2. Lineas de Espera - Ejemplos

Modelos de Toma de DecisionesModelos de Toma de Decisiones

Teoría de Colas.

Agenda• Descripción de un problema de colas.

– ¿Por qué hay colas?C t í ti d l i t d l N t ió d K d ll– Características de los sistemas de colas, Notación de Kendall, Nomenclatura básica

• La ley de Little• Procesos de Nacimiento y Muerte• Colas Markovianas

– M/M/1– M/M/c– M/M/c/k

• Colas no MarkovianasColas no Markovianas– G/G/1– G/G/k

Descripción del problema• La teoría de colas es un campo de estudio de la investigación de operaciones

que se encarga de estudiar las esperas.

p p

• Como clientes no queremos esperar, los gestores de los muchos servicios no quieren que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?

La respuesta es casi siempre simple, en algún momento la capacidad de servicio ha sido (o es) menor que la capacidad demandada. Generalmente esta limitación se puede eliminar invirtiendo en elementos que aumenten la capacidad. ¿invertir? ¿Cuánto?

La teoría de colas intenta responder a estas preguntas utilizando análisis matemáticos detallados.

Características de los sistemas de colasde colas

1. Patrón de llegada delos clientes

2. Patrón de servicio3. Disciplina de la cola y

capacidad del sistema

4. Número de canales de servicio

5 Nú d t5. Número de etapasde servicio

Características de los sistemas de colas

Patrón de llegada de los clientes

de colasg

• Generalmente la llegada es estocástica (depende de cierta V.A)• Hay que tener en cuenta la impaciencia de los clientes• Si el patrón de llegada no varía con el tiempo se dice estacionario• Si el patrón de llegada no varía con el tiempo se dice estacionarioPatrones de servicio• Asignación de funciones de probabilidad• Pueden variar de acuerdo al número de clientes en cola (patrones de servicio

dependientes)Disciplina de la cola• FIFO, LIFO, LVF, HVF

Características de los sistemas de colas

Capacidad del sistema

de colasp

• Limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en cola• Simplificación en el modelaje de la impaciencia de los clientesNúmero de canales de servicioNúmero de canales de servicio

Etapas de servicio

Notación de KendallKendall [1953] propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos

/ /A/B/cA distribución del tiempo entre arribosB distribución del tiempo de servicioB distribución del tiempo de servicioc número de servidores localizados en paralelo

M Exponencial o MarkovD constante o determinísticaG Arbitraria o general

Ejemplo: M/M/1 indica que los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son exponenciales y que se cuenta con un sólo servidor.

Nomenclatura Básica

= tasa promedio de arribos tasa promedio de arribos1/ = tiempo promedio entre arribos = desviación estándar del tiempo entre arribosa = desviación estándar del tiempo entre arribosµ = tasa promedio de servicio

1/µ = tiempo promedio de servicio1/µ = tiempo promedio de servicios = desviación estándar del tiempo de servicio

Nomenclatura Básica = utilización del sistema

L número promedio de entidades en servicioLs = número promedio de entidades en servicioL = número promedio de entidades en el sistemaL = número promedio de entidades en el sistemaLq = número promedio de entidades en el sistemaW = tiempo promedio en el sistemaW = tiempo promedio de esperaWq = tiempo promedio de esperaWs = tiempo promedio de servicioP0 = probabilidad de que el servidor este desocupado0 p q pPn = probabilidad de n entidades en el sistemaPw = probabilidad de que una entidad tenga que esperar

La ley de Little

L=λW

Lq=λWq

TN

i dttLW )( wWNdttLLN

i

T

ˆˆ1)(1ˆ i

i01

)(NTT i

i)(10

Tenga en cuenta , por consiguiente

TN

ii dttLqWq

01

)( qwWqNT

NdttLqT

qLN

ii

T

ˆˆ1)(1ˆ10

0 0

La ley de LittleEl número medio de clientes en el sistema y en la cola se puede calcular dediferentes maneras:

El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo deEl tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo deespera de un cliente en la cola,

El número de clientes que por término medio se están atendiendo en cualquiermomento es:

La probabilidad de que un servidor (de un sistema de c servidores en paralelo)esté ocupado en el estado estable es:

M/M/1M/M/1

L

Condición de estabilidad:

)(

2

qL

1

s

W

L

)(

qW

W

)1(

nnP

1

)(

sW

)( n

M/M/cLa probabilidad de que haya n entidades en el sistema es,

M/M/c

donde

Condición de

cr ,

estabilidad:

λ<cμLas principales medidas de desempeño son:

1 ss WL

Aproximación de Kingman G/G/1Aproximación de Kingman G/G/1

Recuerde que el coeficiente de variabilidad de una variable aleatoria se define como:

Observe que multiplicando ambos lados de la ecuación por λ y usando la ley de Little la fórmula anterior es equivalente a:Little la fórmula anterior es equivalente a:

Aproximación de Cunnen‐Allen / /G/G/c

Para una cola G/G/c

cMMqsa

q LCCL //,

22

2

• Donde Lq,M/M/c es el número promedio en cola que se obtendría se lasdistribuciones entre arribos y de servicio son exponenciales.

2

d st buc o es e t e a bos y de se c o so e po e c a es.• La anterior aproximación nos dice que el tiempo en cola se puede estimar

pretendiendo que el sistema es markoviano y luego aplicando un factor decorrección que depende de la varianza de las distribuciones involucradas.q p

Ejemplo 1Ejemplo 1A una caseta de peaje, en donde sólo hay una ventanilla de atención,llegan 10 vehículos aproximadamente cada hora. El cajero tarda enpromedio 4 minutos en atender cada vehículo. Asumiendo que tanto lostiempos entre arribos como los tiempos de servicio se distribuyenexponenciales, calcule:

a)La probabilidad de que el sistema este desocupado.b)El tiempo promedio que un vehículo tardará desde que llega al peajehasta que lo cruza.c)El número promedio de vehículos en el peaje.d)El número promedio de vehículos en la fila del peaje.d)El número promedio de vehículos en la fila del peaje.e)El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de seratendido.f)La proporción del tiempo que el cajero tiene que trabajar

16

f)La proporción del tiempo que el cajero tiene que trabajar.

Ejemplo 1 SolEjemplo 1 SolLa caseta de peaje se puede modelar como un sistema M/M/1, con tasade arribos =10 v/h y tasa de servicio =15 v/h. Note que se cumple lacondición de estabilidad (10 < 15).

a) La probabilidad de que el sistema este desocupadop q p

32

1510

31

321

32 0

nP

17


b) El tiempo promedio que un vehículo tardará desde que llega al peajep p q q g p jhasta que lo cruza.

11 mins. 12hora51

10151

W

18


c) El número promedio de vehículos en el peajep p j

10 vehículos21015

10

L

19


d) El número promedio de vehículos en la fila del peajep p j

4102

vehículos34

)1015(1510

qL

20


e) El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de serp p qatendido.

i8h210W mins. 8 hora152

)1015(1510

qW

21


f) La proporción del tiempo que el cajero tiene que trabajar.p p p q j q j

210

315

22

Ejemplo 2Ejemplo 2A una caseta de peaje, en donde sólo hay una ventanilla de atención,llegan vehículos aproximadamente cada 6 minutos, con una d.e. de 2minutos. El cajero tarda en promedio 4 minutos en atender cada vehículo,con una d.e. de 2 minutos. Calcule:

a)La probabilidad de que el sistema este desocupado.b)El tiempo promedio que un vehículo tardará desde que llega al peajehasta que lo cruza.c)El número promedio de vehículos en el peaje.d)El número promedio de vehículos en la fila del peaje.e)El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila antes de sere)El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de seratendido.f)La proporción del tiempo que el cajero tiene que trabajar.

23

Ejemplo 2 SolEjemplo 2 SolLa caseta de peaje se puede modelar como un sistema G/G/1, con tasa dearribos =10 v/h y tasa de servicio =15 v/h. Note que se cumple lacondición de estabilidad (10 < 15).

f) La proporción del tiempo que el cajero tiene que trabajar.p p p q j q j

210

315

24

Ejemplo 2 SolEjemplo 2 SolLa caseta de peaje se puede modelar como un sistema G/G/1, con tasa dearribos =10 v/h y tasa de servicio =15 v/h. Note que se cumple lacondición de estabilidad (10 < 15). Adicionalmente se deben calcular loscoeficientes de variación:

1212

e) El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de ser

21

42

31

62

sa cc

e) El tiempo promedio que tarda un vehículo en la fila, antes de seratendido.

)3/2()2/1()3/2( 22

mins.1.894

3/21)3/2(

2)2/1()3/2(

qW

25


b) El tiempo promedio que un vehículo tardará desde que llega al peajep p q q g p jhasta que lo cruza.

mins5 8941 89W WW mins.5.8941.89Ws qWW

26


c) El número promedio de vehículos en el peajep p jLa tasa de arribos debe estar en las mismas unidades de tiempoque los tiempos calculados, por lo tanto:

/ i1/h

vehículos98089.5

v/min61v/h10

L

vehículos98.06/1qL

27


d) El número promedio de vehículos en la fila del peajep p jLa tasa de arribos debe estar en las mismas unidades de tiempoque los tiempos calculados, por lo tanto:

/ i1/h

vehículos31089.1

v/min61v/h10

L

vehículos31.06/1qL

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