1A SERIE de EJERCICIOS Ecuaciones Diferenciales
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Serie de ejercicios Ecuaciones diferenciales
1.-Clasifique las siguientes ecuaciones:
1)dydx
+x2y =xex
Orden.-1º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-Si
2) ∂2u∂ x2
+ ∂2u∂ y2
=0
Orden.-2º Grado.-1º Homogénea.-Si Ordinaria.-NoLinealidad.-Si
3)( ym+1¿− (2 y n)+3xy=0
Orden.-3º Grado.-2º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-No
4)d2 yd x2
+sen ( x+ y )=sen x
Orden.-2º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-Si
5) yy´+2y =1+x2
Orden.-1º Grado.-1º Homogénea.-NoOrdinaria.-SiLinealidad.-No
2.-Verifique la satisfacción de las siguientes ecuaciones:
16) 4y´+4y=32 ∴ y=8 2y´=0
4(0)+4(8)=32 y´=02=0
32=32
17) y´´-3y+2y=2x+1 ∴ y=C1ex+C2e2 x+x+2
(C1ex+4C2e2x)-3(C1ex+2C2e2x+1)+2(C1ex+C2e2x+x+2)=2x+1 y´=C1ex+2C2 e2x+1
C1ex+4C2e2x-3C1ex-6C2e2x-3+2C1ex+2C2e2x+2x+4=2x+1 y´´=C1ex+4C2 e2x
2x+1=2x+1
18) y´+y=x+1 ∴f(x)=x+3e− x
(1-3e− x)+(x+3e− x)=x+1 f(x)´=1-3e− x
1-3e− x+x+3e− x=x+1
x+1=x+1
19) xy´=2y ∴ f(x)=2x2
X(4x)=2(2x2¿ y=2x2
4x2=4x2 y´=4x
20) dydt
+20y=24 ∴y=65−65
e−20 t
24e−20+20(65−65
e−20 t)=24
dy ´dt
=24e−20 t
24e−20 t+24-24e−20 t=24
24=24
3.- Resuelva separando variables
31) x seny dx+(x2+1)cosy dy= 0 X seny dx= -(x2+1)cosy dy
x dx
(x2+1) = -
cosy dyseny
12∫
2 x dx
(x2+1) = - ∫ cosy dy
seny
12
ln(x2+1)+C= - Ln(seny)
e ln ¿¿= e−ln (seny)
¿= - seny
Y= Sen-1- C√ x2+1
32) 4xy dx + (x2+1) dy= 0
4xy dx= -(x2+1) dy
2∫ 4 xdx
(2x2+1) = -∫ dy
y
2Ln (2x2+1) = -Ln y
(2x2+1)2= - y
Y= -(2x2+1)2
33) ( x - 4 ) y4dx−x3 ( y2−3 ) dy = 0
( x – 4)y4dx = x3( y2-3) dy
∫ x−4dxx3
=∫ y2−3dyy4
∫ x dx
x3−4∫ dx
x3 = ∫ y2dy
y4−3∫ dy
y 4
∫ dx
x2−4∫ dx
x3=∫ dy
y2−3∫ dy
y4
∫ x−2dx−4∫ x−3dx=∫ y−2dy−3∫ y−4dy
x−1
−1−4 x−2
−2= y−1
−1−3 y−3
−3
34) y´=y cosx
1+2 y2
dy1+2 y2
y=dx Cosx
∫ dy 1+2 y2
y=∫dx Cosx
∫ dyy
+2∫ ydy=∫dx cos
Ln y + y2=¿ sen x +C y2=¿Sen x+ C-ln y Y = √senx+c−lny
1
−x+ 2
x2− 1
y3=−1
y
y= 1
1x−2
x2+1
y3
35) dydx
=(1+ y2)
(1+x2 ) xy
dy (1+x2¿ xy=dx¿)
∫ ydy
(1+ y2)=¿∫ dx
(1+x2) x¿
12∫
2 y dy
(1+ y2)=∫ dx
(1+x2)∫ dx
x
12ln y= (arc tanx+C ) ln x
y12=x (arc tanx+C)
y=(x arc tanx+C)2
4.- Resuelva las ecuaciones homogéneas.
1.- u =yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
2.- v = xy
→ x=vy → dx=vdy+ ydv
48) 2ydx-xdy=0 1.- u =yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
2y dx – x dy=0
2 (ux) dx- x (udx+xdu)=0 Lnx = Lnu
2ux dx- xudx - x2du Lnu = Lnx + C
ux dx - x2du=0 U= Cx
ux dx= x2du 1…yx=cx
∫ xdx
x2=∫ du
u 2… y = x2 c
49.- dydx
= yx+ x
y1.- u =
yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
udx+xdu
dx=ux
x+ x
ux
udx+xdudx
=u2 x+ xux
dx(u2 x+x ¿=ux(udx+xdu) 2Lnx = u2
u2 xdx+xdx=u2 xdx+u x2du Lnx2=u2
u2 xdx+xdx−u2 xdx−ux2du √u2=√ ln x2
xdx-u x2du 1… u= √ ln x2
x dx= u x2du 2… y = x√ ln x2 +C
∫ x dx
x2=∫udu
Lnx= u2
2
50.- dydx
= y+xx
1.- u =yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
dy(x) = dx (y+x)
(udx + xdu)(x)= dx (ux+x) 1… u = ln x
xudx + x2du=¿ dxux + xdx yx=Lnx
x2du = xdx 2… y = Lnx2+C
du = xdx
x2
∫ du=∫ dxx
51.- (x3+ y3¿ dx−3 x y2dy = 0 1.- u =yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
(x3+(xu)¿3)dx -3x(xu)2(udx + xdu)
x3+x3u3dx-(3x3u2)udx+ xdu
x3-2x3u3dx = 3x4u2du Lnx−13 =Lnu
x3−2x3dx3 x 4
=u2duu3 x
−13 = u
∫−x3dx3x 4
= ∫ duu
1… u = x−13 + c
-∫ x3dx3x4
=∫ duu
YX
=x−13 +c
-13∫
dxx
=∫ duu
2… Y =x23+ C
-13
Lnx = Lnu
52.- dydx
= x2+3 y2
2 xy1.- u =
yx
→ y=ux→ dy=udx+xdu
udx+xdu
dx=x2+3¿¿
dx(x2+x2u2) = udx + xdu( 2 x2u) 1... ex+x=u
x2dx + 3 x2u2dx = 2 x2u2dx+ 2x3uduyx=ex
+x
x2dx+3 x2u2dx-2 x2u2dx= 2x3udu 2… y= ex+x2+c
x3dx+ x2u2dx=2x3udu
∫ x3+ x2dxx3
= ∫ 2u du
u2
∫ x3
x3dx+∫ x2
x3dx=¿∫ 2u du
u2¿
ex+x=u
53.- dydx
= x+3 yx− y
udx+xdu
dx=
x+3(xu)x−(xu)
dx (x+3xu)=(x-xu)(udx+xdu) Lnx + lnx + lnx =-1u
– Lnu
xdx+3xudu = xudx+x2du-xu2dx-x2udu 3Lnx=-1u
– Lnu
xdx+2xudx = x2du-xu2dx-x2udu X3= e−1u -u
xdx-2xudx+xu2dx = x2du-x2udu 1… u= x+ e1u
xdx+u (2xdx+xudx) = x2( du-udu) yx=x+e
1yx
xdx+2xdx+xudx
x2=du−udu
u2 2… y= x (x+e
xy ¿
∫ xdx
x2+∫ 2 xdx
x2+∫ xdx
x2=∫ du
u2−∫ udu
u2
54.- xdy - ydx-√ x2− y2dx =0
Xdy-ydx= √ x2− y2dx u = x –x
X( udx+xdu) – (ux)dx= √ x2-√(ux )2 dx 1… u = 0
xudx + x2du – uxdx = x – uxdxyx=0
x2du = x – uxdx 2… y = x
duu
= x−xdx
x2
∫ duu
=∫ dxx
−∫ xdx
x2
Lnu = Lnx – Lnx
5.-Encuentre las flechas máximas de los siguientes elementos
Ma+Pl= 0 ∑Fy=0
Ma=PL Ra-P=0 Ra=P
M(x)=-Pl+Px
d2 yd x2
= 1EI
(−Pl+Px )
∫ d2 yd x2
=¿ 1EI
∫ (−Pl+Px ) dx¿
Θ= dydx
= 1EI (−Plx+ p x2
2+C1)
∫ dydx
=¿ 1EI
¿¿
Y= 1EI
(−Pl x2
2+ P x3
6+C1 x+C2) ∴C2=0 ∴C1=0
6.- Resuelvas las ecuaciones exactas:
75.- (3x2+1)+(3y2+1) y´=0
(3x2+1) dx + (3y2+1) dy= 0 ∫ g ´ ( x ) dx=∫(3 x2+1)dx
∫ (3 y2+1 ) dy=3∫ y2dy−∫ dy g(x) =x3 + x
y 3 + y +g(x) = C 1… y3 + y + x3 + x= C
d ¿¿
g´(x)= (3x2+1)dx
76.- x2y3dx + x3y2dy = 0
d (x2 y3)dy
= 3x2y2 ∫ h´ ( y )=∫ dy
d (x3 y2)dx
= 3x2y2 h(y)= y
∫ x2 y3= y3∫ x2dx = x3
3y3+h(y) 1… x3
3y3+ y=C
d ( x3
3y3+h ( y ))
dy=¿
x 3 y 2 +h´(y)
x3y2+h´(y) = x3y2 dy
77.- 2xydx + (1+x2)dy = 0
d (2 xy)
dy= 2x ∫ h´ ( y )dy= ∫ dy
d (1+x2)dx
= 2x h(y) = y
∫2 xydx= y∫2 xdx= x2y +h(y) 1… x2y + y = C
d (x2 y+h ( y ))dy
= x2+h´(y)
X2+h´(y)= (1+x2)dy
78.- x3y4dx + x4y3dy = 0
d (x3 y 4)dy
= 4x3y3
d (x4 y3)dx
= 4x3y3
∫a
x
x3 y4dx+∫b
y
x4 y3dy 1… x4 y4
4 + x4 y4
4 = a
4− y4
4 + b4 x4
4
y4 [ x4
4 ]x-a +x4[ y 4
4 ]y-b ↑ K
y4[ x4
4−a4
4 ]+x4[ y 4
4−b4
4 ]=¿
x4 y4
4−a4− y4
4+ x4 y4
4−b4 x4
4=
79.- (3e3x y−2 x¿dx+e x dy=0
d (3e3x y−2x )dy
= 3e3x 3∫ h ´ ( y )=∫dy
d (e3x dy)dx
= e3x h(y) = y
∫¿¿3e3x y−2 x¿dx= 3y∫ e3 x dx - 2∫ xdx 1… 3ye3x-x2+y
3ye3x-x2+ h(y)
d (3 y e3 x−x2+h ( y ))dy
= 3e3x+h´(y)
3e3x+h´(y)= e3xdy
7.- Auxiliado por los factores de integración resuelva:
88.-ydx-xyd =0 I=1
y2
1
y2( ydx−xdy )=0
( Y
y2dx−
x
y2dy )=0 ∫ h´ ( y ) dy=∫ dy
d ( y−1)dy
= − y−2 1… h (y) = y
d (−x y−2)dx
= − y−2 2… y x + y= C
∴∫ ydx= y∫ dx= y x h(y)= C d ( yx+h ´ ( y ))
dy = x +h´(y)
x +h´(y)=x dy
89.- (y+1) dx-x dy =0 I=−1x2
−1x2
(y+1) dx –¿ (xdy))=0 (− y
x2−1x )dx+( 1x dy)=0
d (− y
x2−1x )
dy=−2 x−3 ∫ h´ ( y )=o
d (−1x dy )dx
= -2 x−3 1… h(y)=0
∴∫− y
x2dx−∫ 1
x2dx = y
x+ 1
x+h ´ ( y) 2… y
x+ 1
x+0=C
d ( yx+ 1
x+h´ ( y ))
dy=1x+h ´ ( y )
1x+h ´ ( y )=1
xdy
90.- 6xy dx + (4y+9x2)dy=0 I= y2
y2[6 xy dx+(4 y+9 x2)dy ] =0 6xy3dx+(4 y3+9x2 y2 ) dy=0 ∫ h´ ( y ) dy=¿∫ 4 y3dy ¿
d (6 x y3dx )dy
= 18xy2 1… h(y)=y4
d (4 y3+9 x2 y2)dx
=18 x y2 2… 3 x2 y3+ y4= C ∴∫6 x y3dx = 6y3∫ xdx=3 x2 y3+h( y )
d (3x2 y3+h ´ ( y ) )dy
=9x2 y2+h´ ( y )
9x2 y2+h´ ( y )=4 y3+9 x2 y2
91.- dx-2xy dy=0 I=e− y2
e− y2 [ dx−2 xydy ]=0
e− y2dx−2 xy e− y2dy=0
d (e− y2dx)dy
=−2 y e− y2 h´(y)=0 d (2 xy e− y2)
dx=−2 ye− y2 h(y)=C
∴∫ e− y2dx=e− y2∫dx=e− y2 x+h( y) 1… e− y2 x =C d (e− y2 x+h ( y ) )
dy=¿-2 xy e− y2+h´(y)
−2 xy e− y2+h´(y)=−2 xy e− y2 dy
92.- (4x3y-x3¿ dx+dy=0 I=ex4
ex4 [(4 x3 y−x3)dx+dy ]=0
(4 x3 y ex4−x3 ex4¿dx+ex4dy=0 ∫ g ´ ( x ) dx=−14 ∫ 4 x3 ex4 dx
d (4 x3 y ex4−x3 ex4)dy
=4 x3 ex4 g(x)=- 14
ex4
d (ex4 )dx
=4 x3 ex4 1… ex4 y−14
ex4=C
∴∫ ex4 dy=ex4∫ dy=ex4 y+g( x) d (ex4 y+g (x ) )
dx=4 x
3y e
x4+g ´ (x)
4 x3 y ex4+g ´ (x )=4 x3 y ex4−x3 ex4
93.- (y + x3+xy2)dx + xdy = 0 I(x,y)= −1x2+ y2
d ( y+ x3+x y2 )dy
=1+2xy d (−x)dx
= -1 y dx+ x3 dx+x y2 dx – xdy = 0 x( x2dx +y2dx) −( y+x3+x y2)
x2 y2dx+ x
x2+ y2=0
d (− y3−x3−x y2
x2− y2 )dy
=( x2− y2 ) (−1−2xy )− (− y−x3−x y2 )(2 y)
¿¿
d ( x
x2+ y2)
dx=
( x2− y2 ) (1 )−( x )(2 x)¿¿
∴ Las Parciales deben ser iguales. ∫ x
x2+ y2dy=x ( 1x arc tan
yx )=arc tan
yx+g (x )=C
d (arc tanyx+g ( x ))
dx= 11+¿¿
− yx2+ y2
+g ´ (x )=− y−x3−x y2
x2+ y2
g ´ ( x )=−x(x2+ y2)x2+ y2
=−x g´(x)=-x g´(x)dx = -∫ xdx g(x)= −x2
2
Sol.- arc tanyx− x2
2=C
8.- Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli:
107.- y´+xy=xy2
Z= 1y
y= 1z
y2= 1z2
y´=-z−2 ∙ Z ´
∴ y´+xy=xy2
Mult (-z2)(-z-2∙z´)+x (z-1)=x (z-2) z´-x z = -x I(x,y)= e− x2
2
(e− x2
2 )z´-x z = -x
Z´ e− x2
2 - x z e− x2
2 = -xe− x2
2
∫ ddx
(e−x2
2 Z)=∫−x e−x2
2
e− x2
2 Z=e−x2
2 +C
Z=e−x2
2
e−x2
2
+C e−x2
2
Z= 1+ C e x2
2
108.- y´+y = x y2
Z= 1y
y=1z
y2= 1z2
y´=-Z-2∙ Z´ Mult.(-Z2)(−1
z2∙ z ´ )+(1z ¿=x ( 1
z2)
Z´- Z = - X I(x,y)= e− x
(e− x¿ (Z´- Z = - X) Z´ e− x−Z e−x=−xe− x
∫ ddx
( e−x z ) dx=∫−x e− x dx
e− x Z = e− x+C
Z =1 + C ex
109.- y´+2xy =-xy4
Z =y−3 y=z−13 y4= z−4
3 y´=−1
3Z
−43 ∙ z ´
Mult ( −13
Z43 ¿¿
Z´-23
x z= x3
I(x,y)= e− x2
3
e− x2
3 (Z ´−23
x z= x3 )
Z´e− x2
3 −23
x z e−x2
3 = x3
e−x2
3
∫ ddx
(e−x2
3 z ´ )dx=13∫−x e
−x2
3 dx
e− x2
3 Z=13
e−x2
3 +C
Z= 13+C e
x2
3
110.- y´+1x
y=x y2
Z = 1y
y = z−1 y2=z−2 y´=−z−2 ∙ z ´
Mult (-z2¿ (−z−2 ∙ z ´ )+ 1x
( z−1 )=x z2 I(x,y)=-x -x (z´-1
xz=−x¿
-z´x + z = x2 ∫ d
dx−( x z ) dx=∫ x2dx
-x z = x3
3+c
Z=- x3+C3 x