2 Modelado Matematico

1

Captulo 2: Modelado Matemtico de Sistemas de Control

2

Funcin de Transferencia y Respuesta Impulso

Funcin de Transferencia:

Sistema LTI:


(Sistema de orden n) Respuesta Impulso:

X(s) Y(s)

3

Sistemas de Control Automtico

Diagramas de Bloques:

X(s) Y(s)

Y(s) = G(s) X(s)

4


Diagramas de Bloques: Sistema en lazo cerrado

Funcin de transferencia en lazo cerrado:

5

MATLAB 2-1


Diagramas de Bloques: Uso de MATLAB

6

Controladores Automticos

7

Controladores Industriales

1. De dos posiciones (ON OFF)

8


1. De dos posiciones (ON OFF)

9


2. Controlador Proporcional (P)

Kp e(t) u(t)


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3. Controlador Integral (I)

Ki/s e(t) u(t)


11


4. Controlador Proporcional-Integral (PI)

G(s) e(t) u(t)


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5. Controlador Proporcional-Derivativo (PD)

G(s) e(t) u(t)


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6. Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)


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Sistema Sujeto a Perturbaciones

F.T. de la perturbacin: (se asume que R(s) = 0)

F.T. de la entrada de referencia: (se asume que D(s) = 0)

En un sistema lineal:

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Diagrama de Bloques

Procedimiento: 1. Ecuaciones que describen el comportamiento dinmico de cada componente:

2. Transformadas de Laplace de las ecuaciones (asumimos C.I. = 0)

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Diagrama de Bloques

3. Representar individualmente en forma de bloques cada ecuacin

4. Se integran los elementos en un solo diagrama

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Modelado en el Espacio de Estados

Teora de Control Moderno: MIMO Variables en el Tiempo Desde 1960 Concepto de Estado Sistemas lineales y no lineales En el Dominio del tiempo

Estado:

Conjunto ms pequeo de variables (variables de estado) de tal manera que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier t t0.

Variables de Estado: Determinan el estado del sistema dinmico. No necesitan ser fsicamente medibles u observables.

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Modelado en el Espacio de Estados

Vector de Estado: Si se necesitan n variables de estado:

= =

12. .

Espacio de Estado:

Espacio n-dimensional, cuyos ejes de coordenadas estn formados por las variables de estado.

Ecuaciones en el Espacio de Estados: La representacin de un sistema no es nico El nmero de variables de estado es el mismo La salida de los integradores de un sistema son las variables de estado.

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Sistema de ecuaciones de un sistema dinmico:

Ecuaciones de salida del sistema dinmico:

Ecuaciones en el Espacio de Estado

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Si definimos las siguientes matrices:

Entonces, las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

(Ecuacin de estado)

(Ecuacin de salida)


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Para un sistema lineal:

Para un sistema Lineal e Invariante en el tiempo (LTI):

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Ejemplo:

Modelo matemtico:

Variables de estado:

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Ejemplo (cont.):

Ec. de estado:

Ec. de salida:

Modelo en espacio de estados:

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Relacin entre Funcin de Transferencia y Ecuaciones de Estado

Modelo en espacio de estado:

Laplace:

Reemplazo en la ecuacin de salida:

Ya que: Entonces:

Condiciones Iniciales = 0 :

Matriz Funcin de Transferencia, dimensin m x r

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Ejemplo:

Modelo en espacio de estados:

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Representacin en el espacio de estados de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ecuacin diferencial:


Calculo coeficientes Beta:

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Representacin en el espacio de estados de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

En notacin matricial:

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Usando MATLAB para transformar Modelos

De Funcin de Transferencia a Espacio de Estados:

F. T.

MATLAB:

Ejemplo:

Ver MATLAB Programa 2-2

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Usando MATLAB para transformar Modelos

De Espacio de Estados a Funcin de Transferencia:

Ver MATLAB Programa 2-3

Ejemplo:

2 Modelado Matematico

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