1+Vectores+en+R3

MOISES VILLENA Cap. 1 Vectores en 3\

1

1

1.1 Definicin 1.2 Enfoque geomtrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones

Objetivos: Representar geomtricamente un vector de 3\ Determinar magnitud y direccin de un vector. Sumar vectores, multiplicar por un escalar a un vector, obtener

el productor escalar y el producto vectorial entre vectores Obtener el rea de un paralelogramo sustentados por dos

vectores. Obtener el volumen del paraleleppedo sustentado por tres

vectores.


2

Tomando como referencia la teora de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.

1.1 DEFINICIN

Un vector de 3\ es una terna ordenada de nmeros reales, denotada de la siguiente manera:

( ), ,x y z=v

1.2 ENFOQUE GEOMTRICO

Geomtricamente a un vector de 3\ se lo representa en el Espacio como un segmento de recta dirigido.

Suponga que se tienen los puntos ( )1111 ,, zyxP y ( )2222 ,, zyxP . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1P hacia 2P tenemos una representacin

del vector ( )1 2 2 1 2 1 2 1, ,PP x x y y z z= = v

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representacin equivalente til es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

x

y

z

v

( )zyxP ,,

x

y

z

v

( )1111 ,, zyxP =

( )2222 ,, zyxP =

Fig. 1.1

Fig. 1.2


3

1.2.1 Magnitud o norma

Sea ( ), ,x y z=v . La magnitud o norma de v denotada como v , se define como:

2 2 2x y z= + +v Note que la norma sera la longitud del segmento de recta que define el

vector. Es decir, la distancia entre los puntos que lo definen.

Para ( )2 1 2 1 2 1, ,x x y y z z= v tenemos: ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z= + + v

1.2.2 Direccin

La direccin de ( ), ,x y z=v est definida por la medida de los ngulo que forma la lnea de accin del segmento de recta con los ejes x , y , z .

Los ngulos , y son llamados ngulos Directores.

Observe que: 2 2 2

x xCosx y z

= = + +v

x

y

z

v Fig. 1.3


4

2 2 2

y yCosx y z

= = + +v

2 2 2

z zCosx y z

= = + +v

Ejercicio

Demostrar que 1coscoscos 222 =++

1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE 3\

Dos vectores ( )1 1 1 1, ,x y z=v y ( )2 2 2 2, ,x y z=v son iguales si y slo si 21 xx = , 21 yy = y 21 zz =

1.4 OPERACIONES

1.4.1 SUMA

Sean 1v y 2v dos vectores de 3\ tales que ( )1 1 1 1, ,x y z=v y ( )2 2 2 2, ,x y z=v entonces la suma de 1v con 2v , denotada como 1 2+v v , se define como:

( )1 2 1 2 1 2 1 2, ,x x y y z z+ = + + +v v

1.4.1.1 Propiedades

Sean 1v , 2v y 3v vectores de 3\ , entonces: 1. 1 2 2 1+ = +v v v v (la suma es conmutativa) 2. ( ) ( )1 2 3 1 2 3+ + = + +v v v v v v (la suma es

asociativa) 3. 3 0 \ , 3 v \ tal que + =v 0 v , Donde ( )0,0,0=0 es llamado Vector Neutro


5

4. 3 v \ , ( ) 3 v \ tal que ( )+ =v v v Donde ( )v es llamado Vector Inverso Aditivo de v

Geomtricamente:

Los vectores 1v y 2v sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el Vector Diferencia.

1.4.2 MULTIPLICACIN POR ESCALAR

Sea \ y ( ), ,x y z=v un vector de 3\ entonces: ( ), ,x y z =v

1.4.2.1 Propiedades

1. ( )31 2 1 2 1 2, , + = + v v v v v v\ \ 2. ( )3, , + = + v v v v\ \ 3. ( ) ( )3, , = v v v\ \ 4. 3, v v v = \ \

x

y

z

( )1 1 1 1, ,x y z=v( )2 2 2 2, ,x y z=v1

2+v

v

Fig. 1.4


6

1.4.2.2 VECTORES UNITARIOS

Un vector u es unitario si y slo s su norma es igual a 1, es decir: 1u =

Un vector v puede ser expresado de la forma v v u= por tanto: = vu

v

1.4.2.3 VECTORES PARALELOS

Sean 1v y 2v dos vectores de 3\ .

Entonces 1v y 2v son paralelos si y slo si el uno es mltiplo escalar del otro; es decir:

1 2k=v v

Observe lo siguiente. Si ( )1 1 1 1, ,v x y z= y ( )2 2 2 2, ,v x y z= ; y si son paralelos entonces ( ) ( )

( ) ( )1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

, , , ,

, , , ,

v vkx y z k x y z

x y z kx ky kz

===

Por igualdad de vectores 1 2 1 2 1 2x kx y ky z kz= = = O tambin:

1 1 12 2 2

x y z kx y z

= = = Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe proporcionalidad

entre sus componentes.


7

Cualquier vector de 3\ , ( ), ,x y z=v , puede ser expresado en combinacin lineal de los vectores ( )1,0,0=i , ( )0,1,0=j y ( )0,0,1=k

( ) ( ) ( ) ( ), , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y z

x y z= = + +

= + +v

v i j k

1.4.3. PRODUCTO ESCALAR. PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO

Sean ( )1 1 1 1, ,x y z=v y ( )2 2 2 2, ,x y z=v vectores de 3\ . El Producto escalar de

1v con 2v denotado como 1 2v v se define como:

1 2 1 2 1 2 1 2x x y y z z = + +v v Ejemplo

Si ( )1 3,1, 2= v y ( )2 1, 4,0= v entonces ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 1 4 2 0 3 4 0 1 = + + = + + =v v 1.4.3.1 Propiedades

Sean 1v y 2v vectores de 3\ . Entonces: 1. 1 2 2 1 = v v v v 2. ( )1 2 3 1 2 1 3 + = + v v v v v v v 3. ( ) ( ) ( )1 2 1 2 = v v v v

Si ( ), ,x y z=v entonces: ( ) ( ) 2 2 2, , , ,x y z x y z x y z = = + +v v . Por lo tanto

2 =v v v o tambin = v v v

Suponga que es el ngulo que forman entre si los vectores 1v y 2v , entonces: 1 2 1 2 cos =v v v v . De aqu podemos calcular el ngulo entre dos vectores.


8

1.4.3.2 VECTORES ORTOGONALES

Sean 1v y 2v dos vectores de 3\ . Entonces 1v y

2v son ortogonales si y slo si 1 2 0 =v v

1.4.3.3 VECTORES ORTONORMALES

Los vectores 1 2 3, ,v v v de 3\ son

ORTONORMALES si y slo si:

1 cuando

0 cuandoi j

i j

i ji j

= = = v vv v

1.4.4. PROYECCIONES

1.4.4.1 PROYECCIN ESCALAR

La proyeccin escalar de 2v sobre 1v , denotada como 1 2proyv v , es la magnitud de la sombra que hace 2v sobre 1v . Observe la figura 17.14.

Del tringulo tenemos : 1 2

2

proycos = v v

v .

Despejando, resulta: 1 2 2

proy cos=v v v

12

2

proycos=

vv

v

2v1v

Fig. 1.5


9

Multiplicando y dividiendo por 1v resulta:

( ) ( )

1

2 1 1 22 2 1

1 1

cosproy

= = = v v v v vv v uv v

1.4.4.2 PROYECCIN VECTORIAL

El vector proyeccin de 2v sobre 1v , denotada como 1 2vproy v , es:

( )1 1 2 12 1 2 11 1

= = vv v vproy v u v u

v v

Ejemplo

Sean ( )1 1, 2,3=v y ( )2 1,1,1=v . Hallar la proyeccin vectorial de 2v sobre 1v . SOLUCIN:

( ) ( )( )( )( )

( )

1

1

1 2 12

1 1

22 2 2

2

1,2,3 1,1,1 1,2,3

1 2 3

6 1,2,314

3 6 9, ,7 7 7

= = =+ +

= =

v

v

v v vproy vv v

proy v

12vproy

v

2v1v

1u

Fig. 1.6


10

Realice el trabajo anlogo para obtener la proyeccin escalar y la proyeccin vectorial de 1v sobre 2v .

1.4.5. PRODUCTO VECTORIAL. PRODUCTO CRUZ

Sean ( )1 1 1 1, ,x y z=v y ( )2 2 2 2, ,x y z=v vectores de 3\ . El Producto Vectorial de 1v con 2v denotado como 1 2v v se define como: ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2, ,y z z y x z x z x y y x = v v

Una manera prctica para obtener el resultado de la operacin Producto Cruz

entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila:

1 2 1 1 1

2 2 2

i j kx y zx y z

=v v

Ejemplo.

Sea ( )1 1, 2, 1= v y ( )2 2, 1,0= v entonces

1 2 1 2 1 2 52 1 0

i j k = =

v v i j k

2

1v

proy

v

2v1v

2uFig. 1.7


11

1.4.5.1 Propiedades.

Sean 1v , 2v y 3v vectores de 3\ 1. El vector ( )1 2v v es tanto perpendicular

a 1v como a 2v 2. El sentido del vector ( )1 2v v se lo puede

obtener empleando la mano derecha. Mientras los dedos se dirigen desde 1v hacia 2v , el pulgar indica la direccin de ( )1 2v v .

3. ( )1 2 2 1 = v v v v 4. 1 1 =v v 0 5. Si 1 2//v v entonces 1 2 =v v 0 6. ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 = v v v v 7. ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 + = + v v v v v v v 8. ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2 = v v v v v v

De la ltima expresin, empleando la propiedad del producto escalar, se

obtiene un resultado muy importante: ( )( )

2 2 2 21 2 1 2 1 2

22 21 2 1 2

2 2 2 2 21 2 1 2

2 2 21 2

2 2 2 21 2 1 2

cos

cos

1 cos

sen

= = =

= =

v v v v v v

v v v v

v v v v

v v

v v v v

Finalmente: 1 2 1 2 sen =v v v v

1v

2v

1 2v v

Fig. 1.8


12

1.4.5.2 APLICACIONES

1.4.5.2.1 CALCULO DEL REA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES.

Sean 1v y 2v dos vectores, no paralelos. Observe la figura:

Tomando como base a 2v , tenemos:

2

Area=basealturah= v

Observe que 1

sen h =v

entonces 2 1Area sen= v v Y por la propiedad del producto cruz: 1 2Area = v v

Ejemplo 1

Hallar el rea del tringulo sustentado por los vectores ( )1 1, 2, 1= v y ( )2 2, 1,0= v SOLUCIN: El rea del tringulo sustentado por dos vectores 1v y 2v es la mitad del rea del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:

1 2Area Tringulo2= v v

Como 1 2 1 2 1 2 52 1 0

= =

i j kv v i j k

Entonces:

( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 5 30Area Tringulo

2 2 2 + + = = =v v

1v

2v h

2v

1v

Fig. 1.9


13

Ejemplo 2

Hallar el rea del tringulo que tiene por vrtices los puntos ( )0,2,1 , ( )1,1,1 y ( )1,0,2 SOLUCIN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera anloga a lo mencionado anteriormente debido a que el rea del tringulo es la mitad del rea del paralelogramo.

En este caso, ( ) ( )1 1 2 1 1, 1 ( 2), 1 0 0,3,1PP= = =v ( ) ( )2 2 3 2 1, 0 ( 2), 1 0 3, 2,1P P= = = v Entonces,

1 2 0 3 1 3 93 2 1

= =

i j kv v i j k

( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 3 9 91Area Tringulo2 2 2

+ += = =v v

1.4.5.2.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO

SUSTENTADO POR TRES VECTORES.

Sean 1v , 2v y 3v tres vectores. Observe la figura 1.11.

Los tres vectores sustentan un paraleleppedo. Tomando como base el

paralelogramo sustentado por 1v y 2v , la altura h del paraleleppedo ser la proyeccin escalar de 3v sobre 1 2v v , entonces:

Volumen Paraleleppedo=Area basealtura

1v

2v( )0,2,11 P

( )1,1,12P

( )1,0,23 P

1v

2v

3v

1 2v v

h

h

Fig. 1.10

Fig. 1.11


14

Donde: 1 2Area base = v v

( )

1 2

1 2 33

1 2

altura h = = = v v

v v vProy v

v v

Por tanto:

( )1 2 3

1 21 2

Volumen =

v v vv v

v v

Finalmente, simplificando resulta:

( )1 2 3Volumen = v v v

Esta ltima expresin es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR de los vectores 1v , 2v y 3v , y su interpretacin es el volumen del paraleleppedo sustentado por los vectores 1v , 2v y 3v . Observe adems que no importa el orden de operacin de los vectores, por qu?.

Ejemplo

Hallar el volumen del paraleleppedo sustentado por los vectores ( )1 1, 2,1= v , ( )2 2,0, 1= v y ( )3 1, 2,3=v .

SOLUCIN. Por lo definido anteriormente,

( ) 31 2 31 2 1

Volumen 2 0 1 2 14 4 201 2 3

u

= = = + + =v v v

Ejercicios propuestos 1.1

1. Sean los vectores 1 3 2 4= +v i j k y 2 3 3 2= + v i j k . a) Determinar la proyeccin vectorial de 1v sobre el vector 2v . b) Calcular la componente de 1v perpendicular a 2v .

2. Sean los vectores 5 2xA= +A i j k y 3 2 zB= + B i j k . Calcule los valores de xA y

zB para los cuales A B es paralelo a: a) al eje x b) al eje y

3. Calcular el rea del tringulo que tiene sus vrtices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)

4. Dados tres vectores ( )6,2,51 =V , ( )3,8,12 =V , ( )4,7,23 =V forman un tetraedro con vrtice en el origen. Determinar su altura desde el origen.


15

5. Un tetraedro tiene por base el tringulo de vrtices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vrtice opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura.

6. Sean u y v vectores no nulos, diferentes tales que: 1 = +w u v , 2 =w u - v , 3 2+= u vw .

Hallar ( )1 2 3 w w w

7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el

vector 2= U VW U V

V es ortogonal a V .

8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c d+V W para

escalares cualquiera c y d .

9. Demostrar que el rea del tringulo, cuyos vrtices son los extremos de los vectores A , B y

C , es ( ) ( )12

B A C A 10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas +A B , +B C y +C A es el doble del

volumen del tetraedro de aristas A , B y C .

11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

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