1. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.frExercices de Khlles de Mathmatiques, premier trimestreLyce Louis-Le-Grand, Paris, FranceIgor KortchemskiHX 2 - 2005/2006Exercices particulirement intressants :- Exercice 4.1.- Exercice 5.1.- Exercices 6.2, 6.3, 6.4.- Exercice 8.2.- Exercice 10.1.- Exercice 11.3, 11.4.Table des matires1 Semaine 1 - Ensembles, relations, applications22 Semaine 2 - Rels, fonctions usuelles 33 Semaine 3 - Complexes, quations direntielles du premier ordre44 Semaine 4 - quations direntielles du second ordre, gomtrie plane 45 Semaine 5 - Courbes paramtres (non polaires)56 Semaine 6 - Courbes paramtres polaires, coniques67 Semaine 7 - Suites, structures algbriques88 Semaine 8 - Polynmes 89 Semaine 9 - Polynmes 910 Semaine 10 Limites et continuit 911 Semaine 11 - Drivation912 lments de rponse 11 12.1 Semaine 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12.2 Semaine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12.3 Semaine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12.4 Semaine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121/19

2. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr 12.5 Semaine 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12.6 Semaine 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 12.7 Semaine 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 12.8 Semaine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 12.9 Semaine 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12.10Semaine 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 12.11Semaine 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Semaine 1 - Ensembles, relations, applicationsKhlleur : Mme. Zamaroczy.Etonnamment, il ny a pas eu de calculs inhumains avec Mme. Zamaroczy, mais a va venir ...Exercice 1.1. Soient E un ensemble, A et B deux parties de E . On dnit lapplication de la maniresuivante : : P(E) P(A) P(B)X (X A, X B)1. Trouver une condition pour que soit injective.2. Trouver une condition pour que soit surjective.Il tait sous-entendu que ces conditions devaient tre des CNS.SolutionExercice 1.2.Soit P lensemble des nombres premiers strictement suprieurs 2. On dnit sur P larelation binaire R suivante :a+baRb est un nombre premier. 2R est-elle une relation dquivalence ?SolutionExercice 1.3. Quel est le nombre de relations dquivalence sur un ensemble n lments ?Solution2/19 3. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr2 Semaine 2 - Rels, fonctions usuellesKhlleur: Mlle. Gicquel.Exercice 2.1.Soient f et g des fonctions continues sur R. Montrer que M ax(f, g) est continue sur R. SolutionExercice 2.2 (Exo stce). Soient x1 , x2 , . . . , xn et y1 , y2 . . . yn des rels strictement positifs tels quex1 x2 xn et y1 y2 yn . Montrer que1 :n nn1xiyi xi yi .ni=1 i=1 i=1 SolutionExercice 2.3.Soient x1 , x2 , . . . , xn des rels strictement positifs. Montrer que :n n 1 xi n2 . xi i=1 i=1 SolutionExercice 2.4.Trouver tous les sous-groupes additifs de R. SolutionExercice 2.5 (Cest un exo de khlle a ?).Soient , , des rels tels que + + = . Factoriser :1 cos() + cos() + cos(). Solution 1 sans lingalit du rordonnement...3/19 4. Khlles de mathmatiques en MPSI Lyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr3 Semaine 3 - Complexes, quations direntielles du premier ordreKhlleur: M. Houdayer.Exercice 3.1 (Question de cours). En quoi consiste la mthode de la variation de la constante ?Exercice 3.2 (Oral X). Trouver toutes les fonctions continues de R dans R telles que pour tout (x, y) R2 lon ait :x+yf (t)dt = f (x)f (y). xySolution4 Semaine 4 - quations direntielles du second ordre, gomtrieplaneKhlleur: Mme. Miquel.Exercice 4.1 (Enn un exo intressant). Montrer quil nexiste pas de partition du plan en cercles. On utilisera le thorme des segments emboits :Soit une suite de segments emboits : [a, b] [a1 , b1 ] [an , bn ] telle que lim an bn = 0. +Alors il existe l tel que lim an = lim bn = l.- Montrer quil existe une suite (Cn ) de cercles (Cn est le centre du cercle Cn et rn est son rayon) telle rnque Cn+1 soit strictement inclus dans Cn et que rn+1 .2- Montrer qualors Cn converge.- Prouver quil nexiste pas de partition du plan en cercles.SolutionExercice 4.2. Soit ABC un triangle. Considrons le cercle exinscrit tangent au ct [BC] en A ,autrement dit le cercle dont le centre est lintersection des bissectrices extrieures des angles ABC etBCA et qui est tangent au ct [BC] en A . Il est tangent (AB) en B et (AC) en C (voir gure).1. Montrer que AB est gale la valeur du demi-primtre de ABC .2. Soit A le point de contact du cercle inscrit ABC avec [BC]. Prouver que [BC] et [A A ] ont mmemilieu.Solution 4/19 5. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr5 Semaine 5 - Courbes paramtres (non polaires)Khlleur : M. Tauzin.Exercice 5.1(Courbes elliptiques). Le but de cet exercice est dtudier quelques propits des courbeselliptiques. Soient a, b, c des rels et soit P (x) = x3 + ax2 + bx + c.- On cherche tous les points de coordonnes (x, y) qui vrient y 2 = P (x). Suivant les direntes valeurs de a, b, c tracer la courbe E de ces points.On tudie les cas non dgnrs :- On se place dans le cas o P nadmet quune racine simple (voir gure 1). Paramtriser lensemble des points de E sur R en dcoupant R en deux intervalles. Fig. 1P nadmet quune racine simple - On se place dans le cas o P admet une racine simple et une racine double (voir gure 2).* Calculer le coecient directeur de la tangente la courbe E au point point x = , puis x = .* En fait, dans ce cas la courbe E est une courbe continue admettant un point double. Vrier cela enparamtrisant E rationnellement : trouver deux polynmes coecients rels Q, R tels que x(t) =Q(t) et y(t) = R(t). On pourra crire P (x) sous la forme P (x) = (x )(x )2 et sinspirer desvariations de x(t) pour intuiter le degr de Q.Solution 5/19 6. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr Fig. 2P admet une racine simple et une racine double 6 Semaine 6 - Courbes paramtres polaires, coniquesKhlleur : M. Sage.Exercice 6.1 (Question de cours).On considre une conique dnie analytiquement par Ax2 + 2Bxy +Cy 2 + 2Dx + 2Ex + F = 0. Montrer quil existe un nouveau repre dans lequel le terme crois a disparu.Exercice 6.2.On considre la parabole dnie par Y 2 = pX . Un rayon arrive de linni et se rchitsur la parabole de sorte que langle form par le rayon incident et la tangente au point dincidence laparabole soit gal langle form par le rayon rchi et cette tangente (voir gure 3).Montrer de manirenon bourrine que le rayon rchi passe par F , le foyer de la parabole.Fig. 3Solution6/19 7. Khlles de mathmatiques en MPSI Lyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.frExercice 6.3.On considre la parabole dnie par Y 2 = 2pX . Une droite passant par F , le foyer de laparabole, recoupe cette dernire en M et en M . Montrer en nutilisant que des arguments gomtriques 1 1que la quantit+ne dpend pas de la droite choisie (voir gure 4). On pourra notammentFMFMcalculer laire dun trapze de deux manires dirents pour en dduire F M .Fig. 4 SolutionExercice 6.4. On considre la parabole dnie par Y = X 2 . Soient A, B, C, D des points appartenant cette parabole dabcisses respectives x1 , x2 , x3 , x4 . Trouver une condition ncssaire et susante surx1 , x2 , x3 , x4 pour que A, B, C, D soient cocycliques.- On crira lquation gnrale dun cercle et on dira que x1 , x2 , x3 , x4 vrient les relations coee- cients/racines de ce polynme degr 4.- On pose :4 = x1 x2 x3 x43 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x42 = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x41 = x1 + x2 + x3 + x4 .Que vrie donc 1 ?- Montrer quen fait cest une condition susante en remarquant que cela revient montrer une ingalitentre 1 , les coordonnes du centre du cercle ainsi que son rayon. Montrer cette ingalit. On pourramontrer une ingalit plus forte en ngligeant un ou deux termes par-ci par-l et voir que cest en faitplus simple2 .Solution2Mouarf, on se croirait en chimie. 7/19 8. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr7 Semaine 7 - Suites, structures algbriquesKhlleur : Mme. Zamaroczy.Exercice 7.1. Soit u0 un rel strictement positif. Etudier la convergence de la suite dnie de la maniresuivante : 1 + unun+1 = . 2 un SolutionExercice 7.2(Moiti question de cours). Soient (un ) et (vn ) deux suites vriant les conditions sui-vantes : (un ) est croissante et (vn ) est dcroissante lim(un vn ) = 0.Montrer que (un ) et (vn ) convergent vers la mme limite. On montrera notamment que pour tout n N,un vn . SolutionExercice 7.3.On considre T la loi suivante dnie sur R par :xT y = x y 2 + 1 + yx2 + 1.Montrer que R muni de T forme un groupe ablien isomorphe (R, +). Solution8 Semaine 8 - PolynmesKhlleur : Mme. Miquel.Exercice 8.1 (Question de cours).Montrer que K[X] est principal, c--d que tout idal de K[X] est dela forme P0 K[X], o P0 K[X].Exercice 8.2 (Oral ENS ULM - exo 5 normes stces).Soient z0 , z1 , . . . , zn n + 1 nombres complexestels que pour tout polynme P C[X] de degr infrieur ou gal n1 la proprit suivante soit vrie :n 1 P (z0 ) = P (zk ). n k=1Montrer que z1 , z2 , . . . , zn sont les sommets dun polygone rgulier de centre z0 . Solution8/19 9. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr9 Semaine 9 - PolynmesKhlleur : M. Haddad.Exercice 9.1 (Question de cours). Existence et unicit de la division euclidienne.Exercice 9.2 (Polynmes de Tchebyshe). Soit n N . On dnit lapplication fn de la maniresuivante : fn : [1; 1] Rx cos(n arccos(x))1. Calculer f0 , f1 , f2 , f3 .2. Trouver une relation entre fn1 + fn+1 et fn .3. Montrer quil existe un polynme Tn coeents rels qui concide avec fn sur [1; 1].4. Trouver le degr de Tn et le coecient devant le terme dominant de fn .5. Trouver les racines de Tn .6. En dduire une forme factorise pour Tn .Solution10 Semaine 10 Limites et continuitKhlleur : Mme. Miquel.Exercice 10.1.Soit f une fonction uniformment continue sur [0; 1[. Montrer que f est borne sur [0; 1[et que f admet une limite en 1.Solution11 Semaine 11 - DrivationKhlleur : Mlle. Gicquel.Exercice 11.1(Question de cours). Soit f drivable, bijective de I sur J . CNS pour que f 1 soitdrivable en b J . 9/19 10. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.frExercice 11.2 (Exo crade). Soit f dnie de la manire suivante :f :R R0 si |x| 1x exp( x21 )1sinon.Montrer que f est de classe C sur R.SolutionExercice 11.3(Exo stce). Soit f de classe C n de R sur R qui admette n + 1 zros. Soit Rquelconque. Montrer que (f + f )(n1) admet au moins un zro.SolutionExercice 11.4 (Ptit complment). Soient k , k , k 3n rels tels que aucun i ne soit nul. On dnitf par :n f (t) = k cos(k t + k ). k=1Montrer que f a une innit de zros.Solution10/19 11. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr Fig. 5 12 lments de rponse12.1Semaine 1Exercice 1.1. Montrer que est injective si, et seulement si, A B = Eet que est surjective si, etseulement si, A B = .Exercice 1.2. Il est facile de prouver que R nest pas transitive par un contre-exemple.Exercice 1.3. Compter le nombre de relations dquivalences sur un ensemble n lments revient compter le nombre de partitions pn dun ensemble n lments. On ne connat pas cependant de formuleclose pour pn , mais on connat des relations de rcurrence 3 .12.2Semaine 2Exercice 2.1. Exprimer M ax(f (x), g(x)) en fonction de f (x) et g(x).Exercice 2.2. Considrer (xi xj )(yi yj ).1i,jnExercice 2.3. Utiliser lingalit de Cauchy-Schwarz.Exercice 2.4. Soit G un tel sous groupe. Montrer que G R+admet une borne infrieure 0. Si = 0, montrer que G est dense dans R. Si 0, montrer que G et que G = Z.Exercice 2.5. Utiliser la factorisation de cos(p) + cos(q) deux fois de suite.12.3Semaine 3Exercice 3.2. Driver la relation 4 fois en tout pour tomber sur une quation direntielle du typey + c.y = 0. La rsoudre suivant les valeurs de c et rinjecter le tout dans lquation dorigine.3Voir par exemple http ://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html. 11/19 12. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr12.4 Semaine 4Exercice 4.1.- Par labsurde ...- Projeter les cercles sur deux droites orthogonales.- En notant O la limite de (Cn ), conclure en considrant un cercle passant par O.Exercice 4.2.1. Voir que AB = AC puis que BB = BA et CC = CA .2. Cest direct, montrer que BA = A C .12.5 Semaine 5Exercice 5.1.- Paramtrage du cas dune seule racine simple (en rouge la courbe E) : Fig. 6P admet une seule racine simple .On fait le paramtrage suivant sur R, en remarquant que lapplication : t t+ est une bijectionde ] , , [ dans [, +[ : Si t [, +[ : x(t) = + at2 + bt + c t3 y(t) = t3 + at2 + bt + c Si t ] , , [ : x(t) = (t + 2)3 + a(t + 2)2 + b(t + 2) + c y(t) = (t + 2)3 + a(t + 2)2 + b(t + 2) + c 12/19 13. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr- Quelques autres gures :Fig. 7P admet 3 racines simples.Fig. 8P admet une racine simple et une racine double 13/19 14. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr- Dans la gure 8, la tangente en a une pente innie, et il y a deux tangentes en qui ont respecti- vement pour pente et .- Les variations de x(t) conduisent chercher x(t) sous la forme t2 + at + b. Au vue de la relationP (x) = (x )(x )2 , pose b = . Alors x = t2 + at + . Pour factoriser cette bte, onon aimerait bien avoir a = 2 . On pose donc a = 2 . Alors : x(t) = t2 + 2 t + Q(t) = (t + )2 (t2 + 2 t)2 R(t) = Q(t) = t(t + )(t + 2 )12.6Semaine 6Exercice 6.2. Tracer la parallle la tangente passant par F . Elle recoupe le rayon en N . Montrer queF M = M N et conclure.Fig. 9 Exercice 6.3. Soit = M N F . Calculer laire du trapze ODM F en utilisant la formule classique, puisen disant que a vaut aussi la somme de laire de ODN F et de M N F . En dduire M F en fonction de et de p. Reconnatre lquation polaire de la parabole. Conclure.Exercice 6.4. En crivant lquation du cercle sous la forme (x a)2 + (y b)2 = R2 on a les relationssuivantes :4 = a2 + b2 R23 = 2a2 = 1 2b1 = 0.Rciproquement, si 1 = 0, on dnit 3 et 2 de sorte que 2 = 1 2b et 3 = 2a. Il sut de vrierque a2 + b2 4 0. Poser S = x2 + x2 + x2 + x2 . Voir que 2 = S/2. Il sut donc de prouver que : 1234 2 3 2 1 24 + 2 2 14/19 15. Khlles de mathmatiques en MPSI Lyce Louis le Grand http://shadowlord.free.frFig. 10 ou encore :S 23 2 1+ 2 4 +.2 2Prouver quen fait : 2 S 4 4en utilisant lingalit arithmtico-gomtrique.12.7Semaine 7Exercice 7.1. Application du cours. (un ) converge toujours vers 1.Exercice 7.2. Voir que un vn est croissante. Supposer par labsurde quil existe n0 tel que un0vn0 ,considrer0 = un0 vn00 et aboutir une contradiction.Exercice 7.3. Isomorphisme qui trche : : R R x sh(x).12.8Semaine 8Exercice 8.2.Premire mthode.- Premire stce. Il sut de prouver que z1 , z2 , . . . , zn sont les racines du polynme (z z0 )n + cste.En particulier, poser Q(z) = (z z1 )(z z2 ) (z zn ). Il sut ainsi de prouver que :Q(z) Q(z0 ) = (z z0 )n . 15/19 16. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr- Deuxime stce. Considrer les n polynmes interpolateurs de Lagrange de degr n 1 formant unebase de C[X] tels que : 1 si k = i Li (zk ) = 0 sinon.En dduire que Li (z0 ) = n .1- Troisme stce. Or : 1Li (z) = (z zj ) . j=ij=i (zi zj )Donc : 1Li (z)(z zi ) = (z zi ) (z zj ).j=i (zi zj )j=iOr :(zi zj ) = Q (zi ).j=iFinalement :Q(z) Li (z)(z zi ) =.Q (zi )Evaluer en z = z0 et obtenir : z0 zi Q(z0 ) = .nQ (zi )- Quatrime stce. Rcrire la relation prcdente en : Q (zi )(zi z0 ) + nQ(z0 ) = 0.En particulier, le polynme : Q (z)(z z0 ) + nQ(z0 ) nQ(z)admet n racines qui sont z1 , z2 , . . . , zn et est de degr n 1. Il est donc nul.- Cinquime stce. Multiplier cette relation par (z z0 )n1 : Q (z)(z z0 )n n(z z0 )n1 (Q(z) Q(z0 )) = 0.Reconnatre une quation de la forme u v + uv . En tirer : Q(z) Q(z0 ) = 0.(z z0 )nEn dduire quil existe une constante telle que :Q(z) Q(z0 ) = (z z0 )n .Or Q(z) et (z z0 )n sont unitaires de degr n. Conclure.Deuxime mthode (beaucoup moins rigolo).On remplace P par les polynmes suivants en z : z z0 , (z z0 )2 , . . . , (z z0 )n1 . En posant xi = zi z0 ,on obtient directement les relations suivantes :16/19 17. Khlles de mathmatiques en MPSILyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr S1 = x1 + x2 + + xn = 0 S2 = x2 + x2 + + x2 = 0 12n...n1n1Sn1 = x1 + x2 + + xn1 = 0nOn prouve par rcurrence que pour tout i tel que 1 i n 1 on a i = 0 o les i sont les polynmessymtriques lmentaires des xk .- Pour i = 1 cest clair.- Supposons que pour tout i, 1 i j 1, avec j n 1, lon ait i = 0. Or Sj sexprime en fonctiondes Si et i avec i j . Comme Sj = 0, par hypothse de rcurrence j = 0.En eet, les relations de Newton fournissent : j1Sj = (1)i Sji i + (1)j jj , i=1 ou aussi : j1 j = (1)i+k+1 Sji i Sj . i=1nIl en dcoule que que (z x1 )(z x2 ) (z xn ) = z n + (1)n xi . Les xi sont donc les racines de i=1nz n + (1)n xi et le rsultat sen suit.i=112.9Semaine 9Exercice 9.2.1.f0 = 1, f1 = x, f2 = 2x2 1, f3 = 4x3 3x.2.fn1 (x) + fn+1 (x) = 2xfn (x), utiliser cos(a) + cos(b) = 2 cos( ab ) cos( a+b ). 223.Montrer que les Ti dnis par T0 = 1, T1 = x et Tn+1 = 2xTn (x)Tn1 (x) conviennent par rcurrence.4.Par rcurrence, deg(Tn ) = n et le coecient dominant est 2n1 .5.Pour une racine x entre 1 et 1, on a cos(n arccos(x)) = 0. On en dduit n racines entre 1 et 1 : cos( 2n + k ) avec k entre 1 et n 1. Ce sont donc les seules.n6. n1 n1k Tn = 2x cos(+) .2nn k=012.10 Semaine 10Exercice 10.1.1. Par labsurde, on suppose que f nest pas majore, le cas o elle nest pas minore se traitant de lamme manire :M R, x [0; 1[ tel que f (x) M. On construit ainsi une suite de points (xn ) telle que lim f (xn ) = +. (xn ) tant borne, le thorme de Bolzano-Weierstrass assure lexistence dune sous suite xn convergente vers a [0; 1]. 17/19 18. Khlles de mathmatiques en MPSI Lyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr Si a = 1 alors f est continue en a. Donc lim f (xn ) = f (a), absurde. Si a = 1 alors on peut extraire de xn une suite croissante qui tend vers 1. Notons la yn . Luniformecontinuit scrit :0,0tel que (x, x ) [0, 1[2 , |x x | = |f (x) f (x )|.Or, puisque lim yn = 1 : N1 N tel que n N, n N1 = 1 yn.Comme lim f (yn ) = +, on a galement : N2 N tel que n N,n N2 = f (yn )+ f (yN1 ). yn tant croissante, on a : 1 yN2 , de sorte que |yN2 yN1 | . Or |f (yN2 ) f (yN1 )|, ce qui contredit luniforme continuit de f .Donc f est borne.2. Premire mthodeSoit (xn ) une suite tendant vers 1. Montrons que (f (xn )) converge en montrant que (f (xn )) nadmetquune seule valeur dadhrence.- On peut extraire de (xn ) une suite strictement croissante tendant vers 1 : notons la (yn ). Montronsque (f (yn )) est de Cauchy. Soit0.Puisque lim yn = 1 : N1 N tel que n N, n N1 = 1 yn.Aisni, (yn ) tant croissante, on en dduit :(p, q) N2 , (p N1 et q N1 ) = |yp yq |.Par luniforme continuit : (p, q) N2 , (p N1 et q N1 ) = |f (yp ) f (yq )|.En dnitive, (f (yn )) est de Cauchy : elle converge donc.- Soient l et l deux valeurs dadhrence correspondant aux deux sous suites (f (xn )) et (f (xn )).Soit yn une sous-suite croissante de (xn ) et wn une sous-suite croissante de (xn ). Supposons llet soit0 tel que l l. Ainsi : N1 N tel que n N1 = 1 yn, N2 N tel que n N2 = 1 wn.Dautre part : llN3 N tel que n N3 = |f (yn ) l|+ , 22llN4 N tel que n N4= |f (wn ) l | + .22En dnitive, pour N max(N1 , N2 , N3 , N4 ), on a : lll +f (yN )22 ll l +f (wN ).2218/19 19. Khlles de mathmatiques en MPSI Lyce Louis le Grandhttp://shadowlord.free.fr Donc :f (yN ) f (wN ).Or par croissance de yn et wn on a : |yN wN | , ce qui contredit luniforme continuit de f .Donc l = l et (f (xn )) admet une unique valeur dadhrence.- Soient (xn ) et (yn ) deux suites de points qui convergent vers 1. Daprs ce que lon vient dtablir,(f (xn )) converge vers un l et (f (yn )) converge vers un l . En reprenant exactement le raisonnementci-dessus, on voit que l = l . Ainsi, la suite de limage des points dune suite tendant vers 1 convergetoujours vers un mme l. f admet donc une limite en 1 qui est l.Deuxime mthode (officielle)Soit M (x) = sup f (y). Voir que M est dcroissante, borne, et donc convergente vers un l. Montrerxy1que M f tend vers 0 en prenant un x qui vrie 1 x1.12.11 Semaine 11Exercice 11.2. Ben on bourrine ... Montrer que la bte est paire, continue, drivable, de classe C 1 , puismontrer que sur ]1; +[ f (n) est de la forme : Pn (x) f (n) (x) =f (x), (x2 1)2n 2xavec f (x) = f (x). Continuit ... (x2 1)2 n f (x) u2Seule stce pour le calcul de limite : voir que lim n =lim= 0. x1+ (x2 1)2 u+ euExercice 11.3. Voir avec le thorme de Rolle quil sut de prouver que f + f admet au moins nzros. Stce qui trche : considrer g(x) = f (x)ex . Combien de zros g a-t-elle ? g ? Calculer g ettrcher.Exercice 11.4. Mthode officielle 4Se ramener au cas o les i sont distincts deux deux, ainsi que les i . On peut supposer que i est leplus grand dentre eux en valeur absolue.- Si 1n i , cest bon : considrer t tel que cos(1 t + 1 ) = 1, puis cos(1 t + 1 ) = 1. Conclure k=1par le TVI.- Sinon, considrer la primitive dordre 2n de f (qui est obtenue sans ajouter dautres mchants termes),puis se ramener au cas prcdent en choisissant convenablement n.4qui parat quelque peu obscure et tnbreuse ...19/19