Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.

Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Clase 21 – 22 Versión 1 - 2015

Contenido:

Compensación dinámica

Compensación dinámica con Lugar de las Raíces

Compensador de adelanto (Lead)

Compensador de banda estrecha (Notch)

Diseños de Sistemas de Control con compensadoresempleando LR

Compensador de atraso (Lag)

2

Objetivo

En el Diseño de un Sistema de Control existe una fase previa alDiseño del Controlador que se llama: Compensación Dinámica

Esta fase consiste en darle a la planta características dinámicas más adecuadas para facilitar el diseño del futuro controlador

La compensación dinámica usa 3 estructuras básicas:

Compensador de adelanto de fase (lead)

Por ejemplo: una cierta amortiguación, más rapidez, menos sensibilidad paramétrica, etc. Esta compensación se realizasobre la planta y se juzga su efecto con un simple controlador proporcional.

Compensador de atraso de fase (lag)

Compensador de banda estrecha (notch).

3

s

-4

-6

-5 0

0

4

2

6

-2

-2.5

jwEstructura del Compensador

s+pDlead(s) = K

s+z

s+pDlag(s) = K

s+z

Comp. de atraso de fase

Comp. de banda estrecha

Comp. de adelanto de fase w0

-w0

-z

-z

-p

-p

z=sen q q

-wo

Todos tienen grado relativo igual a cero (FT bipropias)(s+0)2Dnotch(s) =

s2+2z0s+02

4

(Aplicación: para mejorar el transitorio)

(Aplicación: para mejorar el ee)

(Aplicación: para suprimir dinámicas parciales que son oscilantes indeseables)

0

4

2

-2

-4

-6

6

-4 -2 0

jw

s

-6-10 -8-12-14 -2

Dinámica oscilantedévilmente amortiguada

(compensa esadinámica en la planta)

Intervalos típicos donde actúa cada compensador dinámico

z muy bajo

wn frecuencia afectada

Dinámica rápida(acorta el transitorio

de la planta)

Dinámica lenta(mejora el estado

permanentede la planta)

LEAD LAGNOTCH

5

0

4

2

-2

-4

-6

6

-4 -2 0

jw

s

-6-10 -8-12-14 -2

Dinámica oscilantedévilmente amortiguada

(compensa esadinámica en la planta)

Intervalos típicos donde actúa cada compensador dinámico

z muy bajo

wn frecuencia afectada

Dinámica rápida(acorta el transitorio

de la planta)

Dinámica lenta(mejora el estado

permanentede la planta)

LEAD LAGNOTCH

NOTA: Una característica común de todos ellos es que no producen una distorsión de fase localizada sólo en el intervalo de frecuencias donde actúan.

Compensación Dinámica casi-Lead en LR

Sea la planta: G(s) = 1

s (s+1)D(s) = K(s+2), y el compensador PD:

0

4

2

-2

-4

-6

6

-4 4-2 0 2

jw

s

Se desea:

z0.5

wn=2 (circunf.)

Se calcula elK según lo esta-blecido en LR, finalizando el diseño

y se verifica que:

D(s) amplifica elruido del sensor !

Desventaja:

z0.5

wn=2 (tr=1.8/wn)

6

(p esta en -)

K

s

jw6

-6

-4

-2

4

2

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18

Sea la planta: G(s) = 1

s(s+1), y el compensador: D(s) =

K(s+2)(s+p)

p=-20

p=-13

p=-3

p=-2

p=-5

p=-10

p=-12p=-14

Diseño de CD con Adelanto (lead)FCR M.Jordan7

Esta relación p=z equivaleal caso sin compensador

Alejamos p hacia la izquierdapara entender el desplazamiento de los polos de LC

s

jw6

-6

-4

-2

4

2

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18

p=-20

p=-13 p=-3 p=-2

p=-5

p=-10

p=-12p=-14 z=-2

Compensación Dinámica Lead en LRUna característica de los sistemas con una compensación lead es quepueden existir varias soluciones de diseño de z=cte si z es alto.

Mientras que para bajo amortiguamiento la solución es única.

8

NOTA IMPORTANTE

Si se aleja el polo del cero, se atraen los polosdel SLC a la zona de buena performance.

Si se aleja demasiado el polo del cero, la repuesta y(t) es más rápida pero irrealizable pues la u(t) sería mucho más intensa y el actuador la recortaría.

Una relación adecuada es:

p/z ~ 5 ~

-6-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-4

-2

0

2

4

6

x xx

K=48.4, =0.7, n=6

K=19.4, =0.7, n=2.2

K=5.4, =0.7, n=1.0

9

Analizando el LR, seleccionamos por ej. p=-10 en el CD en adelanto

La selección final de K dependeráde otras condiciones, en general:

Compensación Dinámica Lead en LR

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Res

pues

ta e

scal

ón

Tiempo en seg)

K=48.4,=0.7, wn=6K=5.4, =0.7, wn=1.0

K=19.4, =0.7, wn=2.2

=0.7, n=1.06

Sistema base de 2do. orden

=0.7, n=2.2

Sistema base de 2do. orden

=0.7, n=6.0

Sistema base de 2do. orden

10

Nota: el sistema base es una referencia para el diseño y posee sólo un par de polos complejos conjugados (sin cero y sin polo real)

Compensación Dinámica Lead en LR

El Mp varía aún cuando el es el mismo.Esto se debe a que el SC tiene además un 3er. polo y un cero

y el mismo sistema pero con un cero añadido (1/) (s+),tiene una FT que se compone de dos FT’s:

Ga(s) = + s2 + 2 ns +n

2

s n21n

2

s2 + 2 ns +n2

RECORDAR que un sistema dinámico de 2o orden tiene una FT:

G(s) =

Efecto de un cero en un Sistema Subamortiguado

n2

s2 + 2 n s +n2

s n2

s2 + 2 ns +n2

1

s2 + 2 ns +n2

n2

Ga(s) (suma de ambos)

11

Conclusión: Un cero dominante, junto al sistema básico, aumentará Mp.-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

2 4 6 8 10 12 140

0

Oscilante subamortiguado

Con un cero añadido

Con un derivador añadido

s

jw

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

0

- pz

/ 1- z

2

Primera Forma de Diseño de CD con lead(Especificación de Mp y tr)

Sea la planta: G(s) = 1

s (s+1), y el compensador: D(s) =

K(s+2)

(s+10)

Mp 0.2 y tr 0.23 s

e 0.2 z 0. 5 y wn 1.8/0.23 = 7.8

Con el LR y el CD:

D(s) = K(s+2)

(s+10) 34o

z=0.56

z=0. 56

wn=7.72 rad/s

Se eligen aproxima-damente:

s=-4.32

resultando:

s=-4.3

wn=7.7

p1=-4.32 +j 6.40p2=-4.32 - j 6.40

12

Se cumple que: Mp=

Objetivo del diseño: encontrar K para cumplir las especificaciones:

0s

jw

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Diseño de Compensación Dinámica LeadLuego se extrae K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 al polo complejo indicado, dividido por la longitud del segmento del cero en -2.

Finalmente se extrae la raíz faltante a través de K=70 empleando el producto de segmentos desde los polos 0, -1 y -10 y el cero en -2 hasta un punto s0 apropiado.

Así resulta p3=-2.4.

13

K=70

s=-4.3

34oz=0.56

-10

-6

-2

2

6

10

-10 0 -4 -2 -8 -6

s

jw

-10

-6

-2

2

6

10

-10 0 -4 -2 -8 -6

s

jw

Validación del diseño de CD Lead

Sistema base para el diseñoSistema real del diseño

El polo y el cero están muy cerca, susefectos se cancelan aproximadamente! Se concluye que el diseño

aproximado es bueno!Aunque el cero es dominante y suefecto de derivación aumenta el soprepico!

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

Glc(s) = 59.7

s2+2*0.56*7.72+59.7

Glc(s) = 70(s+2)

s(s+1)(s+10)+70(s+2)

Validación a través de la Respuesta al Escalón

Sistema base

Sistema real compensado

FCR M.Jordan15

NOTA: Si no se está conforme con la respuesta compensada,todavía existe un artilugio para mejorarla, que consiste en desplazar levemente el cero hacia la izquierda.

Esto debilita el efecto derivador del cero pues lo acerca más al polo real de LC, tendiendo a una cancelación de efectos.

Desplazando el cero a la izquierda desde z=-2 a z=-2.2

Segunda forma de Diseño con CD Lead(Ruido de Sensor)

Sea la planta: G(s) = 1

s(s+1), y el compensador de tipo: D(s) =

K(s+z)(s+p)

Especificaciones: se desea un sistema de control con 2 polos en:

z 0. 5 y wn =7

p2=-3.5 -j 3.5 3

p1=-3.5 +j 3.5 3

Esto implica:

Mp 20% y tr 0.26

Además, se supone que el sensor produce un ruido de alta frecuencia

de intensidad significativa a partir de w =20 rad/s.

y recordando:

Se llega a:

Mp = e-pz / 1- z

2 0.2 y

16

1.8

n

tr

Cómo se prosigue con el diseño del compensador dinámico?

Segunda forma de Diseño con CD de adelanto

El polo del compensador de adelanto se fija en p=-w=-20, ya que a partir deesta frecuencia de corte se filtrará el ruido en la realimentación

Se razona que si todos los polos y ceros de KDG y también los polos elegidos deKDG/(1+KDG) pertenecen al mismo LR, entonces es válida la Condición de Fase para posicionar el cero z faltante.

Procedimiento de Diseño

-10

-6

-2

2

6

10

-20 0 -10

s

jw

?

y f2

f1f3

y =180+f1+f2+f3

Con la condición de fase:

se encuentra la posición del cero en z=-5.4 (alejado de -20!)

Quedando el diseño del CD:

D(s) =K(s+5.4)(s+20)

s0

|s0| |s0 -[-1, 0]T| |s0 -[-20, 0]T|

|s0 -(-5.4,0)T| =127y K=

17

K=127

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tiempo

Glc(s) = 49

(s+3.5)2+3.52x3

Glc(s) = 127(s+5.4)

s(s+1)(s+20)+127(s+5.4)

Respuesta al escalón del sistema real y el básico

Sistema base

Sistema real

FCR M.Jordan18

La diferencia es significativa debido a la presenciadel cero lejos del 3er polo del SLC

Se puede correr el cero a la derecha obligando al lasramas del LR a doblarse más hacia el eje real para bajar Mp. Por ej. se prueba con z=-3 y se reduce Mp a menos del 20% quedando conforme con el diseño final.

Sistema final

Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto

FCR M.Jordan19

En el PRIMER DISEÑO los pasos son:

Primeramente se fijan las especificaciones temporales de y wn

(o equivalentemente Mp y tr). Esto genera una zona admisible.

Luego se elije un compensador lead con polo y cero (p,z) ubicados a la izquierda de los polos y ceros de la planta (pues se debe agilizar sudinámica mediante esta compensación, es decir mejorar su transitorio).

Tal compensador satisface además p/z5.

Se grafica el LR con dicho compensador y se intersecta el mismo con una semirecta de . Si hay varias soluciones se toma el par de polos complejos conjugados con un wn más adecuado para el tr . Se calcula la ganancia K y el 3er polo real.

Se grafica la respuesta al escalón y si el sobrepico Mp es intolerable, sedesplaza el cero del compensador levemente a la izquierda (para lograr mejor efecto de cancelación si lo hubiera con un polo próximo del SLC) o a la derecha si el cero está aislado y puede doblar más aún las ramas del LR hacia abajo.

Resumen de los dos diseños de la CD en adelanto

FCR M.Jordan20

En el segundo diseño no se cuenta con el LR para la planta compensada.Sólo se disponen los polos complejos conjugados deseados.

En el SEGUNDO DISEÑO los pasos son:

Como existe un problema de ruido en el sensor, se elige el módulo del polo p del compensador igual a la frecuencia donde el espectro del ruido comienza a existir. El cero del compensador se ubica por condición de fase. Con ello el LR es forzado a pasar por estos polos deseados.

Se grafica el LR. Se calcula la ganancia K y el 3er polo real.

Se grafica la respuesta al escalón y si el sobrepico Mp es intolerable, sedesplaza el cero del compensador levemente a la izquierda (para lograr mejor efecto de cancelación si lo hubiera con el polo real del SLC) o a la derecha si el cero está aislado y puede doblar más aún las ramas del LR hacia abajo.

Sea un compensador de tipo: D(s) =K(s+z)(s+p)

con |z|>|p|

Por el contrario, la inclusión de una CD con atraso es necesaria cuando el sistema planta (o planta compensada con CD-adelanto) no reúne condiciones apropiadas de estado estacionario (es decir, de baja frecuencia)

En general los SC son de Tipo 1. Esto significa que se cumple:

p/señal rampa e () = lim ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s2=

1Kv

0 finitoess=

donde:

lims 0

Kv= s D(s)G(s)

Diseño de CD de Atraso (lag)21

Se vio que la inclusión de un compensador en adelanto, mejora el transitorio

Diseño de CD de Atraso (lag)

Si el sistema resulta con una Kv pequeña, se puede transformar a dicho sistema con un compensador de atraso tal que se cumpla:

(s+z)(s+p)

lims 0

Kv= s D(s)G(s) > Kv0 siendo Kv0 un valor alto prefijado

zp

lims 0

Kv= s D(s)G(s)

Para un buen diseño, es suficiente cumplir |z|>>|p| (basta una relación de 3 a 10). De esta manera el seguimiento de rampas es más preciso

Para definir z es necesario no alterar la planta compensada previa-mente con un lead, es decir el par z y p del compensador lag debenestar alejados a la derecha del par cero-polo del compensador lead

Esto obliga a ubicar el polo p cerca del origen (es decir, un polo muy dominante) a fin de aumentar significativamente la ganancia de baja frecuencia.

22

Sus características de frecuencia son tales que ante entradassinusoidales, (s+z)/(s+p) produce atraso de fase de su salida.

Diseño de CD de Atraso (lag)

f = tan-1(w/z) – tan-1(w/p) < 0 o para toda >0w

Esta fase en la frecuencia es la fase de su función de transferencia frecuencial en estado permanente:

Nuevamente el diseño de este nuevo compensador puede ser estudiado en profundidad con LR.

Reveamos el ejemplo anterior de una planta compensada con retraso eimpongamos especificaciones en estado estacionario.

23

Sin embargo, este desfasaje esta localizado en un intervalo del dominio frecuencial

Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag)

Sea la planta: , y el compensador de adelanto: D(s) =K(s+z)(s+p)

que se diseña en base a polos de sistema de lazo cerrado asignados:

z 0. 5 y wn=7

p2=-3.5 - j 3.5 3

p1=-3.5 +j 3.5 3

Tomando un sistema base,

tr 0.26 Mp 20% y

También al elegir el polo p del CD de adelanto se tiene en cuenta el ruido de alta frecuencia del sensor a partir dew =20 rad/s.

De aquí surge el SC de tipo 1 con compensación de adelanto de fase:

la que aproximadamente reúne las especificaciones del sistema base.

Glc(s) = 127(s+5.4)

s(s+1)(s+20)+127(s+5.4)

Glc(s) = 49

(s+3.5)2+3.52x3

(en donde p=-20 y z=-5.4),

G(s) = 1

s(s+1)

24

resultan lassiguientes especificaciones de diseño:

Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag)

Luego se le otorgan propiedades de ee mediante un CD de atraso. La constante de error de velocidad del sistema compensado es:

lims 0

Kv= s KD(s)G(s) = lims 0

s+5.4

s+20s 127

1

s(s+1)= 34.3

ess= 1/Kv = 0.03(es decir, para una entrada rampa con pendiente 1,la salida del SCLC la sigue en ee con pendiente 1,pero retrasada con un error de 0.03).

Ahora supongamos que las especificaciones de ee requieren que Kv sea por lo menos 100 (o sea ess 0.01). Diseñamos el CD de atraso para:

con la elección de:z/p=3p=-0.01 z=-0.03

Si bien el polo en p=-0.01 es dominante, su efecto se cancela en transitorios debido a la proximidad del cero z=-0.03. El efecto es lento pero imperceptible.

Además ambos están alejados del valor para -3.5, que marca la dominancia de los polos complejos conjugados del SCLC.

25

s+20 s(s+1) s+5.4

KD(s)G(s) = 127 1

s+p)

s+z

30

-30

-20

-10

20

10

0

0-20 -10 -2 -4-6-8 -12-14-16-18

s

jw

El polo dominante de la FTLC (es decir, el más cercano a s=0), está muy próximo al cero de la mismaFTLC. Con ello el sistema de LC tampoco modifica su transitorio original dada por la CD de adelanto.

Prácticamente no se produjo alteración del transitorio,y sí una marcada precisión en el seguimientoa una rampa

Diseño de un SC con CD de adelanto/atraso (lead-lag)

5x

5x

DG(s)lead-lag =127(s+5.4)(s+0.03)

s(s+1)(s+20)(s+0.01)Lead-lag

DG(s)lead =127(s+5.4)

s(s+1)(s+20) Lead

Los LRs de ambos sistemas de control compensados son:

FCR M.Jordan26

Diseño de un SC con CD de atraso (lag)

Cuidados en la localización de p y z en la CD de atraso

Al elegir p y z muy pequeños, la dominancia de estos es alta, aunquesu efecto se compensa (es decir, su contribución en la respuestatemporal transitoria de y(t) es muy baja)

Esta contribución del CD perdura mucho tiempo, pues la respuesta componente de su fracción parcial es muy lenta pero es de muy baja intensidad.

En general, si son muy bajos los valores de p y z, el tiempo de estable-cimiento ts se hace muy largo cuando la precisión requerida es alta.

En definitiva, su elección resulta de un compromiso entre el objetivode no alterar demasiado la planta compensada previamente (lead) y, por otro lado, del requerimiento de no causar un excesivo tiempo de establecimiento.

Al aumentar z y p demasiado, los polos complejos cerca al eje se alejan, aumentando s y por lo tanto disminuyendo ts.

En la respuesta a una perturbación w, el cero no estará presente y estalentitud se notará, pues-Y/W=G/(1+GD) y no como en Y/R=GD/(1+GD)

27

Objetivo:

Diseño de CD de banda pasante (notch)

El objetivo de una compensación dinámica de banda pasante consisteen filtrar una componente frecuencial no deseada de la dinámica dela planta y de este modo atenuar su efecto indeseado en la respuesta temporal del SCLC.

Esta componente está generada por un par de polos complejos conjugados con coeficiente muy pequeño, y el efecto de la CD-notch es desplazar estos polos lo más posible a la izquierda en el plano complejo s, de tal manera que su efecto en la respuesta temporal pierda intensidad.

Este procedimiento de diseño se llama ESTABILIZACIÓN DE FASE y emplea como herramienta al LR

Otro procedimiento que resulta de atenuar la ganancia justamente en la banda frecuencia indeseada, se llama ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA y emplea como herramienta al Diagrama de Bode

28

Propiedades de los 2 diseños:

Diseño de CD de banda pasante (notch)

En la ESTABILIZACIÓN DE FASE, se inserta un par de ceros complejos conj. alrededor de la frecuencia de resonancia indeseada, es decir z jw. Esto atrae a las ramas que pasan por el par de polos complejos del SCLC, llevándolas al interior del semiplano izq. y dándole más amortiguamiento.

En la ESTABILIZACIÓN DE GANANCIA, se emplea una CD de atraso con influencia en la banda frecuencial indeseada, es decir se eligen: |z| > w > |p|, donde . Esto puede causar una respuesta temporal muy lenta y eventualmente intolerable.

Un caso común en control son las flexibilidades remanentes (non-allocated). Por ejemplo el eje flexible de un motor que une el rotor con el cabezal de una lectora-escritora de CD. En cada pulso súbito de reposición del cabezal, éste puede oscilar a alta frecuencia en forma débilmente amortiguada. Con una estabilización de fase, se atenúa este efecto. Otro ejemplo es el manchón en un acople de ejes. También sucede en brazos robóticos.

Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF.

-wo

w0

-w0

z=sen q q

s

jw

Recordar: Compensador NotchPolos muy dominantes de la DG(s)

29

Diseño de EdeF basado en LR:Se intenta atraer las ramas que se generanen esos dos polos dominantes a los dos ceros del filtro notch pero de tal manera que éstas pasen lo más alejadas posible del eje imaginario.

s

jw

|G|,db

Propiedades de ambos diseños Notch30

Ante incertidumbres o variaciones de la frecuencia de resonancia, la EdeG es más robusta que la EdeF.

-wo

X

X

X

X

Pero, por otra parte, la solución del filtrobasado en EdeF ofrece una mejorperformance que solución de EdeG.

Planta

Filtro EdeG

La solución EdeF, es la que estudiaremos a continuación.

inestableestable

n0

EdeG

EdeF

n1n

Ejemplo de diseño:

Diseño de CD de banda pasante (notch)

Sea la planta:

con una marcada oscilación en w=50 rad/s y una bajísima relación de amortiguación de la dinámica parcial de los polos complejos, que es igual a =0.01 ( = 0.57º)

Ahora, se propone un filtro notch de la forma:

2500

s(s+1)(s2+s+2500)G(s)=

Dnotch(s) =s2+2 zw s+w2

(s+ w )2o

o

o

Dnotch(s) =s2+s+3600

(s+60)2

¿Dónde elegir w0 respecto a w=50 rad/s? Rta: se elige w cerca de

50 rad/srad/s y de un valor más elevado. Así con =0.0083, queda:o

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)Dlead-lag(s)=

La planta se compensó previamente para satisfacer especificaciones temporales a través de:

31

-120 -100 -80 -60 -40 -20 20

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0

D(s)G(s) =

FCR M.Jordan

notchnotch

laglag

s2+1s+3600

(s+60)2

notch

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)

lead-lag

2500

s(s+1)(s2+s+2500)

planta

LR:

leadlead

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 x10

-3

-6

-4

-2

0

2

4

6

x10

-3

laglag

32

-0.005-0.054

FCR M.Jordan

¿Por qué se proponen ceros con w0>60 rad/s ?En las dos alternativas: wo>wn u wo<wn , la clave está en verificar en los LR´s

respectivos el ángulo de partida de los polos complejos conjugados cerca del eje.

-150 -100 -50 0 50 100

-150

-100

-50

0

50

100

150

wo=60

wo=40

fdep

Concluimos que para wo>wn las ramas de los 2 polos complejos

dominantes del LR se dirigen hacia el interior del simi-plano izquierdo. Por ello se elige este diseño.

33

Es decir, la pregunta práctica es si n=50 rad/s, por qué elegir w0=60 rad/s por

exceso y no w0=40 rad/s por defecto?

0 50 100-150

-100

-50

0

50

100

150

-100 -50-150

Lugar de las Raíces: Compensación Dinámica progresiva

s2+1s+3600

(s+60)2

2500

s(s+1)(s2+s+2500)D(s)G(s) =

127(s+5.4)

(s+20)

(s+0.0056)

(s+0.0005)

Planta Lead Lag Notch

FCR M.Jordan34

Por lo tanto, existe una ganancia K baja parala cual el lazo se puede cerrar alrededor de DG y el sistema de control es estable

FCR M.Jordan

50 60

Fa

se e

n o

Ga

nan

cia

en

dB

D(s)G(s) =

notch

s2+0.8s+3600

(s+60)2

127(s2+5.4s+0.03)

(s2+20s+0.01)

lead-lag

2500

s(s+1)(s2+s+2500)

planta

RF:

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4-450

-360

-270

-180

-90

Planta compensada con Notch

Planta compensada sin Notch

Análisis en la frecuencia (Diagrama de Bode)

log10 w

35

K=1

En la ganancia no hay mayor distorsión alrededorde la frecuencia de resonancia.

En cambio en la fase, la distorsión provocada porel filtro de notch es significativa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo s

Respuesta temporal del Sistema de Control con CD

SC sin CD Notch

SC con CD Notch

FCR M.Jordan36

Respuesta impulsiva de la planta