ELECTROSTTICA

ELECTROSTTICAIntroduccin.Definicin.- La Electrosttica es la parte del Electromagnetismo, que describe, analiza y cuantifica los fenmenos fsicos relacionados con las micropartculas electrones y protones en reposo.

A travs del tiempo se ha encontrado que todos los materiales tienen este tipo de micropartculas; experimentalmente se observa que un material (objeto de plstico) al ser frotado (tallado ver figura siguiente) con algn lienzo, en dicho material se genera una propiedad fsica que inicialmente no tena.

La barra de plstico despus de ser frotada se acerca a un pequeo pedazo de papel (5 mm2) y la barra lo atrae cosa que inicialmente no la haca.

El mismo experimento se repite con una barra de vidrio y se frota con un pao de algodn con polister y adquiere una propiedad fsica

Como un tercer experimento se colocan ambas barras de plstico y vidrio en pndulos electrostticos cerca una de la otra y se observa una atraccin entre ambas barras; como conclusin de esta observacin en cada barra se gener una propiedad fsica que gener una fuerza de atraccin mutua.

Como un cuarto experimento, se frotan dos barras del mismo material y con el mismo lienzo y con ellas se hace el tercer experimento y se observa una fuerza de repulsin entre las barras participantes.

Una conclusin de estas observaciones es que en cada barra se gener una propiedad fsica diferente; aclarando que macroscpicamente no se observa nada en los materiales participantes ( disminucin o aumento de tamao); sin embargo microscpicamente existe una prdida o una ganancia de micropartculas, que por definicin se les llam electrones que son parte de los tomos que todos los materiales tienen, de tal forma que cuando una barra de plstico es frotada pierde electrones y queda con exceso de otras micropartculas llamadas protones.

En el caso de los cristales estos quedan con exceso de electrones generndose dos barras con ganancia o prdida de electrones, que por definicin se concluy que los materiales con exceso de protones se dice que estn cargados positivamente (+) y los objetos con exceso de electrones se dice que estn cargados negativamente (-).Se ha encontrado que la masa de un electrn es 9.11x10-31kg y la de un protn es de1.6x10-27kg ; con estas masas es saludable cuestionar el tamao de dichas micropartculas; asimismo las unidades de carga se han definido como Coulombs; tales que para un protn se le asigno 1.6x10-19C y para el caso de un electrn una carga negativa de -1.6x10-19C.

Por el tamao de estas micropartculas algn objeto con electrones o protones se considera como una carga puntual; tales que de acuerdo a las observaciones experimentales se concluye:

a) Cargas puntuales del mismo signo repelenb) Cargas puntuales de signo contrario se atraen.

Ley de Coulomb

0q1q2F12Suponga que en el espacio de tres dimensiones se tienen dos cargas puntuales y se observan desde un sistema de referencia como se muestra en la figura LC-1 (figura adjunta ); aclarando que q1 representa a la carga puntual nmero uno, q2 a la carga puntual nmero dos o es un sistema de referencia inercial, el vector de posicin que da la posicin de la carga puntual uno, vector que indica la posicin de la carga puntual dos, F12 la fuerza que ejerce la carga puntual uno sobre la carga puntual dos; considerando que las dos cargas puntuales son del mismo signo y que el observador mira la carga puntual q2

Como todas las cantidades vectoriales tienen magnitud y direccin y si adems F12 es la magnitud de F12 y indica la direccin de dicha fuerza, entonces:

F12= F12 LC-1

Recuerde que el vector unitario se encuentra con los vectores de posicin: y ; tales que:

LC-2

Clculo de F12

Experimentalmente se observa que s alguna de las dos cargas puntuales no est presente, la otra carga puntual no experimenta fuerza alguna, adems cuando se aumenta la carga en cualquiera de ellas aumenta la magnitud de la fuerza; por lo que:

1.- F12 es directamente proporcional al producto de las cargas q1 y q2

2.- S se aumenta la distancia que las separa, disminuye la magnitud de la fuerza F12 .

oF12rFig. LC-23.- Se encuentra experimentalmente que el comportamiento grfico de F12 con la distancia que las separa es como se muestra el la figura LC-2.

Matemticamente la funcin que mejor se adapta a la grafica aqu mostrada es que:

F12 es inversamente proporcional a con n un nmero real; con estas conclusiones experimentales se concluye que la magnitud de la fuerza F12 es:

F12 = K LC-3

Aclarando que K es una constante de proporcionalidad y se encuentra experimentalmente que K = y 8.85x10-12C2/(N-m2); asimismo se encuentra que n2. K = 8.99x109Haciendo las sustituciones correspondientes en LC 1 se obtiene:

F12 = K = LC-4Comentario a esta igualdad as formulada se le conoce como Ley de Coulomb para dos Cargas puntuales; remarcando que la magnitud de dicha fuerza se determina con la igualdad LC-3 pero con n=2.

CASO DE TRES CARGAS PUNTUALES.

q1q2q30Suponga que en algn lugar del espacio se tienen tres cargas puntuales como se muestra en la figura adjunta.Remarcando que la carga puntual observada es la q3, en estas condiciones las cargas puntuales q1 y q2 generan las fuerzas coulombianas: F13 y F23 ; quedando la fuerza resultante como:

F3 = F13 + F23 LC-5

Aplicando el resultad de LC-4 en LC -5 se tiene:

F3 = K+ K LC-6Note que en esta igualdad as formulada, como la constante K y la carga q3 aparecen en ambos trminos; de tal forma que la expresin inmediata anterior se puede representar como:

F3 = Kq3(q1 + q2) LC-7Observe que la carga puntual en la que se determina la fuerza generada por las otras cargas puntuales es un factor comn as como la constante K y los trminos restantes solamente cambian en el segundo subndice de acuerdo a la carga puntual participante; por lo que este resultado se puede representar para el caso de N cargas puntuales como:

Fi = Kqi, ( con ji) LC-8

Comentario a esta igualdad as formulada se le conoce con el nombre de Ley de Coulomb para N cargas puntuales. Cabe aclarar que i =1,2,3,,N. Esto indica que la fuerza se puede determinar en cualesquiera de las N cargas puntuales.

Ejemplo 1.- Se colocan cuatro cargas puntuales en los vrtices de un cuadrado de lado 0.1m; tales que: q1 = 3C, q2 = -4C, q3 = 3C y q4 = 4C. Determinar la fuerza Coulombiana sobre la carga puntual de -4C y posteriormente determinar la magnitud de dicha fuerza. ( la colocacin de las cargas es libertad del estudiante )

oq2q1q3q4yxRESPUESTA: Considere la figura adjunta tales que a representa el lado del cuadrado, o sea que a=0.1m. Note que la carga puntual en la que se determina la fuerza es q2 y que tiene por coordenadas (a,a) y su vector de posicin s = a+a; tomando en consideracin la figura y como q1 est el origen del sistema de coordenadas entonces =0+0, de forma semejante:

& Aplicando LC-8 se tiene: con N=4.

F2 = Kq2, con j2; desarrollando esta sumatoria se tiene:

F2 = Kq2 (1)Pero:

= a+a-0 = a

Sustituyendo estas expresiones en la igualdad (1) se tiene:

F2=Kq2=Kq2= (2)El resultado final se tiene haciendo las sustituciones correspondientes; quedando:

F2 ==-18.02.Note que la magnitud de dicha fuerza es solamente la magnitud de F2; quedando:

F2 = N =24.36N.

No siempre los problemas electrostticos son con cantidades vectoriales, analizar el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.-Dos esferas idnticas que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre s con una fuerza de magnitud 0.108N cuando su separacin es de 50.0cm. Las esferas se conectan sbitamente con un alambre conductor delgado que luego se retira; suponga que en este proceso se conserva la carga total en las esferas; considerando que la magnitud de la fuerza de repulsin es de 0.036N. Hallar las cargas iniciales de las esferas.

RESPUESTA:

Por hiptesis la fuerza en las cargas es de atraccin entonces las cargas son de signo contrario; obtenindose por la ley de Coulomb:

= 0.108 q1q2 = 4or2(0.108); que sustituyendo los datos correspondientes se tiene:

q1q2 = (1.201x10-11)(.5)2 = 3.0027x10-12 C2 (1)

Despus del proceso indicado en el problema como las esferas son idnticas y la fuerza es de repulsin, entonces la carga final en cada esfera es la misma y como la distancia se mantiene constante, de tal forma que

q1f = q2f (q1f)2 =4or2(0.036) = 1.000911C2 q1f =C =1.0004x10-6C.

Cabe aclarar que esta es la carga final en cada una de las esferas; siendo la carga total final igual 2(1.0004x10-6)C =2. 0008x10-6C y como las cargas inciales son de diferente signo, entonces una debe ser mayor que la otra; por lo que:

q1 - q2 = 2.0008x10-6C q1 = 2.0008x10-6C +q2 (2)

Note que las expresiones (1) & (2) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas por lo que sustituyendo (2) en (1) se tiene

q2(2.0008x10-6C +q2) = 3.007x10-12C2, ecuacin que se puede representar como:

(q2)2+2.0008x10-6q2- 3.0027x10-12 = 0 (3)Resolviendo esta ecuacin cuadrtica se tiene

q2 = 1.0009x10-6C y de la ecuacin (2) se tiene q1 = 3.0017x10-6C

q , mLxEjemplo.3.- Dos pequeas esferas idnticas de masa m y carga q se cuelgan de hilos de nylon de masa despreciable y longitud L , como se muestra en la figura adjunta; suponiendo que el ngulo es tan pequeo tales que: Tan Sen y que el sistema as formado est en equilibrio(reposo), demostrar que:

X = RESPUESTA: Como el sistema as formado por las dos esferas est en equilibrio, entonces en cada una de las esferas por la segunda ley de Newton la suma de fuerzas externas es y colocando el sistema de referencia en la esfera derecha como se muestra en la figura adjunta; con T la tencin en la cuerda mg la fuerza que genera el campo gravitacional terrestre y Fe la fuerza electrosttica producida por la carga q de cada esfera; quedando:

xTFemgyT + mg + Fe = 0 (1) De la figura y del lgebra de los vectores se tiene:

T = -(TSen)+(TCos) ; mg = -mg & Fe = Fe= ; remarcando que x es la distancia que separa las cargas, haciendo las sustituciones correspondientes en (1) se tiene:

-(TSen)+(TCos) -mg + = 0 (2)Aplicando la propiedad asociativa del lgebra de los vectores se tiene:

+ = 0, que aplicando la definicin de igualdad de vectores queda:

TSen = & TCos = mg T = , quedando: = (3)

Por hiptesis el ngulo es muy pequeo entonces Tan Sen = , que sustituyendo en (3) se tiene:

= ; despejando a x de esta igualdad se obtiene:

X =

Ejemplo.4.-Dos cargas positivas con carga Q cada una, se mantienen fijas con d la distancia que las separa. Una tercera carga -q y masa m se sita en el centro entre ellas y luego tras un pequeo desplazamiento perpendicular a la lnea que las une se deja en libertad. Demuestre que la partcula de carga -q describe un movimiento armnico simple con periodo

RESPUESTA:

QQ-qdF1F2Las cargas puntuales pueden estar colocadas como se muestra en la figura adjunta y por las propias caractersticas del problema la magnitud de F1 es igual a la magnitud de F2. Adems note que la suma de las componentes horizontales de la fuerza resultante se hace cero y que la magnitud de la fuerza resultante es 2F1 Sen. Por otro lado el desplazamiento de la carga negativa es vertical por lo que de acuerdo a la segunda ley de Newton, la magnitud de la fuerza que acta sobre la carga negativa es: m ; con m la masa de la carga (-q), por lo que:

m = -2F1 Sen (1)

De la ley de Coulomb se sabe que F1 = con r la distancia que hay entre las cargas Q & -qEn el caso del Sen de la figura inmediata anterior se tiene Sen = y/r, que sustituyendo en la ecuacin (1) se tiene:

m = -2() = - (2)

Por hiptesis del problema el desplazamiento vertical es muy pequeo, de tal forma que r, que sustituyendo en (2) se tiene:

m = - = -, ecuacin que se puede indicar como:

+ = 0 (3)

En esta ecuacin as formulada el contenido de los parntesis rectangulares es constante por lo que se 2 = y como = 2f = ; siendo T el periodo de oscilacin de la partcula considerada, de tal forma que:

T = = 2 =

Ejemplo.5.-Dos cargas puntuales positivas e iguales se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba qp se localiza en un plano que es perpendicular a la lnea que une las cargas y que contiene al punto medio de la misma. Determine el radio r de la circunferencia en el plano para lo cual la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba es mxima.

yqqpqrzx0RESPUESTA:Suponga la figura adjunta:

Por comodidad de clculo el sistema de referencia se coloca en el centro de la circunferencia de radio r y considerando que la carga q1 es la que est sobre el eje z positivo y q2 la carga que est sobre el eje z negativo; por lo que aplicando la ley de Coulomb para dos cargas puntuales se tiene:

F(rp) = (1)

Note que: rp = r , r1 = a & r2 = -a; as mismo es recomendable aclarar que qp representa a la carga de prueba colocada sobre al circunferencia de radio r; luego con las anotaciones indicadas y del lgebra de los vectores se obtiene:

rp-r1 = r-a = (2)

rp-r2 = r+ a = = (r2+a2)3/2 (3)

De estos clculos as desarrollados observe que los denominadores en la ecuacin (1) son iguales, por lo que sustituyendo (2 ) & (3) en (1) y factorizando la carga q se obtiene:

F(rp) = ( r-a + r+ a) = 2r = (4)

Observe que la direccin de la fuerza resultante es en ; quedando la magnitud de dicha fuerza como:

F(r) = (5)

Observe que este resultado es consistente fsicamente, ya que cundo r es igual a cero la carga de prueba est justamente a la mitad de la distancia entre las cargas y como la carga qp es positiva. Adems note que la funcin indicada en (5), solamente tiene un mximo por lo que la primera derivada de dicha funcin valuada en ese punto debe ser cero; o sea que:

: = = 0 (6) Desarrollando la derivacin correspondiente se obtiene:

==[- ]De la expresin (6) esta derivada debe ser igual a cero, quedando:

r2+a2-3r2 = 0 r =

FUERZAS COULOMBIANAS PRODUCIDAS POR OBJETOS CARGADOS

En el mundo real lo que se tiene son objetos con carga Q que en su forma ms sencilla es el caso en que la carga Q est distribuida uniformemente y los objetos pueden presentarse como distribuciones de carga por unidad de longitud, distribuciones de carga por unidad de rea y distribuciones de carga por unidad de volumen; como una ilustracin de estos casos a continuacin se presenta el caso de una distribucin volumtrica de carga; cuya densidad de carga por unidad de volumen se define como:

LC-9

Considere un objeto de volumen V y carga Q distribuida uniformemente como se muestra en la figura adjunta, con las siguientes aclaraciones, indica la j-sima particin del objeto aqu considerado, indica la carga puntual q en la que se calcula la fuerza electrosttica, 0 indica el sistema de referencia inercial desde donde se hacen las observacionesS se considera que el objeto con carga Q distribuida uniformemente est particionado en N partes, entonces se tienen N elementos de volumen; tales que en cada elemento de volumen jV existir una cierta cantidad de carga jQ por lo que este caso se aproxima al caso de N cargas puntuales; quedando la fuerza electrosttica F como:

F() Kq. En esta aproximacin con jQ = (,t)jV queda como:

F() Kq; Note que esta aproximacin se convierte en una igualdad cuando los elementos de volumen sean muy pequeos ya que de esta forma jQ sern cargas puntuales; pero para que esto ocurra el nmero de particiones del objeto debe ser muy grande; quedando:

F() = = Kq LC-10.Se hace la aclaracin que la integracin indicada es sobre todo el volumen del objeto; pero como la carga est distribuida uniformemente entonces la densidad de carga es constante y la igualdad inmediata anterior queda.

F = qK LC-11

En el caso de distribuciones de carga por unidad de rea y considerando que la densidad: (,t) de carga por unidad de rea se define como:

(,t) = ; haciendo un proceso semejante al de objetos volumtricos se encuentre que la fuerza electrosttica que genera una distribucin de carga uniforme sobre una carga puntual es:

F = Kq LC-12.Asimismo para distribuciones de carga por unidad de longitud se encuentra:

F = Kq LC-13.Se hace la aclaracin que en esta igualdad L representa la distribucin de carga y (tamao L), indica la densidad de carga por unidad de longitud que es constante.

Ejemplo.6.-En algn lugar del espacio se encuentra una distribucin uniforme de carga en forma de circunferencia de radio R cuya densidad est representada por . Una carga puntual q est sobre el eje de simetra en el punto de coordenadas (0,0,b), note que el sistema de referencia est en el centro de curvatura de la distribucin de carga. Hallar la fuerza electrosttica que genera la distribucin uniforme de carga sobre la carga q; considerando que la carga total de la distribucin es Q.

RESPUESTA

rp(0,0,b)rxyzRq0Considere la figura adjunta con la nomenclatura; rp la posicin de la carga q, r indica cualquier punto de la distribucin de carga, dl la diferencial de arco en este caso la diferencial de arco de la circunferencia de radio R; por lo que dl=RdAplicando la ley de Coulomb para distribuciones continuas de carga se tiene:

F(rp) = =

(1)En esta notacin el smbolo que aparece al pie de la integral de lnea indica que la integracin es sobre toda la circunferencia de radio R, adems:

rp = b , r=R; con un vector unitario en coordenadas polares normal exterior en cada punto de la circunferencia; tales que= (RCos)+(RSen), quedando:

rp-r= b-R & Haciendo las sustituciones correspondientes en la expresin (1), con dl=Rd se tiene:

F(rp)= Rd (2)Cabe observar que la nica variable en esta expresin es ya que R & b son constantes; as como los vectores unitarios ya que stos estn anclados al sistema de referencia; asimismo obsrvese que las componentes de la fuerza que estn en un plano paralelo al plano xy se anulan por la simetra del problema, pues la distribucin de carga es uniforme ; por lo que:

F(rp) = = 2 =Como un resultado equivalente utilizando la carga total Q de la distribucin aqu considerada ya que = Q/2R, quedando la expresin inmediata anterior como:

F(rp) = =

CAMPO ELECTROSTTICO (ELCTRICO) .

Este subtema de Electrosttica es consecuencia de la observacin que se hizo cuando se frot la barra de plstico al inicio del subtema de la Ley de Coulomb. La barra adquiri una propiedad fsica que a su vez gener la fuerza electrosttica; a esta propiedad fsica se le llama campo Electrosttico y se define como:

E() = CE-1.

Cabe remarcar que por definicin el Campo Elctrico es una cantidad vectorial que tiene la misma direccin de la fuerza coulombiana y que se evala en un punto del espacio indicado por .

En el caso de una carga puntual, sustituyendo la igualdad LC-1 la definicin CE-1 se tiene:

E() = CE-2

PqjEn esta definicin cabe resaltar que el campo electrosttico solamente depende de la carga qj que lo produce; aclarando que s qj es negativa, entonces las lneas del campo son como se muestra en la figura adyacente; en caso que la carga sea positiva la direccin del campo es hacia el punto P (punto de evaluacin del campo).En el caso de N cargas puntuales; aplicando la definicin de campo electrosttico as como la igualdad LC-8; se obtiene:

E() =K ; ( K = = 8.99x109(N-m2/C2) CE-3

Ejemplo 1.- Se tienen dos cargas puntuales de igual magnitud colocadas una en cada vrtice de un tringulo issceles de base 0.25m y altura 0.5m; considerando que la carga positiva est colocada en el origen del sistema de coordenadas. Hallar el campo electrosttico valuado en el vrtice superior del tringulo; suponiendo que q1 = 3.8C.

RESPUESTA:De acuerdo al enunciado del problema suponga el diagrama siguiente:

xq1Pq2yo Note que las coordenadas del punto P son ; por lo que ; mientras que las coordenadas de la posicin de q2 son: (.25,0); de tal forma que:

y como q1 est en el origen, entonces Con estas aclaraciones y aplicando CE-3 se tiene

E (1)Con los datos de los vectores involucrados se obtiene:

q1() =3.8x10-6(.125+.5) = (.475+1.9)x10-6 & =.131

.125+.5-.25-0 = -.125 q2(-.125+.5) = -3.8x10-6(-.125+.5) =(.475-1.9)x10-6 & =.131.Note: que la distancia de q1 al punto P y distancia de q2 al punto P son iguales; esto es consistente ya que se trata de un tringulo issceles.

Sustituyendo los clculos realizados en la igualdad (1) se obtiene:

E) =8.99x109[.475+1.9+.475-1.9] = 67.9x103[.958] = (64.5x103)

Observe que el campo no tiene componentes en la direccin de . Se deja como un ejercicio al lector hacer un diagrama de cada campo en el punto P y verifique el resultado obtenido. Ejemplo.2.-La cartula de un reloj tiene cargas puntales negativas: -q,-2q,-3q,-4q-,-12q; colocadas en las posiciones de los nmeros correspondientes. A qu hora las manecillas del reloj apuntan en la misma direccin del campo electrosttico producido por las cargas puntuales, valuado en el centro de la cartula?.

-q-12q-6q-9q-3q-2q-4q-5q-11q-10q-8q-7qoRESPUESTA: Suponga el diagrama siguiente:

En la figura solamente se han dibujado los campos resultantes por cada pareja de cargas puntuales valuados en el centro de la cartula del reloj y como una segunda parte del problema se dibuja la resultante por cada tres campos representados por las flechas sobrepuestas, finalmente se suman estos dos campos dando como resultante la flecha de magnitud mayor y obsrvese que la direccin del campo electrosttico resultante en el caso de la cartula del reloj indica las 9:30hrs.

qP 2a z -q Ejemplo.3.-La figura adjunta muestra un dipolo elctrico; considerando que el campo elctrico se evala en el punto P colocado sobre el eje del dipolo a una distancia z: demuestre que para z>>a se obtiene E con p=2qa.

-qqPz0r1r2rpxy-qRESPUESTA Con el propsito de facilitar el lgebra el sistema de referencia se coloca en el centro del dipolo de tal forma que el punto P quede sobre el eje x, como se muestra en la figura adyacente, quedando,

rp = z, r1 =a, r2 =-a y recuerde que el campo electrosttico es:

E(rp) = -q (1)

Pero: rp- r1 = z-a; quedando rp- r1= (z2+a2)1/2 & rp-r2 = z+a. Note que rp-r2 =(z2+a2)1/2 , que sustituyendo en (1) se tiene:

E(rp) = - = - (2)

Observe que: (z2+a2)3/2 = z3(1+); pero cuando z>>a,0; quedando la expresin inmediata anterior como:

E(rp) - . Se notar que la magnitud del campo electrosttico es:

E(rp) = ; recuerde que: 2aq se le llama momento del dipolo elctrico

390dLEEjemplo.4.- Se proyecta un electrn con una rapidez inicial v0 de 5.83x106m/s, formando un ngulo de 390 con la placa inferior horizontal como se muestra en la figura adjunta; considerando que la magnitud del campo electrosttico entre las placas es de 1870N/C y adems d=1.97 cm, L= 6.2 cm. Desarrollar los clculos correspondientes para decir s el electrn chocar con alguna de las placas.

RESPUESTA.- En el dispositivo mostrado se desprecian los campos externos a E por lo que en este fenmeno fsico solamente se considera E en el espacio comprendido entre las placas; de tal forma que es un problema de Cinemtica puntual; o sea que es un movimiento de proyectiles; tales que se calcula la altura mxima del proyectil; s resulta mayor 1.97 cm entonces el electrn choca con la placa superior; siempre y cuando la distancia horizontal sea menor a 6.2 cm.

LOS CLCULOS SE MUESTRAN A CONTINUACIN.

A ) Calculo del tiempo de mxima altura. Recuerde que en la mxima altura la partcula tiene una rapidez en e igual a cero; quedando:

Vy = v0 Sen at; siendo a la magnitud de la aceleracin, que en el caso del problema aqu planteado se determina de: F = ma = qE a = ; en este caso m es la masa del electrn, de tal forma que:

a = m/s2 =3.28 x1014m/s2 ; con este clculo, el tiempo de mxima altura es:

t = = = 1.11x10-8 s =11.1ns (1)Recuerde que la altura mxima de un proyectil se obtiene de:

Y(t) = (v0Sen)t- = (5.83x106)(1.11x10-8) - = (0.043 0.023)m = 0.02m = 2.0cm; con estos clculos al parecer el electrn choca con la placa superior; pero puede ocurrir que la distancia horizontal sea mayor a 6.2 cm y que la altura mxima est fuera de las placas; por lo que a continuacin se determina la distancia horizontal con:

X(t) = (v0Cos) (2t) = (5.83x106)Cos(390)(2(1.11x10-8)m = 0.101m=10.1 cm ; pero a la mitad de esta distancia el electrn adquiere la mxima altura, que es una distancia horizontal de 5.0 cm. que es menor que 6.2 cm ; por lo que se concluye que el electrn si choca con la placa superior.

CAMPOS ELECTROSTTICOS GENERADOS POR OBJETOS CON CARGA Q

Por comodidad de clculo solamente se analizan objetos con carga Q distribuida uniformemente: o sea que las densidades de carga correspondientes son constantes y aplicando la definicin de campo; observe que lo que se elimina comparado con la fuerza electrosttica es la carga puntual qi ; quedando para el caso de distribuciones uniformes de carga por unidad de rea de la expresin LC-12.

E() = K CE-4

RXYZEjemplo5.- Para una distribucin uniforme de carga en forma de disco de radio R y carga total Q. determinar el campo electrosttico valuado en un punto P colocado en el eje de simetra que es perpendicular al plano del disco y que est en el punto de coordenadas (0,0,Z), posteriormente encuentre el campo en el centro del disco.

RESPUESTA.- Considere la figura adjunta, con las aclaraciones siguientes, la funcin vectorial indica la diferencial de rea 2rdr, R es el radio del disco, indica el punto P (punto de evaluacin del campo electrosttico); s el punto de referencia est en el centro del disco, entonces: = z, el anillo pintado de negro es la diferencial de rea del disco. Recuerde que en estas condiciones el campo electrosttico valuado en P es:

< (1)

Puesto que - = z -r = ; quedando:

Es importante indicar que r(rCos; haciendo las sustituciones correspondientes en (1) se tiene:

(2)

Note que el problema que se est resolviendo, como la distribucin de carga es uniforme, entonces tiene simetra y las componentes en: se eliminan o sea que solamente se resuelve la integral en la componente de ; quedando:

(3)

Observe que esta integral se resuelve con un cambio de variable u = z2+r2 ; quedando:

|R0 =-, que sustituyendo en la igualdad (3) se obtiene:

= (3)

Es recomendable aclarar que en esta igualdad dS representa una diferencial de rea que puede ser representada en cualquier tipo de coordenadas segn sea la necesidad del problema; al igual que los vectores: & y la integral, se realiza sobre toda el rea S con carga Q distribuida uniformemente.

Ejemplo 6.-Una carga Q est distribuida uniformemente sobre una superficie semiesfrica de radio R. Hallar el campo electrosttico en un punto P sobre el eje de simetra y a una distancia R del centro de curvatura de la distribucin de carga.

RESPUESTA:

Rxyz0PCon el propsito de utilizar coordenadas esfricas considere que la distribucin de carga es como la mostrada en la figura adjunta; con la aclaracin que el sistema de referencia est colocado en el centro de curvatura; asimismo la distribucin de carga es uniforme, por lo que:

E(rp)= (1)

Tomando en cuenta la figura se tiene que: rp = -R, r = (Sen CosR)+ (RSenSen)+(RCos) , quedando:

rpr=-R-(RSenCosR)+(RSenSen)+(RCos) (2)

cx

Calculando la magnitud de este vector y posteriormente elevando al cubo se tiene:

=R323/2(1+Cos)3/2 (3)

En el caso de coordenadas esfricas: dS = R2Sendd (4)

Haciendo las sustituciones correspondientes en (1) y considerando la simetra del problema fsicamente no hay campo en las direcciones de: y ; por lo que:

E(rp)= (5)En estas integraciones analizando la figura, la variable es de 0 a 2 y la variable de 0 a /2, por lo que:

E(rp)= = (6)

Note que esta integracin es inmediata por lo que:

E(rp)=(1+Cos)1/2=(1-)= -0.4142 (7)

Indudablemente tambin existe el campo electrosttico generado por distribuciones volumtricas de carga, valuado en algn punto P del espacio en cuyo caso se encuentra:

E(= CE-5Comentario.- En este subtema no se presentan ejemplos de distribuciones volumtricas de carga por el nivel del curso ( tercer semestre de licenciatura); sin embargo se espera que con los dos ejemplos expuestos de las dos distribuciones de carga, quede claro el podero de la teora propuesta.