Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2014. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.

Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Clase 25 Versión 1 - 2014

Contenido:

Principio del Argumento (PA)

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Aplicación del PA a Sistemas de Control

Aplicación del Criterio de Nyquist a SC

Curva de Nyquist

2

j w

s

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Introducción

El fenómeno que dio lugar al desarrollo del método fue el siguiente.

El Método de Nyquist fue desarrollado por Harry Nyquist en 1932, en los Laboratorios de Telefonía Bell.

FCR Mario Jordán

Desde el comienzo de la Teoría de Control se asumió de manera universal que el aumento desmedido de ganancia trae inevitablemente la inestabilidad. Pero a veces se observaba algunos casos en donde una disminución de ganancia también ocasionaba la inestabilidad

DG(s)= s2 + 0.4s +4

s (s2 + s + 1)

Para K=K1*=0.41 hay polos imaginarios

Para K=K2*=6 hay polos imaginarios

Para 6.1>K>0.41 el sistema es inestable

Ejemplo. Sea:

Descendiendo desde un K muy alto, por debajo de K2*, se pasa de la estabilidad a la inestabilidad

3

Alcances del Método de Nyquist

Como todos los métodos vistos, el Método de Nyquist se basa en la respuesta frecuencial del Sistema a Lazo Abierto y predice la cantidad de polos inestables del Sistema de Lazo cerrado.

Permite el análisis de sistemas complejos, eventualmente con más deun pico de resonancia.

También es muy efectivo, en casos en que las ramas del Lugar de laRaíz cruzan varias veces el eje (Sistemas como el del ejemplo anterior).

Posibilita el estudio de estabilidad de sistemas inestables a lazo abierto y de sistemas con grandes retardos de transporte en forma simple.

El Criterio de Nyquist se basa en el Principio del Argumento paraVariable Compleja.

FCR Mario Jordán4

Im

Re

Plano s

Ilustración del Principio del Argumento

El Principio del Argumento se basa en el encirculamiento que una curvalogra en el plano complejo alrededor del origen bajo ciertas condiciones.

Sea por ejemplo la función racionalH(s), que tiene 2 polos y 2 ceros:

Luego se define una curva cerrada C1 (con centro en el eje real) tal que no contenga ni a los polos ni a los ceros. Luego se define un punto s0 sobre C1 y se la recorre en sentido horario

f1

1

2

f2

H(s)=r1 r2

q1 q2e

j(1+2-f1-f2) =| H| e j a

a = 1 + 2 - f1 - f2

Se cumple:

C1

FCR Mario Jordán

as0

5

El cambio neto de ángulo recorrido por el punto s0 fue 0°.

El ángulo neto de significa el ángulo integrado en todo el recorrido de s0.

Plano s

Re

Im

Ilustración del Principio del ArgumentoAdemás el cambio máximo de cada ángulo f o fue menos de |360°|

Si miramos el mismo cambio de a, pero ahora evaluada desde H(s) con s perteneciendo a la misma curva C1,

Cuando el punto s0 se mueve sobre C1, también el punto H(s0) recorre la curva C2 completamente

a

| (H s0)|

El resultado es que el punto H(s0) acusa una variación neta de ángulo nula pues C2 no encierra al origen,de la misma forma que C1 no encierra a ningún polo o cero de H(s)

el resultado es que H(C1) también tiene la forma de una curva cerrada. A esta curva la llamamos C2

C2

FCR Mario Jordán

Para que el punto H(s0) gire conteniendo al origen, al menos un polo o un cero debe estar en el interior de C1. Veamos esto más en detalle.

6

Plano s

Re(s)

Im(s)Plano s

Re(H(s))

Im(H(s))

Ilustración del Principio del Argumento

C1

a

| (H s0)|

Esta propiedad se ilustra con animación para la siguiente curva cerrada C1.

Cuando al menos un polo o un cero quedan encerrados por la curva elegida C1,

simultáneamente el mapeo H(C1) encircula al origen.

El ángulo del polo encirculado cambia -360°, mientras que a lo hace en +360°. Por ello C2 se recorre en sentido anti-horario mientras C1 lo hace en sentido horario.

a| s0|

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C2

7

Ilustración del Principio del ArgumentoSupongamos que C1 encircula a un cero en lugar de un polo, luego se produce:

El ángulo del cero encirculado cambia +360° mientras que a lo hace también en +360°. Por ello C2 se recorre en sentido horario al igual que C1.

FCR Mario Jordán

Plano s

Re(s)

Im(s)Plano s

Re(H(s))

Im(H(s)

C1

a

| (H s0)|

C2

| s0|

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Si pensamos que la curva C1 es tan amplia que abarca el semiplano derecho del plano complejo, podríamos argumentar que el número de rodeos de H(C1) al origen detectará eventualmente la presencia de polos y ceros inestables.

Si pensamos que la curva C1 es tan amplia que abarca el semiplano derecho del plano complejo, podríamos argumentar que el número de rodeos de H(C1) al origen detectará eventualmente la presencia de polos y ceros inestables.

Dada una función racional compleja H(s) (una FT) y una curva cerrada C1 en el plano complejo s, la cual encierra a Z ceros y a P polos de H, el mapeo de la FT sobre C1, es decir H(C1), rodeará el origen (Z – P) veces.

Dada una función racional compleja H(s) (una FT) y una curva cerrada C1 en el plano complejo s, la cual encierra a Z ceros y a P polos de H, el mapeo de la FT sobre C1, es decir H(C1), rodeará el origen (Z – P) veces.

Principio del Argumento en Teoría de Control

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Puede darse el caso en que no exista un rodeo neto del origen por parte de H(C1) , aún cuando existan ceros y polos de H en C1. En este caso, el número de polos P debe ser igual al número de ceros Z encerrados por C1.

Puede darse el caso en que no exista un rodeo neto del origen por parte de H(C1) , aún cuando existan ceros y polos de H en C1. En este caso, el número de polos P debe ser igual al número de ceros Z encerrados por C1.

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Aplicación del PA a Sistemas de Control

Sea KDG(s) la función de transferencia de un sistema a lazo abierto.

Luego, para lazo cerrado se tiene:

= T(s) =KDG(s)

1+KDG(s)

Y(s)

R(s)

Es conocida la condición de estabilidad a través de la Ecuación Característica 1+KDG(s)=0, que tenga raíces en el semiplano izquierdo.

Podemos entonces aplicar el Principio del Argumento a 1+KG(s)=H(s), donde C1 abarca a “todo” el semiplano derecho y probar si existe algún encirculamiento N del origen del plano s por la curva C2=H(C1).

Z = N + PZ = N + P

Por lo tanto, si además se conoce P (polos inestables de KDG), luego:

donde Z es el número de ceros inestables en 1+KDG(s) (que son los polosinestables de la FTLC y N el número de encirculamientos del origen.

FCR Mario Jordán10

Primera alternativa para la construcción de C2

Para abarcar todos los polos y ceros inestables de (1+KDG), la curva C1 debería construirse abarcando todo el semiplano derecho en un proceso al límite cuando s tiende a infinito en las fronteras del plano. Esto se ilustra así:

C1

Re(s)

Im(s)Plano s

0

s

s

11

Configuración de polos y ceros inestables del SCLC

Configuración de polos imaginariosdel SCLC La propuesta de C1 debe incluir

polos y ceros inestables del SCLC pero debe sortear los polos imaginarios del SCLC

Pero estos son desconocidosy se tienen que calcular

Elegir a C1 y C2 de esta manera es un despropósito pues si se calculan los polos imaginariostambién se podrían calcular los polos inestables del SCLC

C1’

Sin embargo existe una solución para elegir una nueva C2 que no demande el conocimiento de polos y ceros del SCLC dentro de C1

KDG(C1)

1+KDG(C1)Sea: C2 =

Aplicación del PA a Sistemas de Control

Notas importantes

se desprende que los polos de 1+KDG(s) son los polos de DG(s).

Por lo tanto, si existe un encirculamiento del punto 0 debido a laexistencia de al menos un polo inestable del Sistema de Lazo Cerrado (o sea un cero de 1+KDG(s)), éste será siempre detectado sumando a N la cantidad de P polos inestables de DG(s) identificados de antemano.

Aunque este es un caso poco casual, la presencia de un polo inestable,causaría un encirculamiento de H(s)=1+KDG(s) alrededor de 0. Su existencia sin embargo, sería notada de antemano por un conocimiento previo de la planta. Asumimos por ende que P es conocido.

De la Función Característica:

1 + KDG(s) = 1 + Ka(s)

a(s) + K b(s)

a(s)

b(s)=

Se nota también que los ceros de DG son los ceros de KDG/(1+KDG).

12

Pero analizando 1+KDG(s), se nota que el encirculamiento del origen 0 por parte de C2= H(C1)=1+KDG es equivalente al encirculamiento del punto -1 por parte de una nueva C2= KDG(s) (pues es similar a desplazar KDG(C1) en un valor igual a uno hacia la izquierda en el plano s)

Aplicación del PA a Sistemas de Control

Por ello podemos analizar los encirculamientos de C2=KDG(C1) al punto -1 y extraer las mismas conclusiones sobre la estabilidad del Sistema de Lazo Cerrado que con la función C2=1+KDG(C1) respecto al punto 0

El ploteo de KDG(s) en magnitud vs. fase es lo que se conoce como Curva de Nyquist o Curva Polar. El parámetro sobre la curva es

Notas importantes (continuación)

Si C1 contiene un solo cero de 1+KDG(s), el encirculamiento del origenpor parte de C2, será en sentido anti-horario y una sola vez

Para construir la curva Nyquist no se necesita un MODELO de G(s), tansolo una sucesión de experimentos para dibujar las Curva de Bode

13

Aplicación del PA a Sistemas de Control

Notas Finales

Ejemplo 1) DG(s) tiene un polo inestable (lo que significa P=1). A travésdel trazado del Diagrama de Nyquist (es decir: curva de KDG(s) con s variando sobre C1), se observa un encirculamiento del punto -1 doble, es decir N=2. Se concluye que existen tres polos inestables de la función de transferencia de Lazo Cerrado (pues Z=N+P=2+1=3).

Ejemplo 2) DG(s) es estable (lo que significa P=0). A través del trazadodel Diagrama de Nyquist, se observa un encirculamiento doble delpunto -1, es decir N=2. Se concluye que existen dos polos inestables de KDG(s)/1+KDG(s), es decir Z=2.

Una dificultad que se encuentra a menudo en la construcción teórica a mano alzada del DN está en definir C2 en el comienzo de un arco que empieza en +j o en +j. Estos casos se precisarán más adelante.

FCR Mario Jordán14

|KDG()|

0- -1 1

Construcción de las curvas C1 y C2 Para abarcar todos los polos y ceros inestables de (1+KDG), la curva C1

se construye así:

C1

0

a1(1)

La imagen del eje imaginario (sin contar los polos y ceros sobre él) resulta ser |KDG()|sin las tres líneas espectrales.

La representación en C2 de estos rodeos de C1 resulta en tramos de magnitud infinita, ycada uno de ellos contribuirá con giros de 180º respectivamente.

Re(s)

Im(s)Plano s

0

xx

x1

-1

xx

xx

s

s

a1(-1)a2(0)

C1 abarcó todo el semiplano derecho complejo.

KDG(s=j)

Parte de C1 en C2

15

POLOS y CEROS

del SCLA

Sólo falta completar C2 para el arco de s .

C1 para evaluación de encirculamiento

de ceros y polos de 1+KDG(s)

Definición de las Curvas Cerradas C1 y C2

C1

s

s

Re(s)

Im(s)Plano s

0

C2 Re(s)

Im(s)Plano s

0-1

C’2

Im(s)

Re(s)

Plano s

0

Evaluación a través de KDG(s)

Evaluación a través de 1+KDG(s)

16

Polos y ceros de KDG

Polos y ceros de 1+KDG

H(s)=KDG(s)

H(s)=1+KDG(s)

Polos y ceros de KDG

Notas sobre la Construcción de C2

C2 depende de la ubicación particular de los polos y ceros de KDG

lim KDG = lim KDG = lim KDG = 0s=j j s=j -j s ej

con >0

Así, el mapeo de j o de -j u otro con |s|= va a parar al origen del planocomplejo de C2

Agregar un integrador a KDG rota la curva C2 (sin integrador) en 90º en for-ma horaria. Lo mismo sucede con 2, 3…integradores, C2 gira 180º, 270º …

17

Si KDG(s) tiene un integrador o un derivador en el origen, deberá prestarse atención al mapeo de los 3 puntos: =j 0+, =j 0 y =j 0-

Comúnmente KDG(s) tiene la propiedad de tender grado relativo positivo, por ello se cumple:

De manera similar, si KDG(s) tiene algún polo o cero imaginario conjugadoen j0 , luego deberá prestarse atención al mapeo de los 3 puntos: =j0 + j0+, =j0 y =j0 -j 0

-

Agregar un derivador a KDG, rota la curva C2 (sin derivador) en 90º en for ma anti-horaria. Lo mismo sucede con 2, 3…derivadores, C2 gira 180º, 270º …

y < 90°

f2 < 0°f1 < 0°

y 180°

f2 90°

f1 0°

C1

0

Im(s)

Plano s

Re(s)

-

y 180°

f2 0°f1 0°

Ejemplo de Construcción de C2

C2 se define para la configuración particular de polos y ceros de KDG.

a = y - f1 - f2

18

Tomamos los puntos característicos de C1 y los mapeamos a C2 a través de KDG.

=0- :

=0 :

=0+ :

=+j :

=-j :

=0 y = :

=0 y s= :

a=180º-(0º-90º) =-90°

a=180º-(0º+0º) =180°

a=180º-(0º+90º) = 90º

DG(s0)=

DG(s0)=

DG(s0)=

y 90°

f2 90°

f1 90°

a=90º-(90º+90º) = -90° DG(s0)=0

=0º-(0º+0º) = 0° DG(s0)=0

y 0°f2 0°f1 0°

=0 y s= :

DG(s0)=0

DG(s0)=0

DG(s0)=0

< 0°

> 0°

y > 90°

f2 > 0°f1 > 0°

a=-90º-(-90º-90º) = 90°

y -90°

f2 -90°

f1 -90°

y 180°

f2 -90°

f1 0°

FCR Mario Jordán

Sea por ejemplo la configuración descripta Abajo a continuación.

C2

w>0

w<0

DG(C1 )=C2

KDG(j )= (j-5)

j (j+1)

19

=0- : a=180º-(0º-90º) =-90° DG(s0)==0 : a=180º-(0º+0º) =180° DG(s0)=

=0+ : a=180º-(0º+90º) = 90º DG(s0)==+j : a=90º-(90º+90º) = -90° DG(s0)=0

=0 y = : =0º-(0º+0º) = 0° DG(s0)=0

=-j : DG(s0)=0a=-90º-(-90º-90º) = 90°

-40

-20

0

20

40

60

10-3 10-2 10-1 100 101 102-90

-45

0

45

90

Magnitud

Fase

Continúa ejemplo de C1 y C2

FCR Mario Jordán

Plano s

Re(s)

Im(s)

w=w=- 1

Estos 3 puntos son muy importantesLocalizarlos bien conduce a unconteo correcto de los rodeos.

w=0

Normalmente, cuando hay un ceroinestable (como en este ejemplo) oun polo inestable, este punto cae a la izquierda del eje real en -, permitiendo que existan rodeos

En sistemas bien comportados de tipo 0, 1 o 2, Este punto cae a la derecha del eje real en +.

w=0 -

w=0 +

II

I

III

Existen 3 partes constitutivas de C2: ramas I, II y III

Continúa ejemplo de C1 y C2Ahora se simulará todo el proceso de recorrido de C1 y C2 simultaneamente

C1

Im(s) Plano s

Re(s)

N=1 y P=0Luego Z=1

C2

w=0 +

w=0 -

w<0

w>0

w=w=0w=-

Plano s

Re(s)

Im(s)

-1

KDG(C1 )=C2

w=0 +

w=0 -

w=0

j

-j Inestable (Confirmar con LR)

KDG(j )=(j-5)

j (j+1)

FCR Mario Jordán20

1 rodeohorario

Ángulo de comienzo de la rama I de C2

El ángulo de partida en j=j0+ de la rama I de C2 (es decir KDG(j)) es:

21

1) 0o si la ganancia estática de KDG es distinta de cero

2) -n 90º si KDG tiene n integradores: -90º , -180º, -270º

3) si KDG tiene un cero inestable se lesuma 180º al ángulo resultante de

1) o 2). Por ejemplo la planta indi- cada: 0º +180º=180º

=0+

+ 1 integrador

C2

Re

Im

0

=0+

+ 3 integradores

Planta original

=0+

=0+

+ 2 integrador

=0+

+ 1 cero inestable

4) si KDG tiene un polo inestable se leresta 180º al ángulo resultante de

1) o 2). Por ejemplo la misma planta:0º -180º =-180º

+ 1 polo inestable

=0+

Ángulo de llegada de la rama I de C2

El ángulo de llegada en j=j de la rama I de C2 (es decir KDG(j)) es:

22

1) -(n-m)*180o si el sistema posee ceros y polos estables

Ejemplo 1: 1 polo estable: -90º

+ 1 integrador

C2

Re

Im

0

+ 3 integradores

Planta original

=

+ 2 integrador + 1 cero inestable

+ 1 polo inestableEjemplo 2: 1 polo estable + q integradores: -180º, -270º, -360º

2) -(n-m)*90o + 90º si el sistema posee además 1 cero inestable. Para

n-m=2 queda -180º+90º=-90º

3) -(n-m)*180o - 90º si el sistema posee además 1 polo inestable. Para

n-m=2 queda -180º-90º=-270º

Aplicación del Criterio de Nyquist a SC

Se observa que cuando C1 abarca todo el semiplano derecho, C2 está compuesta de tres partes (ramas conexas) en el plano s:

Conclusión

Dado que C1 encircula ceros de 1+KG(s) (que son los polos de la FTLC

KDG/(1+KDG)), se espera que C2 también se recorra en sentido horario

como lo hace C1. De cualquier modo, de existir un encirculamiento nulo

O antihorario, se debe revisar el número los polos inestables P. Luego

se calcula: Z=N+P como comprobación determinante.

Parte I : El mapeo sobre del eje imaginario positivo que es KDG(jw) . Es recomendable usar diagrama de BODE.

Parte II : El mapeo sobre del eje imaginario negativo que es KDG(-jw). Esta curva es simétrica a la curva de la arte I.

Parte III : El mapeo para /s/=0 que resulta en un arco que debe

unir los puntos: KDG(=0-), KDG(=0) y KDG(=0+) con unarco de radio infinito que da ½ vuelta o más según el análisis

llevado a cabo con el mapeo de los puntos: =0-, =0 y =0+

23

Una propiedad importante del DNSea por ejemplo la representación del D. de Nyquist de KDG=K/j w (1+jw).

K 1D

G(jw

1)

w>0

w=0+

w=

Graficamos sólo la porción del DN de frecuencias positivas

Asumamos que K tiene el valor K1

Tracemos un rayo desde el origen hasta cortar la curva de Nyquist en un punto de frecuencia 1 cualquiera

Im(s)

-1

Re(s)

Si se aumenta la ganancia de KDG(jw) desde K1 hasta otro valor mayor K2, el punto de curva de Nyquist se desplaza hacia afuera sobre el rayo manteniendo la fase y la frecuencia 1

w1

Si contemplamos más rayos para distintas frecuencias pero con el mismo K2 , la curva de Nyquist K1DG(j) se dilata hacia afuera proporcionalmente a K2/K1.

K 2D

G(jw

1)w1

24

Se ve claramente en este ejemplo queal no cambiar la fase, el ángulo de la curva en = es -180º para todo K>0

Al igual que en el Lugar de las Raíces quecuando las ramas no cruzan el eje imaginario es una evidencia de estabilidad, aquí, en elDiagrama de Nyquist se constata claramente que la curva NUNCA rodeará el punto -1,y que por lo tanto el sistema realimentado proporcionalmente será siempre estable.

Aplicación del Criterio de Nyquist a SC

Ejemplo: Sea la Función de Transferencia de KDG = K/j(j +1)

Se nota que el Sistema es de tipo 1 y P=0 !

w>0

w=0+

w=0-

w<0

Rama I

Rama II

Rama III

Ploteamos la curva de Nyquist:ramas I, II y III, y notamos una circulación horaria.

Definimos un K para el SCLC

Notamos además que para ese Valor de K, la curva NO contiene al -1 !

Concluimos, el sistema realimentado es estable!

Aumentamos K, y la CN se “expande”hacia fuera (y viceversa), pero nuncase encircula al punto -1 !

Plano s

Re(s)

Im(s)

-1

El sistema KDG/(1+KDG es estable para cualquier K !

w=

25

Plano sjw

s

Análisis del Sistema anterior por LRLa Función de Transferencia de LA: K/s(s+1) posee la siguiente Curva de

Nyquist y el Lugar de la Raíz para K=K1 bajo:

- 0.5

K3

K3

K2

K2

K1 K1

w>0

w=0+

w=0-

w<0

Plano s

Re(s)

Im(s)

-1 w=

K1

K2

K3

El SCLC no se inestabiliza. Los resultados son coherentes !

26

Pero además la curva de Nyquist se acercamás y más al punto -1 con K crecienteSimultáneamente, los polos en el LR sesalen de la zona deseada de performance

w>0

w=K1

Construcción Práctica de la C. de Nyquist

En los sistemas de tipo 0, 1 o 2 con P=0 y fase mínima o con un retardo puro, puede aplicarse la siguiente regla:

w=0+

Plano s

Re(s)

Im(s)

-1

Primeramente con el módulo y la fase de KDG(jw) construimos la rama I para 0w.

Supongamos que el punto sobre la curva en w=0 avanza sobre la misma con w creciente hasta infinito.

Si la curva deja al punto -1 a la izquierda, entonces el SCLC es estable!

27

Por lo tanto la construcción del DN solo requiere la primera parte de la curva, es decir aquella obtenida delDiagrama de Bode.

w>0

w=

K1

Construcción Práctica de la C de NyquistSea el SCLA:

w>0

Para un valor de K, por ej K1, se construye el DN a partir del módulo y la fase de G(jw) para 0w.

Un punto en w= avanza sobre la curva con w creciente.

Se nota que la curva deja al punto -1 a la derecha, entonces el SCLC es inestable!

KDG=K/s2(s+1)

K2<K1

Re(s)

Im(s)

-1

Plano s

Si la ganancia se achica, el sistema de control continúa irremediablemente en la inestabilidad. Esto indica que hay que emplear un compensador lead

Verificar este resultado con Diagrama de Bode y Lugar de la Raíz!

Otro ejemplo:

28

Para 3 o más integradores, esta regla práctica no se aplica, es decir se tiene que construir todo el diagrama de Nyquist

compensado