Presentacion De Serie De Fourier, Transformda de fourier y Laplaces
1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de...
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1. Principios de variable compleja
2. Análisis de Fourier
3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
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Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
28 29 30 31
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
1
2 3 4 5 6
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• Lunes de 9:00 a 10:30
• Miércoles de 9:00 a 10:30
• Viernes de 9:00 a 10:00
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•Variable compleja 33.3%
•Análisis de Fourier 33.3%
•Ecuaciones diferenciales 33.3%
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•Exámenes 70%
•Tareas 25%
•Evaluación personal 5%
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• Habrá 2 exámenes
• Contarán el 70% de la calificación
• Cada examen contará igual, un 35%
• Se deben presentar todos los exámenes
• Serán de las 15:00 a las 18:00
• En los exámenes podrán consultar libros, notas,
usar calculadora y computadora
• No podrán copiar al compañero. En este caso se
requiere de un esfuerzo individual
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•Jueves 14 de noviembre de 15 a 18 en este mismo salón.
•Marte 3 de diciembre de 15 a 18 en este mismo salón.
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Puede haber también
exámenes orales, de
cualquier tema y en
cualquier momento del
curso.
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•Habrá 5 tareas, una por semana
•Deberán entregarlas los lunes, antes de
la clase
•Contaran 25% de la calificación del
curso
•Todas tiene que entregarse
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Las tareas serán en grupos de
4 gentes obligatoriamente
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Tarea 1: Lunes 4 de noviembre
Tarea 2: Lunes 11 de noviembre
Tarea 3: Lunes 18 de noviembre
Tarea 4: Lunes 25 de noviembre
Tarea 5: Lunes 2 de diciembre
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•Presentar los 2 exámenes y sacar
mínimo 6 en ambos. 70%
•Presentar las 5 tareas. Si no
están las 5 tareas, tienen 0 en esa
parte. 25%
•Tener un promedio superior a 7
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•Exámenes 70%
•Tareas 25%
•Evaluación personal 5%
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• Durante la clase pueden entrar y salir
cuando quieran, nada más no lo anuncien y
háganlo discreta y silenciosamente
• Obligatoriamente deben presentar los 2
exámenes. Si les falta un examen, aunque
con el promedio de los otros exámenes
logren la calificación mínima aprobatoria de
7.0, no aprueban mi parte del curso
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•Pregunten y comenten lo más
posible, no importa que me
interrumpan. Me encanta que
intervengan, la clase se enriquece.
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•Muy rápido en los primeros temas,
que por lo regular son los fáciles, y
un poco menos rápido en los
últimos
•Lo difícil trivializa todo lo anterior
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1. Aritmética
2. Álgebra elemental
3. Trigonometría
4. Geometría analítica en dos y tres dimensiones
5. Calculo diferencial e integral en una variable
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http://www.licimep.org
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![Page 22: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/22.jpg)
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
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• Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition. Boyce & DiPrima 0470383348
• A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
• An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
• Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
• Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
• Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
• Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
• Second order differential equations. Special Functions and Their Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
• Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University Press 978-0-511-77622-9
• An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
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2 4
Resolver la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden
3 5x y xy y x
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
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Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
![Page 28: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/28.jpg)
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
dVkA
dt
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Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 244
3
dr
dVkA
dt
k rdt
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Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
3 2
32 2 2
44
3
4 44 3 4
3
3
dr k r
dt
dr drkr r kr
d
dVkA
d
t dtdr
kdt
t
![Page 31: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/31.jpg)
drk
dt
drk
dtdrdt k dt
dt
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Sea una función real definida en un intervalo
cerrado , . Sea , definida en todo , por
Entonces es continua en , , diferentiable en
, y
para toda en , .
x
a
f
a b F a b
F x f t dt
F a b
a b
dF xf x
dxx a b
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Sean y funciones reales definidas en un
intervalo cerrado , , tales que para todo
, se cumple que
entoncesb
a
f F
a b
x a b
dF xf x
dx
f t dt F b F a
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drk
dt
1
drk
dtdrdt k dt
dtr t kt c
![Page 35: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/35.jpg)
1 dr
k r t kt cdt
1 0
1 0
0
0 y 0
y
r t c r t r
c r
r t r kt
![Page 36: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/36.jpg)
Una gota de agua esférica pierde su volumen por
evaporación a una razón proporcional a el área
de su superficie. Encuentra el radio de la gota
como función del tiempo en términos de la
constante de proporcionalidad y del radio inicial.
0r t r kt
![Page 37: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/37.jpg)
5 1 0 1 5 2 0ts
1
1
2
3rtm m r 0 2 mm. k 0.1 mms.
0r t r kt
![Page 38: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/38.jpg)
dr kdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
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![Page 40: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/40.jpg)
Sea el número de individuos en una población
al tiempo .
es un número entero, pero para valores grandes
de la podemos considerar como continua.
Describir la evolución temporal de la población,
ha
N t
t
N t
N t
ciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
![Page 41: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/41.jpg)
Describir la evolución temporal de una población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
dN tN t
dt
![Page 42: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/42.jpg)
dN tN t
dt
¡¡¡No podemos!!!
dN tdt N t dt
dt
![Page 43: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/43.jpg)
dN tN t
dt
1
1
2
1 1
1 ln
t c t
dN t dN tdt dt
dt dtN t N t
dN t dt N t t cN t
N t e c e
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2 tdN tN t N t c e
dt
2 0
0
0 y 0
t
N t c N t N
N t N e
![Page 45: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/45.jpg)
5 1 0 1 5 2 0t s1 0 0 0
1 5 0 0
2 0 0 0
2 5 0 0
N t N 0 1000 individuos. 0.05 s 1 .
0tN t N e
![Page 46: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/46.jpg)
1 0 2 0 3 0 4 0 5 0t a ñ o s
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
N t N 0 100 individuos. 0.1 años 1 .
0tN t N e
![Page 47: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/47.jpg)
Describir la evolución temporal de la población,
haciendo la hipótesis de que la razón de cambio de
la población en un momento dado es directamente
proporcional al tamaño de dicha población al
mismo momento.
0tN t N e
![Page 48: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/48.jpg)
0dN t
N tdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
![Page 49: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/49.jpg)
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
![Page 50: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/51.jpg)
ElsgoltzEcuaciones diferenciales y calculo variacionalMIR 1969
![Page 52: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/52.jpg)
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
![Page 53: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/53.jpg)
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
![Page 54: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/54.jpg)
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
![Page 55: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/55.jpg)
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
![Page 56: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/56.jpg)
2
2, , , 0
, ,
.
d y dyF y xdx dx
dyy x
dx
El primer miembro de la ecuación
es la derivada de una expresión diferencial
de primer orden
![Page 57: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/57.jpg)
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,..., , , 0
, ,..., , ,
En este caso escribimos
y
n n
n n
n n
n n
d d y d y dyy x
dx dx dx dx
d y d y dyy x c
dx dx dx
![Page 58: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/58.jpg)
2
2
2
2
2
2
, , , 0
, , ,
, , ,
F y
d y dyF y xdx dx
d y dyF k k ky x
dx dx
d y dyk F y x
dx dx
es homogenea en y sus derivadas
es decir,
![Page 59: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/59.jpg)
2
22
exp
exp
exp
y zdx
dyz zdx
dx
d y dzz zdx
dx dx
Haciendo
tenemos
y
F y es homogenea en y sus derivadas
![Page 60: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/60.jpg)
2
2, , , 0
exp , , ´ 0
, , ´ 0
d y dyF y xdx dx
zdx F x z z
F x z z
F y es homogenea en y sus derivadas
![Page 61: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/62.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 63: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/63.jpg)
2
2
d xm Fdt
![Page 64: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/64.jpg)
2
2 0d xmdt
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 65: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/65.jpg)
2
2 0d xmdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
![Page 66: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/66.jpg)
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2 0d xdt
0 0dx dv dvv mdt dt dt
![Page 67: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/67.jpg)
1
0 0dv dv dtdt dt
v t c
0dvdt
![Page 68: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/68.jpg)
1 1
1 2
dx dxc dt c dtdt dt
x t c t c
2
2
1
0
0
d xmdt
dx dvv m v t cdt dt
![Page 69: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/69.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 70: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/70.jpg)
0 2
2 0
0 1
0 y ( 0)
y
x t x x t c
c x
x t x c t
2
1 22 0 d xm x t c t cdt
![Page 71: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/71.jpg)
1 0
1 0
0 0
0 y ( 0)
y
dx t c v t vdt
c v
x t x v t
2
12 0 y (0) 0 d xm x x t c tdt
![Page 72: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/72.jpg)
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 73: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/73.jpg)
2
0 02 0 d x x t x v tdt
2
2
0 0 0
0
1) 0
2) 0 0
3)
d xdt
x t x v x
dx v t vdt
![Page 74: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/74.jpg)
0 0x t x v t
2 4 6 8 1 0t s2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
xtm m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
![Page 75: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/75.jpg)
0 0 0 x t x v t v t v
2 4 6 8 1 0t s
5
1 0
1 5
2 0
vtms m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
![Page 76: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/76.jpg)
0 0 0 0x t x v t v t v a t
2 4 6 8 1 0t s
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
atms2 m 1 K g. x 0 15 m. v 0 10 ms.
![Page 77: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/77.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
d xmdt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
![Page 78: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/78.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d xmdt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
![Page 79: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/79.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
![Page 80: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/80.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d xmdt
lineal
1
2
1 2
En el caso de ecuaciones homogeneas:
Una combinación lineal de soluciones
es también una solución.
Si es una solución y
es una solución,
es también una solución.
x t
x t
x t x t
![Page 81: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/81.jpg)
2
2 0 una ecuación lineald xmdt
1 2
1 2
Si es una solución y es una solución,
es también una solución.
x t x t
x t x t
1 2
1 2
2 221 2
2 2 2
2
2
2
2
0 0 0
0
u t x t x t
dx dxdudt dt dt
d x d xd udt dt dt
d udt
d udt
![Page 82: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/82.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
d xmdt
El segundo miembro de la
ecuación es igual a cero.
![Page 83: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/83.jpg)
2
2 0
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal homogénea
con coeficientes constantes.
d xmdt
El coeficiente es , que
en este caso es constante
m
![Page 84: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/84.jpg)
2
2 0d xmdt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
![Page 85: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/85.jpg)
0 0x t x v t
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella no actua ninguna fuerza.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 86: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/86.jpg)
0 0x t x v t
1 2 3 4 5t s
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
xtm m 1 K g. v 0 10 ms.
![Page 87: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/87.jpg)
0 0x t x v t
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0t s
2 5
2 0
1 5
1 0
5
xtm m 1 K g. x 0 15 m.
![Page 88: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/88.jpg)
![Page 89: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/89.jpg)
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
![Page 90: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/90.jpg)
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
![Page 91: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/91.jpg)
2
2 0d xdt
0
0
dx dvv mdt dt
dvdt
![Page 92: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/92.jpg)
![Page 93: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/93.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
![Page 94: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/94.jpg)
2
2
d xm Fdt
![Page 95: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/95.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
2
2
d xm Fdt
![Page 96: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/96.jpg)
2
2
d x F amdt
dxvdt
dv adt
![Page 97: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/97.jpg)
El cambio de variable genera
una reducción de orden.
Pasamos de una de segundo orden
a una de primer orden.
2
2
d x adt
dx dvv adt dt
![Page 98: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/98.jpg)
1
dv dva dt adtdt dt
v t at c
dv adt
![Page 99: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/99.jpg)
1
1
21 2
12
dx at cdtdx dt at c dtdt
x t at c t c
2
2
1
d x adt
dx dvv a v t at cdt dt
![Page 100: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/100.jpg)
2 0
2 0
21 0
0 y 0
y
12
x t c x t x
c x
x t at c t x
2
21 22
1 2
d x a x t at c t cdt
![Page 101: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/101.jpg)
1 0
1 0
20 0
0 y 0
y
12
v t c v t v
c v
x t at v t x
2
21 0 12
1 2
d x dxa x t at c t x at cdtdt
![Page 102: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/102.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
![Page 103: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/103.jpg)
2
20 02
1 2
d x a x t x v t atdt
2
0 2
0 0 0
0 00
1) ,
12) 0 0 (0)2
3) 0 0t
dx d xv at adt dt
x t x v a x
dx v t v a vdt
![Page 104: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/104.jpg)
1 2 3 4 5ts
2 0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m. v 0 7 ms.
20 0
12
x t x v t at
![Page 105: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/105.jpg)
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at
0 1 2 3 4 5ts
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0vtm s F 10 N . m 1 Kg. x 0 5 m. v 0 7 ms.
![Page 106: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/106.jpg)
20 0 0
1 2
x t x v t at v t v at a t a
2 4 6 8 1 0ts
5
1 0
1 5
2 0
a tm s 2 F 10 N . m 1 K g. x 0 5 m . v 0 7 ms.
![Page 107: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/107.jpg)
2
2
d x adt
• Es una ecuación diferencial ordinaria
• Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
• Es una ecuación diferencial lineal
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
• Es una ecuación diferencial lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
![Page 108: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/108.jpg)
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
d x adt
La incógnita o función desconocida
depende de una sóla variable.
x t
![Page 109: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/109.jpg)
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
d x adt
La mayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
![Page 110: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/110.jpg)
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
d x adt
2
2
La función desconocida,
en este caso,
y sus derivadas, en este caso,
aparecen a la potencia 1.
x t
d xdt
lineal
![Page 111: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/111.jpg)
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
d x adt
El segundo miembro de
la ecuación NO es igual a
cero.
![Page 112: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/112.jpg)
2
2
Es una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal NO homogénea
con coeficientes constantes
d x adt
El coeficiente es 1 que
es constante
![Page 113: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/113.jpg)
0
0
Una partícula puntual de masa
se encuentra en a 0
y tiene una velocidad igual a .
Sobre ella actua una fuerza constante.
Describe su movimiento.
m
x t
v
20 0
12
x t x v t at
![Page 114: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/114.jpg)
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. v 0 7 ms.
![Page 115: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/115.jpg)
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
xtm F 10 N . m 1 K g. x 0 15 m.
![Page 116: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/116.jpg)
20 0
12
x t x v t at
1 2 3 4 5t s
1 0 0
5 0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
xtm m 1 K g. x 0 5 m. v 0 10
![Page 117: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/117.jpg)
![Page 118: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/118.jpg)
2
2, , 0
y
d y dyF xdx dx
La ecuación no contiene
la función buscada :
![Page 119: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/119.jpg)
, , 0
1.
dyp
dx
dpF p xdx
Se hace el cambio de variable
y entonces queda
que es de orden
2
2, , 0
d y dyy F x
dx dx
La ecuación no contiene la función buscada :
![Page 120: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/120.jpg)
2
2
d x adt
dxvdt
dv adt
![Page 121: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/121.jpg)
![Page 122: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/122.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de
la gravedad, desde el infinito hasta la
superficie de la tierra. ¿Cuál es la
velocidad con que llega a la superficie
de la tierra?.
i) La altura se mide desde el centro de la tierra y el
radio de la misma es de 6400 km aproximadamente.
ii) Despreciar los efectos de la atmósfera.
![Page 123: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/123.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el centro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
2
2 2
2
La ecuación diferencial que soluciona este problema
se deriva de la segunda ley de Newton y de la ley de
la gravitación universal. En efecto, tenemos
reduciendo y poniendo obtenemos
d r Mmm Gdt r
k GM
d r
2 2
que es una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden no lineal.
kdt r
![Page 124: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/124.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2
d r Mm d r km Gdt r dt r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Como la variable independiente, , no aparece,
podemos reducir el orden de la ecuación en 1
mediante la sustitución
t
drvdt
![Page 125: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/125.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2.
d r Mm d r k drm G vdt r dt r dt
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
2
2
Haciendo eso tenemos
y la ecuación queda
que ya es de primer orden
y de variables separables.
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r
![Page 126: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/126.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
2 2 2 2 2.
d r Mm d r k dr dv km G v vdt r dt r dt dr r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
2
21
1
La integramos
y obtenemos
12de donde
12
drvdv kr
kv cr
v k cr
![Page 127: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/127.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k cdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos
1
1
Debemos hacer ahora que se
cumplan las condiciones iniciales
0 2
de donde
0
y por tanto la velocidad es
12
v r k c
c
v kr
![Page 128: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/128.jpg)
Un cuerpo cae, bajo la única acción de la gravedad, desde el infinito hasta la superficie de la tierra.
¿Cuál es la velocidad con que llega a la superficie de la tierra? La altura se mide desde el cent
2 2
12 2 2 2 2
1. 2
d r Mm d r k dr dv km G v v v k c vdt r dt r dt dr r r
ro
de la tierra y el radio de la misma es de 6400 km aproximadamente. Despreciar los efectos de la atmósfera.
Hacemos 1
2kr
11.2 km/sv
11 2 2 24
Sustituyendo los valores
2 6.67259×10 Nm / kg 5.9742×10 kg26400000m
GMvR
![Page 129: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/129.jpg)
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a
la variable independiente
![Page 130: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/130.jpg)
2
2
dyp y
dx
d y d dp dy dpp p
dx dx dy dx dy
Se hace el cambio de variable
Entonces queda
2
2
:
, , 0
x
d y dyF ydx dx
La ecuación no contiene a la variable independiente
![Page 131: 1.Principios de variable compleja 2.Análisis de Fourier 3.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062807/5665b48e1a28abb57c922465/html5/thumbnails/131.jpg)
2
2 2
d r kdt r
2
2
2
y la ecuación queda
que ya es de primer orden y de variables separables.
drvdt
d r d dr dv dv dr dvvdt dt dt dr dt drdt
dv kvdr r