doctorado y es de esperarse que enlos siguientes diez aos esta tendencia se conso-lide plenamente.

A pesar de la diversidad de instituciones y dela amplitud temtica descrita en el apartadoanterior, la matemtica se ensea a casi la totali-dad de estudiantes en este nivel. En trminosgenerales, el conocimiento de la matemtica delbachillerato: aritmtica, lgebra, trigonometra,geometra analtica y preclculo se garantiza atodos los estudiantes universitarios. En algunoscasos, cuando cursarn una carrera con unacarga mayor de matemticas, los estudiantes delbachillerato incluyen en su formacin cursos declculo infinitesimal (clculo diferencial e inte-gral) y una introduccin a la probabilidad y laestadstica.

Durante el siglo XIX se consolid el mtodo deenseanza simultnea, que presupone que losestudiantes de una clase estudian y aprendan losmismos contenidos en los mismos tiempos, elcual se opone al de enseanza personalizada.Este cambio en la metodologa de enseanzatrajo aparejado nuevos sistemas de seleccin delalumnado y, en consecuencia, una nueva funcinpara la matemtica en la escuela: la seleccin delos alumnos.

Datos recientes muestran que de cada 100estudiantes que ingresan a la primaria slo nuevealcanzan una habilidad terminal. Esto significaque de cada 100 alumnos que ingresan a la edu-cacin primaria, 40 son excluidos por razones de

tipo socioeconmico y de seleccin acadmica.De esos 100, slo 53 ingresan a secundaria, 13son excluidos en el proceso y slo 25 pasan albachillerato, seis ingresan a escuelas para for-macin de tcnicos medios y tres van a la edu-cacin normal. De stos, slo dos devienentcnicos y otros dos sern maestros. De los 25alumnos que ingresaron al bachillerato, slonueve se inscriben en licenciatura, y de ellos,slo cinco la concluyen. En este sentido, los dosegresados de una formacin tcnica, los dosegresado de una formacin magisterial y los cin-co egresados de una licenciatura son los nueveque alcanzan una habilidad terminal.

Esta situacin es sin duda lamentable desdecualquier punto de vista, pues revela una incapa-cidad del sistema educativo de conservar en susfilas durante periodos ms prologados, a susestudiantes, y manifiesta un problema mayor deprofundas consecuencias sociales.

Por lo regular, desde una ptica tradicional,suele creerse que los sistemas educativos, y enparticular en matemticas, son, por as decirlo,neutros, pues dispensan la misma informacin en

Una radiografa del Sistema Educativo Mexicano

5Licenciados

4

9Licenciatura

2Tcnicos

2Maestros

4 10

10

1

6Tcnico medio

25Bachillerato

3Normal

53Secundaria

40

13

100Primaria

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los mismos tiempos a todos los estudiantes delpas. Sin embargo, eso parece ponerse cada vezms en entredicho segn se conocen losprofundos desequilibrios entre una regin y otrade nuestro pas y entre los distintos estratoseconmicos o las diversas configuracionestnicas. La exclusin afecta ms a los msdesfavorecidos.

Este panorama se ve agravado si se juzga apartir del papel que juega la matemtica en elsistema escolar. Se le ha conferido una suerte demecanismo natural de seleccin. Digamos que,en la educacin bsica, el conteo y el manejo delespacio fsico se acompaan de tcnicas comoel tratamiento de las fracciones. Este tema resultadifcil para la mayora de los estudiantes. En laeducacin media bsica y media superior, ellgebra es quiz el tema en que ms estudiantestienen dificultades, mientras que hacia el nivelsuperior es el clculo el que ocupa el lugar queantes tuvieron las fracciones y el lgebra. Metaf-ricamente diramos que nadie termina la secun-daria si no maneja las fracciones, ni aprueba elbachillerato si tiene problemas con el lgebra, ytampoco egresa de licenciatura si no entiende elclculo. Esto ha llevado a la comunidad deinvestigadores educativos a buscar alternativasdidcticas que permitan no seleccionar a losestudiantes sino formar a los futuros profesio-nistas, que tanto falta hacen al pas.

El caso de la formacin de los ingenieros essintomtica de lo que hemos querido decir en elprrafo anterior. Segn se observa en la figurasiguiente, un ingeniero dedica cerca de 80% deltiempo de estudio a las ciencias bsicas, a lasciencias de la ingeniera y a la ingeniera aplicada.En cada una de ellas la carga matemtica esconsiderable, y cada vez ms este conocimientoespecializado abarca carreras de otras reas deconcentracin, como las ciencias sociales, lasciencias agropecuarias y las de la salud. Algunasde las carreras de leyes incluyen ya el estudio dela matemtica en la formacin de abogados.

Este intenso proceso de matematizacin de lacurrcula se ha visto acompaado, desafortunada-mente, con carencias considerables, como nodisponer de un verdadero sistema de formacinde profesores y no contar con un programa na-cional, interinstitucional y multidisciplinar para laelaboracin de propuestas curriculares pertinen-tes en el campo de las matemticas al nivelsuperior.

Elementos para un rediseode la enseanza de la matemtica

Como una de tantas inercias que acompaan alas prcticas escolares, hemos asumido comosmbolo de bienestar acadmico el que losporcentajes de desercin y reprobacin escolarsean moderadamente pequeos, y en esamedida identificamos el progreso. Sin embargo,quienes miren de cerca las acciones de ense-anza e investigacin sabrn que es posiblepermanecer en la escuela y acreditar las asigna-turas con notas relativamente altas sin haberlasen verdad aprendido. Ahora bien, aunque elobjetivo de lograr una tasa pequea tanto en ladesercin como en la reprobacin sea deseableen todo sistema de enseanza, claramente no essuficiente, pues una vez que sta se ha alcanza-do, el nuevo y urgente reto debe centrarse en lamejora de la densidad y calidad del aprendizajede nuestros estudiantes de una manera uniforme.

Datos recientes nos permiten asegurar que losporcentajes de reprobacin en las asignaturas de,por ejemplo, clculo en alguna institucin enparticular son similares a los que pueden

15.40%

34.60%

11.50%

7.70%

30.80%

Ciencias bsicas

y matemticas

800 hrs.

Ciencias de la

ingeniera (ing.

bsica) 900 hrs.

Otros cursos

200 hrs.

Ingeniera

aplicada

400 hrs.

Ciencias

sociales y

humanidades

300 hrs.

Tiempo de estudio de un ingeniero

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alcanzarse en el sistema nacional de educacinsuperior.2 Esto se debe a que los criterios deacreditacin, aunque regulados en lo generalmediante polticas institucionales, son completa-mente arbitrarios en lo particular. De manera queun sistema de enseanza, eficiente o no, puedetener los mismos resultados de reprobacin conslo modificar sus escalas y criterios internos deevaluacin. En qu se distingue entonces lacalidad de un sistema y otro? Una posible yfrecuente respuesta seala que la diferenciaprincipal se ubica en el resultado final, es decir,en el desempeo profesional de los egresados,pues es entonces cuando los conocimientos ysaberes que dominan entran en juego.

En particular debemos desarrollar una nuevamstica en lo que respecta al trabajo docente, queno se le asuma ms como una labor inercial ysecundaria, sino como una verdadera actividadprofesional, que no cesa en su misin si no lograel aprendizaje de sus alumnos. De parte delsaber se requiere de lo que hemos llamado unrediseo del discurso matemtica escolar, osea, elaborar de nueva cuenta eso que habr deser aprendido por los alumnos. Mientras que departe del alumno se debe impulsar una actitudque favorezca el desarrollo del pensamientomatemtico avanzado. As habremos de revertiruna de las ficciones educativas, segn la cual loscursos se aprueban aunque no se aprendan.

Partimos de considerar que la labor delprofesor de matemticas debe valorarse desde laperspectiva de una actividad profesional. En estesentido, l debe participar de manera permanen-te en los procesos de perfeccionamiento profe-sional, en ellos proponemos contemplar tres ejesprincipales que pueden concebirse como unaposible respuesta a las cuestiones siguientes:cules son los conocimientos base para laenseanza del profesor de matemticas? Uncomplejo integrado de conocimientos tericos,creencias y actitudes. De qu manera un profe-sor puede aceptar como un conocimiento til elaprender a ensear, el aprender a observar pro-cesos de aprendizaje y el aprender a aprender?

De manera tradicional, la atencin de losinvestigadores se trasladaba hacia el papeldesempeado por el pensamiento del profesorcomo posible fundamento de la conducta. En los

ltimos aos las investigaciones intentan propor-cionar una nueva perspectiva desde la cual secontemple el papel del profesor durante elproceso de enseanza-aprendizaje, se centraronen analizar las caractersticas de lo que pudierafundamentar las decisiones y acciones delprofesor: el conocimiento, las creencias, lasactitudes y los valores, as como la relacin entreel conocimiento y la accin.

El nuevo marco conceptual derivado de estatraslacin en el inters de las investigacionescontemplaba al profesor como poseedor de uncuerpo de conocimientos sobre la enseanzaoriginado, en parte, en su propia experienciapersonal. Al mismo tiempo, se reconoci laposible modificacin de dicho conocimiento alinteractuar con nuevas situaciones. Desde estaperspectiva se pretenda proporcionar al docenteun nuevo estatus dentro de los proyectos deinvestigacin. La diferencia con la tradicinanterior en las investigaciones estriba en que, enesos momentos, no se pretenda normalizar laprctica desde un conocimiento proveniente delas investigaciones, sino comprender lo querealmente suceda en las aulas buscando losfundamentos, desde le punto de vista del propioprofesor, de los actos realizados.

La problemtica surge de la constatacin deun hecho didctico: nuestra enseanza no pro-duce aprendizaje. Nuestra prctica cotidiana loconstata. Nos preocupa una cierta variedad delaprendizaje que permite, a quien lo logra, transitardel conocimiento al saber, de la apropiacin delos objetos matemticos en situaciones didcti-cas simples, a su reconocimiento en situacionesno didcticas ms complejas, rompiendo as laslimitaciones del contrato didctico. Este aprendi-zaje dota a los estudiantes de recursos que lespermiten avanzar en sus cursos de especialidady, sobre todo, en su vida profesional. Es un saberque se adquiere en el mbito de la escuela perose usa en el dominio de la profesin.

La enseanza tradicional de la matemtica queen trminos generales se realiza en el sistemaeducativo, permite satisfacer los reclamos delcontrato didctico, pero no parece lograr unverdadero aprendizaje entre los alumnos.

Con frecuencia se tiene que tanto los textoscomo los programas de estudio, inmersos ambos

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en tradiciones educativas ms amplias, distin-guen incesantemente aquello que es riguroso yformal de lo que aparece como intuitivo e impre-ciso, confundiendo con ello las exigencias delcampo disciplinar con el rigorismo en su ense-anza. En este sentido, nuestras propuestasdesarrollan un conjunto de acciones que transfor-man a los propios contenidos de enseanza.

Una visin integral de nuestrapropuesta de investigacin y desarrollo

Sin duda, los problemas provenientes de laprctica educativa los que inspiran, o debieraninspirar, la gran parte de las investigaciones ennuestra disciplina: la matemtica educativa. Laresolucin de ellos es, en su mayora, el objetivofinal de los proyectos de investigacin en nuestrocampo; empero, en el momento actual y a pesardel gran cmulo de resultados empricos, no hayevidencia histrica de una metodologa exitosa nide ningn acercamiento terico que explique lanaturaleza del trnsito entre los resultados de lainvestigacin didctica y su puesta en escena enel sistema de enseanza. ste es uno de losgrandes problemas abiertos de nuestra comuni-dad, en algn sentido sealados desde la yaclebre conferencia de Hans Freudenthal enBerkeley, hasta las ltimas revisiones internacio-nales en la disciplina.3 Pero, sobre todo, es unproblema cotidiano y patente en los mbitospropios de los protagonistas del hecho educativo:estudiantes, profesores, padres, investigadores,por mencionar algunos.

Algunos acercamientos internacionales

El proceso de preparar clases de matemticaspara los estudiantes puede describirse desdevarios puntos de vista y con marcos tericosdiferentes. Tambin implica el resolver losproblemas de justificacin, posibilidad e instru-mentacin (preparacin de lo requerido parahacer posible la enseanza de un tema matemti-co, sujeto a las restricciones impuestas por lasociedad, el sistema escolar, la calificacin demaestros, etctera) del contenido matemtico,como una accin necesaria en el proceso.Resolver estos problemas involucra teora y

prctica adems de un ataque simultneo, nolineal sino, por decirlo de algn modo, en espiral.

Encontramos diversas explicaciones alproceso desde lo que la tradicin alemana llamaelementarizacin; es decir, la transformacinactiva del contenido matemtico a formas mselementales con una doble significacin: serfundamental y accesible para los grupos deestudiantes que lo reciban.4 O bien desde latradicin francesa con base en la teora de latransposicin didctica, que describe el procesoineludible y las variables que intervienen en elpaso de conocimiento cientfico a conocimientosusceptible de ser enseable y al enseadorealmente. Por ejemplo, la definicin de fun-cin presente en los textos, conocida como ladefinicin formal, se constituye como uno de losconocimientos escolares porque ser enseadoy aprendido. Su justificacin o validacin (comoconocimiento enseable) se da a partir delconsenso de la comunidad matemtica (investi-gadores y profesores) que la ha adoptado parareferenciar el concepto. Este conocimientocientfico socializado, al que Chevallard se refierecomo conocimiento erudito (acadmico), queal ser validado como conocimiento enseablegenera tradiciones educativas, dndose elfenmeno de transposicin5 en el que losfactores que determinan las sucesivas modifica-ciones que sufren los resultados cientficos hastallegar a ser conocimientos enseables atien-den a los reclamos y las ideologas de la socie-dad y la administracin del tiempo institucional, loque da lugar a la presentacin del contenidomatemtico en forma lineal y organizado encompartimentos con marcada carencia designificaciones. Ese conocimiento enseableno considera dificultades epistemolgicas nicognitivas intrnsecas; menos an las del estu-diante para acceder a l. A la luz del fenmenode la transposicin didctica de los saberes, sedesprende el carcter ilusorio de los desarrolla-dores de currculos, quienes tienden a pensarque sus decisiones son objetivas en tanto queson elecciones deliberadas, olvidando que ellosmismos son parte del fenmeno.

Tambin hay algunas revisiones puntuales delos resultados de las reformas curriculares enEstados Unidos6, dnde se hace un llamado al

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uso de acercamientos eclcticos para enfrentaresta problemtica, toda vez que la diferenciaentre las declaraciones de los estndares de laNational Council of Theachers of Mathematies(NCTM) y los resultados educativos reales esconsiderable. Mientras que unos dicen lo quedesean los otros exhiben lo que obtienen.

Otro caso interesante es el concerniente a losesfuerzos renovadores en Alemania del Este yAustria, que concluye despus de un anlisiscuidadoso de diferentes reformas en el casoparticular del clculo, en las cuales la intencinde establecer ideas fundamentales que subyaceno soportan al desarrollo curricular es en extremolimitado para incidir en los sistemas escolaresreales.7 Sus trabajos se perfilan hacia currculosms sencillos (como la preparacin de unaclase), pero con un conocimiento ms completode las interrelaciones que se dan en el hechoeducativo, como creencias, saln de clase,cognicin y metacognicin, tanto de profesorescomo de estudiantes.

El escenario descrito, se extiende hacia elterreno nacional con las especificidades queimpone nuestra propia tradicin educativa. Eneste sentido, el trabajo del rea de EducacinSuperior del Departamento de MatemticaEducativa del Centro de Investigacin y EstudiosAvanzados (Cinvestav-IPN), que parte de laproclama de una investigacin para la accin,se ha planteado desde hace algunos aos lacuestin de qu matemticas deberamosensear en la escuela, as como establecer loselementos que habran de ponerse en juego paradeterminarla, y en su momento y sta es unapregunta actual el cmo podramos llevarpertinentemente nuestros resultados al sistemade enseanza. El trmino discurso matemticoescolar describe a los saberes en el escenarioeducativo y abre la posibilidad de hacer matem-ticas para la escuela. Esta nocin, para sercoherentes con la proclama, precisa de unaaccin de rediseo que atienda fundamental-mente a los reclamos de un sistema de ensean-za masificado especfico:

Lo que debe preocuparnos, para ser coheren-

tes con nuestro punto de vista de la matemtica

como problema de comunicacin, es el

redisear el discurso matemtico en la ensean-

za de manera tal que enfrente al problema de la

masificacin y no que lo soslaye.8

Al momento las investigaciones en este sentido9

dan cuenta de la plausibilidad del rediseo enpartes y aspectos especficos del clculo y delanlisis matemtico, cubriendo componentesepistemolgicas, didcticas y cognitivas, demodo que ahora se est en condiciones de dise-ar y probar puentes que comuniquen los resul-

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tados de la investigacin con su eventual incor-poracin en los sistemas de enseanza. En estalnea se ubica una tendencia importante de lainvestigacin actual en la didctica de la mate-mtica.

La ingeniera didcticacomo una metodologa ad hoc

La ingeniera didctica constituye una metodolo-ga de investigacin que se aplica tanto a lasproductos de enseanza basados o derivados dela investigacin, como a una metodologa deinvestigacin para las experimentaciones enclase. Su sustento terico proviene de la teorade la transposicin didctica y de la teora de lassituaciones didcticas;10 de ambas se desprendela necesidad de dotar al estudio del fenmenodidctico de un acercamiento sistmico. Con laprimera se alcanza una dimensin global, en tan-to que la segunda es de carcter local. En esesentido la preparacin de matemticas paraestudiantes no es un proceso de hacer elementalel conocimiento en cualquier sitio, ni adaptarlo aun conocimiento previo y habilidades cognitivasdel estudiante. Se le percibe como una tareadidctica que requiere un mayor anlisis globalde carcter sistmico.11

El trmino ingeniera didctica surge a ini-cios de la dcada de los aos 80, en analoga alquehacer en ingeniera, en tanto que ste no slose realiza apoyndose en resultados cientficos,sino que involucra tambin una toma de decisio-nes sobre las diversas componentes implicadasen el proceso. Los fines de una ingeniera didc-tica pueden ser tanto de investigacin como deproduccin. Un aspecto relevante es el concer-niente a la validacin de resultados, que en elcaso de la investigacin descansa en un asuntointerno basada en la confrontacin entre elanlisis a priori de la situacin construida y elanlisis a posteriori de la misma situacin, bajoel principio de que la conducta del estudianteslo puede ser entendida si se relaciona con lasituacin observada; esta situacin y su potencialcognitivo deben ser caracterizados de antemanocomparando el anlisis a priori con lo observado.Esta posicin de validacin slo puede darse si

las situaciones que involucran la ingeniera sonestrictamente controladas en lo relativo a loscontenidos tratados, su puesta en escena, elpapel del profesor, la administracin del tiempo,etctera. En tanto que la validacin de una inge-niera de produccin satisface las condicionesclsicas del trabajo de ingeniera, a saber, efecti-vidad, potencia, adaptabilidad a diferentescontextos, etctera.

Esta metodologa contempla tres grandesfases: un anlisis preliminar de la situacin porabordar, involucrando la componente didctica,es decir, acerca del estado de la enseanza; lacomponente epistemolgica, en tanto da explica-cin del devenir del contenido matemtico enjuego, asi como su funcionamiento y diversasformulaciones; y la componente cognitiva de lapoblacin que va a ser sometida a la ingeniera.La segunda fase la constituyen el diseo de laingeniera y la eleccin de las variables macro ymicro didcticas que van a ponerse en juego (porejemplo, determinacin del tratamiento del con-tenido, incorporacin de estrategias de resolu-cin de problemas, uso de tecnologa, manera deconducir la clase, textos por usar, etctera). Porltimo, la puesta en escena y el anlisis deresultados.

Esta metodologa, falible por cierto, nos haparecido coherente en tanto que toma en cuentala naturaleza eminentemente social del fenme-no educativo y, por ende, su acercamientointegral, sistmico. De paso se reconoce que lainvestigacin en el aula no puede desligarse dela situacin especfica ni de los personajes queintervienen en ella, revalorizando el papel prota-gnico del profesor. Lo que no nos conduce a suadopcin global hemos de considerarla comoparte de nuestra reflexin al proponer nuestrospropios acercamientos. Por ejemplo, los nivelesescolares en Francia, en el que inciden la mayorparte de las investigaciones al respecto son elbsico y el medio. Nuestro problema se localizaen el nivel superior, en donde no existe unahomogeneidad en los objetivos de la enseanza,podemos encontrarnos tantos como institucio-nes, y dentro de ellas diferentes programas aunpara licenciaturas con el mismo nombre, slo porcitar un aspecto. En nuestro caso, el estudio di-dctico puede derivar en el anlisis de una situa-

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cin particular y, por ende, no completamentegeneralizable.

Un ejemplo, el curso de preclculo

Ya hemos sealado por qu es necesario modifi-car el curso de preclculo al inicio de los estu-dios universitarios y la problemtica alrededor deste.12 En el mbito del curso tocaremos losantecedentes de nuestra investigacin con ciertodetalle. Por razn de espacio en este escrito,resumiremos, a nuestro juicio, los elementosms significativos.

Siguiendo la tnica antes descrita, abordare-mos los resultados del anlisis preliminar denuestra investigacin distinguiendo las compo-nentes didctica, epistemolgica y cognitiva:

Estudio didctico. Tradicionalmente el cursode preclculo es un repertorio de procedimien-tos y algoritmos provenientes sobre todo dellgebra y de la geometra analtica, tocando conmayor o menor nfasis el estudio de funcin,habitualmente sobre la definicin de Dirichlet-Bourbaki. La enseanza tiende a sobrevalorar losprocedimientos analticos y la algoritmizacin,dejando de lado los argumentos visuales, por noconsiderarlos como matemticos, entre otrascausas. Es decir, la concepcin que de la mate-mtica se tenga, permea la de su enseanza,independientemente de los estudiantes a los quese dirige. A ello se ana el contrato didcticoestablecido, que como parte de la negociacinimpide que el estatus del profesor sea demeri-tado si ste no resuelve en forma satisfactoria losproblemas planteados en el curso; el recursoalgortmico permite subsanar decorosamente loestablecido en el contrato y aligera, eliminan-do dificultades subyacentes al contenido mate-mtico.

Estudio epistemolgico. La naturaleza del con-cepto de funcin es en extremo compleja, sudesarrollo se ha hecho casi a la par del humano,es decir, encontramos en la antigedad vestigiosdel uso de correspondencias, y actualmente sedebate sobre la vigencia, en el mbito de lasmatemticas, del paradigma de la funcin comoun objeto analtico. Empero, el concepto de fun-cin devino protagnico hasta que se le concibecomo una frmula, es decir hasta que se logr la

integracin entre dos dominios de representa-cin: el lgebra y la geometra. La complejidaddel concepto de funcin se refleja en las diversasconcepciones y representaciones a las que seenfrentan los estudiantes y profesores.

Una lista exhaustiva de obstculos epistemol-gicos del concepto de funcin se encuentra enSierpinska.13

Estudio cognitivo. Los objetos inmersos en elcampo conceptual del clculo (anlisis) son par-ticularmente complejos a nivel cognitivo, pues,como en el caso que nos ocupa, la funcin sepresenta como un proceso cuyos objetos son losnmeros: este mismo concepto deviene enobjeto al ser operado bajo otro proceso, como ladiferenciacin (o integracin), y as sucesivamen-te. De modo que al iniciar un curso de clculo elestudiante debe concebir a la funcin como unobjeto y por ende, susceptible de operacin; deotro modo, qu significa operar un proceso? Ennuestras experiencias con profesores y estudian-tes hemos constatado que si logran incorporarelementos visuales como parte de su actividadmatemtica al enfrentar problemas, no slo ma-nejan a la funcin como objeto sino que ademstransitan entre los contextos algebraico, geomtri-co y numrico verstilmente, es decir, si se tienedominio del contexto geomtrico tanto en laalgoritmia, en la intuicin como en la argumenta-cin, es posible el trnsito entre las diversasrepresentaciones. El problema estriba en ladificultad cognitiva para adquirir maestra en elcontexto geomtrico; por ejemplo, en el plano dela argumentacin es mucho ms fcil mostrar laexistencia de una raz doble algebraicamente quegeomtricamente, por lo que se acude confacilidad al refugio algortmico.

Los textos: una visinde las reformas y contrarreformas

El libro de texto desempea un papel prioritarioen nuestros sistemas de enseanza. Lo concebi-mos como un objeto de representaciones entorno al cual se organiza toda una estructuraimaginaria de saberes didcticos. En ella el librorepresenta, a la vez, el apoyo del saber y uninstrumento de alineacin. En este escrito pre-sentamos, de manera resumida, algunas explora-

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ciones sobre la figura de texto de clculo enmomentos de reforma y contrarreforma de lasprcticas sociales escolares; mostramos unaspecto del origen y la naturaleza de las modifi-caciones de un discurso escolar determinado, ysealamos, por ltimo, algunos quehaceresactuales que atienden a una visin sistmica enel campo de la investigacin en la enseanza dela matemtica en Latinoamrica.

Cada poca en la historia de la enseanza delclculo produce, mediante sus prcticas sociales

cotidianas, conocimiento. Al establecerlo comoun cierto paradigma temporal, forma lo quellamaremos una estructura imaginaria desaberes didcticos; en ella se condensan yprecipitan a la vez diferentes consideraciones delos ms diversos rdenes. Esta estructura semodifica abruptamente de una poca a otra yhace de su historia una epopeya ms que unsoneto. En esta historia el libro de texto juega unpapel protagnico, se constituye como un objetopluridimensional que puede juzgarse desdediferentes enfoques. Es a la vez apoyo del saberen tanto que impone una distribucin y unajerarqua de los conocimientos y contribuye aforjar los andamios intelectuales tanto de alumnoscomo de profesores; e instrumento del poder,dado que contribuye a la uniformizacin lingsti-ca de la disciplina, a la nivelacin cultural y a lapropagacin de las ideas dominantes.14

Despus del triunfo del mtodo pedaggicode la enseanza simultnea que supone quetodos los alumnos de una misma clase progresana un mismo paso y siguen, por tanto, libros idn-ticos el clculo se introdujo en la enseanzadel bachillerato a finales del siglo pasado y con lel uso sistemtico del libro de texto. Reciente-mente la enseanza del clculo ha tenido otrosdos episodios destacados: las secuelas educati-vas que produjo, en muchos pases, la reformafrancesa de la matemtica moderna, y la msreciente puesta en escena estadounidense detecnologa para la enseanza. El primero modifi-c la estructuracin terica del contenido de lostextos, mientras que el segundo parece estarmovilizando las jerarquas de su argumentacindiscursiva.15 Ambos movimientos se han origina-do por causas un tanto externas a la propiaprctica educativa. Volveremos a ello msadelante.

Reformas y contrarreformas

La enseanza del clculo se encuentra de nuevoen un cruce de caminos y, como suele ocurrir,las reformas se suceden de reformas. Describa-mos brevemente tres componentes del escena-rio actual. Por un lado, las investigaciones enenseanza de la matemtica16 han documentadoa lo largo de los ltimos 20 aos, con un acepta-

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ble rigor metodolgico, algunos de los efectos delas prcticas de enseanza sobre el aprendizajede los estudiantes. Prcticas inducidas por doscausas principales: las modificaciones debidas almovimiento de reforma de la matemtica moder-na, tanto al nivel del contenido como al de sufilosofa, y por el sbito proceso de masificacinde los sistemas de enseanza superior. En otrocostado se encuentra la cada vez ms extendidapresencia de los nuevos recursos tecnolgicosdiseados ex-professo para la enseanza escolar.Y como tercer componente vemos, en la granmayora de las propuestas actuales de cambio (lacontrarreforma), aspectos de un mismo discursomatemtico escolar17 que como una didcticanormal parafraseando a Khun no cesa deimponer a las comunidades docentes un estilodiscursivo para el clculo escolar, cuya vigenciadata de 1794. La existencia de ste tercer compo-nente es, a nuestro juicio, la ms clara expresinde la desarticulacin evidente entre las dosprimeras.

Analizaremos la figura de libro de texto y no laexistencia de la nueva tecnologa para la ense-anza. Buscamos aportar elementos para lareflexin que, como punto de partida, auxilien enlos ensayos de aproximaciones didcticas que noslo atiendan a los nuevos recursos sino queincorporen tambin en sus diseos aspectos dela realidad especfica y sistmica en la que seencuentra nuestra escuela, pues si bien elclculo es universal, su enseanza no. Losacercamientos didcticos franceses, alemanes oestadounidenses, fieles a sus propias tradiciones,son distintos entre s.18 Nuestro asunto trataentonces del escenario latinoamericano y decmo ste juega un papel en el proceso decambio de finales de siglo.

El bicentenario de unparadigma didctico: 1794-1994

En este apartado argumentamos en torno de lahiptesis que sostiene que el actual movimientode contrarreforma plantea un nuevo currculopara el clculo. Buscamos precisar en qu me-dida se logra y en cules de sus aspectos setorna notorio. Hemos elegido al texto como crisolde estudio, de modo que nuestro primer seala-

miento ser en relacin con las ideas que estruc-turan los contenidos matemticos de algunas delas diferentes propuestas de texto en este movi-miento. Nos referimos al acercamiento simult-neo y coordinado de los aspectos numricos,geomtricos y analticos eventualmente ensituaciones contextuales, y muy particularmen-te a la nocin matemtica de linealidad local. Alrespecto sostenemos que atribuir a la contrarre-forma la originalidad de dicho aporte en la ense-anza del clculo es impreciso; en todo caso,consideramos que hace de l un uso extensivo atravs de la nueva tecnologa disponible: la calcu-ladora con capacidad de graficacin y los progra-mas didcticos para el manejo de representacio-nes mltiples en la microcomputadora. Paramostrarlo elegimos una serie de tres ejemplostomados de otros tantos textos.

Con la fundacin de lEcole Polytechnique19

en Francia, se fortalece el proceso de matemati-zacin de la ingeniera, se favorece el estableci-miento de la figura profesional del matemtico yse concede la alta jerarqua de lo analtico a lamatemtica. En ese ambiente, el ao 1841 vionacer, como respuesta al programa de AugustLouis Cauchy de fundamentacin del clculo enlos aos veinte, el texto de Antoine Cournot,20

donde se manifiesta partidario de una aproxima-cin terico-empirista que retomaba algunos delos elementos propuestos por Lacroix.21 El textode Cournot reuni a aquellos dos grandestratados del siglo XVIII: Introductio analysisinfinitorum, de Euler, y Thorie des fonctionsanalytiques, de Lagrange. De donde retomacomo el objeto de estudio las funciones y lofunda sobre los principios del clculoinfinitesimal.

Cournot plantea que las funciones, ya seanmatemticas o empricas, disponen de ciertaspropiedades generales que son de importanciano slo para la teora abstracta del clculo sinoms bien para la interpretacin de fenmenosnaturales. Seala, adems, la conveniencia detratar a las funciones en sus representacionesmltiples, tablas de valores, grficas, enunciadoso frmulas algebraicas. Citemos al respectoaquella que l mismo considera la ms destaca-da de las propiedades de esas funciones, queconsiste en saber que las variaciones del valor

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que tiene una funcin22, a partir de un valordeterminado, son sensiblemente proporcionalesa las variaciones correspondientes de la variabledependiente, cuando estas variaciones son muypequeas. Comenta tambin que ya el lectorhabra visto una aplicacin muy importante deeste principio en la manera de usar las diferen-cias proporcionales anexas a las tablas delogaritmos. Con estos mismos elementos, dossiglos despus, se han estructurado algunas delas propuestas actuales como la de Tall, de laDemana, Hughes o Callahan.23

Trataremos en seguida algunos ejemplos.Respetando el calendario, iniciamos con unotomado del texto de Cournot. Considera a lafuncin algebraica f(x)=(x27x+6)/(x7) repre-sentada por las dos ramas de la curva hiperblica(ilmn, suv, en su notacin) que se separan poruna ordenada asinttica, correspondiente a laabscisa x=10. Presenta el cuadro Tratamientonumrico para apoyar su argumentacin.

La ley de proporcionalidad se verifica con unagran aproximacin en los dos casos, aunque losvalores de y varan ms rpidamente en elsegundo caso que en el primero, para crecimien-tos iguales de x. Mientras se ha hecho variar elvalor de x por grados iguales a un cntimo, lacual no es una fraccin muy pequea. Si hubira-mos puesto una serie de valores de x equidistan-tes por un milsimo, la proporcionalidad devariaciones correspondientes de y se tendra deuna manera mucho ms prxima.

Por su parte, Deborah Hughes et al. sealanque dos principios guan sus esfuerzos, el prime-ro, al que llaman the rule of three, dice que todotpico debe ser presentado geomtrica, numri-ca y algebraicamente. El segundo consiste enasumir que las definiciones formales y los proce-dimientos provienen de la investigacin de pro-blemas prcticos. Incorporan en su tratamiento eluso de la tecnologa. Veamos como ejemplo la

presentacin de la derivada de f(x)=x2. Notan quecerca de x=1, cada que el valor de x crece por0.001, el valor de x2 crece aproximadamente porun valor de 0.002. As que cerca de x=1 la grficaes aproximadamente lineal con pendiente 0.002/0.001=2, lo cual exhiben en una serie de grficas.En seguida tratan el problema de la determina-cin numrica.

Por ltimo, en el texto de James Callahan et al.se dice, respecto de su punto de vista, que elclculo puede ser para los estudiantes lo que fuepara Euler y los Bernoulli: un lenguaje y unaherramienta para explorar toda la fbrica de laciencia. Ello obedece a su consideracin de quegran parte de la fortaleza del clculo radicaprecisamente en sus conexiones con otrasciencias. Proponen un acercamiento que utilizalas tecnologas actuales y estudia a las relacionesfuncionales en el contexto de las ciencias y de lamatemtica. Veamos un ejemplo de la maneracomo opera su acercamiento. Se trata de encon-trar f(27) de f(x) = (2+x3cosx+1.5x)/(2+x2). Paraello, sealan que necesitan hacer una serie deacercamientos sobre la grfica de f en el punto(27, f(27)) = (27, 69.859043), muestran entoncesimgenes que son una rplica a escala y retocadade lo que se ver en la supercalculadora. Sealanque la razn f(27) es la pendiente de la grfica def cuando magnificamos suficientemente la grficacomo para hacerla ver como una recta. Sepreguntan sobre la necesidad de encontrar el

I pour II pour

x=1.00 y=0.00000 diffrence x=6.00 y=0.00000 diffrence

x=1.01 y=+0.00555+ 0.00555 x=6.01 y=-0.01256 -0.01256

x=1.02 y=+0.01109+ 0.00554 x=6.02 y=-0.02523 -0.01267

x=1.03 y=+0.01662+ 0.00553 x=6.03 y=-0.01278 -0.01278

... ... ... ... ... ...

Tratamiento numrico

x x2 Difference in x2 values

0.998 0.996004

0.999 0.998001 0.001997

1.000 1.000000 0.001999

1.001 1.002001 0.002001

1.002 1.004004 0.002003

x increments 0.001 all aproximately 0.002

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valor numrico de la pendiente y para ello propo-nen la siguiente tabla:

Finalmente sealan que f(27) = la pendiente dela grfica = lmy/x cuando x0.

La similitud en el tratamiento de estos ejem-plos es palpable, as como la coincidencia en lanocin que se pretende resaltar, la linealidadlocal.

Aspectos generalesde la reforma y la contrarreforma

La reforma de la matemtica moderna introdujoen los aos 60, cambios en la imagen y elfuncionamiento del clculo escolar. De estemodo, por ejemplo, en los entonces nuevoslibros de texto se produjeron cambios como elde anticipar al estudio propiamente del clculo, elde sus fundamentos, y se introdujo de maneravigorosa el uso de los cuantificadores lgicos.Empero, el cambio fundamental se manifest enla adopcin de una nueva estructura axiomticaque abarcaba por igual tanto a los nmeros realescomo a los conceptos tradicionalmente msfundamentales: funcin, lmite, derivada eintegral. El cambio de la fisonoma del contenidoy de la filosofa asociada fue entonces notorio.

Otro tipo de cambios se manifestaron encuanto a la seriacin de los cursos de clculo: seabandon el acostumbrado crecimiento gradualen el nmero de variables reales (una, dos y tresvariables) y se torn de golpe del estudio delclculo de funciones reales de una variable realal de funciones de Rn en Rm. Lo anterior cambitambin la ubicacin en la retcula escolar de loscursos de lgebra lineal y de ecuaciones diferen-ciales. Del primero se dio una introduccintemprana, entre el curso bsico de clculo y elintermedio. Mientras que al segundo se leconden a un abandono didctico sin parangnen la historia reciente de la enseanza. El clculo

se torn entonces el antecedente del anlisismatemtico clsico y ya no ms, como durante laprimera mitad del siglo, como el compaeroirremplazable de las ecuaciones diferenciales.Esta desarticulacin ahond el precipicio en eltratamiento dual de conceptos comunes al clcu-lo y a las ecuaciones diferenciales, como es elcaso de la integral, la diferencial o la continuidad.

Otro de sus efectos se manifest en el surgi-miento de una nueva estratificacin de saberessocialmente aceptada. Una especie de peyora-cin social de saberes present, por ejemplo, alas aplicaciones o a los acercamientos puramen-te simblicos (que por una razn que nunca heentendido se insiste en oponerlos a los concep-tuales), numricos o visuales como entes demenor vala. Todos recordamos las viejas (qutanto?) disputas entre aplicados o puros, formalese intuitivos. Situaciones cotidianas de nuestraescuela latinoamericana lo confirman; como estaancdota de dos estudiantes durante esos aos;uno de ellos, estudiante de ingeniera en laespecialidad de geologa y el otro de la licencia-tura en fsica y matemticas.

Ing. Empec mi curso propedutico de

matemticas para la ingeniera.

Mat. Y qu estn viendo?

Ing. Los axiomas de Peano y las propieda-

des de campo de los reales, y t?

Mat. Yo tambin.

Por su parte, la contrarreforma articula el discursode los libros de texto al desarrollo de la tecnolo-ga. Estos acercamientos modifican las tradicio-nales entidades de un texto, tales como definicio-nes, teoremas, pruebas, ejemplos o ejercicios,en la misma medida en que las tecnologasafectan las prcticas sociales. Veamos comoejemplo la definicin que aparece en Callahan dependiente de la grfica en un punto (se refieren ala pendiente de la recta tangente a la grfica en unpunto). Definicin: la pendiente de una grfica enun punto es el lmite de la pendiente vista en unmicroscopio en el punto, cuando el campo devisin se encoge hacia cero.24 O bien, enDemana se definen y distinguen los trminosgraph y the graph de una funcin en trminosdel aspecto que exhibe la componente visual de

x y y/x0.08 -2.11556615x10-2 -0.264445769

0.008 -2.17820241x10-3 -0.272275301

0.0008 -2.17882882x10-4 -0.272353602

0.00008 -2.17883489x10-5 -0.272354362

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la informacin que aparece en una pantalla decristal lquido de una supercalculadora.25

Por otra parte, aunque este proceso de modifi-cacin de la jerarqua en la presentacin de argu-mentos en los textos permite introducir, demanera temprana, temas que hasta hace pocoestaban mucho ms al interior de los textos (porejemplo, funciones trascendentes), la nocinmisma de: derivada y la de integral siguen con-servando el estilo introducido por la reformaprecedente. La integral sigue siendo la integral deRiemann y la derivada se conserva como la insi-nuada por DAlambert y definida por Cauchy,aunque sea con ms ejemplos numricos,grficos y analticos. Es decir, conservan elsignificado y la presentacin alcanzada con elacercamiento propuesto por el programabourbakista.

El envejecimiento de la palabra nuevo

Revisemos otro aspecto de las reformas, estudie-mos las tendencias en los artculos de clculo dela American Mathematical Monthly desde suaparicin en 1894 hasta 1994. Esta revista seconsagra al tratamiento de la matemtica escolary en esa medida ha tenido una influencia en lostextos de clculo estadounidenses que, enmuchos de los casos, se han usado en Latinoa-mrica. Elegimos artculos de tres periodos, entodos ellos se us la palabra nuevo en laenseanza del clculo. Iniciemos con la intro-duccin de su primer nmero (enero de 1894):

At the present time there is not Mathematical

Journal published in the US sufficiently

elementary to appeal to any [...] Most of our

existing Journals deal almost exclusively with

subjets beyond the reach of the average student

or teacher of Mathematics or at least with

subjects with which they are not familiar, and

little, if any space, is devoted to the solution of

problems [] While realizing that the solution

of problems is one of the lowest forms of

Mathematical research, and that, in general, it

has no scientific value, yet its educational value

can not be over estimated.

En los dos primeros nmeros del primer volu-men, aparece un artculo cuyo ttulo resulta atodas luces atractivo para el motivo de esteartculo: Application of the new education to thedifferential and integral calculus, de FletcherDurell.26 El autor presenta un mtodo de ense-anza de la matemtica, lo han llamado neweducation, y dice:

The student in each new advance is to begin

with the concrete object, something which he

can see and handle and perhaps make, and go

on to abstractions only for the sake of realized

advantages. Drawing is to precede formal

Geometry (Euclid) and plotting of curves is to

precede Analytical Geometry. In the course of

the discussion it was remarked that the plotting

of curves might be made a means of furnishing

the fundamental notions in the Differential and

Integral Calculus.

En seguida presenta ejemplos de su uso. Diffe-rentiation may now be provisionally defined as

the method of finding the slope of a curve by the

differential method. Tambin anota que ste seextiende de manera natural a la variable compleja.Por ltimo comenta que este nuevo mtodoconcuerda con aquel de ir de lo conocido a lodesconocido por pasos continuos. Y sobre elentendimiento de los estudiantes dice: The ideaof slope is already firmly established in the mindof the student from the study of analyticalGeometry (sic).

En 1902 se publica On limits, en donde porprimera vez aparece en ella el smbolo . En 1958,en pleno movimiento de reforma, se presenta elartculo Bringing calculus up-to-date, de M.Munroe, about the modernization of the under-graduate calculus course [...] calculus has been

in cold storage for over fifty years now. Enseguida de ste se publican una serie de artcu-los que daban cuenta de maneras ms senci-llas, ms generales para obtener la enfuncin de en el usual tratamiento de lmites ycontinuidad para diferentes funciones elementa-les. Esto se vio reflejado en los textos de enton-ces, que planteaban ejercicios y casos particula-res de distintos teoremas del clculo, parapracticar la aritmtica del , una tarea cuasi

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algortmica. En los aos 90 aparecen los nue-vos acercamientos, apoyados en lasupercalculadora.

Clculo y cognicin, la pareja ausente

El clculo es un producto cultural y no slo unacoleccin de teoremas y algoritmos. Es un frutode la actividad humana. Sobre l se han escrito,desde siglos pasados, tanto libros de texto comoensayos y artculos especializados. En torno de lse han organizado reuniones y congresosacadmicos. En la escuela contempornea seensea a los jvenes desde los 15, 16 o 17 aos.Es el antecedente indispensable de nuevas ydiversas ramas de la matemtica y de las cien-cias. A partir de l se han revisado los fundamen-tos de la matemtica y se ha articulado un grancmulo de extensiones a otras ramas del sabercontemporneo. Es una de las perlas de lahistoria del pensamiento cientfico.

Nos interesa hablar ahora del clculo y lacognicin.27 Esta mezcla entre matemticas ypsicologa slo puede tener cabida si miramos alclculo no como un producto terminado, unapieza ms de la matemtica, sino como la arenaen donde se desarrolla una actividad humana.Ello resulta til cuando estamos interesados enconocer el proceso de formacin del pensa-miento matemtico y, en esa medida, la ensean-za y el aprendizaje del clculo. Es ah dondeubicamos la figura de texto de clculo. Hace unos200 aos, Lacroix escribi:

Je confesse mon ignorance sur la manire dont

les ides de nombre et de grandeur

sacquirent; et je me borne examiner ici

comment, avec ces matriaux dj labors

par une premire instruction, empirique si lon

veut, on peut faire entrer dans des ttes de

quinze seize ans, la thorie lmentaire des

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sciences mathmatiques et les formes des

mthodes qui leur sont propres.28

Esta ignorancia declarada de Lacroix sobre losaspectos cognitivos nos recuerda uno de loselementos comunes de las dos reformas: el noincorporar sistemticamente las caractersticascognitivas de aquellos a quienes se buscaensear. Es decir, a pesar de la existencia ydisponibilidad de diversos estudios respecto delclculo, sigue prevaleciendo el tono voluntaristade quienes sostienen las nuevas propuestas.29

Por ejemplo, con insistencia se sealan lasbondades de contar con el acceso a las repre-sentaciones mltiples, y se ciegan los juicios decrtica al insinuar que con su sola introduccin enla clase los problemas del aprendizaje se resol-vern en el acto. Este desenfrenado abuso delxito anunciado lleva habitualmente a un juicioerrneo: la x es la culpable! En casi todas lasintroducciones se seala que el abuso en elacercamiento algebraico es uno de los principa-les problemas para lograr la comprensin enclculo.30

Este nfasis en la culpabilidad del abuso de laalgoritmia sugiere una supuesta incapacidad pre-tecnolgica al uso de otros acercamientos.Como no disponamos de acercamientos, nopodamos ver lo maravilloso que resulta larectitud local de las curvas que bosquejan a lasgrficas de las funciones derivables, nos pareceque es una idea falaz en dos sentidos:

La investigacin sobre cognicin reportadificultades para lograr la articulacin dediversos registros de representacin desdehace algunos aos, en donde lo visual, porejemplo, resulta complejo para muchos delos estudiantes y profesores.31

Porque el uso de la representacin simblicaalgebraica tiene bondades interesantes. Noes la malvada de la obra, y, en todo caso, susdificultades estn justo en la fuente de sufortaleza.

Un acercamiento que articula los dos seala-mientos de las crticas anteriores se est reali-zando, particular en nuestras acciones de actua-

lizacin de profesores de los ciclos medio ysuperior, desde el ao 1982. En ellas hemosensayado y adecuado un acercamiento al clculoque se basa fundamentalmente en la incorpora-cin de las componentes visual y numrica,aunndolas al manejo de representacionessimblicas flexibles para permitir acrecentar eluniverso de formas en el repertorio de recursosdel profesor.

Es necesario explorar el efecto que estaspropuestas de la contrarreforma tienen en nues-tros sistemas escolares, y no slo escuchar loscantos de sirenas que anuncian un estupendoporvenir. El enunciado ensear para conocer yconocer para ensear adquiere ahora una vigen-cia renovada despus de dos dcadas de inves-tigacin en enseanza de las matemticas sobrelos llamados temas avanzados (posalgebraicos),hoy se dispone de reportes sobre las dificultadesque los estudiantes muestran respecto de dife-rentes nociones y procesos sobre todo declculo.32 Se sabe, por ejemplo, de los problemasque los estudiantes manifiestan para establecerlos vnculos entre las diferentes representacionesde conceptos como el de funcin o el de lmite,o para interpretar de manera aislada alguna detales representaciones y manipularlas en contex-tos especficos.33 El reconocimiento de talesdificultades ha llevado a buscar una mayorprecisin de la propia nocin de aprender, y deah a las nociones de representacin. Paralela-mente, se han ensayado diferentes escenariosescolares para abordar la cuestin pedaggica decmo tratar tales dificultades en clase.34

En esta perspectiva, nos encontramos anteuna efervescencia creciente, sobre todo enEstados Unidos, del uso de recientes tecnolo-gas, pues han abierto de manera generalizada elmbito de representaciones poco tratadas en laescuela.35 Aunque en tales aproximaciones sigadominando, como en los textos de la contrarre-forma, el tono voluntarioso de quienes sostienenlas propuestas pero desatienden a los resultadosde la investigacin epistemolgica y cognitivadisponible. Este artculo procurar una explica-cin de algunos de los distintos trabajos de inves-tigacin de nuestro equipo.36 Debemos aclararque estas reflexiones no buscan descalificar laspropuestas, ni mucho menos echar en saco roto

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un esfuerzo como el que han emprendido edito-riales, asociaciones e instituciones educativas.

Los libros de texto para clculo son entidadesprotagnicas de las prcticas sociales en elambiente de la escuela. Resulta indispensableuna visin crtica de sus principios y de suspropuestas de articulacin con otros elementosdel proceso escolar, para hacer un balanceadecuado de su funcionamiento. Los dos movi-mientos de reforma que hemos estudiado secalifican por igual como nuevos y materializansus propuestas en los textos.

Hemos analizado la figura de texto escolar enmomentos de cambio, de bsqueda de alternati-vas didcticas. Hemos sealado que ste es uncondensado de las sociedades que lo producen,y en esa medida sugerimos emprender la ardualabor de elaborar materiales didcticos paranuestros alumnos atendiendo a los resultadosque la investigacin en enseanza de la matem-tica nos reporta. Empero, hoy da el texto escolarse ve acompaado, en su labor didctica, deotros medios, y su funcionalidad cambia.

Ante la falsa dicotoma no se puede pensarmatemticamente si no se cuenta con una su-percalculadora, o no se puede pensar matem-ticamente cuando se cuenta con una super-calculadora, que puede provocar en nuestrascomunidades encarnizadas batallas intelectuales(y de las otras?) sin una clara ganancia especfi-ca para nuestros sistemas de enseanza, debe-mos oponer una actitud crtica, cientfica ydemocrtica.

Estamos de nuevo ante un fenmeno de grandimensin. La contrarreforma se apoya en lagran industria de las comunicaciones mediantediferentes organismos de financiamiento de laactividad acadmica. ste es un hecho inevitabledel que habr que sacar provecho para las prc-ticas educativas. Sin embargo, dado que somosuna comunidad acostumbrada a la traduccin detextos y al uso sistemtico de propuestas que nofueron pensadas para nuestros sistemas educati-vos,37 resulta importante estudiar y manejar elproceso de una manera adecuada que coordinelos conocimientos disponibles mundialmentecon nuestras particularidades regionales. Debe-mos considerar aspectos relativos al papel de la

escuela latinoamericana, la relacin que seestablece entre el texto y el lector),38 el papel quedesempea el profesor, as como el repertorio deque dispone y la manera en la cual ellos secomportan ante el conocimiento.39 Preguntarseincluso, considerando las caractersticas desociedades con escaso nivel de manejo tecnol-gico cmo en stas se incorpora la tecnologa yqu papel juegan en ese proceso los libros detextos.

En seguida enlisto algunos hallazgos de estu-dios que se encuentran en fase de desarrollo yque estn vinculados con los textos de clculo.En un estudio realizado en la regin sur mexicanacon profesores de matemticas de bachillerato yuniversidad se obtuvieron datos como stos:

Veinte aos despus de la reforma (en unmomento en el que supuestamente elprofesor habra ya incorporado las nuevaspropuestas a su prctica), quienes se habanformado antes de la reforma, no podan leerde manera satisfactoria los nuevos libros demodo que seguan usando los textos de laprimera mitad del siglo.

Los nuevos maestros, aquellos que s habanestudiado en los nuevos textos, la mayoraconferan a la estructura sintctica un mayorrango social que a la discusin de ideas oconceptos, de modo que podramos decirque saban poco clculo.

La visualizacin es una actividad complejaque lograban despus de trabajo intensosobre el tpico, de hecho quienes pidierondominarla saban ya los otros acercamientos.

Un estudio ms reciente sobre la incorporacinde la tecnologa en el aula nos ha reportado que:

El primer uso que se hace del instrumentoest subordinado a las prcticas precedentes.

La tendencia entre la mayora de los profeso-res es que sta es til para una etapa poste-rior al aprendizaje, no para la accin deaprender. Sus conocimientos didcticos sehan visto inmutables, siguen creyendo que laintegral de Riemann es la integral y que ellmite es esencial para aprender clculo.

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Otro estudio sobre la manera en la que losprofesores llevan la informacin de los textos alos apuntes de sus alumnos muestra que son unacopia malhecha del libro y que el texto se usacon flexibilidad slo en sus aspectos algortmi-cos. Otro estudio con auxilio de tecnologamuestra a un profesor que utiliza sus conoci-mientos analticos dominantes y, en cambio unestudiante avanzado, adicto a intuiciones y des-cripciones corporales; no as otros estudiantes.Proponemos entonces estudiar el efecto de losnuevos cambios en nuestros sistemas deenseanza y desde ah trabajar en el diseo depropuestas propias que, obvio es decirlo, sinignorarlos se nutran de sus posibilidades.

Mediante una traduccin de la lengua deorigen (no siempre de las unidades empleadas nidel contexto de que se sirve como la tradicio-nal altura con h) hemos enfrentado el arduocamino de preparar materiales para los alumnos.Los textos de clculo no son la excepcin, losencontramos en un sinnmero de presentacio-nes y orgenes. No hacemos un llamado aquemar textos extranjeros ni a cerrar las puertas alos nuevos, sino ms bien sealamos la necesi-dad de iniciar proyectos para la elaboracin demateriales didcticos que tomen en cuenta a losactores directos de la accin educativa, atendien-do incluso las grandes diferencias regionales quesuelen presentarse en nuestros ambientes deenseanza. Nuestros estudiantes y profesores noson sujetos asociales, ahistricos ni pertenecen asociedades homogneas. Todo ello merece denuestra parte un esfuerzo mayor y ms profundo.

Notas

1. Las fuentes principales de este artculo son: Alans,Juan Antonio. Estudio para el rediseo del discursodidctico del clculo en las escuelas de Ingeniera.Instalacin y desarrollo de un lenguaje variacional.Disertacin doctoral indita, Cinvestav del IPN,Mxico, 1996; Alans, Juan Antonio, Ricardo Cantoralet al. Desarrollo del pensamiento matemtico.Trillas, Mxico, 2000; y Cantoral, Ricardo Los textosde clculo: una visin de las reformas ycontrarreformas, Revista EMA: Investigacin einnovacin en Educacin Matemtica, 1997, vol.2,nm.2 pp.115 131, y diversos informes de laSecretara de Educacin Publica (SEP).

2. La educacin superior en Mxico, (serie Temas deHoy en la Educacin Contempornea, 1) ANUIES 1994.

3. Biehler Rolf et al. (eds.). Didactics of Mathematicsas a scientific discipline. Kluwer Academic Press,1994; Johsua, Samuel y Josip Dupin. Introduction ladidactique des sciences et des mathmatiques,Presses Universitaires de France. 1993 ; y Nesher,Perla y Jeremy Kilpatrick. (eds.). Mathematics andcognition: a research synthesis by the InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education,Cambridge University Press, 2001.

4. Biehler, op. cit.,p.11.5. Chevallard, Yves. La transposition didactique, La

pense Sauvage Editions, 1991.6. Fey, James. Eclectic approaches to elementarization:

cases of curriculum construction in the UnitedStates, en Rolf Biehler et al. (eds.), Didactics ofMathematics as a scientific discipline, KluwerAcademic Publishers, 1994, pp.15-26.

7. Tietze, U. Mathematical curricula and the underlyinggoals, en Rolf Biehler et al. (eds.), Didactics ofmathematics as a scientific discipline, KluwerAcademic Publishers, 1994, pp.41-53.

8. Imaz, Carlos. Qu es la matemtica educativa?,Memorias de la Reunin Centroamrica y delCaribe sobre Formacin de Profesores e Investiga-cin en Matemtica Educativa, 1987, vol.1, nm.1,pp.267-272.

9. Cantoral, Ricardo. (ed.). El futuro del clculoinfinitesimal, Grupo Editorial Iberoamrica, 2000;Cantoral, Ricardo. Desequilibrio y equilibracin.Categoras relativas a la apropiacin de una basede significaciones propia del pensamiento fsicopara conceptos y procesos matemticos de la teoraelemental de las funciones analticas, disertacindoctoral indita, Cinvestav IPN, 1990; y Farfn, RosaMara. Ingeniera didctica. Un estudio de lavariacin y el cambio, Grupo Editorial Iberoamrica,1997; Miranda, Eduardo. El entendimiento de latransformada de Laplace: el caso de una descompo-sicin gentica, disertacin doctoral indita,Cinvestav-IPN, 2001; Mirn, Hugo. Naturaleza yposibilidades de aprendizaje en un ambiente tecno-lgico: una exploracin de las relaciones f fen el bachillerato interactuando con calculadorasgrficas, disertacin doctoral indita, Cinvestav-IPN,2000; Pulido, Ricardo. Un estudio terico de laarticulacin del saber matemtico en el discursoescolar, disertacin doctoral indita, Cinvestav-IPN,1998; y Salat, Ramn. Elaboracin, prueba y anlisisde un modelo infinitesimal del clculo, disertacindoctoral indita, Cinvestav-IPN, 1993.

10. La teora de situaciones didcticas introducida porGuy Brousseau (Brousseau, Guy Fondements etmthodes de la didactique des mathmatiques,Recherches en didactique des mathmatiques, 1986,vol.7, nm.2, pp.33-115). Basada en una aproximacinconstructivista, opera bajo el principio de que elconocimiento se construye a travs de la adaptacina un ambiente que, al menos en parte, aparece pro-blemtico al sujeto. Provee de una teora para el con-trol de situaciones de enseanza en su relacin conla produccin matemtica del conocimiento. Lossistemas didcticos considerados distinguen tres

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componentes mutuamente interrelacionados, asaber, el maestro, el estudiante y el conocimiento.

11.Artigue, Michle. Ingnierie didactique,Recherches en didactique des mathmatiques,1990,vol.9, nm.3, pp.281-308.

12. Farfn, Rosa Mara. El curso de preclculo: unenfoque grfico, Memorias de la ReuninCentroamrica y del Caribe sobre Formacin deProfesores e Investigacin en Matemtica Educati-va, 1991, vol.5, nm.1, pp.206-211.

13. Sierpinska, Ana. On understanding the notion offunction, The concept of Function: aspects ofEpistemology and Pedagogy, Dubinsky & Harel(eds.), MAA, notes 25, 1992, pp.23-58.

14. Choppin, Alain. Lhistoire des manuels scolaires:une approche globale, Histoire de lducation, 1980,vol.9, nm.4, pp.1-25.

15. Al primero le llamaremos reforma y al segundo,slo por cuestin de calendario, contrarreforma.

16. Usamos el trmino enseanza de la matemticacomo unificador, en este escrito, de diversostrminos regionales, como educacin matemticaen la tradicin anglosajona, matemtica educativaen Mxico, Panam y Guatemala, didctica de lamatemtica usado tanto en Francia como enAlemania y Espaa.

17. Este trmino fue introducido en la literatura por elprofesor Carlos Imaz (1987) y ha sido desarrollado envarios trabajos con una caracterizacin implcita.

18. Vase Rolf Biehler et al., Op.cit.19. Recurdese que la Politcnica es una escuela de

poder que se dedica a la formacin de ingenierosde lite con un vasto soporte analtico en el que lamatemtica desempea un papel fundamental.

20. El deca cette rigueur extrme, si recherchemaintenant de quelques personnes.

21. Lacroix, Sylvestter. Trait du calcul diffrentiel et ducalcul intgral, 1797.

22. Est usando la palabra funcin para describir,propiamente, a sus imgenes.

23. Callahan, James et al. Calculus in context, W. H.Freeman & Co., 1993; Hughes, Deborah et al.Calculus, John Wiley & Sons, Inc., 1992; y Tall, Davidet al. Graphics calculus I, II, III, (BBC compatiblesoftware), Glentop Press, 1986.

24.Callahan, James et al., Op. cit.25.Demana, Franklyn y Bert Waits. Calculus, Addison-

Wesley, 1992.26. Este escrito fue presentado a la sociedad matemtica

de Nueva York unos meses antes, por lo que lapublicacin nos hace suponer un cierto inters de lacomunidad ante el tema tratado.

27. Cantoral, Ricardo. Hacia una didctica del clculobasada en la cognicin, Memorias de la ReuninCentroamrica y del Caribe sobre Formacin deProfesores e Investigacin en Matemtica Educati-va, 1993, vol.7, nm.1, pp.397-410; y Este escrito fuepresentado a la sociedad matemtica de Nueva Yorkunos meses antes, por lo que la publicacin noshace suponer un cierto inters de la comunidad anteel tema tratado.

28. Lacroix, Sylvester. Essai sur lenseignement engnral et sur celui des mathmatiques enparticulier, 1805.

29.Recurdese aquella propuesta de Laplace: Prfrezdans lenseignement les mthodes gnrales,attachez-vous les prsenter de la manire la plussimple, et vous verrez en mme temps quelles sontpresque toujours les plus faciles (Journal dessances de lcole normal).

30. Steen, Leen. (ed.). Calculus for a new century; apump, not a filter, MAA, notes 8, 1987.

31. Ocampo, Juan. La dimensin grfica de los concep-tos de lmite y derivada, Memorias de la ReuninCentroamrica y del Caribe sobre Formacin deProfesores e Investigacin en Matemtica Educati-va, 1992, vol.6, nm.1, pp.82-87.

32. Tall, David (ed.). Advanced mathematical thinking,Kluwer Academic Publishers, 1991.

33. Mamona, Joanna. Calculus-Analysis: A review ofrecent educational research, Memorias delSimposio Internacional de Investigacin en Educa-cin Matemtica, 1990, vol.2, nm.1, pp.11-36.

34. Cantoral, Ricardo. Acerca de la intuicin del rigor.Notas para una reflexin didctica, Memorias de laReunin Centroamrica y del Caribe sobre Forma-cin de Profesores e Investigacin en MatemticaEducativa, 1992, vol.6, nm.1, pp.24-29.

35. Fey, James (ed.). Calculators in Mathematicseducation, NCTM, 1992.

36. Grupo de investigacin del rea de EducacinSuperior del Departamento de Matemtica Educativadel Cinvestav-IPN en Mxico, D. F.

37. Basta con analizar los indicativos internacionalescomo Rapport mondial sur lducation 1993UNESCO y confrontarlos con la propia realidad denuestros diversos sistemas educativos para ubicarlas diferencias con aquellas otras regiones para lascuales fueron originalmente elaboradas las pro-puestas.

38. Codocedo, Teresa. Acerca de un curso tradicionalde clculo diferencial en ingeniera, Memorias dela Reunin Centroamrica y del Caribe sobreFormacin de Profesores e Investigacin enMatemtica Educativa, 1991, vol.6, nm.1, pp.189-193 ; y Hidalgo, Javier. La lectura, un recursoolvidado en la enseanza aprendizaje de la matemti-ca, Memorias de la Reunin Centroamrica y delCaribe sobre Formacin de Profesores e Investiga-cin en Matemtica Educativa. 1992, vol.6, nm.2,pp.153-158.

39. Ocampo, Juan. Op. cit.

Otras referencias

Cantoral, Ricardo. Un problema de la educacin mate-mtica: la formacin de profesores, Cuadernos delSeminario de Caf y Matemticas, Facultad de Cien-cias-UNAM, 1989, vol.5, nm.1, pp.20-33.

Cauchy, August Louis. Cours danalyse de lEcole RoyalPolytechnique, 1821.

Cordero, Francisco. Cognicin de la integral y la cons-truccin de sus significados. Un estudio del discursomatemtico escolar disertacin doctoral indita,Cinvestav-IPN, 1994.

Cournot, Antoine. Trait lmentaire de la thorie desfonctions et du calcul infinitsimal, 1841.