2

INDICE

PRODUCTOS NOTABLES

Objetivo General……………4

Objetivos Específicos ……………4

1. Cuadrado de un Binomio……………..5

2. Cubo de un Binomio ………………….8

3. Producto de Suma y Diferencia de dos cantidades ……………10

4. Producto de la Forma : ( 𝒙 + 𝒂 ) ( 𝒙 + 𝒃 ) ……………………….11

5. Miscelánea …………………………..14

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL BÁSICA

*Objetivo General ………………………..16 * Objetivos Específicos ………………….16

1. Concepto ……………….18

2. Criterios básicos

A. Factor Común …………… 19

A.1 Factor Común Monomio ……….. 20

A.2 Factor Común por Agrupación de Términos ……….. 22

B. Diferencia de Cuadrados ……………… 24

C. Suma y Diferencia de Cubos ………….. 26

D. Trinomios

D.1 Trinomio Cuadrado Perfecto ( TCP )…………… 29

D.2 Trinomio de La Forma : 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 …………… 32

D.3 Trinomio de La Forma : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ………….. 34

3. Resumen ………………….. 36 45

3

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Objetivo General ………………………. 46

Objetivos Específicos ………………… 46

Definicion ……………….. 46

1. Simplificación ………………. 46

2. Multiplicación y División …… 50

3. Suma y Resta ……………… 54

4. Operaciones Combinadas y Fracciones Complejas ……………61

4

Objetivos Generales

** Facilitar el aprendizaje de los Productos Especiales en los estudiantes de Secundaria

usando nuevas estrategias que despierten el interés en aprender a efectuar ciertos

productos de manera rápida.

** Fortalecer el aprendizaje de los Productos Notables en los estudiantes de Secundaria,

mediante la aplicación de nuevas estrategias y métodos sugeridos de resolución que

permitan resolver ciertos productos que por su estructura se realizan de manera muy ágil y

rápida.

Objetivos Específicos:

** Despertar el interés en la realización de ciertos productos distintos para resolver rápidamente

en el álgebra moderna.

** Aplicar nuevas estrategias lúdicas que ayuden a reafirmar sus conocimientos para que

puedan identificar y resolver los productos especiales.

** Evaluar las diferentes estrategias para analizar los logros y las dificultades que se obtuvieron

con éstas.

5

PRODUCTOS NOTABLES.

Hasta este momento, hemos efectuado Sumas, Restas, Multiplicaciones y Divisiones entre

polinomios. Ahora nos toca desarrollar cierto tipo de multiplicación muy especial por cuanto

puede hacerse de manera rápida y ágil.

Los Productos Especiales son ciertos productos que pueden realizarse de forma rápida por

las características que tienen.

** Cuadrado de un Binomio : ( 𝒂 ± 𝒃 )𝟐

** Cubo de un Binomio : ( 𝒂 ± 𝒃 )𝟑

**Producto de Suma y

Diferencia

( 𝒙 + 𝒂 ) ( 𝒙 − 𝒂 )

** Producto de la Forma : ( 𝒙 + 𝒂 ) ( 𝒙 + 𝒃 )

1. Cuadrado de un Binomio:

Consideremos los siguientes productos:

( 2a + 3b ) ( 2a + 3b ) = ( 2a ) 2 + 6ab + 6ab + 9b2

= ( 2a ) 2 + 12ab + ( 3b ) 2

( 2a + 3b ) 2 = ( 2a ) 2 + 2 ( 2a ) ( 3b ) + ( 3b ) 2

( 2a 3b ) ( 2a 3b ) = ( 2a ) 2 6ab 6ab + 9b2

= ( 2a ) 2 12ab + ( 3b ) 2

( 2a 3b ) 2 = ( 2a ) 2 2 ( 2a ) ( 3b ) + ( 3b ) 2

Luego:

6

Cuadrado de la Suma de dos Cantidades :

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a elevar el cuadrado de la primera

cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la

segunda cantidad. Esto es:

( 𝒂 + 𝒃 ) 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Cuadrado de la Diferencia de dos Cantidades :

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a elevar el cuadrado de la primer

cantidad menos el doble de la primer cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la

segunda cantidad. Esto es:

( 𝒂 − 𝒃 ) 𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Ambas reglas pueden resumirse en lo que llamamos el Cuadrado de un Binomio :

( 𝒂 ± 𝒃 ) 𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Ejemplos :

** ( 4x + 5 ) 2 = ( 4x ) 2 + 2 ( 4x ) ( 5 ) + ( 5 ) 2

= 16x2 + 40x + 25

** ( 3m – 7 ) 2 = ( 3m ) 2 2 ( 3m ) ( 7 ) + ( 7 ) 2

= 9m2 42m + 49

** ( 5x 2 – 4 ) 2 = ( 5x2 ) 2 2 ( 5x2 ) ( 4 ) + ( 4 ) 2

= 25x4 40x2 + 16

*** ( 3x3 + 2n2 ) 2 = ( 3x3 ) 2 + 2 ( 3x3 )( 2n2 ) + ( 2n2 ) 2

= 9x6 + 12x3n2 + 4n4

7

** ( 2s4 – 7f 3 ) 2 = ( 2s4 ) 2 2 ( 2s4 )( 7f 3 ) + ( 7f 3 ) 2

= 4s8 28 s 4 f 3 + 49 f 6

** ( 4x2y + 3d3 ) 2 = ( 4x2 y ) 2 + 2 ( 4x2 y )( 3d 3 ) + ( 3d 3 ) 2

= 16 x4 y2 + 24 x2 y d3 + 9d6

** ( 7r2b3 – 5c4 ) 2 = ( 7r2 b3 ) 2 2 ( 7r2 b3 )( 5c4 ) + ( 5c 4 ) 2

= 49 r4 b6 70 r2 b3 c4 + 25 c8

A. Efectúa los siguientes ejercicios : ( soluciones al final )

1. ( a 3 ) 2 2. ( b 5 ) 2 3. ( b2 6 ) 2 4. ( m2 3 ) 2 5. ( x 7y ) 2

6. ( 3x 9y ) 2 7. ( 4d 7 ) 2 8. ( 8x 9 ) 2 9. ( 2x y ) 2 10. ( 4x2 y3 ) 2

11. ( 5m4 7y ) 2 12. ( 6k2 n4 ) 2 13. ( 3x2 4 ) 2 14. ( 6 7n2 ) 2 15. ( 8m2 5n3 ) 2

16. ( 6c2d3 7 ) 2 17. ( 3a3 9b2 ) 2 18. ( 5x5 4y2 ) 2 19. ( 4b4 5c3 ) 2 20. ( 9x2 4y3 ) 2

8

2. Cubo de un Binomio :

Cubo de la Suma y la Diferencia de dos cantidades :

Consideremos los siguientes productos:

( 3a + 2b ) 3 = ( 3a + 2b ) 2 ( 3a + 2b )

= ( 9 a 2 + 12 a b + 4b 2 ) ( 3a + 2b )

= 27a3 + 18a2b + 36a2b + 24ab2 + 12ab2 + 8b3

= 27a 3 + 54 a2 b + 36 a b2 + 8b3

( 3a 2b ) 3 = ( 3a ) 3 + 3 ( 3a ) 2 ( 2b ) + 3 ( 3a )( 2b ) 2 + ( 2b ) 3

( 2m – 5n ) 3 = ( 2m – 5n ) 2 ( 2m – 5n )

= ( 4m2 – 20mn + 25n2 ) ( 2m – 5n )

= 8m3 20m2n – 40m2n + 100mn2 + 50mn2 - 125n3

= 8m3 60m2n + 150mn2 125n3

( 2m – 5n ) 3 = ( 2m ) 3 3 ( 2m ) 2 ( 5n ) + 3 ( 2m ) ( 5n ) 2 ( 5n ) 3

Luego entonces:

Cubo de la Suma de dos Cantidades:

El cubo de la suma de dos cantidades es igual a elevar el cubo de la primera cantidad más el

triplo de la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda cantidad más el triplo de la

primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad.

Esto es:

( 𝒂 + 𝒃 ) 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

9

Cubo de la Diferencia de dos Cantidades:

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual a elevar el cubo de la primera cantidad

menos el triplo de la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda cantidad más el

triplo de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la

segunda cantidad. Esto es:

( 𝒂 − 𝒃 ) 𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑

Ambas reglas pueden resumirse en lo que llamamos el Cubo de un Binomio:

( 𝒂 ± 𝒃 ) 𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 ± 𝒃𝟑

Ejemplos:

* ( 2x + 3y ) 3 = ( 2x )3 + 3 ( 2x )2 ( 3y ) + 3 ( 2x ) ( 3y ) 2 + ( 3y )3

= 8 x3 + 36 x2 y + 54 x y2 + 27 y3

*( 4p – 2 ) 3 = ( 4p )3 3 ( 4p )2 ( 2 ) + 3 ( 4p ) ( 2 ) 2 ( 2 )3

= 64p3 96p2 + 48p 8

*( 6g2 b3 ) 3 = ( 6g2 )3 3 ( 6g2 )2 ( b3 ) + 3 ( 6g2 ) ( b3 ) 2 ( b3 )3

= 216 g6 108 g4 b3 + 18 g2 b6 b9

*( 3x2y + 5m ) 3 = ( 3x2y )3 + 3 ( 3x2y )2 ( 5m ) + 3 ( 3x2y ) ( 5m ) 2 + ( 5m )3

= 27 x6 y3 + 135 x4 y2 m + 225 x2 y m2 + 125 m3

*( 5x4 3b2 ) 3 = ( 5x4 ) 3 3 ( 5x4 )2 ( 3b2 ) + 3 ( 5x4 ) ( 3b2 ) 2 ( 3b2 )3

= 125 x12 225 x8 b2 + 135 x4 b4 27 b6

*( 4h3 + 5k4 ) 3 = ( 4h3 )3 + 3 ( 4h3 )2 ( 5k4 ) + 3 ( 4h3 ) ( 5k4 ) 2 + ( 5k4 )3

= 64 h9 + 240 h6 k4 + 300 h3 k8 + 125 k12

10

B. Resuelve los siguientes ejercicios : ( soluciones al final )

1.( x 2 ) 3 2. ( y 7 ) 3 3. ( d2 3 ) 3 4. ( d2 3 ) 3 5. ( m3 2n ) 3

6. ( x2 3y2 ) 3 7. ( 2a2 b4 ) 3 8. ( 5x4 y ) 3 9. ( 3g2 7 ) 3 10. ( 5x2 7b ) 3

11. ( 4a3 3c2 ) 3 12. ( 7x4 5y2 ) 3

2. Producto de la Suma y la Diferencia de dos Cantidades :

**Consideremos el siguiente producto:

( x + y ) ( x – y ) = x2 x y + x y y2 = x 2 y 2

**Luego entonces:

El producto de la Suma y la Diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la Primer

cantidad menos el cuadrado de la Segunda cantidad:

( 𝒙 + 𝒚 ) ( 𝒙 − 𝒚 ) = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ( Diferencia de Cuadrados )

Ejemplos. *( 2b + c ) ( 2b c ) = ( 2b ) 2 ( c ) 2 = 4b2 c2

*( 7m 2n ) ( 7m + 2n ) = ( 7m ) 2 ( 2n ) 2 = 49m2 4n2

*( m2 + 5 )( m2 5 ) = ( m2 ) 2 ( 5 ) 2 = m4 25

*( k2 10 )( k2 10 ) = ( k2 ) 2 – ( 10 ) 2 = k4 – 100

* ( x3 – 6 )( x3 + 6 ) = ( x3 ) 2 ( 6 ) 2 = x6 – 36

* ( y5 + 11n )( y5 – 11n ) = ( y5 ) 2 ( 11n ) 2 = y10 – 121n 2

*( 5 m3 )( m3 + 5 ) =

Para poder efectuar el producto se tiene que invertir uno de los factores. Puesto que sólo la suma es

conmutativa, invertimos los sumandos.

*( 5 – m3 )( 5 + m3 ) = (5) 2 – ( m3 ) 2 = 25 m 6

*( 8k4 – 2g3 ) ( 8k4 + 2g3 ) = ( 8k4 ) 2 – ( 2g3 ) 2 = 64k 8 – 4g 6

11

C. Efectúa los siguientes ejercicios : ( soluciones al final )

1.( z 4 ) ( z 4 ) 2. ( a 3 ) ( a 3 ) 3. ( m 5 ) ( m 5 )

4. ( n 8 ) ( n 8 ) 5. ( x 6 ) ( x 6 ) 6. ( p 9 ) ( p 9 )

7. ( c 15 ) ( c 15 ) 8. ( x4 12 ) ( x4 12 ) 9. ( a2 5 ) ( a2 5 )

10. ( 7x2 3 ) ( 7x2 3 ) 11. ( 5 3a3 ) ( 5 3a3 ) 12. ( x2 y + 7b3 ) ( x2 y 7b3 )

3. Producto de la Forma : ( 𝒙 + 𝒂 ) ( 𝒙 + 𝒃 ) :

Sean los productos :

( x + 6 ) ( x + 2 ) = x2 + 2x + 6x + 12 = x2 + 8x + 12

( x 5 ) ( x 2 ) = x2 2x 5x + 10 = x2 7x + 10

( x + 8 ) ( x 3 ) = x2 3x + 8x 24 = x2 + 5x 24

( x 7 ) ( x + 4 ) = x2 + 4x 7x 28 = x2 3x 28

Producto de Suma del producto Producto de los

Primeros Términos de los Primeros Segundos Términos.

y Segundos Términos.

Luego entonces :

1.- El primer término es el producto de los primeros términos de los Binomios.

2.- El segundo término es la suma algebraica de los segundos términos de los Binomios

multiplicado por el primer término común de los Binomios.

3.- El Tercer término es el producto algebraico de los segundos términos de cada

Binomio.

12

Ejemplos:

*( m – 3 )( m + 7 ) = ( m )2 + ( 3 + 7 )m + ( 3 )( 7 ) = m 2 + 4m – 21

*( h + 9 ) ( h – 2 ) = ( h ) 2 + ( 9 – 2 )h + ( 9 )( 2 ) = h 2 + 7h – 18

*( k 2 7 )( k 2 – 5 ) = ( k2 )2 + ( 7 – 5 )k2 + ( 7 )( 5 ) = k 4 12k 2 + 35

*( n 3 + 12 ) ( n 3 + 1 ) = ( n3 ) 2 + ( 12 + 1 ) n3 + ( 12 )( 1 ) = n 6 + 13n 3 + 12

*( p 7 – 15 )( p 7 + 9 ) = ( p7 ) 2 + ( 15 + 9 ) p7 + ( 15 )( 9 ) = p 14 – 6p 7 135

*( g 5 + 6 )( g 5 – 10 ) = ( g5 ) 2 + ( 6 – 10 ) g5 + ( 6 )( 10 ) = g 10 – 4g 5 60

D. Efectúa los siguientes ejercicios: ( soluciones al final )

1. ( x 4 ) ( x 3 ) 5. ( m 8 ) ( m 5 ) 9. ( x 13 ) ( x 4 )

2. ( x + 6 ) ( x 2 ) 6. ( n 7 ) ( n 6 ) 10. ( x2 5 ) ( x2 4 )

3. ( x 5 ) ( x 4 ) 7. ( a 12 ) ( a 3 ) 11. ( h3 6 ) ( h3 7 )

4. ( x 9 ) ( x 3 ) 8. ( c 9 ) ( c 6 ) 12. ( t4 10 ) ( t4 5 )

13

SOLUCIONARIO:

A.

1. a 2 + 6 a + 9 8. 64x2 + 14x + 81 15. 64m2 80m2 n3 25

2. b2 + 10b + 25 9. 4x2 + 4x y + y2 16. 364c4 d6 84c2 d3 + 49

3. b4 + 12b2 + 36 10. 16x4 8x2 y3 y6 17. 9a 6 54 a3 b2 81b4

4. m4 6m2 9 11. 25m4 70m2 y 49y2 18. 25x10 40x5 y2 16y4

5. x2 14x y 49y2 12. 36k4 12k2 n4 n8 19. 16b8 40b4 c3 25c6

6. 9x2 54x y 81y2 13. 9x4 24x2 16 20. 81x4 72x2 y3 16y6

7. 16d2 56d 49 14. 49n4 84n2 36

B.

1. x3 + 6 x2 + 12x 8 7. 8a6 12a 4 b4 6a 2 b8 b12

2. y3 21y2 147y 343 8. 25x12 75x8 y 15x4 y2 y3

3. d6 9d4 27d2 27 9. 27g6 189g4 441g2 343

4. d6 9d4 27d2 27 10. 1 25x6 525x4 b 735x2 b2 343b3

5. m9 6m6 n 12m3 n2 8n 11. 64a 9 144a6 c2 108a3 c4 27c6

6. x6 9x4 y2 27x2 y4 27y6 12. 343x12 735x8 y2 525x4 y4 125y6

C.

1. z 2 16 2. a 2 9 3. m 2 25 4. n 2 64 5. x 2 36 6. p 2 81

7. c 2 225 8. x 4 144 9. a 4 25 10. 49 x 4 9 11. 25 9a 6 12. x 4 y 2 49b 6

D.

1. x 2 + x 12 5. m 2 + 3m 40 9. x 2 9x 52

2. x 2 + 8 x + 12 6. n 2 13n 42 10. x 4 x 2 20

3. x 2 9x + 20 7. a 2 15a 36 11. h 6 h 3 42

4. x 2 6x 27 8. c 2 15c 54 12. t 8 15 t 4 50

14

MISCELÁNEA

1. ( x 7 ) 2 8. ( n 15 ) ( n 4 ) 15. ( x 13 ) 2

2. ( x 9 ) ( x 7 ) 9. ( m 7 ) 3 16. ( m 12 ) ( m 5 )

3. ( n 12 ) 2 10. ( n 8 ) 2 17. ( k 8 ) 3

4. ( x 8 ) ( x 8 ) 11. ( x 7 ) ( x 7 ) 18. ( m 2 13 ) ( m 2 13 )

5. ( t 4 ) 3 12. ( x 7 ) 3 19. ( m 9 ) 2

6. ( 2a 3b ) ( 3b 2 a ) 13. ( a 12 ) ( a 6 ) 20. ( x 2 16 ) 2

7. ( m 8 ) 2 14. ( m 15 ) 2

SOLUCIONES A LA MISCELÀNEA

1. x 2 14x 49 8. n 2 11n 60 15. x 2 26 x 169

2. x 2 2x 63 9. m 3 21 m 2 147 m 343 16. m 2 17 m 60

3. n 2 24n 144 10. n 2 16n 64 17. k 3 24 k 2 192 k 512

4. x 2 64 11. x 2 49 18. m 4 169

5. t 3 12 t 2 48t 64 12. m 3 21 m 2 147 m 343 19. m 2 18 m 81

6. 4 a 2 9 b 2 13. a 2 6 a 72 20. x 4 32 x 2 256

7. m 2 16m 64 14. m 2 30 m 225

15

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL BÁSICA

16

Objetivo General

** Facilitar el aprendizaje de la Descomposición Factorial en los estudiantes de Secundaria

usando nuevas estrategias que despierten el interés en aprender a descomponer factorialmente

polinomios.

** Fortalecer el aprendizaje de la Descomposición Factorial en los estudiantes de Secundaria,

mediante la aplicación de nuevas estrategias y métodos sugeridos de resolución que permitan

un conocimiento más fuerte de los distintos procedimientos que se apliquen.

Objetivos Específicos:

**Despertar el interés en los distintos métodos de factorización dado su gran importancia en el

álgebra moderna.

** Aplicar nuevas estrategias lúdicas que ayuden a reafirmar sus conocimientos para que

puedan identificar y resolver los casos de descomposición factorial.

** Evaluar las diferentes estrategias para analizar los logros y las dificultades que se obtuvieron

con éstas.

17

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

El tema de descomposición en factores o descomposición factorial, es un contenido que hoy

viene siendo abordado en el octavo grado de Secundaria, de manera que hay que saber explicar

muy bien cada criterio de factorización de polinomios que se puedan factorar.

Esto es de suma importancia aclararlo: si bien la factorización es la herramienta en que

descansa el álgebra de los números reales, es de gran importancia para el estudiante aclararle

que: no toda expresión algebraica puede factorizarse, de manera que vamos a utilizar una

herramienta muy útil con la cual podemos operar los polinomios, pero que no es única, que

habrá polinomios que no se pueden factorar.

Los criterios de descomposición factorial los vamos a estudiar poco a poco y al finalizar veremos

cómo pueden mezclarse entre sí, pero para ello, el alumno debe tener claro cuáles son los

criterios más importantes y cómo se hará para resolverlo.

PRODUCTO NOTABLE

FACTORIZACIÓN

18

FACTORIZACIÓN

Concepto: Factorización es el proceso mediante el cual una expresión algebraica puede ser

escrita como el producto de dos o más cantidades llamadas factores.

Podemos afirmar que es la operación contraria al producto algebraico: si en el producto

multiplicáramos dos o más cantidades, obtendríamos como resultado una expresión

( generalmente un polinomio ) ; en la factorización se nos va a dar el polinomio y nosotros

vamos a buscar los factores de donde ésta expresión se origina.

Ejemplos:

*5m2 – 5m = 5m ( m – 1 ) *4x2 + 20x + 25 = ( 2x + 5 ) 2

*x2 – 8x + 15 = ( x – 5 ) ( x – 3 ) *x2 – 9 = ( x + 3 ) ( x 3 )

19

A. Factor Común :

Es un término u otra expresión algebraica que se repite en todos y cada uno de los

términos de una expresión algebraica:

*4n – 4x fc: 4 *10x2y – 5y3 fc: 5y

*4n2m + 8n3 fc: 4n2 *32x2y2 + 16x4m fc: 16x2

Reglas de descomposición:

1.- Si el factor común es monomio, tiene como coeficiente numérico el mcd de los números que

aparecen en la expresión y como literal, la ó las variables repetidas en los términos,

seleccionados con el menor exponente con que aparecen.

2.- La factorización consta del factor común multiplicado por una expresión que resulta de dividir

cada uno de los términos con el factor común.

Nota: Recordemos cómo obtener el mcd de dos ó más números: Máximo Común Divisor

( mcd ) es el mayor divisor común de dos o más números:

Ejemplo: Obtener el mcd de 16, 4 , 24 .

Los divisores de 16 son : 1 , 2 , 4 , 8 , 16 .

Los divisores de 4 son : 1 , 2 , 4 . mcd 4

Los divisores de 24 son : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 .

20

**** Regla Práctica: se puede obtener el mcd de varios números descomponiendo en factores

primos al mismo tiempo, siempre que sea un factor común de dichos números:

mcd: 16 , 4 , 24 . mcd : 24 , 16 , 40 .

16 4 24 2 24 16 40 2

8 2 12 2 12 8 20 2

4 1 6 6 4 10 2

3 2 5

mcd: 4 mcd: 8

A.1 Factor Común Monomio

Obtener el factor común de las expresiones siguientes. Nota : Recordar que 𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎 𝒏

1) a 4 3 a2 = a 2 ( a 2 3 )

2) 4 a2 b – 16 a b 2 = 4ab ( a – 4b )

3) 9d2 – 18 d 2 h + 27 d 2 h 2 = 9 d 2 ( 1 – 2 h + 3 h 2 )

4) 5 x 2 + 10 x y – 15 x 2 y = 5 x ( x + 2 y – 3 x y )

5) 7 m4 n 3 – 28 m3 n 2 + 42 m3 n 5 = 7 m3 n 2 ( mn – 4 + 6 n 3 )

6) 9 x ( a – 3 b ) + 18 ( a – 3 b ) = 9 ( a – 3 b ) ( x + 2 )

7) 3 a ( x – 2 ) – b ( x – 2 ) = ( x – 2 ) ( 3 a b )

8) 6 m ( a b ) – 2 a + 2 b = 6 m ( a b ) – ( 2 a – 2b )

= 6 m( a – b ) – 2 ( a – b )

= ( a – b ) ( 6 m – 2 )

= 2 ( 3 m – 1 ) ( a – b )

21

9) ( 3 a – b ) ( x + m ) – ( a + b ) ( x + m ) = ( x + m ) ( 3 a – b ) – ( a + b )

= ( x + m ) ( 3 a – b a – b )

= ( x + m ) ( 2 a – 2 b )

= 2 ( a – b ) ( x + m )

10) ( a + b – c ) ( x + 3 ) – ( b – c – a ) ( x – 3 ) = ( x + 3 ) ( a + b – c ) – ( b – c a )

= ( x + 3 ) ( a + b – c – b + c + a )

= ( x + 3 ) ( 2 a )

= 2 a ( x + 3 )

***** Orientamos hacer:

A. Descomponer en factores :

1. 3x2 y x2 z 5. 15c3 t2 + 45c2 t4 9. 4m2 8m3 + 16m

2. 3x2 y + 18x y 6. 35m n2 70n3 10. 15b3 + 20b2 5b4

3. 8m2 16mn 7. 2a2 b c 16a c 11. 2m2 n 2mn2 2m n

4. 9h3 x2 27h2 x3 8. 24x z2 + 60x2 z2 12. x4 + x5 + x3

13. 12t2 h2 + 36t3 60h3

B. Descomponer en factores :

1. m ( x 1 ) 2 ( x 1 ) 5. 2a ( t 3 ) 3b ( t 3 ) 9. 3m ( x 2 ) 2n ( x 2 )

2. x ( z 3 ) y ( z 3 ) 6. x ( y 2 ) y 2 10. 4n ( a 2 x h ) 3m ( x h a 2 )

3. 2 ( x 3 ) k ( x 3 ) 7. m ( d 1 ) d 1 11. z3 ( m n 1 ) y2 ( m n 1)

4. m ( x y ) n ( x y ) 8. n ( x y ) x y 12. 1 x 2m ( 1 x )

22

A.2 Factor Común por agrupación de términos :

Se hace cuando no hay un factor común visible y los términos son de orden par: 4, 6, 8,…..

Términos.

Ejemplo: Factorice los siguientes polinomios :

1) a m – b m + a n – b n =

= ( a m – b m ) + ( a n – b n )

= m ( a – b ) + n ( a – b )

= ( a – b ) ( m + n )

2) 3 m – 2 n – 2 n x 4 + 3 m x 4

= ( 3 m + 3 m x 4 ) – ( 2 n + 2 n x 4 )

= 3 m ( 1 + x 4 ) – 2 n ( 1 + x 4 )

= ( 1 + x 4 ) ( 3 m – 2 n )

3) 6 a x + 1 + 3 a + 2 x =

= ( 6 a x + 3 a ) + ( 2 x + 1 )

3 a ( 2 x + 1 ) + ( 2 x + 1 )

( 2x 1 ) ( 3a 1 )

Como puede verse no hay un factor común para todos los

términos, sin embargo es de notar que hay términos que

tienen algo en común:

am, bm m

an, bn n .

En la 2da. agrupación se cambia el signo

debido al signo menos que le antecede.

Según podemos ver aquí, no hay términos

comunes en la 2da. agrupación, basta sólo con

que haya en la primera.

23

4) 2 a 2 x – 5 a 2 y + 15 b y – 6 b x = ( 2 a 2 x – 5 a 2 y ) – ( 6 b x – 15 b y )

= a 2 ( 2 x – 5 y ) – 3 b ( 2 x – 5 y )

= ( 2 x – 5 y ) ( a 2 – 3 b )

5) 20 a x – 5 b x – 2 b y + 8 a y = ( 20 a x – 5 b x ) + ( 8 a y – 2 b y )

= 5 x ( 4 a – b ) + 2 y ( 4 a – b )

= ( 4 a – b ) ( 5 x + 2 y )

Otro procedimiento:

Supongamos que no nos percatamos de los signos y que agrupamos los términos de forma

diferente:

= ( 20 a x – 5 b x ) – ( 2 b y – 8 a y )

= 5 x ( 4 a – b ) – 2 y ( b – 4 a )

= 5 x ( 4 a – b ) 2 y ( 4 a b )

= ( 4 a – b ) ( 5 x 2 y )

***** Orientamos hacer:

C. Descomponer en dos factores :

1. 4a 3 a2 4a 1 5. 4a3 x 4a2b 3amx 3bm 9. 2x2p 2xz2 p2z2 xp3

2. x2 xy2 x y2 6. 6dx 3d 1 2x 10. 6t 9x 21kx 14tx

3. 3x2 2y2b2 2x2b 3y2b 7. 3x3 x 3g 9gx2 11. 3a2 7b2s 3as 7ab2

4. 4. 3m n2+ 2n2x 6mx 8.2m2x 5m2y 15by 6bx 12.20np 5bp 2by 8ny

Obsérvese que el factor común aparece

invertido y es en una resta por lo tanto los

términos no son iguales. Corregimos los

polinomios para lo cual cambiamos el signo de los

términos y el que precede a la agrupación.

24

B. Diferencia de Cuadrados:

Por Productos Notables sabemos que:

( 𝒂 + 𝒃 )( 𝒂 − 𝒃 ) = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

Luego :

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = ( 𝒂 + 𝒃 ) ( 𝒂 − 𝒃 ) Diferencia de Cuadrados.

*** La factorización de una diferencia de cuadrados, consta del producto de la suma por la

diferencia de las raíces cuadradas de cada término.

Nota:

a) La raíz cuadrada de los números se halla según la tabla de cuadrados:

x x2 x x2

1 1 7 49

2 4 8 64

3 9 9 81

4 16 10 100

5 25 15 225

6 36 20 400

b) La raíz cuadrada de una literal la obtenemos dividiendo por dos su exponente:

*c8 c4 * m10 m5 * n6 n3 * p4 p2 * x18 x9 * k9 no tiene!

25

Ejemplos:

Factorice los siguientes polinomios:

a) m 2 – 9 = ( m + 3 ) ( m – 3 ) c) 16 – x 6 = ( 4 + x3 ) ( 4 – x3 )

b) 4 x4 – 25 = ( 2 x 2 + 5 ) ( 2 x 2 – 5 ) d) m 2 n 10 – y8 = ( m n 5 + y4 )( m n 5 – y4 )

e) ( x + y ) 2 – 64 = ( x + y + 8 ) ( x + y – 8 )

f) 49 – ( 6 – x ) 2 = [ 7 + ( 6 – x ) ][ 7 – ( 6 – x )]

= ( 7 + 6 – x ) ( 7 – 6 + x )

= ( 13 – x ) ( x + 1 ) .

g) 9 ( x + y ) 2 25 ( x – y ) 2 = [ ( 3x + 3y ) + ( 5x – 5y ) ][( 3x + 3y ) ( 5x – 5y ) ]

3 ( x + y ) 5 ( x – y ) = ( 3x + 3y + 5x – 5y ) ( 3x + 3y – 5x + 5y )

( 3x + 3y ) ( 5x – 5y ) = ( 8x – 2y ) ( 8y – 2x )

= 2 ( 4x – y ) 2 ( 4y – x )

= 4 ( 4x – y ) ( 4y – x )

** Nota :La suma de cuadrados generalmente no es factorable ( sólo en algunos casos ), por eso es que no se

presenta como un caso factorable : a2 + b 2 a 2 + b 2 !!!

Ejercicios :

D. Descomponer en dos factores :

1. x2 1 6. 225z2 4m2 11. 16m2 9n2 16. ( b + 3c ) 2 4z

2. 4x2 y2 7. 144 49x2 12.100 y2 17. ( x 4y ) 2 1

3. 36m2 121 8. 25x2 36y2 13.169n4 25x4 18. 16 ( m 2n ) 2

4. 49x2y2 169 9. 100m2 9n2 14.( x + y ) 2 z2 19. 25 ( 3x 2y ) 2

5. 64 d2 9k2 10. 25x4 9 15. ( m n ) 2 9 20. 49 ( z2 3t ) 2

26

C. Suma y Diferencia de Cubos.

𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = ( 𝒂 + 𝒃 )( 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) Suma de Cubos Perfectos.

Regla : La suma de cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de las raíces cúbicas de cada término.

2. El cuadrado de la primer raíz menos el producto de las raíces cúbicas de los términos,

más el cuadrado de la segunda raíz.

𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = ( 𝒂 − 𝒃 )( 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) Diferencia de Cubos Perfectos.

Regla: La diferencia de cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de las raíces cúbicas de cada término.

2. El cuadrado de la primer raíz, más el producto de las raíces cúbicas de los términos, más

el cuadrado de la segunda raíz.

Luego : 𝒂𝟑 ± 𝒃𝟑 = ( 𝒂 ± 𝒃 )( 𝒂𝟐 ∓ 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 )

27

*** Nota:

a) Para extraer la raíz cúbica a una literal, su exponente se divide por tres :

i) x6 x 2 ii) y 3 y iii) t 12 t 4 iv) m 9 m3

b) La tabla para obtener algunos cubos perfectos es :

Ejemplos:

Factorice los siguientes polinomios:

1. m 3 + n 3 = ( m + n ) ( m 2 – mn + n 2 ) ** Este trinomio nunca es factorable !!

m n

2. x 3 – y 3 = ( x – y ) ( x 2 + xy + y 2 )

x y

3. 1 + 8 x 3 = ( 1 + 2x ) ( 1 – 2x + 4x 2 )

1 2x

4. 8 x 6 – w 9 = ( 2x 2 – w 3 ) ( 4x 4 + 2x 2 w 3 + w 6 )

2 x 2 w 3

5. a 6 + 64 b 6 = ( a 2 + 4 b 2 ) ( a 4 – 4 a 2 b 2 + 16 b 4 )

a2 4 b 2

28

6. 8 x 9 – 125 y 3 z 6 = ( 2 x 3 – 5 y z 2 ) ( 4 x 6 + 10 x 3 y z 2 + 25 y 2 z 4 )

2 x 3 5 y z 2

Ejercicios:

E. Descomponer en factores :

1.m3 n3 3.8x3 1 5. y3 1 7.x9 y6 9. 216t3 27

2. x3 y3 4.27 8d3 6. b3 64n3 8. m3 125n3 10. x6 1

D. TRINOMIOS :

Entre los trinomios que se pueden factorar directamente tenemos:

d.1 Trinomio Cuadrado Perfecto ( TCP ).

d.2 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

d.3 Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

*** Nota: Estos trinomios tienen una característica común: la raíz cuadrada de la variable que aparece en

el primer término debe aparecer en el segundo término.

29

d.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ( TCP ) :

Sea:

( x + 3 ) 2 = x 2 + 6x + 9 x 2 + 6x + 9 = ( x + 3 ) 2

( a – 5 ) 2 = a 2 – 10a + 25 a 2 – 10a + 25 = ( a – 5 ) 2

( 2x – 1 ) 2 = 4x 2 – 4x + 1 4x 2 – 4x + 1 = ( 2x – 1 ) 2

( m + 6 ) 2 = m 2 + 12m + 36 m 2 + 12m + 36 = ( m + 6 ) 2

Cuadrado de un Binomio Trinomio Cuadrado Perfecto ( TCP )

Ejemplos:

x2 + 6x + 9 = ( x + 3 ) 2 a 2 – 10 a + 25 = ( a 5 ) 2

x 3 a 5

2 2

2 ( x ) ( 3 ) = 6x 2 ( a ) ( 5 ) = 10 a

Regla:

1.- El Primero y Tercer términos ( los extremos ) deben ser cuadrados perfectos ( tener raíz

cuadrada exacta ) y ser ambos positivos .

2.- El Segundo término puede ser negativo ó positivo pero debe ser igual al doble del producto

de las raíces cuadradas del primero y tercer términos.

3.- Si verificamos que un trinomio es un TCP, su descomposición factorial estará constituido por

un binomio formado por las raíces cuadradas del primer y tercer término, separadas por el

signo que tenga el segundo término del trinomio, todo ello elevado al cuadrado.

30

Luego : 𝒙𝟐 ± 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = ( 𝒙 ± 𝒚 ) 𝟐

*** Ejercicio: Factorizar:

1.- g2 – 2 g + 1 = ( g – 1 ) 2 2.- h 2 + 12 h + 36 = ( h + 6 ) 2

g 1 h 6

2 2

2 ( g ) ( 1 ) = 2 g 2 ( h ) ( 6 ) = 12 h

3. 9 – 6 x + x 2 = ( 3 – x ) 2 Si acaso, nosotros ordenamos:

3 x x2 – 6x + 9 = ( x – 3 ) 2

2

2 ( 3 ) ( x ) = 6 x 2 ( x ) ( 3 ) = 6 x

Luego, es posible concluir que ( 3 – x ) ( x – 3 ) pero ( 3 – x ) 2 ( x – 3 ) 2

4. 36 + m 4 + 10 m 2 Primero ordenamos la expresión:

m 4 + 10 m2 + 36 = No se puede factorar como TCP !!

m 2 6

2 2 ( m2 ) ( 6 ) = 12 m 2

5. 9 b 2 + 30 a b + 25 a 2 = ( 3 b + 5 a ) 2 ó ( 5 a + 3b ) 2

3b 5a

2 2 ( 3 b ) ( 5 a ) = 30 a b

x 3

2

31

6. 9 ( x – y ) 2 + 12 ( x – y ) ( x + y ) + 4 ( x + y ) 2 = ( 3x – 3y ) + ( 2x + 2y ) 2

3 ( x – y ) 2 ( x + y ) = 3x – 3y + 2x + 2y 2

( 3x – 3y ) ( 2x + 2y ) = ( 5x – y ) 2

2

2 * 3 ( x – y ) * 2 ( x + y ) = 12 ( x + y ) ( x – y )

7. 16 ( m + n ) 2 – 8 ( m + n ) ( 2m – n ) + ( 2 m – n ) 2 = ( 4 m + 4 n ) – ( 2 m – n ) 2

4 ( m + n ) ( 2 m – n ) = ( 4 m + 4 n – 2 m + n 2

(4m + 4n) ( 2 m – n ) = ( 2 m + 5 n ) 2

2

2 * 4 ( m + n ) * ( 2 m – n ) = 8 ( m + n ) ( 2 m – n )

***** Orientamos hacer:

Ejercicios : F. Descomponer en factores :

1. x2 12x 36 6. 49x2 42x 9 11.x8 18x4 81 16. ( x – y )2 6( x – y ) 9

2. 16y2 40y 25 7. m4 12m2 36 12. x6 y2 2x3y 17. ( m + n )2 2 ( m n ) 9

3. 9h2 24h 16 8. x2 12xh 36h2 13. 25a4 30a2b2 9b4

4. m2 10m + 25 9. 25p2 10pm m2 14.1 49x4 y4 14x2y2 18.4 ( k 1 )2 28( k 1 ) 49

5. 25t4 40t2 16 10. 49q2 84q 36 15. 49x4 25n4 70x2n2

32

d.2 TRINOMIO DE LA FORMA : 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 .

Se sabe que :

( x + 3 ) ( x + 1 ) = x 2 + 4x + 3 x 2 + 4 x + 3 = ( x + 3 ) ( x + 1 )

( x – 5 ) ( x – 4 ) = x 2 – 9x + 20 x 2 – 9 x + 20 = ( x – 5 ) ( x – 4 )

( x + 6 ) ( x – 3 ) = x 2 + 3 x – 18 x 2 + 3x – 18 = ( x + 6 ) ( x – 3 )

( x – 8 ) ( x + 2 ) = x 2 – 6 x – 16 x 2 – 6 x – 16 = ( x – 8 ) ( x + 2 )

Producto ( x a ) ( x b ) Trinomios x2 bx c

** Características del Trinomio:

a.- El primer término es una variable con coeficiente uno y es cuadrado perfecto, además de

ser positivo.

b.- El segundo término lleva la raíz cuadrada de la variable del primer término.

c.- No es TCP.

*** Regla para factorar un trinomio 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 :

Sean los trinomios :

* x 2 + 4 x + 3 = ( x + 3 ) ( x + 1 )

* x 2 – 9 x + 20 = ( x – 5 ) ( x – 4 )

* x 2 + 3 x – 18 = ( x + 6 ) ( x – 3 )

* x 2 – 6 x – 16 = ( x – 8 ) ( x + 2 )

1.- La factorización consiste en dos binomios cuyos primeros términos son la raíz cuadrada de

primer término del trinomio.

2.- El signo del primer binomio es igual al signo del segundo término del trinomio.

33

3.- El signo en el segundo binomio es el producto de los signos del segundo y tercer términos

del Trinomio.

4.- Si los signos en los binomios son iguales ( ambos positivos ó ambos negativos ), se buscan

dos números que multiplicados den como resultado el tercer tèrmino del Trinomio y que

sumados den el número que aparece en el segundo término del Trinomio.

*** Los números se escribirán en el orden : Mayor Menor.

5.- Si los signos en los binomios son diferentes ( negativo y positivo ó viceversa ), se buscan

dos números que multiplicados den como resultado el tercer tèrmino del Trinomio y que

restados den el número que aparece en el segundo término del Trinomio.

*** Los números se escribirán en el orden : Mayor Menor .

Ejemplo:

Factorice los siguientes polinomios:

1. m2 + 5 m – 14 = ( m + 7 ) ( m – 2 ) 2. x2 – 3 x + 2 = ( x – 2 ) ( x – 1 )

3. r 2 + 7 r – 60 = ( r + 12 ) ( r – 5 ) 4. k2 – 24 k + 135 = ( k – 15 ) ( k – 9 )

5. 20 + a 2 – 21 a = Ordenamos primero el trinomio:

a2 – 21 a 20 = ( a – 20 ) ( a – 1 )

6.( x – y ) 2 + 5 ( x – y ) – 24 = ( x – y ) + 8 ( x – y ) – 3

= ( x – y + 8 ) ( x – y – 3 )

*** Nota : Si ocurre que el tercer término lleva variables, su raíz cuadrada (de las variables ) se agrega al segundo

término después de hallar los números.

7. s 2 + 4 s t4 – 32 t 8 = ( s + 8 t4 ) ( s – 4 t 4 )

8. q 4 – 16 q 2 r 3 + 48 r 6 = ( q 2 – 12 r 3 ) ( q 2 – 4 r 3 )

34

***** Orientamos hacer:

Ejercicios: G. Descomponer en factores :

1. x 2 6x 8 6. t 2 12t 20 11. x2 15 2x 16. x2 xy 12y2

2. x2 8x 15 7. w 2 10w 16 12. p2 20 p 17. m2 5m 14n2

3. x2 19x 90 8. b2 15b 54 13. z2 16 6z 18. d2 18h2 3dh

4. x2 21x + 20 9. x2 2x 8 14. x2 5x 24 19. x2 4xz 21z2

5. y2 9y 20 10. a2 14a 24 15. b2 b 30 20. y2 72w2 18yw

d.3 TRINOMIO DE LA FORMA : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 :

Son Trinomios similares al trinomio 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 pero con la diferencia que el coeficiente

del primer término es diferente de uno.

Ejemplos :

i) 6 x 2 + 7 x + 2 ii) 2 h 2 – 11 h t + 14 t 2 iii) 5 k 2 17 k + 14

*** La factorización de éstos trinomios la haremos usando el Método de Tanteo:

1. 12x2 x 6 :

a) Se ordena el polinomio. 12 x 2 – x – 6 = ( 4 x – 3 ) ( 3 x + 2 )

b) Se buscan dos números ( inicialmente 4x 2 = 8 x

primos entre sí ) que multiplicados den 3 x – 3 = – 9 x .

como resultado el primero y tercero términos. – x

c) Se multiplican horizontalmente y los resultados se suman o se restan buscando que den

como resultado el segundo término del trinomio.

d) Verificamos en base a los signos que hemos puesto, que el producto sea el tercer término.

e) La descomposición factorial se escribe cruzada.

35

2. 6 x 2 – 6 – 5 x = Primero lo ordenamos : 6 x 2 5x 6 = ( 3 x + 2 ) ( 2 x – 3 )

3 x – 3 = – 9 x

2 x 2 = 4 x .

– 5x

3. 15 m 2 16 m – 15 = ( 5 m – 3 ) ( 3 m + 5 )

5 m 5 = 25 m

3 m – 3 = – 9 m .

16 m

4. 6 n 2 – 13 nf – 15 f 2 = ( 6 n + 5 f ) ( n – 3 f )

6 n – 3 f = – 18 n f

n 5 f = 5 n f .

13 n f

5. 5 m 8 17 m 4 n 14 n 2 = ( 5 m 4 – 7 n ) ( m 4 – 2 n )

5 m4 – 2 n = – 10 m 4 n

m4 – 7 n = – 7 m 4 n .

17 m 4 n

6. 2 h 2 – 11 h t + 14 t 2 = ( 2 h – 7 t ) ( h – 2 t )

2h – 2 t = – 4 h t

h – 7 t = – 7 h t .

11 h t

7. 15 – 2 n – n 2 = ( 5 + n ) ( 3 n )

5 n = – 5 n

3 n = 3 n .

2 n

*** Como puede verse, la incógnita es negativa, pero así se puede realizar la factorización.

36

8. 12 g 2 + g h – 6 h 2 = ( 4 g + 3 h ) ( 3 g – 2 h )

4 g – 2 h = – 8 g h

3 g 3 h = 9 g h .

g h

***** Orientamos hacer:

Ejercicios:

H. Descomponer en factores :

1. 2x 2 3x 1 6. 2t2 5t 2 11. 3x2 17x 6 16. 4x2 9 20x

2. 3x2 7x 2 7. 2w 2 5w 3 12. 2p2 9p 18 17. 3x2 6y2 7xy

3. 2x2 7x 6 8. 2b 2 15b 8 13. 3x2 13x 10 18. 4x2 8xy 5y2

4. 3x2 14x + 8 9. 2x 2 3x 2 14. 6x2 x 2 19.10x2 45x 20

5. 4y2 4y 1 10. 2a2 13a 7 15. 6x2 4 5x 20. 6x2 15 27x

****** RESUMEN :

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO .

En base al número de términos que puede tener un polinomio los casos de factorización son:

37

Ejercicios de Ejemplo:

1. ( 2 x + 3 ) 2 ( x – 2 ) 2 = Diferencia de Cuadrados.

= ( 2 x + 3 ) + ( x – 2 ) ( 2 x + 3 ) ( x – 2 )

= ( 2 x + 3 + x – 2 ) ( 2 x + 3 – x + 2 )

= ( 3 x + 1 ) ( x + 5 )

2. 3 a 7 b 2 + 3 a 4 b 2 = 3 a 4 b 2 ( a3 + 1 ) Factor Común Monomio

= 3 a 4 b 2 ( a + 1 ) ( a 2 – a + 1 ) Suma de Cubos.

3. 6 a m – 18 m k + 12 a t – 36 k t = ( 6am – 18mk ) + ( 12at – 36kt) Factor Común por

= 6m ( a – 3k ) + 12t ( a – 3k ) Agrupación

= ( a – 3 k ) ( 6 m + 12 t )

= 6 ( m + 2 t ) ( a – 3 k ) Factor Común Monomio.

38

4. x 3 – 8 y 3 = ( x – 2 y ) ( x 2 + 2 x y + 4 y 2 ) Diferencia de Cubos.

5. x 2 – 24 x + 144 = ( x – 12 ) 2 Trinomio Cuadrado Perfecto.

x 12

2 2 ( x ) ( 12 ) = 24 x

6. z 5 – 25 z 3 = z 3 ( z2 – 25 ) Factor Común Monomio.

= z 3 ( z + 5 ) ( z – 5 ) Diferencia de Cuadrados.

7.- 4 x 2 – 15 – 4x = Primero ordenamos:

4 x 2 – 4 x – 15 = ( 2 x – 5 ) ( 2 x + 3 ) Trinomio de la forma

2x – 5 = – 10 x a x 2 + b x + c .

2x 3 = 6 x .

4x

8. x 2 – 19 x + 84 = ( x – 12 ) ( x – 7 ) Trinomio de la forma x 2 + b x + c.

9. 4 x + xy + 12 + 3y = ( 4 x + x y ) + ( 12 + 3 y ) Factor Común por Agrupación.

= x ( 4 + y ) + 3 ( 4 + y )

= ( 4 + y ) ( x + 3 )

10. 5 p h 3 – 320 p = 5 p ( h3 – 64 ) Factor Común Monomio.

= 5 p ( h – 4 ) ( h2 + 4 h + 16 ) Diferencia de Cubos.

11. 6 a 4– 6 – 5 a 2 = Ordenamos el polinomio

6 a4 – 5 a2 – 6 = ( 3 a 2 + 2 ) ( 2 a 2 – 3 ) Trinomio de la forma a x 2 + b x + c .

3 a 2 – 3 = – 9 a 2

2 a 2 2 = 4 a 2 .

– 5 a 2

39

12. 10 t ( x + 1 ) 2 – 810 t = 10 t [ ( x + 1 ) 2 – 81 ] Factor Común Monomio.

= 10 t ( x + 1 + 9 ) ( x + 1 – 9 ) Diferencia de Cuadrados.

= 10 t ( x + 10 ) ( x – 8 )

Ejercicios : I. Descomponer en factores :

1. 3 x 2 – 3 x y + 6 x y 2 11. 25 x 2 + 30 x + 9

2. 3 ( a + 3 ) + x ( a + 3 ) 12. m4 – 16 y 2

3. 9 x 2 – y 2 13. 2 a x + 4 a – 2 b x – 4 b

4. x 2 – 6 x + 9 14. 144 z 2 – 25

5. a 3 – 64 b 3 15. m2 + 11 m n + 18 n 2

6. m 2 – 9 m + 18 16. y2 – y – 2

7. 3 x y + 9 a x – a y – 3 a 2 17. p 2 + 6 p + 9

8. 10 x 2 – 3 – 13 x 18. x3 + 8 y 3

9. m 2 – 16 19. a m + 2 b m – a n – 2 b n

10. 64 + 125 y 3 20. 4 x 3 y 2 + 2 x 2 y 3– 6 x 2 y 2

*** SOLUCIONARIO : ***

A. Descomponer en factores : ( Pág. 21 ):

1. x 2 ( 3y z ) 6. 35n2 ( m n ) 11. 2mn ( m n 1 )

2. 3xy ( x 6 ) 7. 2ac ( ab 8 ) 12. x3 ( x x2 1 )

3. 8m ( m 2n ) 8. 12xz2 ( z 5x ) 13. 12 ( t2 h2 3t3 5h3 )

4. 4. 9h2x2 ( h 3x ) 9. 4m ( m 2m2 4 )

5. 15c2 t2 ( c 3t2 ) 10. 5b2 ( 3b 4 b2 )

40

B. Descomponer en factores : ( Pág. 21 ) :

1. ( x 1) ( m 2 ) 6. ( y 2 ) ( x 1 ) 11. ( m n 1) ( z3 y2 )

2. ( z 3 ) ( x y ) 7. ( d 1 ) ( m 1 ) 12. ( 1 x ) ( 2m 1 )

3. ( x 3 ) ( 2 k ) 8. ( x y ) ( n 1 )

4. ( x y ) ( m n ) 9. ( x 2 ) ( 3m 2n )

5. ( t 3 ) ( 2a 3b ) 10. ( x h a 2) ( 4n 3m )

C .Descomponer en factores : ( Pág.23 ) :

1. ( 4a 1 ) ( a 2 1 ) 6. ( 2x 1 ) ( 3d 1 ) 11. ( a 5 ) ( 3a 7b 2 )

2. ( x y2 ) ( x 1 ) 7.( 3x2 1 ) ( x y ) 12.( 4n b ) ( 5p 2y )

3. ( x2 y2b ) ( 3 2b ) 8. ( 2x 5y ) ( m 2 3b )

4. ( 1 2x ) ( 3m n2 ) 9. ( xp z2 ) ( 2x p2 )

5. ( ax b ) ( 4a2 3m ) 10. ( 2t 3x ) ( 3 7k )

D. Descomponer en factores : ( Pág. 25 ) :

1. ( x 1 ) ( x 1 ) 7. ( 12 7x ) ( 12 7x ) 13. ( 13n2 5x2 ) (13n2 5x2 )

2. ( 2x y ) ( 2x y ) 8.( 5x 6y ) ( 5x 6y ) 14.( x y z ) ( x y z )

3. ( 6m 11 ) ( 6m 11 ) 9. (10m 3n ) (10m 3n ) 15. ( m n 3 ) ( m n 3 )

4. ( 7xy 13 ) ( 7xy 13 ) 10. ( 5x2 3 ) ( 5x2 3 16.( b 3c 2z ) ( b 3c 2z )

5. ( 8d 3k ) ( 8d 3k ) 11. ( 4m 3n ) ( 4m 3n ) 17. ( x 4y 1 ) ( x 4y 1 )

6. ( 15z 2m ) ( 15z 2m ) 12.( 10 y ) ( 10 y ) 18. ( 4 m 2n ) ( 4 y 2n )

19. ( 5 3x 2y ) ( 5 3x 2y ) 20. ( 7 z2 3t ) ( 7 z2 3t )

41

E. Descomponer en factores : ( Pág. 28 ) :

1. ( m n ) ) ( m2 mn + n2 ) 6. ( b 4n ) ( b2 4bn 16n2 ).

2. ( x y ) ( x2 xy + y2 ) 7.( x3 y2 ) ( x6 x3y2 y4 )

3. ( 2x 1 ) ( 4x2 2x 1 ) 8. ( m 5n ) ( m2 5mn 25n2 )

4. ( 3 2d ) ( 9 6d 4d2 ) 9. 27 ( 2t 1 ) ( 4t2 2t 1 )

5. ( y 5 ) ( y2 5y 25 ) 10. ( x2 1 ) ( x4 x2 1 )

11. ( 7n 2t ) ( 49n2 14nt 4t2 ) 12. ( 9x 4k ) ( 81x2 36xk 16k2 )

.

F. Descomponer en factores : ( Pág. 31 ) :

1. ( x 6 ) 2 6. ( 7x 3 ) 2 11. ( x 4 9 ) 2 16. ( x y 3 ) 2

2. ( 4y 5 ) 2 7.( m2 6 ) 2 12. ( x 3 y ) 2 17. ( m n 1 ) 2

3. ( 3h 4 ) 2 8. ( x 6h ) 2 13. ( 5a 2 3b2 ) 2 18. ( 2k 5 ) 2

4. ( m 5 ) 2 9. ( 5p m ) 2 14.( 7x 2y2 1 ) 2

5. ( 5t2 4 ) 2 10. ( 7q 6 ) 2 15. ( 7x2 5n2 ) 2

G. Descomponer en factores : ( Pág. 34 ) :

1. ( x 4 ) ( x 2 ) 6.( t 10 ) ( t 2 ) 11. ( x 5 ) ( x 3 ) 16. ( x 4y ) ( x 3y )

2. ( x 8) ( x 5 ) 7.( w 8 ) ( w 2 ) 12. ( p 5 ) ( p 4 ) 17. ( m 7n ) ( m 2n )

3. ( x 10 ) ( x 9 ) 8. ( b 9 ) ( b 6 ) 13. ( z 8 ) ( z 2 ) 18. ( d 6h ) ( d 3h )

4. ( x 20 ) ( x 1 ) 9. ( x 4 ) ( x 2 ) 14. ( x 8 ) ( x 3 ) 19. ( x 7z ) ( x 3z )

5. ( y 4 ) ( y 5 ) 10. ( a 12 ) ( a 2 ) 15. ( b 6 ) ( b 5 ) 20. ( y 12w ) ( y 6w )

42

H. Descomponer en factores : ( Pág. 36 ) :

1.( 2x 1 ) ( x 1 ) 6. ( 2t 1 ) ( t 2 ) 11. ( 3x 1 ) ( x 6 ) 16. ( 2x 9 ) ( 2x 1 )

2. ( 3x 1 ) ( x 2 ) 7. ( 2w 1 ) ( w 3 ) 12.( 2p 3 ) ( p 6 ) 17. ( 3x 2y ) ( x 3y )

3. ( 2x 3 ) ( x 2 ) 8. ( b 8 ) ( 2b 1 ) 13. ( 3x 2 ) ( x 5 ) 18. ( 2x 5y ) ( 2x y )

4. ( 3x 2 ) ( x 4 ) 9.( 2x 1 ) ( x 2 ) 14.( 2x 1 ) ( 3x 2 ) 19. 5 ( 2x 1 ) ( x 4 )

5. ( 2y 1 ) 2 10. ( 2 a 1 ) ( a 3 ) 15. ( 2x 1 ) ( 3x 4 ) 20. 3 ( 2x 1 ) ( x 5 )

I. Descomponer en factores : ( Pág. 39 ) :

1.3 x ( x – y + 2 y 2 ) Factor Común Monomio.

2. ( a + 3 ) ( 3 + x ) Factor Común.

3. ( 3 x + y ) ( 3 x – y ) Diferencia de Cuadrados.

4. ( x – 3 ) 2 Trinomio Cuadrado Perfecto.

5. ( a – 4 b ) ( a 2 + 4 a b + 16 b 2 ) Diferencia de Cubos.

6. ( m – 6 ) ( m – 3 ) Trinomio de la forma x 2 + bx + c .

7. ( 3 x – a ) ( y + 3 a ) Factor Común por Agrupación.

8. ( 5 x + 1 ) ( 2 x – 3 ) Trinomio de la forma ax2 + bx + c .

9. ( m + 4 ) ( m – 4 ) Diferencia de Cuadrados.

10. ( 4 + 5 y ) ( 16 – 20 y + 25 y 2 ) Suma de Cubos.

11. ( 5 x + 3 ) 2 Trinomio Cuadrado Perfecto.

12. ( m2 + 4 y ) ( m 2 – 4 y ) Diferencia de Cuadrados.

13. 2 ( a – b ) ( x + 2 ) Factor Común por agrupación y Factor Común Monomio.

14. ( 12 z 2 + 5 ) ( 12 z 2 – 5 ) Diferencia de Cuadrados,

15. ( m + 9 n ) ( m + 2 n ) Trinomio de la forma x 2 + b x + c .

43

16. ( y – 2 ) ( y + 1 ) Trinomio de la forma x 2 + b x + c .

17. ( p + 3 ) 2 Trinomio Cuadrado Perfecto.

18. ( x + 2 y ) ( x 2 – 2 x y + 4 y 2 ) Suma de Cubos.

19. ( a + 2 b ) ( m – n ) Factor Común por Agrupación.

20. 2 x 2 y 2 ( 2 x + y – 3 ) Factor Común Monomio.

***** Hacer : Otros Ejercicios :

1. 9m2 18m 6. y2 3y 4 11. 2xy 6y xn 3n 16. 16s4 24s2b 9b2

2. 10z2 zh 3h2 7. 6x2 x 2 12. 4m2 4mn n2 17. 144b2 9h2

3. k2 k kp p 8. 3x3 3 13. g2 g 42 18. x4 – 4x2 – 21

4. 5s2 180 9. 64m3 1 14. 15x2 11x 14 19. 6x2 19x 20

5. 9x2 6xf f2 10. x3 6x2 5x 15. 125t6 64k3 20. 1 49x2

44

***Lic. Enrique Moreno Pérez.

Criterio Características básicas Procedimiento de Factorización Ejemplo :

1. Factor Común

Monomio

** Se llama así al término que

aparece repetido en cada uno

de los términos del polinomio.

① Sacamos el factor común: MCD numérico y las

letras repetidas con menor exponente.

② Escribo el factor común y lo multiplico por la

división que resulta de cada término entre el

factor común.

** 𝟏𝟓𝒂𝟐𝒃 − 𝟒𝟓𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟔𝟎𝒂𝟐𝒃𝟒 =

= 15𝑎2𝑏 ( 1 − 3𝑎𝑏 + 4𝑏3 )

2.Factor Común por

Agrupación

****Normalmente en polinomios

de 4 a 6 términos y no todos

tienen factor común monomio.

① Se agrupa en parejas

② Se extrae el factor común de cada agrupación.

③ Se extrae el factor común polinomio.

* 3ax 3x + 4y 4ay

= ( 3ax 3x ) ( 4y 4ay )

= 3x ( a 1 ) 4y ( 1 a ) Cambio de signo

¡!

= 3x (a 1 ) 4y( a 1 )

= ( a 1 ) ( 3x 4y ) ¡!!!

3.Diferencia de

Cuadrados :

∗∗ 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 =

( 𝒂 + 𝒃 ) ( 𝒂 − 𝒃 )

** Se produce entre dos términos

que se están restando y que

son cuadrados exactos.

① Se extrae la raíz cuadrada de cada término.

② Se multiplica la suma por la diferencia de

ambas raíces.

** 𝟏𝟔𝟗𝒙𝟒 − 𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃𝟔 =

13𝑥2 5𝑎𝑏3

= ( 13𝑥2 + 5𝑎𝑏3)( 13𝑥2 − 5𝑎𝑏3)

46

4.Suma y diferencia

de Cubos :

① 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑

② 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑

** Se produce entre dos términos

que tienen raíz cúbica exacta.

① ( a + b ) ( a² ab b² )

② ( a b ) ( a² ab b² )

①Se extrae la raíz cúbica de ambos.

②Se escribe la suma ó resta de las raíces cúbicas.

③Se multiplican por un trinomio cuyo primer tér-

mino es el cuadrado de la primer raíz, luego el

signo opuesto de las raíces, la multiplicación de

éstas, más el cuadrado de la segunda raíz.

** 𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝟕𝒎𝟑 =

2x 3m

= ( 2𝑥 − 3𝑚)( 4𝑥2 + 6𝑚𝑥 + 9𝑚2 )

** 𝟏𝟐𝟓𝒚𝟔 + 𝟔𝟒 =

5y² 4

= ( 5𝑦2 + 4 )( 25𝑦4 − 20𝑦2 + 16 )

Criterio Características Básicas Procedimiento de Factorización Ejemplo :

5.Trinomio Cuadrado

Perfecto

① El primer y tercer términos

son

cuadrados perfectos Positivos.

② El segundo término debe ser el

doble del producto de ambas

raíces cuadradas.

① Se ordenan los términos.

② Se sacan las raíces cuadradas del primer y

tercer términos.

③ Se verifica el doble del producto de ambas

raíces igual al segundo término del trinomio.

④ Se escribe el cuadrado de la suma ó la resta de

ambas raíces.

** 𝒎𝟐 + 𝟖𝒎 + 𝟏𝟔 = ( 𝒎 + 𝟒 ) 𝟐

m 4

2 = 2 ( 𝑚 )( 4 ) = 8𝑚

** 𝒉𝟒 − 𝟏𝟎𝒉𝟐 + 𝟐𝟓 = ( 𝒉𝟐 − 𝟓 ) 𝟐

h² 5

2 = 2 ( ℎ2 )( 5 ) = 10ℎ2

47

6. Trinomio de la

forma :

𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

① El primer término es cuadrado

perfecto y tiene coeficiente

uno.

② El Tercer término no necesa-

riamente es cuadrado

perfecto.

① Se ordenan los términos.

② Se escriben dos paréntesis cuyo primer térmi-

no es la raíz cuadrada del primer término del

trinomio.

③ El signo del primer binomio es igual al signo del

segundo término del trinomio y el del segundo es

el producto de signos de 2do y 3er términos .

④ Signos iguales : se buscan dos números que den

el tercer término del trinomio y cuya suma

coincida con el 2do término del trinomio.

Signos diferentes : se buscan dos números que

den el tercer término del trinomio y cuya resta

coincida con el 2do término del trinomio.

** 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟔𝟓 = ( 𝑥 + 13)( 𝑥 − 5 )

** 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟒 = ( 𝑥 − 7 )( 𝑥 − 2 )

** 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟏𝟖 = ( 𝑥 − 9 )( 𝑥 + 2 )

** 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟒 = ( 𝑥 + 8 )( 𝑥 + 3 )

7. Trinomio de la

forma :

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

** Trinomio que no es cuadrado

perfecto y cuyo coeficiente en

𝒙𝟐 es diferente de uno.

** Se factoriza usando tanteo :

15 m2 16 m – 15 = ( 5 m – 3 ) ( 3 m + 5 )

5 m 5 = 25 m

3 m – 3 = – 9 m .

16 m

5m8 17 m4n 14 n2 = (5 m4 – 7n) (m4 – 2 n

)

5 m4 – 2 n = – 10 m 4 n

m4 7 n = – 7 m 4 n .

17 m 4 n

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Objetivo General

49

a) Facilitar el aprendizaje de las Fracciones Algebraicas en los estudiantes de Secundaria

usando nuevas estrategias que despierten el interés en aprender a resolver fracciones

algebraicas mediante procesos de simplificación.

b) Fortalecer el aprendizaje de la Resolución de Fracciones Algebraicas en los estudiantes

de Secundaria, mediante la aplicación de nuevas estrategias y métodos sugeridos de

resolución que permitan un conocimiento más fuerte de los distintos procedimientos que

se apliquen.

Objetivos Específicos:

a) Despertar el interés en los distintos procesos de resolución de fracciones algebraicas

dado su gran importancia en al álgebra moderna.

b) Aplicar nuevas estrategias lúdicas que ayuden a reafirmar sus conocimientos para que

puedan resolver los casos de fracciones algebraicas.

c) Evaluar las diferentes estrategias para analizar los logros y las dificultades que se

obtuvieron con éstas.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

De las fracciones aritméticas, podemos decir que una fracción aritmética es el cociente de dos

números aritméticos: −3

7 es un ejemplo sencillo de éstas fracciones. Tenemos que los

elementos de una fracción son el signo (que puede ser positivo ó negativo ), el numerador y el

50

denominador. El valor de las fracciones aritméticas puede ser un número mayor ó menor que

la unidad y es igual a la unidad cuando el numerador es igual al denominador.

Ejemplo : 5

7 1 ;

8

3 1 ;

13

13 1

Las fracciones cuyo numerador y/o denominador son polinomios, reciben el nombre de

Fracciones Algebraicas, por ejemplo:

𝑥2 + 14𝑥 − 12

9 𝑥2 − 18𝑥

De las fracciones algebraicas, trataremos sus operaciones:

1. Simplificación 3. Suma y Resta.

2. Multiplicación y División 4. Operaciones Combinadas y Fracciones Complejas.

1. Simplificación de Fracciones Algebraicas:

Proceso para simplificar fracciones algebraicas:

a) Se factorizan ( si es posible ) las expresiones en el numerador y denominador.

b) Eliminamos los factores monomios y/o polinomios que se repitan tanto en el numerador

como en el denominador.

Ejemplo #1: 𝟐𝟒 𝒙𝟑 𝒚

𝟑𝟔 𝒙𝟑 𝒚𝟐 𝟒𝟖 𝒙𝟒 𝒚

24 𝑥3𝑦

12 𝑥3𝑦 ( 3𝑦 + 4𝑥 )

2

3𝑦 +4𝑥

Ejemplo #2: 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟏

( 2 𝑥 + 3 ) ( 𝑥 − 1 )

( 𝑥 + 1 )( 𝑥 − 1 )

2𝑥 + 3

𝑥 − 1

** El denominador de las fracciones algebraicas nunca puede valer 0 pues la división por 0 no existe.

51

Ejemplo #3 : 𝒂𝟑 𝒎 − 𝟒 𝒂𝒎 + 𝒂𝟑𝒏 − 𝟒𝒂𝒏

𝒂𝟑 − 𝟒𝒂

𝑎 ( 𝑎 + 2 )( 𝑎 − 2 )( 𝑚 + 𝑛 )

𝑎 ( 𝑎 + 2 )( 𝑎 − 2 ) 𝑚 + 𝑛

* ( a3 m 4am ) ( a3 n 4an ) am ( a2 4 ) an ( a2 4 )

( am an ) ( a2 4 )

a ( m n ) ( a 2 ) ( a 2 )

* a3 4a a ( a2 4 )

a ( a 2 ) ( a 2 )

Ejemplo #4 : 𝒙𝟔 + 𝒙𝟑 − 𝟐

𝒙𝟒 − 𝒙𝟑𝒚 − 𝒙 + 𝒚

( 𝑥3 + 2 )( 𝑥 − 1 )( 𝑥2 + 𝑥 + 1 )

( 𝑥 + 𝑦 )( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥2 + 𝑥 + 1 )

𝑥3+ 2

𝑥 − 𝑦

* x 6 x 3 2 ( x 3 2 ) ( x 3 1 )

( x 3 2 ) ( x 1 ) ( x 2 x 1 )

* x 4 x 3 y x y ( x 4 x 3 y ) ( x y )

x 3 ( x y ) ( x y )

( x y ) ( x 3 1 )

( x y ) ( x 1 ) ( x 2 x 1 )

**** NOTAS :

** ( x y ) ( y x ) ** ( x y ) 2 ( y x ) 2 ** ( x y ) 3 ( y x ) 3

Ejemplo #5 : 𝟒𝒙𝟑𝒚 ( 𝒂 − 𝟏 )𝟐

𝟏𝟐𝒙𝒚 ( 𝟏 − 𝒂 )𝟑 4𝑥3𝑦 ( 1 − 𝑎 )2

12𝑥𝑦 ( 1 − 𝑎 ) 3

𝑥2

3 ( 1 − 𝑎 )

Ejemplo #6 : 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑

𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝒙𝟐

(4𝑥 − 1 ) ( 2𝑥 − 3 )

( 2 + 𝑥 )( 1 − 4𝑥 )

( 4𝑥−1 )( 2𝑥−3 )

( 𝑥 + 2 ) ( 4𝑥 − 1 )

3 − 2𝑥

𝑥 + 2

** 8 x2 14x 3 ** 2 7x 4x2

4x – 3 = – 12 x 2 – 4x = – 8 x

2x 1 = 2x . 1 1x = x .

14x 7x

Ejemplo #7 : 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐

𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟑𝒂

( 𝑎 − 𝑥 )( 𝑎 + 𝑥 )

( 𝑥 − 𝑎 )( 𝑥 − 3 )

( 𝑥 − 𝑎 )( 𝑎 + 𝑥 )

( 𝑥 − 𝑎 )( 3 − 𝑥 )

𝑎 + 𝑥

3 − 𝑥

** ( x 2 a x ) ( 3x 3 a ) x ( x a ) 3 ( x a ) ( x a ) ( x 3 )

52

Ejemplo #8 : 𝟑𝒙

𝟓𝒚 + 𝟐𝟏𝒙𝟒𝒚 + 𝟑𝟔𝒙𝟑𝒚

𝟔𝒙𝟒

𝒚𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐

3𝑥3𝑦 ( 𝑥 + 4 )( 𝑥 + 3 )

6𝑥3𝑦2( 𝑥 + 4 )

𝑥 + 3

2𝑦

** 3x 5 y 21x 4 y 36x3 y 3x3 y ( x 2 7x 12 )

3x3 y ( x 4 ) ( x 3 )

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:

1. 51 𝑥3 𝑦4 𝑧16

34 𝑥7 𝑦8 𝑧10 2. − 30 𝑥6 𝑦6 𝑧8

45 𝑥3 𝑦6 𝑧10 3. − 100 𝑥6 𝑦6 𝑧8

− 25 𝑥6 𝑦6 𝑧8

4. 98 𝑥4 𝑦2 𝑧6

42 𝑥9 𝑦5 𝑧6 5. 64 𝑥8 𝑦4 𝑧5

80 𝑥6 𝑦8 𝑧3 6. − 12 𝑎2 𝑏

2 𝑐8

18 𝑎3 𝑏2

𝑐5

7. 20 𝑎 𝑏 𝑐3

− 15 𝑎2𝑏 8.

−36 𝑎3 𝑏2 𝑧4

− 60 𝑎3 𝑏 𝑧4 9.

54 𝑏3 𝑎4 𝑐2

63 𝑎2 𝑏5 𝑐2

10. 𝑥2 − 4

5𝑎𝑥 + 10𝑎 11.

𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 4𝑏2

𝑎3 − 8𝑏3 12.

𝑚2 − 𝑛2

𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2

13. 6ℎ2 + 5ℎ − 6

15ℎ2 − 7ℎ − 2 14.

5𝑚3 + 5

𝑚4 − 𝑚3 + 𝑚 − 1 15.

𝑘2 + 𝑡2

𝑘4 − 𝑡4

16. 24𝑥3 + 84𝑥2 𝑦2

36𝑥4 + 24 𝑥3𝑦 + 4𝑥2 𝑦2 17. 𝑚3 − 𝑚

𝑚2 − 5𝑚 − 6 18.

3𝑥3 + 9𝑥2

3𝑥2 + 18𝑥 + 27

19. 𝑥3 − 6𝑥2

𝑥2 − 12𝑥 + 36 20.

𝑥4 − 8𝑥2 + 15

𝑥4 − 9 21.

3𝑚2 +5𝑚𝑛 − 8𝑛2

𝑚3 − 𝑛3

53

22. 16𝑚2𝑛 − 25𝑛

12𝑚3 − 7𝑚2 − 10𝑚 23.

ℎ4 − 49 ℎ2

ℎ3 + 2ℎ2 − 63ℎ 24.

6𝑚2 + 𝑚𝑛 − 𝑛2

8𝑚3 + 12𝑚2𝑛 + 6𝑚𝑛2 + 𝑛3

***** Solucionario :

1. 3𝑧6

2𝑥4 𝑦4 2. −

2 𝑥3

3 𝑧2

3. 4 4.

7

3𝑥5 𝑦3 5.

4 𝑥2 𝑧2

5 𝑦4 6. −

2 𝑐3 3 𝑎

7. − 4 𝑐 3

3 𝑎 8.

3 𝑏

5 9.

6 𝑎 2

7 𝑏2 10.

𝑥 −2

5 𝑎 11.

𝑎 − 2𝑏

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 4𝑏2 12.

𝑚 − 𝑛

𝑚 + 𝑛

13. 2ℎ + 3

5ℎ + 1 14.

5

𝑚 − 1 15.

1

𝑘2− 𝑡2 16.

2𝑦

3𝑥 + 𝑦 17.

𝑚 ( 𝑚 − 1 )

𝑚 − 6 18.

𝑥2

𝑥 + 3

19. 𝑥2

𝑥 − 6 20.

𝑥2 − 5

𝑥 + 3 21.

3𝑚 + 8𝑛

𝑚2+ 𝑚𝑛 + 𝑛2 22.

𝑛 ( 4𝑚+5)

𝑚(4𝑚 + 2) 23.

ℎ(ℎ+7)

ℎ+9 24.

3𝑚 − 𝑛

(2𝑚+𝑛 )2

1. Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas :

Hemos visto ya la simplificación de fracciones algebraicas y sabemos que para hacerlo debemos

tener claro los procesos de descomposición factorial de polinomios y otras reglas básicas. Ahora

nos toca multiplicar y dividir fracciones para lo cual necesitaremos de dos reglas básicas que

mencionaremos a continuación:

Regla #1: Para multiplicar fracciones algebraicas, se factorizan totalmente el numerador y

denominador y luego se simplifica el resultado si es posible.

Regla #2: El cociente entre dos fracciones algebraicas se transforma en producto

algebraico, mediante la inversión de la fracción que se está dividiendo.

54

𝒂

𝑏

𝑚

𝑛

𝑎 . 𝑛

𝑏 . 𝑚

** Resolver :

Ejemplo #1: 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟒

𝒙𝟐 − 𝟏 ÷

𝒙𝟐 − 𝟏𝟔

𝒙 + 𝟑 .

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒

𝒙𝟐 − 𝟗

𝑥2−3𝑥−4

𝑥2 − 1 .

𝑥 + 3

𝑥2 − 16 .

𝑥2 + 3𝑥 − 4

𝑥2 − 9=

( 𝑥−4 )( 𝑥+1 )

( 𝑥+1 ) ( 𝑥−1 ) .

( 𝑥+3 )

( 𝑥+4 )( 𝑥−4 ) .

( 𝑥+4 )( 𝑥−1 )

( 𝑥+3 )( 𝑥−3 )

Sol : 𝟏

𝒙 + 𝟑

Ejemplo #2 : 𝒂𝟐 − 𝟏𝟔

𝒂𝟐 + 𝟕𝒂+𝟏𝟐 ÷

𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟖

𝒂𝟐 − 𝟗 .

𝒂𝟐 − 𝟒

𝒂𝟐 − 𝟔𝒂 + 𝟗

𝑎2−16

𝑎2+7𝑎+12 .

𝑎2 − 9

𝑎2−2𝑎−8 .

𝑎2 − 4

𝑎2−6𝑎 + 9=

( 𝑎+4 )( 𝑎−4 )

( 𝑎+4 )( 𝑎+3 ) .

( 𝑎+3 )( 𝑎−3 )

( 𝑎−4 )( 𝑎+2 ) .

( 𝑎+2 )( 𝑎−2 )

( 𝑎−3 )( 𝑎−3 )

Sol : 𝒂 − 𝟐

𝒂 − 𝟑

Ejemplo #3 : 𝒙𝟐 + 𝟏− 𝟐𝒙

𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 .

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 ÷

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑

𝑥2 − 2𝑥+1

2𝑥2 − 3𝑥 + 1 .

2𝑥2 + 5𝑥 − 3

𝑥2 + 4𝑥 + 3 .

𝑥2 − 2𝑥− 3

𝑥2 − 4𝑥+ 3=

( 𝑥−1 )2

( 2𝑥−1 )( 𝑥−1 ) .

( 2𝑥−1)( 𝑥+3 )

( 𝑥+3 )( 𝑥+1 ) .

( 𝑥−3 )( 𝑥+1 )

( 𝑥−3 )( 𝑥−1 ) 𝟏

Ejemplo #4 : 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟕𝒙 − 𝟐𝟕

𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 ÷

𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟗

𝒙𝟐 + 𝟑𝟕𝒙 + 𝟑𝟔 .

𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟓𝒙 + 𝟑𝟔

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗

55

𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 27

3𝑥2 − 5𝑥 − 12 .

𝑥2 + 37𝑥 + 36

2𝑥2 + 11𝑥 + 9 .

6𝑥2 + 35𝑥 + 36

𝑥2 − 6𝑥 + 9

( 𝑥 − 3 ) 3

( 3𝑥+4 )( 𝑥−3 ) .

( 𝑥 + 36 )( 𝑥+1 )

( 2𝑥 + 9 )( 𝑥+1 ) .

( 3𝑥 + 4 ) ( 2𝑥 + 9 )

( 𝑥 − 3 )2 Sol : 𝒙 + 𝟑𝟔

Ejemplo #5 : 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏

𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟑 ÷

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟐

𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 ÷

𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 .

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗

𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏

4𝑥2 − 1

2𝑥2 − 5𝑥 − 3 .

4𝑥2 − 8𝑥+3

𝑥2 + 𝑥−12 .

𝑥2 + 7𝑥+ 12

2𝑥2 + 3𝑥− 9 .

𝑥2 − 6𝑥 + 9

4𝑥2 − 4𝑥 + 1

( 2𝑥 + 1 ) ( 2𝑥 − 1 )

( 2𝑥 + 1 ) ( 𝑥 − 3 ) .

( 2𝑥 − 3 ) ( 2𝑥 − 1 )

( 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 − 3 ) .

( 𝑥 + 4 )( 𝑥 + 3 )

( 2𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) .

( 𝑥 − 3 )( 𝑥 − 3 )

( 2𝑥 − 1 )2 = 𝟏

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

Simplifique las siguientes Multiplicación y División de fracciones algebraicas :

56

1. 𝑎 + 𝑏

𝑎𝑏 − 𝑏2 .

𝑏2

𝑎2 − 𝑏2 ÷ 𝑏

( 𝑎 − 𝑏 )2 𝑹 = 𝟏

2. 𝑚2 − 4𝑚 + 4

𝑚2 + 2𝑚 ÷

𝑚 − 2

𝑚2 + 4𝑚 + 4 .

𝑚2

𝑚2 − 4 𝑹 = 𝒎

3. 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦

𝑥2 + 2𝑥 + 1 .

𝑥2 + 𝑥

𝑥2 − 𝑥𝑦 ÷

𝑥2 − 9

𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑹 =

𝒙 + 𝟑

𝒙 − 𝟑

4. 2𝑚 − 2

2𝑚 − 10 ÷

𝑚2 − 1

𝑚2 + 6𝑚 + 5 .

𝑚2 − 4𝑚 − 5

𝑚 + 1 𝑹 = 𝒎 + 𝟓

5. 2ℎ2 − 3ℎ − 2

6ℎ + 3 .

3ℎ + 6

ℎ2 − 4 ÷

ℎ2 + 3ℎ − 18

ℎ2 + 6ℎ 𝑹 =

𝒉

𝒉 − 𝟑

6. 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥

4𝑥2 + 8𝑥 + 3 ÷

𝑥2 + 3𝑥

4𝑥2 −1 .

2𝑥2 + 3𝑥

𝑥2 − 𝑥 𝑹 = 𝟐𝒙 − 𝟏

7. 𝑥3 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

𝑥2 − 9𝑦2 ÷

𝑥2 + 11𝑥 + 18𝑦2

𝑥2 + 7𝑥𝑦 −18𝑦2 . 5𝑥 + 15

𝑥2 − 4𝑦2 𝑹 =

𝟓

𝒙 −𝟑𝒚

8. 𝑥2 − 81

𝑥2 + 5𝑥 ÷

𝑥2 − 36

𝑥2 + 17𝑥 + 66 .

2𝑥 − 12

𝑥2+ 9𝑥 ÷

2𝑥 + 22

𝑥3 + 5𝑥2 𝑹 = 𝒙 − 𝟗

9. 𝑎4 − 27𝑎

𝑎2 + 7𝑎 − 30 .

𝑎2 + 20𝑎 +100

𝑎3 + 3𝑎2 + 9𝑎 ÷

𝑎2 − 100

𝑎2 − 13𝑎 + 30 𝑹 = 𝒂 − 𝟑

10. ℎ2 − 8ℎ + 7

ℎ2 − 11ℎ + 30 ÷

ℎ2 − ℎ − 42

ℎ2 − 4ℎ − 5 .

ℎ2 − 36

ℎ2 − 1 𝑹 = 𝟏

57

11. 4𝑥 − 9

2𝑥2 − 17𝑥 + 36 .

4𝑥2 − 19𝑥 + 12

12𝑥2 − 11𝑥 −36

3𝑥 + 2

6𝑥2 − 19𝑥 − 36 𝑹 =

𝟒𝒙−𝟑

𝟑𝒙 +𝟐

12. 8𝑥2 − 26𝑥 + 21

3𝑥2 − 20𝑥 +12 ÷

4𝑥2 + 25𝑥 − 56

3𝑥2 − 11𝑥 −42 .

3𝑥2 + 16𝑥 − 12

6𝑥2 + 5𝑥 − 21 𝑹 =

𝒙 + 𝟔

𝒙 + 𝟖

2. Suma y Resta de Fracciones Algebraicas :

Vamos avanzando poco a poco en los procesos que tienen que ver con fracciones algebraicas,

correspondiéndonos analizar ahora las operaciones suma y resta que son operaciones que

requieren mucho cuidado pues son operaciones un poco extensas y el manejo algebraico es

muy importante.

Ejemplo #1: 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟓

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝟐𝒙 − 𝟗 +

𝟐𝟎 − 𝟑𝟎𝒙

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝟐𝒙 − 𝟗 −

𝟒 − 𝟐𝒙

𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝟐𝒙 − 𝟗

Primero: Ordenamos los polinomios si es necesario.

Segundo: Obtenemos el mcm de los denominadores para lo cual los descomponemos

factorialmente hasta donde sea posible. Como tienen igual denominador, factoramos uno sólo:

* 12x2 52x 9 ( 6x 1 ) ( 2x 9 ) Ëste será el mcm puesto que es igual denominador.

𝑴𝑪𝑴 ∶ ( 𝟔𝒙 − 𝟏 ) ( 𝟐𝒙 + 𝟗 )

Tercero: Se escribirá una fracción que tiene como denominador el MCM y luego procedemos a

dividir el MCM por cada denominador y el resultado lo multiplicamos con el numerador

respectivo. En la realidad verás que es equivalente a escribir los numeradores con el signo que

les precede debido a que el mcm está presente en cada denominador pues es el mismo para

todas . Luego, efectuamos las operaciones que nos resulten, simplificamos el resultado y

hacemos una simplificación final si ésta es posible.

= 22𝑥 − 15 + 20 − 30𝑥 − ( 4 − 2𝑥 )

( 6𝑥 − 1 ) ( 2𝑥 + 9 ) =

22 𝑥 − 15 + 20 − 30𝑥 − 4 + 2𝑥

( 6𝑥 − 1 ) ( 2𝑥 + 9 ) =

− 6𝑥 + 1

( 6𝑥 − 1 ) ( 2𝑥 + 9 )

= − ( 6𝑥 − 1 )

( 6𝑥 − 1 ) ( 2𝑥 + 9 ) = −

𝟏 𝟐𝒙 + 𝟗

58

Ejemplo #2 : 𝟑𝒙 − 𝟒𝒙𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 −

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 +

𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖

* x 2 2x 8 ( x 4 ) ( x 2 ) Por tanto : MCM ( x 4 ) ( x 2 )

= 3𝑥 − 4𝑥2 − ( 𝑥2 + 3𝑥 ) + 6𝑥2 +2𝑥

( 𝑥 − 4 )( 𝑥 + 2 ) = 3𝑥 − 4𝑥2 − 𝑥2 − 3𝑥 + 6𝑥2 +2𝑥

( 𝑥 − 4 )( 𝑥 + 2 ) = 𝑥2 + 2𝑥

( 𝑥 − 4 )( 𝑥 + 2 ) =

= 𝑥 ( 𝑥 + 2 )

( 𝑥 − 4 )( 𝑥 + 2 ) =

𝒙

𝒙 − 𝟒

Ejemplo #3 : 𝟐

𝒙 − 𝟑 +

𝟑

𝒙 + 𝟐 −

𝟒𝒙 − 𝟕

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔

Primero: Ordenamos los polinomios si es necesario.

59

Segundo: Obtenemos el mcm de los denominadores para lo cual los descomponemos

factorialmente hasta donde sea posible :

* 𝑥 − 3

* 𝑥 + 2 𝑴𝑪𝑴 ∶ ( 𝒙 − 𝟑 ) ( 𝒙 + 𝟐 )

* 𝑥2 − 𝑥 − 6 = ( 𝑥 − 3 )( 𝑥 + 2 )

Tercero: Se escriben los denominadores factorados y se escribirá una fracción que tiene como

denominador el MCM . Luego procedemos a dividir el MCM por cada denominador y el

resultado lo multiplicamos con el numerador respectivo:

2

𝑥 − 3 +

3

𝑥 + 2 −

4𝑥 − 7

( 𝑥 − 3 )( 𝑥 + 2 )=

2 ( 𝑥 + 2 ) + 3 ( 𝑥 − 3 ) − ( 4𝑥 − 7 )

( 𝑥 − 3 )( 𝑥 + 2 )

Cuarto: Se efectúan las operaciones del numerador, se suman los términos semejantes y se

factora el resultado si es posible.

2x 4 3x 9 4x 7 x 2

Quinto: Se escribe el resultado del numerador y se divide por el denominador, cancelando los

términos semejantes si es posible.

𝑥 + 2

( 𝑥 − 3 )( 𝑥 + 2 )=

𝟏

𝒙 − 𝟑

60

Ejemplo # 4: 𝒎 + 𝟏

𝒎𝟐 − 𝒎 − 𝟐𝟎 −

𝒎 + 𝟒

𝒎𝟐 − 𝟒𝒎 − 𝟓 +

𝒎 + 𝟓

𝒎𝟐 + 𝟓𝒎 + 𝟒

* m2 m 20 ( m 5 ) ( m 4 ) = 𝑚 + 1

( 𝑚−5)( 𝑚+4 ) −

𝑚 + 4

(𝑚−5)(𝑚+1) +

𝑚 + 5

(𝑚+4)(𝑚+1)

* m2 5m 4 ( m 4 ) ( m 1 ) = ( 𝑚 + 1 )2 − ( 𝑚 + 4 )2 + ( 𝑚 + 5 )( 𝑚 − 5 )

( 𝑚−5)( 𝑚+4 ) ( 𝑚+1 )

Numerador ( m 2 2m 1 ) ( m 2 8m 16 ) m 2 25

m 2 2m 1 m 2 8m 16 m 2 25 m2 6m 40 ( m 10 ) ( m 4 )

= ( 𝑚 + 4 )( 𝑚 − 10 )

( 𝑚 − 5)( 𝑚 + 4 ) ( 𝑚 + 1 ) =

𝒎 − 𝟏𝟎

( 𝒎 − 𝟓) ( 𝒎 + 𝟏 )

Ejemplo # 5 : 𝟐

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑 −

𝟏

𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 +

𝟑

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐

* 2x2 5x 3 ( 2x 3 ) ( x 1 ) 2

(2𝑥 + 3)( 𝑥+1 ) −

1

( 2𝑥+3 )( 𝑥−2 ) +

3

(𝑥−2)(𝑥+1)

2( 𝑥 − 2 ) − ( 𝑥 + 1 ) + 3 ( 2𝑥 + 3 )

(2𝑥 + 3)( 𝑥 + 1 )( 𝑥 − 2 )

= 2𝑥 − 4 − 𝑥 − 1 + 6𝑥 + 9

(2𝑥 + 3)( 𝑥 + 1 )( 𝑥 − 2 ) =

𝟕𝒙 + 𝟒

(𝟐𝒙 + 𝟑)( 𝒙 + 𝟏 )( 𝒙 − 𝟐 )

* 𝑚2 − 𝑚 − 20 = ( 𝑚 − 5)( 𝑚 + 4 )

* 𝑚2 − 4𝑚 − 5 = ( 𝑚 − 5)( 𝑚 + 1 )

* 𝑚2 + 4𝑚 + 4 = ( 𝑚 + 4)( 𝑚 + 1 )

𝑀𝐶𝑀 = (𝑚 − 5)(𝑚 + 4)(𝑚 + 1)

* 2𝑥2 + 5𝑥 + 3 = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 1)

* 2𝑥2 − 𝑥 − 6 = (2𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

* 𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

𝑀𝐶𝑀 ∶ (2𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)

61

Ejemplo # 6 : 𝒙 + 𝟐

𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 −

𝟑𝒙 − 𝟐

𝟐𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟒 −

𝟓

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒

* 2x2 x 1 ( 2x 1 ) ( x 1 ) = 𝑥 + 2

( 2𝑥+1)(𝑥−1) −

3𝑥 − 2

( 2𝑥+1)(𝑥+4) +

5

(𝑥+4)(𝑥−1)

(𝑥 + 2)( 𝑥+4 ) − ( 3𝑥−2 )( 𝑥−1 ) − 5 ( 2𝑥+1)

( 2𝑥 + 1)( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 4 )

(𝑥 + 2)( 𝑥+4 ) − ( 3𝑥−2 )( 𝑥−1 ) − 5 ( 2𝑥+1)

( 2𝑥 + 1)( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 4 )

Num x 2 6x 8 ( 3x 2 5x 2 ) 10x 5 x 2 6x 8 3x 2 5x 2 10x 5

2x 2 x 1 ( 2x 2 x 1 ) ( 2x 1 ) ( x 1 )

− ( 2𝑥 + 1 ) ( 𝑥−1 )

( 2𝑥 + 1)( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 4 )= −

𝟏

𝒙 + 𝟒

Ejemplo # 7: x 1 _ 2x 2 7x _ x 1 .

2x 3 9 4x 2 2x 3

Cambio de signo !!!

Nota : Si te fijas bien en los denominadores, en el segundo tenemos que el coeficiente de x2 es

negativo, por lo que vamos a cambiar el signo a la fracción, multiplicando su numerador y

denominador por 1 : cambiamos el signo a la fracción y el denominador lo multiplicamos

por 1 : ( 9 4x2 ) 4x2 9 .

𝑥 + 1

2𝑥 − 3 +

2𝑥2 − 7𝑥

4𝑥2 − 9 −

𝑥 − 1

2𝑥 + 3

* 2𝑥2 − 𝑥 − 1 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

* 2𝑥2 + 9𝑥 + 4 = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)

* 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 1)

𝑀𝐶𝑀 = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)

62

= 𝑥 + 1

2𝑥 − 3 +

2𝑥2 − 7𝑥

(2𝑥−3)(2𝑥+3) −

𝑥 − 1

2𝑥 + 3=

(𝑥+1)(2𝑥+3) + (2𝑥2−7𝑥) − (2𝑥−3)(𝑥−1)

(2𝑥 − 3)( 2𝑥 + 3 )

* 2x 3 Num 2x2 5x 3 2x2 7x ( 2x2 5x 3 )

* 4x2 9 ( 2x 3 ) ( 2x 3 ) 2x2 5x 3 2x2 7x 2x2 5x 3 )

* 2x 3 2x2 3x x ( 2x 3 )

MCM : ( 2x 3 ) ( 2x 3 )

𝑥 ( 2𝑥 + 3 )

(2𝑥−3)(2𝑥+3)=

𝒙

𝟐𝒙−𝟑

Ejemplo # 8 : x 2 12x 16 x 3 x 2 .

x4 3x3 4x2 4 3x x 2 x2 x

Cambio de signo !

* x4 3x3 4x2 x2 ( x2 3x 4 ) = 𝑥2+12𝑥+16

𝑥4+3𝑥3−4𝑥2 −

𝑥 + 3

𝑥2+ 3𝑥 − 4 +

𝑥−2

𝑥2 − 𝑥

* x2 3x 4 ( x 4 ) ( x 1 )

𝑥2+12𝑥+16

𝑥2(𝑥+4)(𝑥−1) −

𝑥 + 3

(𝑥+4)(𝑥−1) +

𝑥−2

𝑥(𝑥−1)

𝑥2 + 12𝑥 + 16 − 𝑥2( 𝑥 + 3 ) + 𝑥( 𝑥 + 4 )( 𝑥 − 2 )

𝑥2( 𝑥 + 4 )( 𝑥 − 1 )

Num x2 12x 16 x3 3x2 x ( x2 2x 8 ) =

= x2 12x 16 x3 3x2 x3 2x2 8x 4x 16 4 ( x 4 )

4 ( 𝑥 + 4 )

𝑥2( 𝑥 + 4 )( 𝑥 − 1 ) =

𝟒

𝒙𝟐( 𝒙 − 𝟏 )

*𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 = 𝑥2 ( 𝑥2 + 3𝑥 − 4 )

= 𝑥2 ( 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 − 1 )

* 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = ( 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 − 1 )

* 𝑥2 − 𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 − 1 )

𝑀𝐶𝑀 ∶ 𝑥2 ( 𝑥 + 4 ) ( 𝑥 − 1 )

* 2𝑥 − 3

* 4𝑥2 − 9 = ( 2𝑥 + 3 )( 2𝑥 − 3 )

* 2𝑥 + 3

𝑀𝐶𝑀 ∶ ( 2𝑥 + 3 )( 2𝑥 − 3 )

63

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

Efectúa los siguientes ejercicios de Suma / Resta de fracciones algebraicas

1. 2𝑚 − 1

𝑚2 − 3𝑚 − 4 −

3

𝑚2 − 3𝑚 − 4 𝑹 =

𝟐 𝒎 − 𝟒

2. 𝑏2 + 2

3𝑏2 − 5𝑏 − 2 −

𝑏2 − 6𝑏

3𝑏2 − 5𝑏 − 2 𝑹 =

𝟐 𝒃 − 𝟐

3. 𝑥2 − 3

𝑥2 − 8𝑥 + 12 +

2𝑥 − 1

𝑥2 − 8𝑥 + 12−

𝑥 + 2

𝑥2 − 8𝑥 + 12 𝑹 =

𝒙 + 𝟑 𝒙 − 𝟔

4. 2𝑥2 + 7

𝑥2 + 2𝑥 − 3 −

𝑥2 − 3𝑥

𝑥2 + 2𝑥 − 3 +

𝑥 − 4

𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑹 =

𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏

5. 6𝑛2 + 𝑛

2𝑛2 − 9𝑛 + 9 −

2𝑛 + 9

2𝑛2 − 9𝑛 + 9 −

4𝑛 − 3

2𝑛2 − 9𝑛 + 9 𝑹 =

𝟑𝒏 + 𝟐 𝒏 − 𝟑

6. 3𝑚2 − 2

3𝑚2 + 10𝑚 − 8 −

𝑚2 − 6𝑚

3𝑚2 + 10𝑚 − 8 +

𝑚 + 10

3𝑚2 + 10𝑚 − 8 𝑹 =

𝒎 − 𝟑 𝟑𝒎 − 𝟐

7. 3𝑥 − 5

𝑥2 − 4𝑥 + 3 −

3

𝑥2 + 𝑥 − 2 −

2

𝑥 − 3 𝑹 =

𝟏 𝒙 + 𝟐

8. 2𝑥 − 1

𝑥2 − 𝑥 − 2 −

3𝑥 − 1

𝑥2 − 2𝑥 − 3 +

3𝑥 − 7

𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑹 =

𝟐 𝒙 − 𝟐

9. 7𝑥 − 5

3𝑥2 − 5𝑥 + 2 +

𝑥 + 14

3𝑥2 + 7𝑥 − 6 −

𝑥 + 7

𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑹 =

𝟓 𝟑𝒙 − 𝟐

10. 4𝑥 − 5

𝑥2 + 𝑥 − 12 −

9

𝑥2 + 3𝑥 − 18 +

2

𝑥2 + 10𝑥 + 24 𝑅 =

4 𝑥 + 4

64

11. 2𝑟 − 7

𝑟2 − 7𝑟 + 12 −

1

𝑟 − 4 +

𝑟 − 11

𝑟2 + 2𝑟 − 15 𝑹 =

𝟐 𝒓 + 𝟓

12. 5𝑚

𝑚2 − 2𝑚 − 24 −

3

6 − 𝑚 −

2

𝑚 + 4 𝑹 =

𝟔 𝒎 − 𝟔

13. 4𝑠 − 5

𝑠2 + 𝑠 − 12 +

9

18 − 3𝑠 − 𝑠2 + 2

𝑠2 + 10𝑠 + 24 𝑹 =

𝟒 𝒔 + 𝟒

14. 4𝑥 + 1

2𝑥2 + 𝑥 − 6 −

𝑥 − 3

3𝑥2 + 7𝑥 + 2 +

11

3 + 7𝑥 − 6𝑥2 𝑹 =

𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏

15. 4𝑥 − 4

3𝑥2 − 8𝑥 + 4 −

13

6 − 5𝑥 − 6𝑥2 − 7

2𝑥2 − 𝑥 − 6 𝑹 =

𝟒 𝟑𝒙 − 𝟐

4. Operaciones Combinadas y Fracciones Complejas:

Hemos trabajado ya las operaciones básicas con fracciones algebraicas y ya estamos bien

preparados para resolver los ejercicios donde aparezcan operaciones en el numerador y/o

denominador de una fracción, es decir, fracciones complejas y operaciones con fracciones

algebraicas.

Primero, diremos que una Fracción Compleja es aquella cuyo numerador y/o denominador

son a su vez operaciones con fracciones algebraicas:

Ejemplo : ** 𝑎 − 𝑥 +

𝑥2

𝑎 + 𝑥

𝑎2 − 𝑎2

𝑎 + 𝑥

65

Ejemplo #1 : 𝒂 − 𝒙 +

𝒙𝟐

𝒂 + 𝒙

𝒂𝟐 − 𝒂𝟐

𝒂 + 𝒙

*** Empezamos identificando el numerador y denominador y los resolvemos preferiblemente

por separado :

N : 𝑎 ( 𝑎+𝑥)−𝑥(𝑎+𝑥)+ 𝑥2

𝑎 + 𝑥=

𝑎2 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑥2 + 𝑥2

𝑎 + 𝑥=

𝑎2

𝑎 + 𝑥

D : 𝑎2(𝑎+𝑥)− 𝑎2

𝑎 + 𝑥=

𝑎3 + 𝑎2𝑥 − 𝑎2

𝑎 + 𝑥=

𝑎2 ( 𝑎 + 𝑥 − 1 )

𝑎 + 𝑥

Luego : 𝑎2

𝑎 + 𝑥 ÷

𝑎2 ( 𝑎 + 𝑥 − 1 )

𝑎 + 𝑥=

𝑎2

𝑎 + 𝑥 .

𝑎 + 𝑥

𝑎2 ( 𝑎 + 𝑥 − 1 )=

𝟏

𝒂 + 𝒙 − 𝟏

Ejemplo #2 : 𝒙 − 𝟏 −

𝟏𝟐

𝒙 − 𝟐

𝒙 + 𝟔 + 𝟏𝟔

𝒙 − 𝟐

N : 𝑥 ( 𝑥−2 )− ( 𝑥−2) − 12

𝑥 − 2=

𝑥2−2𝑥−𝑥+2 − 12

𝑥 − 2=

𝑥2−3𝑥−10

𝑥 − 2=

(𝑥−5)(𝑥+2)

𝑥 − 2

D: 𝑥 ( 𝑥−2)+6( 𝑥−2)+16

𝑥 − 2=

𝑥2−2𝑥+6𝑥−12 +16

𝑥 − 2=

𝑥2+4𝑥+4

𝑥 − 2=

( 𝑥 + 2 )2

𝑥 − 2

Luego : (𝑥−5)(𝑥+2)

𝑥 − 2 ÷

( 𝑥 + 2 )2

𝑥 − 2=

(𝑥−5)(𝑥+2)

𝑥 − 2 .

𝑥−2

(𝑥+2)2 = 𝒙 − 𝟓

𝒙 + 𝟐

Ejemplo # 3 :

𝒎𝟐

𝒎 + 𝒏 −

𝒎𝟑

𝒎𝟐 − 𝒎𝒏 + 𝒏𝟐

𝒎𝟐 𝒏 − 𝒎 𝒏𝟐

𝒎𝟐 − 𝒎𝒏 + 𝒏𝟐

+ 𝒎

66

Num : 𝑚2( 𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2)− 𝑚3(𝑚+𝑛)

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2) =

𝑚4− 𝑚3𝑛+ 𝑚2𝑛2− 𝑚4− 𝑚3𝑛

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2) =

= 𝑚2𝑛2 − 2𝑚3𝑛

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2) =

𝑚2𝑛 ( 𝑛 − 2𝑚 )

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2)

Den : 𝑚2𝑛 −𝑚𝑛2+𝑚( 𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2)

𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2 =

𝑚2𝑛 − 𝑚𝑛2 + 𝑚3 − 𝑚2𝑛 + 𝑚𝑛2

𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2 =

= 𝑚3

𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2

Luego : 𝑚2𝑛 ( 𝑛 − 2𝑚 )

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2) ÷

𝑚3

𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2 =

𝑚2𝑛 (𝑛−2𝑚 )

(𝑚+𝑛)(𝑚2−𝑚𝑛+𝑛2) .

𝑚2 − 𝑚𝑛 + 𝑛2

𝑚3

Sol. 𝒏 ( 𝒏 − 𝟐𝒎 )

𝒎 ( 𝒎 + 𝒏 )

Ejemplo # 4 :

𝒎 + 𝟏

𝒎 − 𝟐 −

𝒎 − 𝟐

𝒎 + 𝟐

𝒎 + 𝟏

𝒎 + 𝟐 +

𝒎 − 𝟏

𝒎 − 𝟐

Num: ( 𝑚+2)( 𝑚+1)− (𝑚−2)2

(𝑚+2)(𝑚−2 ) =

𝑚2 + 3𝑚 + 2 − ( 𝑚2 − 4𝑚 + 4 )

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) =

= 𝑚2 + 3𝑚 + 2 − 𝑚2 + 4𝑚 − 4

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) =

7𝑚 − 2

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 )

Den ( 𝑚−2)( 𝑚+1) + ( 𝑚+2 )( 𝑚−1)

(𝑚+2)(𝑚−2 ) =

𝑚2− 𝑚 − 2 + 𝑚2 + 𝑚 − 2

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) =

= 2𝑚2 − 4

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) =

2 ( 𝑚2 − 2 )

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 )

67

Luego : 7𝑚 − 2

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) ÷

2 ( 𝑚2 − 2 )

( 𝑚 + 2 )( 𝑚 − 2 ) =

7𝑚 − 2

( 𝑚+2 )(𝑚−2 ) .

( 𝑚+2 )(𝑚−2 )

2 ( 𝑚2− 2 )

Sol 𝟕𝒎 − 𝟐

𝟐 ( 𝒎𝟐 − 𝟐 )

Ejemplo # 5 : 𝒙 − 𝟏 −

𝟐

𝒙

𝒙 − 𝟏

𝟏 − 𝟐 𝒙 + 𝟐

Num : 𝑥 ( 𝑥 − 1 ) − 2

𝑥 =

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥 =

( 𝑥 − 2 ) ( 𝑥 + 1 )

𝑥

Den : 𝑥 − 1

1 − 2 𝑥 + 2

𝑥 + 2 − 2

𝑥 + 2 =

𝑥

𝑥 + 2

= 𝑥 − 1

𝑥 𝑥 + 2

𝑥 − 𝑥 + 2

𝑥 = 𝑥2 − ( 𝑥 + 2 )

𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥 = ( 𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥

Luego :

= ( 𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥 ÷

(𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥 =

(𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥 ÷

𝑥

(𝑥−2)(𝑥+1) = 𝟏

Ejemplo # 6 : 𝒎 +

𝟐𝒎

𝒎 − 𝟏

𝒎 + 𝟑 − 𝒎 − 𝟐

𝒎 + 𝟐 𝒎 − 𝟑

Num:

𝑚 ( 𝑚 − 1 )+ 2𝑚

𝑚 − 1 =

𝑚2 − 𝑚 + 2𝑚

𝑚 − 1 =

𝑚2+ 𝑚

𝑚 − 1 =

𝑚 ( 𝑚 + 1 )

𝑚 − 1

Den ** 𝑚 ( 𝑚−3) + 2

𝑚 − 3 =

𝑚2− 3𝑚+2

𝑚 − 3 =

( 𝑚 − 2 ) ( 𝑚 − 1 )

𝑚 − 3

68

** 𝑚 − 2 ÷ ( 𝑚 − 2 ) ( 𝑚 − 1 )

𝑚 − 3 = 𝑚 − 2 .

𝑚 − 3

( 𝑚 − 2 ) ( 𝑚 − 1 )=

𝑚 − 3

𝑚 − 1

** 𝑚 + 3 − 𝑚 − 3 𝑚 − 1

= (𝑚+3)(𝑚−1) − ( 𝑚 − 3) 𝑚 − 1

= 𝑚2 + 2𝑚 − 3 − 𝑚 + 3 𝑚 − 1

= 𝑚2 + 𝑚

𝑚 − 1=

𝑚 ( 𝑚 + 1 )

𝑚 − 1

Luego :

𝑚 ( 𝑚 + 1 )

𝑚 − 1 ÷

𝑚 ( 𝑚 + 1 )

𝑚 − 1=

𝑚 ( 𝑚 + 1 )

𝑚 − 1 .

𝑚 − 1 )

𝑚 ( 𝑚+1 )= 𝟏

Ejemplo # 7 :

𝒏𝟐

𝒏 − 𝟏

𝒏𝟐 + 𝟏

𝒏 − 𝟏

𝒏 + 𝟐 𝒏𝟐 + 𝟐

𝒏 − 𝒏 − 𝟐

𝒏 + 𝟏

Num :

𝑛2 − ( 𝑛2 + 1)

𝑛 − 1 =

𝑛2 − 𝑛2 − 1

𝑛 − 1 = −

1

𝑛 − 1

Den :

** 𝑛 ( 𝑛 + 1) − ( 𝑛 − 2 )

𝑛 + 1 =

𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 + 2

𝑛 + 1 =

𝑛2 + 2

𝑛 + 1

** 𝑛2 + 2 ÷ 𝑛2 + 2

𝑛 + 1 = 𝑛2 + 2 .

𝑛 + 1

𝑛2 + 2 = 𝑛 + 1

** n 2 ( n 1 ) n 2 n 1 1

Luego : − 1

𝑛 − 1 ÷ 1 = −

𝟏

𝒏 − 𝟏 =

𝟏

𝟏 − 𝒏

69

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Efectúa los siguientes ejercicios reduciendo las fracciones a lo más simple:

1.

1

𝑟 −

9

𝑟2 + 20

𝑟3

16

𝑟 − 𝑟

𝑹 = 𝟓 − 𝒓

𝟒𝒓𝟐 + 𝒓𝟑

2.

𝑚 − 𝑥 + 𝑥2

𝑚 + 𝑥

𝑚2 − 𝑚2

𝑚 + 𝑥

𝑹 = 𝟏

𝒎 + 𝒙 − 𝟏

3.

𝑚 − 1 − 5

𝑚 + 3

𝑚 + 5 − 35

𝑚 + 3

5𝑚 + 20

𝑚2−100 𝑹 =

𝒎 − 𝟏𝟎

𝟓

4.

𝑚 + 2 − 7𝑚 + 9

𝑚 + 3

𝑚 + 4 − 5𝑚 − 11

𝑚 + 1

𝑚2 + 4𝑚 + 3

𝑚2− 9 𝑹 =

𝒎 − 𝟓

𝒎 + 𝟓

5.

𝑚 + 3

𝑚 + 4 −

𝑚 + 1

𝑚 + 2

𝑚 − 1

𝑚 + 2 −

𝑚 − 3

𝑚 + 4

𝑹 = 𝟏

𝟐𝒎 + 𝟏

70

6.

𝑥2

𝑦 −

𝑥2 − 𝑦2

𝑥 + 𝑦

𝑥2 − 𝑥𝑦

𝑦 + 𝑦

𝑹 = 𝟏

7.

𝑚 + 𝑛

𝑚 − 𝑛 −

𝑐 + 𝑛

𝑐 − 𝑛

2

𝑚 − 𝑛 −

2

𝑐 − 𝑛

𝑹 = 𝒏

8.

1

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 −

1

𝑥 − 𝑦 + 𝑧

1

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 −

1

𝑥 + 𝑦 + 𝑧

𝑹 = −𝟏

Nota : Fíjate muy bien en los denominadores

y haz rápido este ejercicio.

9.

𝑚 + 1 −

6𝑚 + 12 𝑚 + 2

𝑚−5

𝑚 − 4 + 11𝑚 − 22

𝑚 − 2𝑚 + 7

𝑹 = 𝟏

Nota : Efectúa muy bien los denominadores

primero y haz rápido este ejercicio.

71

10.

𝑥

𝑦 −

𝑦 − 𝑥

𝑥 − 𝑦

𝑥 − 𝑥

𝑥 − 𝑥2 𝑥 + 1

𝑹 = − 𝒙 + 𝒚

𝒚

72

Bibliografía

** Baldor, A. ( 1997 ). Álgebra. México : Publicaciones Cultural.

profenrmor@hotmail.com

73