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2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 11, 12 y 13.- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. MUESTREO ESTADÍSTICO. INTERVALOS DE CONFIANZA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- TABLA DE FRECUENCIAS, GRÁFICOS Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Población En un estudio estadístico, la población es el conjunto de todos los elementos que queremos estudiar. Por ejemplo, si vamos a estudiar el peso de los jóvenes de 16 años nacidos en España, la población sería precisamente el conjunto formado dichos jóvenes

Variable estadística Es la característica que queremos estudiar de la población. Los valores que toma la variable estadística se representan por xi. Hay distintos tipos de variables estadísticas

Cualitativa Si los valores son cualidades. Por ejemplo, partido político preferido, color del pelo, etc.

Cuantitativa Si los valores son números. Por ejemplo, nº de hermanos, estatura, peso, edad, temperatura, etc.

Discreta Cuando los valores son aislados.

Por ejemplo, nº de hermanos, edad, etc.

Continua Cuando entre dos valores, aunque estén muy próximos

entre sí, siempre es posible tomar otro valor. Por ejemplo, la temperatura, el peso, etc.

Diagrama de barras Se representan los valores xi en un eje horizontal y para cada valor xi se dibuja una barra cuya altura sea la frecuencia de xi (nº de veces que aparece xi en los datos). Las barras deben ser de la misma anchura y debemos dibujarlas separadas. Uniendo los extremos superiores de las barras por su punto medio, se obtiene una línea quebrada llamada polígono de frecuencias .

Ejemplo: Número de hijos de un grupo de matrimonios

El diagrama de barras se suele utilizar para variables discretas con “pocos” valores

y para variables cualitativas

Histograma Los histogramas se utilizan cuando los datos los agrupamos en intervalos. Es similar al diagrama de barras, sólo que la base de cada barra es el intervalo de la tabla de frecuencias y por tanto no hay espacios entre las barras.

Ejemplo: Notas de 20 alumnos en un examen:

Uniendo los extremos superiores de las barras por su punto medio, se obtiene la línea quebrada llamada polígono de frecuencias.

xi fi 0 4 1 9 2 12 3 10 4 8 5 4 6 2 7 1

Total 50 = n


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La media aritmética

Es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos, n. inxx =

Si hay datos que se repiten, se calcularía con la fórmula ii )

n

(x fx = , donde significa suma.

Ejemplo:

Notas en un examen de un grupo de amigos

xi fi xi fi 4 1 4 5 2 10 6 4 24 7 3 21

Total 10 = n 59

59

x 5,910

iin

)(x f

Si los datos están agrupados en intervalos, se toma como xi el punto medio del intervalo. Este valor se llama marca de clase

Ejemplo:

Gasto mensual en €, en teléfono móvil, de un grupo de jóvenes

clases xi fi xi fi [10, 11) 10,5 4 42 [11, 12) 11,5 6 69 [12, 13) 12,5 7 87,5 [13, 14) 13,5 3 40,5

Total 20 = n 239

239

x 11,95 €20

iin

)(x f

Parámetros de dispersión

El recorrido o rango, R, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de xi

La varianza, s2, se calcula con la fórmula:

2i i2 2x .f

sn

x

La desviación típica, s, es la raíz cuadrada de la varianza: 2s s

2.- VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Concepto de variable aleatoria. Tipos

Una variable aleatoria (v.a.) es una función que le hace corresponder a cada resultado de un experimento aleatorio un número real.

En una v.a. la media se representa por , la varianza por 2 y la desviación típica por .

Las v.a. se clasifican en:

Variables aleatorias continuas Son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo.

Por ejemplo, son v.a. continuas la estatura o el peso de una persona, la longitud de un tornillo, el nivel de agua de un embalse, la temperatura en una ciudad a lo largo del día, etc

Variables aleatorias discretas Son aquellas que toman valores aislados, x1, x2,…., xn .

Ejemplos: 1) Tiramos un dado dos veces y sumamos los puntos obtenidos. Entonces X = suma de los puntos = 2 , 3 , 4 ,…., 12 es una v.a. discreta

2) Lanzamos una moneda 5 veces y anotamos el número de caras que han salido. Entonces, X = número de caras = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 es una v.a. discreta También son v.a. discretas, por ejemplo, el número de hijos de un matrimonio, el número de asignaturas suspensas de un alumno, el número de libros vendidos en una librería, la edad de una persona, etc


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Cálculo de probabilidades en las variables aleatorias continuas.

Consideremos la variable aleatoria continua X = estatura de los chicos de 17 años de Granada.

Dibujamos el histograma de frecuencias tomando clases o intervalos de 1,5 cm

El polígono de frecuencias se ajusta a una curva que se llama función de densidad de X.

En una v.a. continua X, la probabilidad es el área entre la gráfica de la función de densidad y el eje X.

Por ejemplo, la probabilidad de que la estatura esté entre 1,53 m y 1,83 m ( p(1,53 < X < 1,83) ) es el área entre la curva el el eje X

Teniendo en cuenta que la probabilidad es el área entre la curva y el eje X se obtienen algunas propiedades:

Por tanto,

p(X a) p(X a)

p(X a) p(X a)

p(a < X b) p(a X b) = p(a < X b) = p(a X b)

La distribución normal

La mayoría de las variables aleatorias continuas tienen una función de densidad f(x) cuya gráfica tiene forma de campana. A esta gráfica se le llama campana de Gauss.

La gráfica de la función de densidad (campana de Gauss) tiene la siguiente forma:

La gráfica es simétrica respecto de la recta vertical de ecuación x = .

Se puede demostrar que en el intervalo , se encuentran, aproximadamente, el 68% de los datos.

Cuando la curva de densidad tiene esta forma diremos que X tiene o sigue una distribución o ley normal de media µ y desviación típica σ. Se escribe así: X → ( , ) N

Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real.

Distribución N(0,1) Si en una distribución normal X → N(µ, σ) la media es µ = 0 y la desviación típica es σ = 1 resulta entonces

la distribución N(0,1), que llamaremos distribución normal tipificada y representaremos así: Z → N(0,1).

La gráfica de la función de densidad de Z es la campana de Gauss centrada en 0 y es simétrica respecto del eje Y.


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Uso de la tabla de la distribución N(0, 1) Para hallar p(Z < k), que como sabemos es el área a la izquierda de k, se usa la siguiente tabla donde

ya vienen calculadas las áreas:


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Ten en cuenta que:

- Usando la tabla se puede determinar p(Z < k), con k entre 0 y 3,99. Por ejemplo, para hallar p(Z < 1,24) buscamos en la 1ª columna el número 1,2 y en la 1ª fila 0,04.

La intersección nos da el valor 0,8925. Por tanto, p(Z < 1,24) = 0,8925

- Si k ≥ 3,9 la probabilidad se toma igual a 1.

- Se puede usar la tabla en sentido inverso. Ejemplos:

Supongamos que p(Z < k) = 0,7190 y queremos hallar el valor de k. Buscamos 0,7190 dentro de la tabla y vemos que le corresponde 0,5 (en la 1ª columna) y 0,08 (en la 1ª fila). Por tanto, k = 0,58 Supongamos que p(Z < k) = 0,9376. En este caso 0,9376 no está en la tabla. Los valores más próximos son 0,9370 (que corresponde a k1 = 1,53) y 0,9382 (que corresponde a k2 = 1,54). Como 0,9376 está prácticamente a la misma distancia de los valores encontrados, tomaremos como valor de k el punto medio de 1,53 y 1,54, es decir k = 1,535

Reglas útiles para calcular probabilidades en la distribución N(0,1) Usando la simetría de la campana de Gauss de la N(0, 1) con respecto al eje Y, deducimos algunas reglas útiles:

1) Cálculo de p(Z < – k)

p(Z < – k) = “ Área a la izda de – k” = “Área a la dcha de k” = p(Z > k) = 1 – p(Z ≤ k)

p(Z k) 1 p(Z k)

Ejemplo: p(Z < – 0,84) = p(Z > 0,84) = 1 – p(Z ≤ 0,84) = 1 – 0,7995 = 0,2005

2) Cálculo de p(Z > – k)

p(Z > – k) = “ Área a la derecha de – k” = “Área a la izquierda de k” = p(Z < k)

p(Z k) p(Z k)

Ejemplo: p(Z > – 1,48) = p(Z < 1,48) = 0,9306


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3) Cálculo de p(– b < Z < – a)

p(– b < Z < – a) = “ Área entre – b y – a” = “Área entre a y b” = = p(a < Z < b) = p(Z < b) – p(Z < a)

p( b Z a) p(Z b) p(Z a)

Ejemplo: p(– 1,5 < Z < – 0,99) = p(0,99 < Z < 1,5) = p(Z < 1,5) – p(Z < 0,99) = 0,9332 – 0,8389 = 0,0943

4) Cálculo de p(– a < Z < b)

p(– a < Z < b) =“Área entre – a y b”=“Área a la izda de b” – “Área a la izquierda de – a”

= p(Z < b) – p(Z < – a) = p(Z < b) – [ 1 – p(Z < a) ] = p(Z < a) + p(Z < b) – 1 p( a Z b) p(Z b) p(Z a) 1 Como consecuencia, p( a Z a) 2 p(Z a) 1

Ejemplo: p(– 1 < Z < 2) = p(Z < 1) + p(Z < 2) – 1 = 0,8413 + 0,9772 – 1 = 0,8185

Tipificación de una distribución normal N(µ, σ)

Se puede demostrar que si X → ( , ) N , entonces la variable

XZ → N(0, 1).

A este proceso se le llama tipificación de la variable. La tipificación nos permite hallar probabilidades en una distribución X → ( , ) N transformándola en una variable Z → N(0, 1).

Por ejemplo, p(a < X < b) = p(

a<

X <

b) = p(

a < Z <

b)

Esta probabilidad la podemos calcular usando las reglas vistas anteriormente.

Ejemplo:

Si X → N(5, 4) entonces

X 5

Z4

→ N(0, 1), luego p(1 < X < 7) = p(1 5

4<

X 5

4 <

7 5

4) =

= p(– 1 < Z < 0,5) = p(Z < 1) + p(Z < 0,5) – 1 = 0,8413 + 0,6915 – 1 = 0,5328


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Ejercicio de clase 1 El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede

suponerse que sigue una distribución normal de media y varianza igual a 81. a) ¿Cuánto vale si sabemos que sólo un 10% de las personas en la sala sobrepasa un coeficiente intelectual de 105? b) Suponiendo que la media poblacional es 95 y en la sala hay 2000 personas, calcule el número de personas cuyo coeficiente intelectual está entre 86 y 107

Solución

intelectual X ( , 81) ( , 9) X coeficiente N N

) ( 105) 0,1 ; (0, 1) tipificando9

105 1050,1 0,1 ( ) 0,1 1 ( ) 0,1 ( ) 0,9

9 9 9

(0, 1)

Le llamamos a

Xa Nos dicen que p X como Z N

Xp p Z p Z a p Z a p Z a

Usando la tabla de la N en sentido inverso ob

��

1051,28. tan , 1,28, 93,48

9tenemos a Por to despejando

95) 95, X (95, 9). p(86 X 107). (0, 1), tipificando

9

86 95 95 107 95( 1 1,33) ( 1,33) ( 1) 1 0,9082 0,8413 1 0,7495

9 9 9

2000 0,7495 . 2000 1499

Xb Como N Hallamos Como Z N

Xp p Z p Z p Z

Como hay personas en la sala y Ha

1499 int 86 107y personas con coeficiente electual entre y

Ejercicio de clase 2 El tiempo transcurrido, en minutos, hasta que una persona es atendida en la

sucursal A de un banco sigue una distribución normal de media = 9 y desviación típica = 1, mientras que el tiempo transcurrido hasta que es atendido en la sucursal B sigue también una distribución normal de media = 8,5 y varianza 2 = 4. a) Si un cliente tiene que hacer una gestión bancaria y sólo dispone de 10 minutos. ¿En qué sucursal A o B será más probable que le hayan atendido en el tiempo que dispone?

b) ¿Cuánto tiene que valer x si sabemos que la tercera parte de los clientes que van a la sucursal B esperan más de x minutos?

Solución 9

( min ) en la sucursal A X (9, 1) ; Z (0, 1)1

8, 5( min ) en la sucursal (8, 5 ; 4 ) (8, 5 ; 2) ; Z (0, 1)

2

XX tiempo transcurrido en utos N N

YY tiempo transcurrido en utos B Y N N N

9 10 9( 10) ( 1) 0,8413 84,13%

1 1) es más probable ser atendido en la sucursal A

8, 5 10 8, 5( 10) ( 0, 75) 0, 7734 77, 34%

2 2

Xp X p p Z

aY

p Y p p Z

1 8, 5 8, 5 8, 5) ( ) 0, 33 0, 33 0, 33

3 2 2 2

( ) 0, 33 1 ( ) 0, 33 ( ) 0, 67 ; (0, 1)

0, 44. tan ,

��le llamamos a

Y x xb Nos dicen que p Y x p p Z

p Z a p Z a p Z a Usando la tabla de la N en sentido inverso

xobtenemos a Por to

8, 50, 44, 9, 38

2 despejando x

Hacer actividades 1 a 8


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3.- MUESTREO ESTADÍSTICO

Una muestra es una parte de la población que elegimos para estudiar la población. El número de elementos de la muestra se llama tamaño de la muestra y el proceso de elección de una muestra se llama muestreo estadístico.

Hay varios tipos de muestreo estadístico. Los más usados son dos:

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional

Consiste en dividir la población en grupos, llamados estratos, y tomar aleatoriamente en cada estrato una muestra proporcional al número de elementos de cada estrato.

Por ejemplo, suponiendo que la población la podemos dividir en 3 estratos (E1 , E2 y E3), procedemos así: Se construye una tabla como la siguiente:

El número de elementos de la muestra x , y , z deben ser proporcionales a los de la población

N1 , N2 y N3 , luego 1 2 3

x y z n

N N N N .

A partir de estas igualdades podremos determinar la incógnita o incógnitas que necesitemos calcular.

Ejercicio de clase 3 En un centro docente hay 160 alumnos matriculados en 1º de ESO, 120 en 2º,

120 en 3º, 80 en 4º, 240 en 1º de Bachillerato y 200 en 2º. Se quiere constituir una comisión en la que todos los cursos estén representados de forma proporcional. a) ¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5% del total del alumnado? b) ¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2º de ESO?

(Propuesto PAU Andalucía 2017) Solución

1º 2º 3º 4º 1º 2º

) 160 120 120 80 240 200 920 5% 920 0,05 . 920 46

46

160 120 120 80 240 200 920: 20

46

160 120: 8 1º ; 6

20 20

Bach Bach Total

a población de

muestra x y z t u v

Por proporcionalidadx y z t u v

Despejando x alumnos de ESO y alumnos de

2º

dim : 6 3º ; 4 4º

12 1º ; 10 2º

ESO

Por el mismo proce iento se obtiene z alumnos de ESO t alumnos de ESO

u alumnos de Bach v alumnos de Bach

Estratos E1 E2 E3 Total Nº de elementos de la muestra x y z n

Nº de elementos de la población N1 N2 N3 N


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1º 2º 3º 4º 1º 2º

) 160 120 120 80 240 200

9

160 120 120 80 240 200:

9

160 120 160 . 9, : 12 1º

9 120

dim : 9

Bach Bach

b población

muestra x z t u v

Por proporcionalidadx z t u v

Como despejando x alumnos de ESOx

Por el mismo proce iento se obtiene z alu

3º ; 6 4º

18 1º ; 15 2º

mnos de ESO t alumnos de ESO

u alumnos de Bach v alumnos de Bach

Ejercicio de clase 4 En un club privado con 243 usuarios se ha seleccionado una muestra para hacer

un sondeo, según la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. En esa muestra, 5 usuarios practican Yoga, 7 Pilates y 15 Mantenimiento, ¿cuántos usuarios están inscritos en cada actividad en ese club? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

243243 : 9

5 7 15 275 7 15 27

: 5 . 9 45 ; 7 . 9 63 ; 15 . 9 135

Yoga Pilates Mantenimiento Totalx y z

población x y z Por proporcionalidad

muestra

Despejando x en Yoga y en Pilates z en Mantenimiento

Ejercicio de clase 5 En un centro docente la tercera parte de los alumnos estudia el idioma A, la

mitad el idioma B y el resto el idioma C (cada alumno estudia sólo uno de estos idiomas). a) Se desea seleccionar una muestra de 60 alumnos, mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional al número de los alumnos de cada idioma. ¿Cómo debería estar conformada la muestra? b) En otra muestra seleccionada por el procedimiento anterior, el número de alumnos tomados del idioma A es 14. Determine cuántos se han elegido de los otros dos idiomas.


) 1 160 20 60 30 10 60

3 2

, 20 , 30 10

Idioma A Idioma B Idioma C Total

amuestra de de

Luego debemos tomar alumnos del idioma A del B y del C

1

) º ; 14 14 .3 423

114 42 21 7 42

2

, 21 7

b Sea T n de alumnos de la muestra como de T T

Idioma A Idioma B Idioma C Total

muestra de

Luego debemos tomar alumnos del idioma B y del C



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Muestreo aleatorio simple Consiste en tomar al azar unos pocos elementos de la población. Por ejemplo, si la población es P = { a, b, c, d } y tomamos muestras de 2 elementos con reemplazamiento obtendríamos el conjunto de todas las muestras:

M = { a-a, a-b, a-c, a-d, b-a, b-b, b-c, b-d, c-a, c-b, c-c, c-d, d-a, d-b, d-c, d-d }

Teorema del límite central

Sea X una v.a. continua con media y desviación típica .

Consideramos todas las muestras con reemplazamiento de tamaño n de dicha población: M1 , M2 , M3 , …., etc

Sea 1x la media de la muestra M1 , 2x la media de M2 , 3x la media de M3, … , etc La variable aleatoria X = media de las muestras de tamaño n: X = 1x , 2x , 3x , … , etc

tiene una distribución con media también y varianza 2σn (su desviación típica es σ

n)

Si además n ≥ 30 ó X → ( , ) N , entonces X → N( , σn

)

Si µ es desconocida, X → N( x , σn

), siendo x la media de una de las muestras

Ejemplo:

Consideremos una población formada por 4 estudiantes (N = 4) Sea la v.a. continua X = notas de un examen = 8, 9, 5, 6.

Puedes comprobar que la media es = 7 y la desviación típica es = 5

2

Si ahora consideramos todas las muestras con reemplazamiento de tamaño dos (n = 2) y las medias de estas muestras, obtenemos una nueva variable X , que viene expresada en la siguiente tabla:

Muestras 8-8 8-9 8-5 8-6 9-8 9-9 9-5 9-6 5-8 5-9 5-5 5-6 6-8 6-9 6-5 6-6

Variable media = X 8 8.5 6.5 7 8.5 9 7 7.5 6.5 7 5 5.5 7 7.5 5.5 6

La media de X es también 7 y su desviación típica es 5

5 52

4 2n 2

Ejercicio de clase 6 Sea la población { 1, 2, 3, 4 }.

a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple. b) Calcule la varianza de las medias muestrales


) sup , 2 :

1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4

a Como las muestras se one que se extraen con reemplazamiento el conjunto de todas las muestras de tamaño es


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2

2

22 2

) 1, 2, 3, 4 . , var

, var ( , 2)

, siendo4 4

i i

b La población que estamos estudiando es X Por el teorema del límite central la ianza

de las medias muestrales es siendo la ianza poblacional y n el tamaño muestral en este caso nn

x xx

2

2

10 5 30 25 51 2 3 4 10 ;

4 2 4 4 41 4 9 16 30

554tan , var 0,625

2 8

var sin

tan

i

i

luego

x

Por to la ianza de las medias muestrales es

La ianza de las medias muestrales también se puede calcular el uso del teorema del límite central

pero es bas te m

22 2

2

:

(16 )

1 1,5 2 2,5 3 3,5 440 5 110 25 5

1 2 3 4 3 2 1 16 016 16 2 16 16 4 8

1 3 6 10 9 7 4 40

1 4,5 12 25 27 24,5 16 110

="medias muestrales"= 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4

i

i i i ii

i i

i i

ás laborioso

X datos

xx f x f

f

x f

x f

, 625

Ejercicio de clase 7 Una población tiene 5 elementos. Mediante muestreo aleatorio simple se

seleccionan muestras de tamaño 3, siendo la desviación típica de sus medias 2 y la media de las medias muéstrales 7. ¿Cuánto valen la media y la varianza de la población?


2

2 2 22 2

var ,

var ( 3). tan , 7 2 4 123

Si es la media de la población y su ianza por el teorema del límite central la media de las medias muestrales

es también y su ianza es en este caso n Por to y comon n

Ejercicio de clase 8 Dada la población { 17, 12, 10 }, escriba todas las muestras de tamaño 2

mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales. (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución

sup , 2 :

17 17 , 17 12 , 17 10 , 12 17 , 12 12 , 12 10 , 10 17 , 10 12 , 10 10

,

Como se one que las muestras son con reemplazamiento el conjunto de todas las muestras de tamaño es

Por el teorema del límite central la media de las medias muestrales es

2

2

22 2 2

2

var , ,

var ( , 2)

39 533 26, siendo 17 12 10 39 13; 169

3 3 3 3 3289 144 100 533

tan ,

i ii

i

y su ianza es siendo la media poblacionaln

la ianza poblacional y n el tamaño muestral en este caso n

x xx luego

x

Por to la media de la

26133

13 :32

s medias muestrales es y la desviación típican


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Ejercicio de clase 9 Dada la población { 6, 8, 11, a }, ¿cuánto debe valer a sabiendo que la media de

las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 10.3? (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución , . , 10,3

25: 10,3 a 4 .10,3 25 16,2

6 8 11 254 4

i

i

Por el teorema del límite central la media de las medias muestrales es igual a la media poblacional Luego

x aHallemos entonces la media poblacional a

x a a

Ejercicio de clase 10 Sea la población de elementos { 22, 24, 26 }

a) Escriba todas las muestras posibles de tamaño 2, escogidas mediante muestreo aleatorio simple. b) Calcule la varianza de la población. c) Calcule la varianza de las medias muestrales.


) sup , 2 :

22 22 , 22 24 , 22 26 , 24 22 , 24 24 , 24 26 , 26 22 , 26 24 , 26 26

a Como se one que las muestras son con reemplazamiento el conjunto de todas las muestras de tamaño es

22 2 2 2

2

72 1736 8) , siendo 22 24 26 72 24; 24

3 3 3 3 3484 576 676 1736

i ii

i

x xb x luego

x

2 843) , var

2 3c Por el teorema del límite central la ianza de las medias muestrales es

n


Ejercicio de clase 11 La altura de los estudiantes de 2º de bachillerato de un centro sigue una ley

Normal de media 165 cm y desviación típica 10 cm. a) ¿Qué distribución sigue la altura media de las muestras de tamaño 25? b) Se elige al azar una muestra de 25 estudiantes y se les mide la altura. ¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de esa muestra supere 160 cm? (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución 10

) , " ", , 165, (165,2)25

a Por el teorema del límite central X media de las muestras de tamaño n X N N Nn

165) 160 . (165, 2), (0,1)

2

165 160 165160 ( 2,5) ( 2,5) 0,9938

2 2

Xb Nos piden p X Como X N Z N

Xp X p p Z p Z

Ejercicio de clase 12 El precio de un determinado producto se distribuye según una ley Normal de

desviación típica 5 € y media desconocida. Se toman 10 comercios al azar y se observa en ellos el precio de este producto, resultando los siguientes valores en euros: 96 108 97 112 99 106 105 100 98 99 ¿Cuál es la distribución del precio medio del producto en las muestras de tamaño 10?


, , " ", ,

96 108 97 112 99 106 105 100 98 99. , 102

10

tan ,

Como es desconocida por el teorema del límite central X media de las muestras de tamaño n X N xn

siendo x la media de una de las muestras En este caso x

Por to la distribuci

510 102,

10ón del precio medio en las muestras de tamaño es N


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

Ejercicio de clase 13 Se han tomado las tallas de 16 bebés, elegidos al azar, de entre los nacidos en

un cierto hospital, y se han obtenido los siguientes resultados, en centímetros: 51, 50, 53, 48, 49, 50, 51, 48, 50, 51, 50, 47, 51, 51, 49, 51.

La talla de los bebés sigue una ley Normal de desviación típica 2 centímetros y media desconocida. ¿Cuál es la distribución de las medias de las muestras de tamaño 16?


X , X N( ,2) ( 2) ; 16 ;

51 50 53 48 49 50 51 48 50 51 50 47 51 51 49 51 800: 50

16 16

2, ( , ) (50, ) (50 ; 0,5)

16

talla muestras de tamaño n X media de las muestras

Media de la muestra

Por el teorema del límite central X N x N Nn

Ejercicio de clase 14 Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley Normal de media 36 y

desviación típica 4,8. a) Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la media de esta muestra sea superior a 35 puntos? b) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media muestral comprendida entre 34 y 36?

(Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

16

1616

a) X puntuaciones del test ; X N(36 ; 4,8) ; tamaño 16.

4,8 36, (36 ; ) (36 ;1, 2) (0,1)

1, 216

X media de las muestras de

XPor el teorema del límite central X N N Z N

1616

36 35 36( 35) p( ) ( 0,83) (Z 0,83) 0,7967

1,2 1,2

Xp X p Z p

2525

2525

4,8 36) , (36 ; ) (36 ;0,96) (0,1)

0,9625

34 36 36 36 36(34 36) p( ) ( 2,08 0) (Z 2,08) (Z 0) 0,9812 0,5 48,12%

0,96 0,96 0,96

Xb Porel teorema del límite central X N N Z N

Xp X p Z p p


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

Ejercicio de clase 15 El cociente intelectual de los alumnos de un centro educativo se distribuye

según una ley Normal de media 110 y desviación típica 15. Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 alumnos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa muestra sea superior a 113? b) Razone cómo se vería afectada la respuesta a la pregunta anterior si el tamaño de la muestra aumentase.


X intelectual , X N( , ) N(110, 15) ; 25

15 110, , 110, (110, 3) Z (0, 1)

325

cociente X media de las muestras de tamaño n

XSegún el teorema central del límite X N N N N

n

110 113 110) ( 113) p( ) ( 1) 1 ( 1) 1 0,8413 0,1587

3 3

Xa p X p Z p Z

) , , 3, minb Si aumenta el tamaño n de la muestra entonces que antes valía ahora dis uyen

Ejercicio de clase 16 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4.

a) Para muestras de tamaño 4, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral supere el valor 54? b) Si 16X indica la variable aleatoria “media muestral para muestras de tamaño 16”, calcule el valor de a para que p( 50 – a ≤ 16X ≤ 50 + a) = 0,9876


4

44

44

) X N( , ) N(50, 4) 4. ,

4 50, 50, (50, 2) Z (0, 1)

24

50 54 50p( 54) p ( 2) 1 ( 2) 1 0,9772 0,0228

2 2

a X media de las muestras de tamaño Según el teorema central del límite

XX N N N N

n

XX p Z p Z

1616 16

16 16tan 50

b) X N( , ) N(50, 4). ,

4 50, 50, (50, 1) Z 50 (0, 1)

116

Como p(50 a 50 ) 0,9876 p(50 a 50 50 50 50) 0,9876

, (

res do

Según el teorema central del límite

XX N N N X N

n

X a X a

Luego p a Z a

) 0,9876 2 ( ) 1 0,9876 ( ) 0,9938.

(0, 1) en sentido , 2,5

p Z a p Z a

Usando la tabla de la N inverso a


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

Ejercicio de clase 17 La resistencia a la rotura, de un tipo de hilos de pesca, es una variable aleatoria

Normal, con media 4 kg y desviación típica 1,4 kg. Se toman muestras aleatorias de 25 hilos de este tipo y se obtiene la resistencia media a la rotura. a) ¿Cómo se distribuye la resistencia media a la rotura? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la rotura no pertenezca al intervalo de extremos 3,90 kg y 4,15 kg ?


Solución

a) X , X N( , ) N(4 ; 1.4) ; 25

1,4, , 4, (4 ; 0,28)

25

resistencia a la rotura X media de las muestras de tamaño n

Según el teorema central del límite X N N Nn

4) , (4 ; 0,28) Z (0, 1)

0,28

3,90 4 4 4,15 4p (3,90 ; 4,15) 1 (3,90 ; 4,15) 1 (3,90 4,15) 1

0,28 0,28 0,28

1 ( 0,36 Z 0,54) 1 (Z 0,54) (Z 0,36) 1 2 (Z 0,54) (Z 0,36) 2 0,

Xb Como X N N

XX p X p X p

p p p p p

7054 0,6406 0,654

Ejercicio de clase 18 Las notas de un examen se distribuyen según una ley normal de media 5’6 y

varianza 9. Seleccionamos al azar 16 estudiantes y calculamos la media de sus notas. a) Calcule la probabilidad de que dicha media esté comprendida entre 4’7 y 6’5. b) Si en lugar de seleccionar 16 estudiantes, seleccionamos 25, ¿aumentará o disminuirá la probabilidad calculada en el apartado anterior? Razone la respuesta.


a) X , X N( , ) N(5,6 ; 3) ; 16

3 5,6, , 5,6 ; (5,6 ; 0,75) Z (0, 1)

0,7516

4,7 5,6 5,6 6,5 5(4,7 6,5)

0,75 0,75

notas del examen X media de las muestras de tamaño n

XSegún el teorema central del límite X N N N N

n

Xp X p

,6( 1,2 1,2) 2 ( 1,2) 1 2 . 0,8849 1 0,7698

0,75p Z p Z

) , min .

tan , .

sec , .

b Si aumenta el tamaño n de la muestra de X dis uye la desviación típica de Xn

Por to al dividir por un número menor aumenta el cociente del valor de Z

En con uencia la probabilidad es mayor


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 17 -

Ejercicio de clase 19 La variable X se distribuye según una ley normal de media 10 y desviación

típica 3. Determine el tamaño de una muestra extraída de la población, de modo que la probabilidad de la media muestral esté por encima de 12 sea de 0’025. (Propuesto PAU Andalucía 1998)

Solución

X N( , ) N(10 ,3) ;

3 10, , 10 , Z (0, 1)

3

10 12 10 2 2( 12) 0,025 0,025 0,025 1

3 3 3 3

X media de las muestras de tamaño n

XSegún el teorema central del límite X N N N

n nn

X n np X p p Z p Z

n n

2

0,025

2 21 0,025 0,975. (0, 1) en sentido 1,96

3 3

1,96 . 32,94 2,94 8,6436 9

2

n np Z Usando la tabla de la N inverso obtenemos que

n n tamaño de la muestra


4.- INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalo de confianza para la media poblacional Sea X es una v.a. tal que X N( , ) de la que desconocemos la media poblacional µ. Un intervalo de confianza para es un intervalo I en el que p( I ) = nc .

El valor nc se llama nivel de confianza y nc = (A se le llama “nivel de significación”)

�

2 2 2 2

2

2 1 1( ) 1 ( ) 1

2 2 2

1, ( )

2

c

c

ces n

z cumple p z Z z n p Z z

nLuego p Z z

Para estimar cuánto vale , tomamos una muestra de tamaño n cuya media es x Se puede demostrar que el intervalo de confianza para la media es

2

( , ) siendo . I x E x E E zn

E se llama error de estimación o error máximo admisible y es el mayor error que podemos cometer cuando tomamos x como aproximación de


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 18 -

Intervalo de confianza para la proporción poblacional Sea X es una v.a. tal que X N( , ) de la que desconocemos la proporción, p, de individuos de la población que tiene una cierta característica. Un intervalo de confianza para p es un intervalo I en el

que la probabilidad de que p pertenezca a I es nc . El valor nc se llama nivel de confianza

y nc = (A α se le llama “nivel de significación”)

2

1log int : ( )

2

cnRazonando de forma aná a que en los ervalos para la media p Z z

Para estimar cuánto vale p, tomamos una muestra de tamaño n cuya proporción de individuos que cumple dicha característica es p

Se puede demostrar que el intervalo de confianza para la proporción es

2

(1 )( , ) siendo .I E E E z

n

p pp p

E se llama error de estimación o error máximo admisible y es el mayor error que podemos cometer

cuando tomamos �p como aproximación de p

Propiedades de los intervalos de confianza

- El punto medio del intervalo de confianza para la media es x y para la proporción es �p

:sup inf 2

2

:2

x E x Epara la media punto medio x

extremo erior extremo eriorpunto medio

E Epara la proporción punto medio

p pp

- La amplitud del intervalo de confianza, es A = 2E y, por tanto, el error es 2

AE

: 2sup inf

: 2

para la media A x E x E EA amplitud extremo erior extremo erior

para la proporción A E E E

p p

- Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, n, menor es el error E y por tanto más “estrecho” es el intervalo de confianza - Cuanto mayor es el nivel de confianza, nc , mayor es el error E y por tanto más amplio es el intervalo

de confianza


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 19 -

Ejercicio de clase 20 El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una

ley Normal de media días y desviación típica 3 días. a) Determine un intervalo de confianza para estimar , a un nivel del 97%, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8’1 días. b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92%?


Solución º ; ( ; 3) ; desviación típica : 3X n de días X N

2

) : 100 ; : 8,1 ; : 97% 0,97

int ( , ) , .

ca tamaño de la muestra n media muestral x nivel de confianza n

El ervalo de confianza es I x E x E siendo el error E zn

�

2 2

12 2 2 1 1( ) 1

2 2 2 2 2

c

ces n

nz cumple p Z z

2

2

1 0,97 1,97, 0,97, ( ) 0,985.

2 2

(0,1) 0,985 2,17

cEn este caso el nivel de confianza n luego p Z z

Usando la tabla de la N en sentido inverso buscamos el valor y obtenemos z

3

2,17. 0,651. tan , int (8,1 0,651 ; 8,1 0,651)100

(7,449 ; 8,751)

E Por to el ervalo de confianza es I

I

2 2

2

2

2

) : 92% 0,92 ; . ,

1 1 0,92( ) 0,96 ; (0,1)

2 2

0,96 1,75

1

c

c

b Nivel de confianza n El error es E z donde z cumplen

np Z z Usando la tabla de la N en sentido inverso

buscamos el valor y obtenemos por aproximación z

Como debe ser E z

2

2

2 2

2

. 1 . .

(1,75 . 3) 27,6 , 28

z n z nn

n n Luego el tamaño mínimo es n


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 20 -

Ejercicio de clase 21 En una muestra, elegida al azar, de 100 estudiantes de una Universidad, se ha

observado que 25 desayunan en la cafetería del campus. a) Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería. b) Si la proporción de estudiantes de esa Universidad que desayunan en la cafetería del campus en una muestra aleatoria es de 0.2, y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 92.5% calcule el tamaño mínimo de la muestra.


25: 100 ; : p 0,25

100Tamaño de la muestra n proporción muestral

2

2 2

) : 95% 0,95

p (1 p)int (p , p ) , .

1 1 0,95( ) 0,975; (0,1)

2 2

0,975

c

c

a nivel de confianza n

El ervalo de confianza es I E E siendo el error E zn

nz cumple p Z z Usando la tabla de la N en sentido inverso

buscamos el valor y obtenemos z

2

0, 25 (1 0, 25)1,96 ; , 1,96. 0,0849

100

tan , (0, 25 0,0849 , 0, 25 0,0849 ) (0,1651, 0,3346 )

luego E

Por to I

2 2 2

2

) º ; p 0, 2 ; : 92,5% 0,925

1p (1 p) 1 0,925. ; ( ) 0,9625

2 2

(0,1) 0,9625 1,78

c

c

b X n de estudiantes nivel de confianza n

nEl error es E z z cumple p Z z

n

Usando la tabla de la N en sentido inverso buscamos el valor y obtenemos z

Com

20, 2 (1 0, 2) 0,16 0,03 0,16 0,03

0,03 1,78. 0, 03 0,0002840551,78 1,78

0,16, 563, 27 . 5640,000284055

o En n n

Luego n n El tamaño mínimo es entonces n

Ejercicio de clase 22 El tiempo de vida de una determinada especie de tortuga es una variable

aleatoria que sigue una ley Normal de desviación típica 10 años. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 tortugas y se obtienen los siguientes valores: 46 38 59 29 34 32 38 21 44 34 a) Determine un intervalo de confianza, al 95%, para la vida media de dicha especie de tortugas. b) Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error de estimación de la vida media no sea superior a 5 años, con un nivel de confianza del 98%.


; ( ; 10) ; desviación típica : 10 ; : 10

46 38 59 29 34 32 38 21 44 34: 37, 5

10

X tiempo de vida X N tamaño de la muestra n

Media muestral x

2 2 2 2

) : 95% 0,95 ; int ( , ) ,

1 1 0,95. ; ( ) 0,975 1,96

2 2

101,96. 6,198. tan , int (37,5 6,198 ;

10

c

c

a Nivel de confianza n El ervalo de confianza es I x E x E

nsiendo el error E z z cumple p Z z z

n


37,5 6,198) (31,3 ; 43,7)I


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 21 -

2 2

2 2

2

2

22

) : 98% 0,98 ; . ,

1 1 0,98( ) 0,99 2,33

2 2

.2,33 . 10

5 . 5 4,665 5

4,66 21,7 , 22

c

c

b Nivel de confianza n El error es E z donde zn

ncumple p Z z z

z

Como debe ser E z n n nn


Ejercicio de clase 23 Se desea estimar la proporción de bares y restaurantes que en el camino de

Santiago ofertan el menú del peregrino con un precio máximo de 12 €. Para ello se eligen aleatoriamente 120 establecimientos que ofrecen este menú, de los que 80 tienen un precio máximo de 12 €. a) Con un nivel de confianza del 92%, obtenga el intervalo de confianza para la proporción de establecimientos que tienen un precio máximo de 12 €. b) Si aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué efecto se produce en el error de estimación? c) ¿Cuántos establecimientos, como mínimo, deberíamos seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, el error de la estimación no sea superior a 0.04? (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución 80 2

: 120 ; : p 0,667120 3

Tamaño de la muestra n proporción muestral

2

2 2 2

) : 92% 0,92

p (1 p)int (p , p ) , .

0,667 1 0,6671 1 0,92( ) 0,96 1,75 ; , 1,75. 0,0753

2 2 120

tan , (0,667 0,0753, 0,

c

c


El ervalo de confianza es I E E siendo el error E zn

nz cumple p Z z z luego E

Por to I

667 0,0753) (0,5917, 0,7423)

2

2

) , 1 ,

p (1 p)tan .

cb Si aumenta el nivel de confianza n entonces z aumenta

y por to aumenta el error E zn

2 2 2

2

2

) : 99% 0,99

1p (1 p) 1 0,99. ; ( ) 0,995

2 2

(0,1) 0,995 int 2,575

0,04 0,

c

c

c Nivel de confianza n

nEl error es E z z cumple p Z z

n

Usando la tablade la N en sentido inverso buscamos el valor y obtenemos por erpolación z

Como E E

2 2

2 22 2 2

2 2

2 2(1 )p (1 p) p (1 p) 3 304 0,04 2,5750,04 0,04

, 920,92 . 921

z z n nn

Luego n El tamaño mínimo es entonces n


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 22 -

Ejercicio de clase 24 El peso de los paquetes de levadura de una marca sigue una ley Normal de

desviación típica 0.3 g. Se desea construir un intervalo de confianza, al 98%, para estimar la media. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 9 paquetes. a) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo? b) Obtenga el intervalo sabiendo que los pesos, en gramos, de los paquetes son:

10 9.9 10.04 9.5 10.1 9.8 10.2 10 10.3 (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2 2 2

) ; ( ; 0,3) ; desviación típica : 0,3 ; : 9;

98% 0,98. int ( , ) , su amplitud es A 2

1. ; ( )

c

a X peso X N tamaño muestral n El nivel de confianza

es n Como el ervalo de confianza es I x E x E x E x E E

siendo el error E z z cumple p Z zn

2

1 0,980,99 2,33

2 2

0,3, 2 2 . 2,33 . 2 . 0, 233 0,466 .

9

cn z

Luego la amplitud es A E

10 9,9 10,04 9,5 10,1 9,8 10,2 10 10,3

) 9,989

tan , int (9,98 0,233 ; 9,98 0,233) (9,747 ; 10,213)

b La media muestral es x

Por to el ervalo de confianza es I I

Ejercicio de clase 25 Una cadena de hipermercados decide estudiar la proporción de artículos de

un determinado tipo que tienen defectos en su envoltorio. Para ello, selecciona aleatoriamente 2000 artículos de este tipo entre sus hipermercados y encuentra que 19 de ellos tienen defectos en su envoltorio. a) Determine un intervalo, al 95% de confianza, para la proporción real de artículos con este tipo de defecto e interprete el resultado obtenido. b) ¿Cuántos artículos, como mínimo, deberá seleccionar para que, con un nivel de confianza del 99%, la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 1%?


19: 2000 ; : p 0,0095

2000Tamaño de la muestra n proporción muestral

�

2

2 2 2

) : 95% 0,95

p (1 p)int (p , ) , .

0, 0095 1 0,00951 1 0,95( ) 0,975 1,96 ; , 1,96. 0, 00425

2 2 2000

tan , (0, 0095 0,0

c

c


El ervalo de confianza es I E p E siendo el error E zn

nz cumple p Z z z luego E

Por to I

0, 00525 . 2000 10,5 11

0425 , 0, 0095 0, 00425 ) (0, 00525 , 0, 01375 )0, 01375 . 2000 27,5 28

2000 95% 11 28

artículos

artículos

En tre los artículos hay un de probabilidad de que haya entre y artículos defectuosos

�

2 2 2 2

int

) : 99% 0,99

1p (1 p) 1 0,99. ; ( ) 0,995 2,575

2 2

c

c por erpolación

b Nivel de confianza n

nEl error es E z z cumple p Z z z

n

Como la diferencia entre la proporción muestral p y la proporción real p es el error de estima

2 2

2 22 2 2

2

22

p (1 p) p (1 p)1% 0,01 0,01 0,01

0,01

0,0095 1 0,00952,575 . , 623,9 . 624

0,01

ción

Nos piden hallar n para que E E z z nn

n Luego n El tamaño mínimo es entonces n artículos


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 23 -

Ejercicio de clase 26 La talla de los individuos de una población sigue una distribución Normal con

desviación típica 8 cm y media desconocida. A partir de una muestra aleatoria se ha obtenido un intervalo de confianza al 95% para estimar la talla media poblacional, que ha resultado ser (164.86, 171.14) en cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral mínimo necesario para reducir a la mitad el error máximo de estimación anterior. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución ; ( ; 8) ; desviación típica : 8; int : (164,86 ; 171,14)

164,86 171,14int ( , ) es 168

2

171,14 164,86: 3,

2

X talla X N ervalo de confianza I

Como el punto medio del ervalo de confianza I x E x E x x cm

El error es la mitad de la amplitud E

2 2

2 2

2

2

14

Por otra parte, 95% 0,95 . ;

1 1 0,95( ) 0,975 1,96. :

2 2

.3,14 1,96 . 81,57 . 1,57

2 1,57 1,57

c

c

el nivel de confianza es n y el error E z z cumplen

np Z z z Como queremos reducir el error máximo a la mitad

zE z n n

n

22

9,987

9,987 99,7 , 100

n


Ejercicio de clase 27 Un fabricante de tuberías de PVC sabe que la distribución de los diámetros

interiores de los tubos de conducción de agua que produce sigue una ley Normal con varianza 2 = 0,25 mm2. Para estimar el diámetro medio de esas tuberías, toma una muestra aleatoria

de 64 tubos y comprueba que el diámetro medio de esa muestra es de 20 mm. a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la media de los diámetros de los tubos que fabrica. b) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esa distribución para que la amplitud de un intervalo de confianza, con ese mismo nivel de confianza, sea inferior a 2 mm.


; ( ; 0, 25) ( ; 0,5); desviación típica : 0,5

: 64 ; : 20 ; : 98% 0,98c

X diámetro X N N

tamaño muestral n media muestral x nivel de confianza n

2

2 2 2

) int ( , ) , .

1 1 0,98( ) 0,99 2,33

2 2

0,52,33. 0,14. tan , int (20 0,14 ; 20 0,14)

64

(19,86 ; 20,14)

c

a El ervalo de confianza es I x E x E siendo el error E zn

nz cumple p Z z z


I

,

2

0,5 0,5) 2 2 1 ; . 1 2,33. 1 2,33 . 1,165 1,36

1

, 2

b A E E z n n nn n

Luego el tamaño mínimo de la muestra es n


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 24 -

Ejercicio de clase 28 Para estimar la proporción de habitantes que es favorable a la construcción de

un centro comercial en un municipio, se ha obtenido el intervalo de confianza (0.31, 0.39), al 94%. a) ¿Cuál ha sido el valor de la proporción muestral? b) Si la muestra aleatoria elegida de esa población para el estudio fue de 500 personas, ¿cuántas de ellas deseaban la construcción del centro comercial? c) Se desea repetir el estudio para obtener un intervalo de confianza con un error máximo de 0.03 y el mismo nivel de confianza. ¿Cuántas personas, como mínimo, debe tener la nueva muestra aleatoria?


Int 94% I (0,31 ; 0,39)cervalo de confianza a un nivel de confianza n

0,31 0,39) int (p , p ) es p p 0,35 35%

2a Como el punto medio del ervalo de confianza I E E

) 35% 500 175b El de personas

� �

2 2 2 2

2 2

2 22 2 2

2

22

) : 94% 0,94

1p (1 p) 1 0,94. ; ( ) 0,97 1,88

2 2

(1 ) p (1 p)0,03 0,03 0,03

0,03

0,35 1 0,351,88 . , 893,4 .

0,03

c

c

c Nivel de confianza n

nEl error es E z z cumple p Z z z

n

p pE E z z n

n

n Luego n El tamaño mínimo

894es entonces n personas

Ejercicio de clase 29 El peso de los sobres de café que fabrica una empresa sigue una ley Normal

de media desconocida y desviación típica 0.3 g. Se quiere construir un intervalo de confianza para estimar dicha media, con un nivel de confianza del 98%, y para ello se toma una muestra de 9 sobres. a) ¿Qué amplitud tendrá dicho intervalo? b) ¿Cómo afectaría a dicha amplitud un aumento del tamaño de la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza? c) Obtenga el intervalo de confianza sabiendo que los pesos, en gramos, de los sobres de la muestra son: 7 7.1 7 6.93 7.02 7 7.01 6.5 7.1


; ( ; 0,3) ; desviación típica : 0,3 ; : 98% 0,98

: 9

cX peso X N nivel de confianza n

tamaño de la muestra n

2

2 2 2

) int 2 , .

1 1 0,98( ) 0,99 2,33 .

2 2

0,3, 2 . 2 . 2,33. 2 . 0,233 0,466

9

c

a La amplitud del ervalo es A E siendo el error E zn

nz cumple p Z z z

Luego la amplitud es A E

2

) , 2 2 . min

min º

b Si aumenta el tamaño de la muestra n la amplitud A E z dis uye porque eln

deno ador de la fracción aumenta y al dividir entre un n mayor el resultado es menor


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 25 -

2

) int ( , ) , . 0, 233 (ya calculado en a))

7 7,1 7 6,93 7,02 7 7,01 6,5 7,16,96

9

tan , int (6,96 0,233 ; 6,96 0,233) I (6,727 ; 7,193)

c El ervalo de confianza es I x E x E siendo el error E zn

x

Por to el ervalo de confianza es I

Ejercicio de clase 30 Queremos estudiar la proporción de personas de una población que acceden

a internet a través de teléfono móvil. Para ello hacemos una encuesta a una muestra aleatoria de 400 personas de esa población, y obtenemos que 240 de ellas acceden a internet a través del móvil. a) Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la proporción de personas de esa población que acceden a internet a través del teléfono móvil. b) Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza el aumento o disminución del tamaño de la muestra, suponiendo que se mantuvieran la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución 240

: 400 ; : p 0,6400

Tamaño muestral n proporción muestral

2

2 2 2

p (1 p)) 98,5% 0,985; int (p , p ), siendo .

0,6 1 0,61 1 0,985( ) 0,9925 2,43. , 2,43. 0,0595

2 2 400

tan , int (

c

ca nivel de confianza n ervalo de confianza I E E E zn

nz cumple p Z z z Luego E


0,6 0,0595 ; 0,6 0,0595) (0,5405 ; 0,6595)

2

p (1 p)) , 2 2 . min

min º

b Si aumenta el tamaño de la muestra n la amplitud A E z dis uye porque eln

deno ador de la fracción aumenta y al dividir entre un n mayor el resultado es menor

Ejercicio de clase 31 En los individuos de una población, la concentración de una proteína en

sangre se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 0.42 g/dl. Se toma una muestra aleatoria de 49 individuos y se obtiene una media muestral de 6.85 g/dl. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 96%, para estimar la concentración media de la proteína en sangre de los individuos de esa población. b) ¿Es suficiente el tamaño de esa muestra para obtener un intervalo de confianza, al 98%, con un error menor que 0.125 g/dl? (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución

; ( ; 0, 42) 49 6,85X concentración de proteina X N n x

2 2

1,96) ( ) 0,98 2,055

2a p Z z z

0,422,055. 0,1233 (6,85 0,1233 ; 6,85 0,1233) (6,73 ; 6,97)

49E I I

2 2

1,98 0,42) ( ) 0,99 2,33 ; 2,33. 0,1398

2 49

0,1398 0,125, 49 .

b p Z z z E

Como no es suficiente con esa muestra de individuos Hay que tomar una muestra mayor


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 26 -

Ejercicio de clase 32 De una muestra aleatoria de 350 individuos de una población, 50 son adultos.

a) Calcule un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de adultos de esa población. b) ¿Puede admitirse, a ese nivel de confianza, que la proporción de adultos de esa población es 2/15?


50: 350 ; : p 0,1429

350Tamaño muestral n proporción muestral

2 2

1,98) ( ) 0,99 2,33

2a p Z z z

0,1429 . 0,85712,33. 0,04359 (0,1429 0,04359 ; 0,1429 0,04359) (0,09931 ; 0,1865)

350E I I

2) 0,1333 ,15

b I Luego sí que puede admitirse

Ejercicio de clase 33 Una variable aleatoria X se distribuye de forma Normal, con media y

desviación típica = 0.9. a) Una muestra aleatoria de tamaño 9 ha proporcionado los siguientes valores de X:

7.0 , 6.4 , 8.0 , 7.1 , 7.3 , 7.4 , 5.6 , 8.8 , 7.2 Obtenga un intervalo de confianza para la media , con un nivel de confianza del 97%. b) Con otra muestra, se ha obtenido que un intervalo de confianza para μ al 95%, es el siguiente (6.906, 7.494). ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizada?


Solución

7,0 6,4 8,0 7,1 7,3 7,4 5,6 8,8 7,2) ( ; 0,9) 9 7, 2

9a X N n x

2 2

1,97 0,9( ) 0,985 2,17 ; 2,17. 0,651 (7,2 0,651 ; 7, 2 0,651) (6,55 ; 7,85)

2 9p Z z z E I I

2 2

1,95) (6,906 ; 7,494) 0,95 ; ( ) 0,975 1,96

2cb Intervalo de confianza I para n p Z z z

, , int 2 7,494 6,906 0,588Para calcular el tamaño de la muestra n hallamos la amplitud del ervalo E

2

0,588 0,9 1,96 . 0,9. ; 0, 294 1,96. 6 36. : 36

2 0,294E z n n Tamaño de la muestra

n n


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 27 -

Ejercicio de clase 34 En una granja avícola se ha tomado una muestra aleatoria de 200 polluelos de

pato, entre los cuales se encontraron 120 hembras. a) Halle un intervalo de confianza, con un nivel del 98%, para la proporción de hembras entre estos polluelos. b) Razone, a la vista del intervalo encontrado, si a ese nivel de confianza puede admitirse que la verdadera proporción de hembras de pato en esa granja es 0,5.


120: 200 ; : p 0,6

200Tamaño muestral n proporción muestral

2

2 2 2

p (1 p)) 98% 0,98 ; int (p , p ), siendo .

0,6 1 0,61,98( ) 0,99 2,33. , 2,33. 0,0807

2 200

tan , int (0,6 0,0807 ; 0,6

ca nivel de confianza n ervalo de confianza I E E E zn

z cumple p Z z z Luego E


0,0807) (0,5193 ; 0,6807)

) 0,5 ,b I Luego no puede admitirse

Ejercicio de clase 35 Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de

las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6 ; 392,2). a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%?


; ( ; 3600) ( ; 60); desviación típica : 60 ; int . . 95%: (372,6 ; 392,2)X tiempo X N N de conf al I

2 2

2

392,2 372,6) : 9,8

2

1,9595% 0,95 ( ) 0,975 1,96

2

60 1,96 . 60. 9,8 1,96. 12 : 144

9,8

,

c

sustituyendo

a El error es la mitad de la amplitud E

El nivel de confianza es n p Z z z

E z n Tamaño muestral nn n

Por otra parte l

372,6 392,2int : 382,4

2a media muestral es el punto medio del ervalo x x

2 2

2

1,869) 86,9% 0,869 ( ) 0,9345 1,51

2

60. 1,51. 6,04

225

cb El nivel de confianza es n p Z z z

El error máximo es E zn


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Ejercicio de clase 36 El tiempo que la población infantil dedica semanalmente a ver la televisión,

sigue una ley Normal con desviación típica 3 horas. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 niños y, con un nivel de confianza del 97%, se ha construido un intervalo para la media poblacional. a) Calcule el error máximo cometido y el tiempo medio de la muestra elegida, sabiendo que el límite inferior del intervalo de confianza obtenido es 23.5 horas. b) Supuesto el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería haber sido el tamaño mínimo de la muestra para cometer un error en la estimación inferior a media hora?


; ( ; 3); desviación típica : 3 ; : 100 ; : 97%cX tiempo X N tamaño muestral n nivel de confianza n

2

2 2 2

) int ( , ) , .

1,97 3( ) 0,985 2,17 ; 2,17. 0,651

2 100

inf int 23,5 23,5 23,5 23,5 0,651 24,151

a El ervalo de confianza es I x E x E siendo el error E zn

z cumple p Z z z E E

Como el límite erior del ervalo es x E x E x

2

3 3) 0,5 ; . 0,5 2,17. 0,5 2,17 . 13,02 169,5

0,5

, 170

b E z n n nn n

Luego el tamaño mínimo de la muestra es n

Ejercicio de clase 37 En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes

para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 ºC y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 ºC. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90%, para la media poblacional. b) ¿Con qué nivel de confianza podemos afirmar que la media de la población está comprendida entre 36,8ºC y 37,4 ºC?


(sup ); : 64 ; : 37,1; desviación típica : 1,04X temperatura onemos normal tamaño muestral n media muestral x

2 2

2

int1,9) 90% ( ) 0,95 1,645

2

int ( , ) , .

1,041,645. 0,214. tan , int (37,1

64

cpor erpolación

a El nivel de confianza es n p Z z z

El ervalo de confianza es I x E x E siendo el error E zn


0,214 ; 37,1 0,214)

(36,89 ; 37,31)I

2 2

2

) (36,8 37,4) int (36,8 ; 37,4)

37,4 36,8 0,3 0,3 64El error es la mitad de la amplitud E 0,3 . 2,31

2 1,04

1 1 1( ) ( 2,31) 0,9896 2 . 0,9896 1

2 2 2

c

c c cc

b Nos piden n p El ervalo de confianza es I

nz z

n

n n np Z z p Z n

0,9792 97,92% cn


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