1ro Grado - Geometria - Nelson - 2013
-
Upload
ivan-velez-vargas -
Category
Documents
-
view
85 -
download
10
Transcript of 1ro Grado - Geometria - Nelson - 2013
“Vive la universidad desde el colegio”
1 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
1.- EFINICIÓN: Es un conjunto infinitos de puntos de un
plano, que equidista de otro punto fijo del mismo plano
llamado centro.
2.- CÍRCULO: es la reunión de una circunferencia y su
región interior.
3.- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1. Centro : “O”
2. Radio : OA
3. Diámetro : AB
4. Cuerda : PQ
5. Arco : BC
6. Flecha o sagita : EF 7. Recta tangente : L1 8. Recta secante : L2 9. Pto. de tangencia :”T” 10. Sector circular : BOC 11. Segmento circular : MN
3.1 RADIO: segmento que une el centro de la
circunferencia con cualquiera de sus puntos.
3.2 CUERDA: segmento que une dos puntos
cualesquiera de la circunferencia.
3.3 DIÁMETRO O CUERDA MÁXIMA: es una cuerda
que pasa por el centro de la circunferencia.
4.- PROPIEDADES:
4.1.- Si “T” es punto de tangencia, entonces:
1LOT .
4.2.- Si: A y B son puntos de tangencia, entonces:
PA = PB
También : si “O” es centro.
PO es bisectriz BP̂A
4.3.- Si: ABOM ; entonces:
AM = MB
I CIRCUNFERENCIA
GEOMETRIA
CAPITULO
Objetivos:
Reconocer entre círculo y circunferencia.
Conocer las componentes y propiedades de circunferencia.
O
E
F
Q
P
A B
N
M
T
L1
L2
C
O T
L1
O
B
A
P
O
M A B
32
2
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
4.4.- Tangentes Comunes Interiores:
AB = CD
4.5.- Tangentes Comunes Exteriores.
AB = CD
5.- ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
5.1.- Ángulo Central:
5.2.- Ángulo Inscrito:
5.3.- Ángulo Semi-Inscrito:
5.4.- Ángulo Ex - Inscrito:
5.5.- Ángulo Interior:
5.6.- Ángulo Exterior:
a)
b)
c)
A
C
D
B
x° =2
nm
P
B
C D
A m° n°
x° = 2
nm
A
C
B
D
O x°
A
B
C x°
A
B
2x
B
A
2x x
A
B C x°
2x
C
D
B
A
x° m° n°
x°
A
B
n° m° P
x°
P
A
B
C
n°
m°
x = mAB
x =2
mAB
x =2
mAB
x =2
mAB
x° =2
nm
x° =2
nm
33
“Vive la universidad desde el colegio”
3 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
5.7.- De un Ángulo exterior
5.8.- Si AB = CD, entonces : AB CD
1.- Calcula “x” , si “O” es centro.
RESPUESTA:………………………………………
2.- Del gráfico calcula el valor de “x”.
3.- Del gráfico calcula el valor de “x”
RESPUESTA:………………………………………
4.- Calcula el valor de “x”
RESPUESTA:………………………………………
5.- Calcula el valor de
RESPUESTA:………………………………………
6.- Calcula x:
RESPUESTA:………………………………………
7.- Calcula “x”, si “O” es centro.
a) 53° b) 37° c) 45°
d) 30° e) 60°
8.- Calcula “x”, si O y O’ son centros.
a) 35° b) 45° c) 55°
d) 65° e) 40°
9.- Calcula “x” si “o” es centro.
a) 40° b) 45° c) 30°
d) 50° e) 60°
x° y°
B C
A D
A B o
C
4
8
x° D
40° x°
60° 80° x°
60°
x° 80° 60°
O
D
C x°
6
4
B A
x°
o
x + y = 180
x 112
56°
O O’
PRACTICANDO EN
CLASE
34
4
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
10.- Calcula “x” si “o” es centro.
a) 15° b) 30° c) 50°
d) 25° e) 10°
11.- Calcula “x”
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
12.- Calcula “x” si: BCAB
a) 60° b) 30° c) 50°
d) 55° e) 40°
13.- Calcula “x”
a) 10° b) 20° c) 15°
d) 5° e) 12°
14.- Calcula “x”
a) 100° b) 80° c) 90°
d) 120° e) 150°
15.- Calcula “x”
a) 140° b) 90° c) 130°
d) 120° e) 110°
1.- Calcula “x”, si “O” es centro
a) 15° b) 40° c) 10°
d) 20° e) 30°
2.- Calcula “x” si “O” es centro.
a) 15° b) 18° c) 12°
d) 10° e) 20°
3.- Si: + - = 80°, calcula “x”
o 2x x
x°
40°
A
C B
100° o x°
x°
x
60°
2x
50°
x°
x°
x° 120° 80°
x°
°
Reforzándonos en
casa
35
“Vive la universidad desde el colegio”
5 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 35 b) 55 c) 65
d) 40 e) 50
4.- Calcula (x + y)
a) 135 b) 120 c) 90
d) 105 e) 180
5.- Calcula (x + y + z)
a) 90 b) 540 c) 360
d) 270 e) 180
6.- Calcula (w + x + y + z)
a) 150° b) 225° c) 270°
d) 90° e) 180°
1.- Calcula “x” si “O” es centro.
a) 80° b) 40° c) 60°
d) 70° e) 50°
2.- En la figura, calcula “R”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2,5
3.- Si ABCD es cuadrado, calcula el perímetro del triángulo
EBG.
a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 16
4.- En la figura, calcula “x” si “O” es centro.
x°
y°
x°
y°
z°
y° z°
w° x°
R 5
3
A
B C
D
E
G
4
5 3
x
o
Evaluó mi
conocimiento
36
x°
20°
o
6
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
5.- Calcula “x” si “O” es centro
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
x
x
o
1
53°
37
“Vive la universidad desde el colegio”
7 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
1.- TEOREMA DE THALES:
Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más
rectas secantes segmentos cuyas longitudes son
proporcionales.
Si: L1 // L2 // L3
Si: L1 // L2 // L3
2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN
UN TRIÁNGULO
Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e
intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos
cuyas longitudes son proporcionales.
Si: AC//MN
3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y
EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:
En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior
determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas
longitudes son proporcionales a las longitudes de los
lados que forman el ángulo de donde se traza dicha
bisectriz.
a).- BISECTRIZ INTERIOR:
b).- BISECTRIZ EXTERIOR:
4.- TEOREMA DEL INCENTRO:
En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en
dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la
suma de las longitudes de los lados que forman el
ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud
del tercer lado.
a
b
m
n
n
m
b
a
a b
x
m n
a x
b
B
A E C n
m
x2 = ab - mn
n
m
b
a
x2 = mn - ab
II
PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
GEOMETRIA
CAPITULO
Objetivos:
Diferenciar y reconocer los diferentes teoremas que se utilizan en este tema que es proporcionalidad y semejanza de triángulos.
n
m
b
a
n
m
b
a
A
B
C
c a
b
I
D
L1
L2
L3
a m
b n n
m
b
a
B
A
N
C
M
a
b
m
n
ID
BI
b
ac
38
8
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
5.- TEOREMA DE MENÉALO:
En todo triángulo al trazar una recta transversal o
secante, se determina seis segmentos sobre los lados de
dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de
tres segmentos no consecutivos es igual al producto de
las longitudes de los otros tres segmentos.
6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
6.1).- DEFINICIÓN:
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres
ángulos interiores de igual medida y las longitudes de
sus lados son directamente proporcionales.
El ABC ~PQR
6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
a.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos
ángulos respectivamente congruentes.
b.- Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un
ángulo respectivamente congruente y las longitudes
de los lados que forman a dicho ángulo
respectivamente proporcionales.
c.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres
lados respectivamente proporcionales.
1.- Del gráfico calcula el valor de “x”.
Si L1 // L2 // L3
RESPEESTA:……………………………………..
2.- Calcula “x” si: AC//PQ
RESPEESTA:……………………………………..
3.- Calcula “x.y.z”, si: a.b.c = 24
RESPEESTA:……………………………………..
4.- Del gráfico calcula “x”:
RESPEESTA:……………………………………..
a.b.c = x.y.z
b x
a
y
z c
D
Q
R
ak ck
bk
C A
B
c a
b
12
9 3
4
10 12
14
5 6
7
PRACTICANDO EN
CLASE
A
B
C
D
E
F
8 x
20 x+6
A
B
C
P Q
6
x-3 x-4
x-2
a
b
y
x
c
z
16 x
9 x
39
“Vive la universidad desde el colegio”
9 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 además AB = 3; CD = 4; EG = 6 y
FH= 7
RESPEESTA:……………………………………..
6.- Calcula “x”
RESPEESTA:……………………………………..
7.- Calcula DE . Si: 4AB ; BCDE y 1 BCEF ;
además L1 // L2 // L3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2,5 e) 3,5
8.- Calcula “x”, si AC//PQ
a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3
9.- Calcula “x”: L1 // L2 // L3
a) 5 b) 6 c) 8
d) 12 e) 10
10.- En la figura calcula “x”, si AC//MN .
a) 8 b) 21 c) 17
d) 12 e) 14
11.- Calcula : MN , si AB = 12; AC = 9 ; BN = 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12.- Calcula “x”
a) 21,6 b) 12 c) 13,5
d) 15 e) 24
13.- Calcula “m - n”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
14.- Calcula: “m + n”
B
A C
6 8
n m
7
E
A
B
C
P Q
6
x-3
x-2
x-4
A E
F
G
H
B
C
D
L1
L2
L3
L4
x
A
B
C
8 4
5 x
M
A D
E
F
B
C
L1
L2
L3
x
L1
L2
L3 4
12
8
3a 21
x 2a
A
B
C
N M
A
B
C
M
N
B
A C
x
D
24
E
40
40
10
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
15.- Calcula x.
a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15
1).- Calcula “x”, si 18 PByAP
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
2.- Calcula “x”
a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45
d) 1,75 e) 2,75
3.- Calcula “x”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
4.- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 9
5.- Calcula “x”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
1.- En un triángulo ABC, AB =10; BC =14 y AC =12, se
traza BD bisectriz interior (“D” en AC ), calcula AD .
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
2.- En la figura calcula AD .
P
B
C A
x
P
B
Q
A C x
x
4 9 M N
E F
B
C A G
24
12
B
C A
F
E
4
2
x
8
E
A C B
D
x
2x
REFORZANDONOS EN
CASA
EVALUÓ MI
CONOCIMIENTO
B
C
P
A
30
50
B
A C
6 m
n 4
7
E
41
“Vive la universidad desde el colegio”
11 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
3.- En la figura, calcula x.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
4.- Calcula BD
DE
a) 7
6 b)
6
7 c)
5
2
d) 8
4 e)
11
10
5.- En la figura: L1//L2//L3. AB =5; EF =x+2; BC =7 y FG
=2x –2. Calcula “x”.
a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
6.- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB =5; CD =7; EG = 15 y
FH= 19. Calcula “FG ”.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
B C
D
A E
8
5
16
B
A D
C 4
9
x
7
C
E
A
B
6
D
A35° Ex°
B F
C G
L1
L2
L3
A E
B F
C G2x
L1x°
L2o
L3
D H L4
42
12
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Se llama proyección ortogonal de un punto, sobre una
recta, al pie de la perpendicular desde el punto a la recta.
Ejem :
A’ : Proyección de A, sobre l.
MN : Proyección de AB , sobre l.
AN : Proyección de AB , sobre l.
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
1) a2 = n . b
2) c2 = m . b
3) h2 = m . n
4) a . c = b . h
5) a2 + c2 = b2
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
OBLICUÁNGULO
TEOREMA DE EUCLIDES
a)
a2 = b2 + c2 - 2bm para < 90°
b)
a2 = b2 + c2 + 2bm para > 90
III
RELACIONES MÉTRICAS
GEOMETRIA
CAPITULO
Objetivos:
Saber utilizar las relaciones métricas para así aplicar los teoremas para resolver ejercicios
a
b A
B
C
c
m
C
a c
m
b
C A
B
A
B B
M N N A l
A
A’
a c
m n
b
A
B
h
43
“Vive la universidad desde el colegio”
13 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
TEOREMA DE HERÓN
H = )cP)(bP)(aP(Pc2
Donde : P = 2
cba
TEOREMA DE LA MEDIANA
a2 + b2 = 2x2 + 2
c 2
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS
TEOREMA DE LA TANGENTE
TEOREMA DE LAS SECANTES
1) Del gráfico halla el valor de “x”
RESPUESTA:……………………………………
2) Halla “x”
RESPUESTA:……………………………………
3) Halla “h”, si AC es diámetro.
RESPUESTA:……………………………………
4) Halla “x”
PRACTICANDO EN
CLASE b a
x
c
a.b = x.y
x
y
b
a
a
b
x
x2 = a . b
a
b
y
x
ab = x . y
b a h
c
8cm
12cm
3cm
x
x 5
6
4 9
h
C A
B
x
12
C A
B
9
44
14
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
RESPUESTA:……………………………………
5) Halla “x”
RESPUESTA:……………………………………
6) Halla “x”
RESPUESTA:……………………………………
7).- Calcula “x” :
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
8).- Calcula “x”
a) 20 b) 15 c) 13
d) 12 e) 10
9).- Calcula “x” :
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
10).- Calcula “x” :
a) 3 b) 2 c) 1
d) 2 3 e) 4 3
11).- Calcula “x” :
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
12).- Calcula “CD”, si : AB =8 ; BC = 4; DE =6
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 2,5
13).- Calcula “x” :
a) 9 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
5
4 6
x
C A
B
x
8
4 6
9 - x
18 - x
16 - x
x
a (a+1)
42
6
x
4
x 6 12
x+1
6
x
A B
C D
E
4
6
12
x
45
“Vive la universidad desde el colegio”
15 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
14).- Calcula : CQ, si : MCAM ; AP = 3; PB = BC =9
a) 4 b) 2 c) 3
d) 5 e) 1
15).- Calcula “x” , si O y O’ son centros.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
1).- Calcula “x” :
a) 3 b) 4 c) 6
d) 8 e) 2
2).- Calcula “x”, si “O” es centro :
a) 2 b) 4 c) 6
d) 3 e) 1
3).- Calcula “x” :
a) 20 b) 15 c) 14
d) 12 e) 16
4).- Calcula “R” :
a) 6 b) 4 c) 3
d) 8 e) 5
5).- Calcula “AL” si : BF=5; FH=4 y “O” es centro.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 5 e) 2
6).- Calcula “x” :
a) 6 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
REFORZANDONOS EN
CASA
4
1
x
4
x
2 5
x
O
x + 4
x-4 x
6
2
R
10
O A
F H
B
L
A
P
B
Q
C M
6 0’
4
x 0
46
16
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
1).- Calcula “AB” si “O” es centro :
a) 2 b) 6 c) 8
d) 10 e) 4
2).- Calcula “x” en la semicircunferencia mostrada.
a) 2 b) 1 c) 4
d) 3 e) 8
3).- En la figura, calcula “x” :
a) 3,5 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
4).- Calcula “x” :
a) 7 b) 8 c) 5
d) 6 e) 4
5).- Calcula “x” :
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
REFORZANDONOS EN
CASA
6
x
8
7 8
5 x
o
B A
3
5
17 10
21
x
7
8
3 x
47
“Vive la universidad desde el colegio”
17 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
1).- INTRODUCCIÓN
Desde la más remota antiguedad, la determinación del
área de una superficie ha sido importante y necesaria.
Recordemos como en el antiguo Egipto, los pobladores
parcelaban las riveras del rio Nilo con figuras que tenian
formas geométricas; sin embargo frecuentemente el rio
se desbordaba y borraba los limites de dichas parcelas.
Esta circunstancia obligo a los egipcios a inventar un
sistema rudimentartio para medir las parcelas.
En los capítulos anteriores estudiamos varios polígonos.
En este capítulo estudiaremos las porciones de plano
limitadas por los poligonos. Estas porciones de plano
limitadas por polígonos se denominan regiones
poligonales.
2).- ÁREA
Se llama área de una figura a la medida de la superficie
ocupada por dicha figura expresado en unidades
cuadradas.
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
Es el conjunto de puntos que resulta de unir un triángulo
y su interior.
1).- FORMULA GENERAL
El área del triangulo es el producto de la medida de la
base por la medida de su altura entre dos.
2.- TRIÁNGULO EQUILÁTERO
* En función de su lado:
* En función de su altura:
IV ÁREA DE REGIONES POLIGONALES
GEOMETRIA
CAPITULO
Objetivos:
Reconocer y saber diferenciar las cantidades de polígonos que hay, y también sus áreas.
A
B
C
h
b
C A
B
b
h
h
b
B
C A
SABC = 2
h.b
A
B
C
l l
l
SABC = 4
3l2
A
B
C
h
SABC = 3
32h
48
18
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
3.- FÓRMULA DE HERÓN
4.-RELACIONES ENTRE ÁREAS
* 1ra Relación: Siendo BM una ceviana
Se cumple:
* 2da Relación: Siendo BM una mediana
Se cumple:
* Observación
1) Cuando trazamos sus medianas de un triángulo se
cumple:
* Que los triángulos formados sus áreas son de igual
medida.
2) Cuando trazamos la base media de un triángulo se
cumple:
1
S
4
S BMNABC
1).-Halla el área de la región sombreada.
RESTUESTA:……………………………………
2).- calcular el área del triangulo MOC, si el área del
triangulo es 240u2.
RESTUESTA:………………………………….
3).- Calcula el área del triángulo ABC, si AB = 20cm .
b
a
S
S
2
1
S1 = S2
C
S
S
S S
S
S
B
M
P A
N
S
3S
M N
B
A C
a b
C A
B
S1 S2
M
C A
B
S1 S2
a a M
Practicando en clase
A C
B
a c
b
Semiperímetro : p
p = 2
cba
SABC = )cp)(bp)(ap(p
C
O
B
M
P A
N
C H A
B
45° 53°
B
C A
8m
60 60
49
“Vive la universidad desde el colegio”
19 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
RESTUESTA:………………………………….
4).- Según la figura, AC = 18 , BH = 12, además
BH = 3 EH . Calcula el área de la región ABCE.
RESTUESTA:………………………………….
5).- Calcula el área del triángulo MBN, si el área del
triángulo ABC es 200u2.
RESTUESTA:………………………………….
6).- Calcula el área de la región sombreada si el área del
triángulo ABC es 225u2.
RESTUESTA:………………………………….
7).- Calcula el área del triángulo ABD, si AD = 4cm y DC =
12cm.
a) 21 b) 24 c) 46
d) 22 e) 48
8).- Calcula el área del triángulo AMC, si BM = MH; AH =
3cm y HC = 8cm.
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 26
9).- calcular el área del triángulo ABC, si AD = 6cm y DC=
4cm
.
a) 13 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
10).- Calcula el área de un triángulo, si sus lados miden 8;
10; 14cm respectivamente.
a) 3 b) 14 6 c)16 6 d) 7e) 8
11).- Calcula el área del triángulo ABC, si BH = 8cm .
a) 35 b) 55 c) 56 d) 70 e) 80
12).- calcular el área del triangulo ABC, si el erea del
triangulo BON es 12u2
12 BON es 12u2. C
O
B
M
P A
N A
B
C D 45°
A B
D
53°
A
B
C
E
H
A
C H A
B
45° 53°
A
B
C H
M
45°
M N
B
C
A
B
C
2K 3
K
D
50
20
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 72 b) 74 c) 76
d) 70 e) 78
13).- Calcula el área del triángulo ABC, si el área del
triángulo BMN es 25u2.
a) 35 b) 50 c) 60
d) 75 e) 80
14).- Calcula el área del triángulo BCD, si AC = 6cm; BC =
7cm y DE = 3cm.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
15).- Calcula el área del triángulo OTP, si el radio mide
5cm ; OP = 13cm.y “T” es punto de tangencia.
a) 30 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
16).- Calcula el área de un triángulo ABC , si AB = 12 , BC
=12 y la medida del ángulo B es 60°.
a) 36 3 b) 52 c)64 2
d) 72 e) 80
I).- Subraya la alternativa correcta.
1).- Calcula “a” si el área del triángulo PQT es 24u2.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
2).- Los catetos de un triángulo rectángulo son entre si
como 3 es a 4, el área de su región interior del triángulo
es 54u2. ¿Cuánto mide su hipotenusa
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) NA
3).- El perímetro de un triángulo equilátero es 12u. Calcula
el área de su región interior.
a) 4 3 b) 5 2 c) 26
d) 8 e) 16
4).- Los catetos de un triángulo rectángulo están en
relación de 1 es a 2, calcula la longitud del cateto mayor
si el área del triángulo es 16u2.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
5).- Según la figura, AC = 12 , BH = 8, además BH = 2EH.
Calcula el área de la región ABCE.
M N
B
A C
A
B
C
D
E
T
O
P
r
REFORZANDONOS EN
CASA
P T
Q
3a
a
A
B
C
E
H
45
°
51
“Vive la universidad desde el colegio”
21 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
a) 24 b) 96 c) 52
d) 42 e) 48
1).- Calcula el área de la región sombreada si el área del
triángulo ABC es 48u2.
a) 12 b) 36 c) 44
d) 24 e) 48
2).- De la figura, BM = MC y AQ = QM, el área del triángulo
ABQ es 4u2.Calcula el área del triángulo ABC.
a) 30 b) 15 c) 16
d) 75 e) 18
3).- Si SABC = 25 m2, calcula SABM.
a) 5 b) 15 c) 25
d) 10 e) 20
4).- El lado del cuadrado ABCD mide 6u. Calcula el área
de la región sombreada.
a) 27 b) 18 c) 36
d) 36 e) 9
5).- si “M” es el punto medio de CD, ABC es en cuadrado
de lado 4cm. Calcular el área de la región sombreada.
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
.
A
B C
D
M
A
B C
D
A
B
C M 2a 3a
A
B
C K 3K
C
A
B
M
Q
C
EVALUO MI
CONOCIMIENTO
52
22
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
PRINCIPALES ÁREAS CUADRANGULARES
CUADRADO
El área de un cuadrado se calcula como la longitud del
lado al cuadrado o su diagonal al cuadrado entre dos.
* En función de su lado
* En función de su diagonal
RECTÁNGULO
El área del rectángulo se calcula como el producto de su
base por su altura.
PARALELOGRAMO
El área del paralelogramo se calcula como el producto de
su base por su altura.
ROMBO
El área de un rombo se calcula como el semiproducto de
sus diagonales.
TRAPECIO
El área de un trapecio se calcula como el producto de la
semisuma de sus bases por su altura.
V
ÁREA DE REGIONES
CUADRANGULARES
GEOMETRIA
CAPITULO
Objetivos:
Definir el área de regiones cuadrangulares en la superficie delimitada.
A
B C
D
l
l
d
A
B C
D
SABCD = l2
SABCD = 2
2d
A
B C
D
h
b SABCD = b.h
1h.bSABCD A
B C
D b
h1
A
B
C
D
d1
d2
SABCD = 2
21 d.d
A
B C
D a
b
h
hba
SABCD
2
53
“Vive la universidad desde el colegio”
23 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
PROPIEDADES
PARA UN PARALELOGRAMO:
A).-
B).-
C).-
PARA UN TRAPECIO:
A).-
B).-
C).-
PARA UN RECTÁNGULO:
A).-
B).-
* OTRAS PROPIEDADES
1).-Para cualquier cuadrilátero.
2).-Para cualquier cuadrilátero.
3).-Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia.
p :semiperímetro
S1
S2 S3
S4 P
S1.S4 =S3.S2
A
B
C
D
a
b
c
d
r
S = p.r
S
C
D
B
A S = 2
ABCDS
A
B C
D
S=2
ABCDS
S2 S1
B
A
C
D
21 SS
S=2
ABCDS
A
B C
D
S
S
S
S
A
B C
D
s1
S2
A
B C
D
S S=2
ABCDS
21 SS
S
C
D A
B S1
S2 21 SSS
S
S2
S1
S
A
B C
D 21 S.SS
21 SSSABCD
A
B C
D
h S
54
24
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
1) Del gráfico, halla el valor de “S”,si AD = 18 y CD = 12.
RESPUESTA:……………………………….
2).- Calcula el area del trapecio ABCD.
RESPUESTA:……………………………….
3).- Calcula “S”, si el area del cuadrilátero ABCD es 84u2.
RESPUESTA:……………………………….
4).-Calcula el área del trapecio ABCD si
AC CD . Si AH = 16 ; HD = 4 y
BC = 9.
RESPUESTA:……………………………….
5).- Calcula el área del cuadrado.
RESPUESTA:……………………………….
6).- Calcula “S”.
RESPUESTA:……………………………….
7).- Calcula S2, si S1 = 15; S3 = 45 y S4 = 30
RESPUESTA:……………………………….
8).-Calcula el perímetro de un cuadrado si el área de su
región mide 256u2.
a) 21u b) 64u c) 32u
d) 16u e) 15u
9).-La base de un rectángulo mide el doble de su altura, su
área es 18u2.Calcula la longitud de su base.
a) 2u b) 6u c) 3u
d) 1u e) 5u
10).-Las bases de un trapecio miden 9u y 14u, su altura
12u. Calcula el área de su región.
a) 121u2 b) 164u2 c)138u2
d) 156 u2 e) 128u2
A
B C
D
S
A
B C
D 10
6
8
S
C
D
B
A
H
B
A
C
D
8 2
A
B C
D
S
C
D A
B
16
24
S1
S2 S3
S4
P
EJERCICIOS PARA LA
CLASE
55
“Vive la universidad desde el colegio”
25 Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
11).-El área del paralelogramo ABCD es 112u2. Calcula el
valor de “h”.
a) 1u b) 6u c) 2u
d) 7u e) 5u
12).-Las diagonales de un rombo son entre si como 2 es a
3, el área de su región es 384u2. Calcula la suma de sus
diagonales.
a) 21u b) 64u c) 32u
d) 16u e) 40u
13).-Las bases de un trapecio miden 4u y 10u, el área de
dicho trapecio mide 63u2. Calcula su altura
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 15
14).-El largo de un rectángulo excede al ancho en 2u. Si el
perímetro es 16u. Calcula el área del rectángulo.
a) 21u2 b) 64u2 c) 32u2
d) 16u2 e) 15u2
15).- calcular el área del paralelogramo ABCD si BE= 5
2
a) 10 b) 60 c) 20
d) 70 e) 80
16).- calcular el área de la región sombreada si ABCD es
un rectángulo.
a) 2 b) 6 c) 13
d) 16 e) 15
I).- Subraya la alternativa correcta.
1).- El área del cuadrado AEFD es 81 y el área de EBCF
es 63. Calcula el perímetro del rectángulo ABCD.
a) 98 b) 50 c) 144
d) 72 e) 75
2).- Calcula el área de la región sombreada si ABCD es un
rectángulo y AD = 2 , CD = 4.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
A
B C
D 16
h
D
A B
C
E
F
A
B
D
C
A
B C
D
45°
8 E
A
B
D
C 3 2
4
2
REFORZANDONOS EN
CASA
56
26
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
3).- En un rombo de lado 5 , una diagonal es el doble de la
otra. Calcula su área
a) 20 b) 16 c) 13
d) 18 e) 15
4).- En un trapecio rectángulo la base mayor mide 18, la
base menor y su altura tienen la misma medida y la
diagonal menor mide 8 . Calcula su área.
a) 20 b) 60 c) 13
d) 16 e) 15
5).- El área de un rectángulo es 1500. Si se aumenta el
largo en 10 y el ancho aumenta en 30, resulta un
cuadrado, Calcula el lado mayor del rectángulo.
a) 30 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
1).- Calcula el área de un rombo de perímetro 32, si uno de
sus ángulos mide 45°.
a) 32 2 b) 6 c) 13
d) 16 e) 15
2).- La suma de las áreas de dos cuadrados es 218 y el
producto de sus diagonales es 182. Calcula la longitud
del lado mayor.
a) 32 b) 16 c) 13
d) 26 e) 15
3).-Calcula el área del trapecio ABCD si
AC CD . Si AH = 9 ; HD = 4 y
BC = 7.
a) 32 b) 60 c) 13
d) 16 e) 15
4).- En el paralelogramo ABCD, si AB =2 , BC = 4 y
mC = 60°.
Calcula el área de un paralelogramo
a) 4 b) 4 3 c) 8
d) 8 e) 15
5).- En el siguiente grafico, ABCD es un cuadrado de lado
4u,Calcula el área de la región sombreada.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
H
B
A
C
D
A
B C
D b
h1
A B
C D
EVALUO MI
CONOCIMIENTO
Mi amigo es aquel que al conocerme, me acepta tal
como soy. Henri D. Thoreau
57