8/2/2019 2010 Sept + Pauta MAT023 CERTAMEN

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CERTAMEN N1 MAT023

miercoles 15 de septiembre del 201090 minutos

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre Paralelo

1. Encuentre la curva solucion de :(16x + 5y)dx + (3x + y)dy = 0

que pasa por el punto (1,3).

Solucion: La ecuacion es homogenea de grado 1. Sea y = vx, entonces:

(16x + 5vx) dx + (3x + vx)(v dx + x dv) = 0 1

xdx +

v + 3

(v + 4)2dv = 0

Integrando se tiene:

ln(x) + ln(v + 4) +1

v + 4= c ln(x) + ln(

y

x+ 4) +

1y

x+ 4

= c

Reemplazando el punto (1,3) en esta ecuacion se tiene c = 1. Finalmente tenemos:

ln(x) + ln(y

x+ 4) +

1y

x+ 4

= 1

1

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2. Resolver: y 4y + 4y = 4e2x + 25 sen(x).

Solucion: La ecuacion caracterstica (de la ecuacion diferencial homogenea asociada) es:

r2 4r + 4 = 0 (r 2)2 = 0

Entonces, yh(x) = C1e2x + C2xe

2x. La solucion particular, yp(x), debe tener la forma:

yp(x) = Ax2e2x + B cos(x) + Csin(x)

yp(x) = 2Axe2x + 2Ax2e2x B sin(x) + Ccos(x)

yp(x) = 2Ae2x + 8Axe2x + 4Ax2e2x B sin(x) Ccos(x)

Reemplazando en la ecuacion, tenemos:

2Ae2x + (3B 4C) cos(x) + (4B + 3C)sin(x) = 4e2x + 25 sin(x)

De aqu obtenemos el sistema de ecuaciones:

2A = 43B 4C = 0

4B + 3C = 25

A = 2, B = 4, C = 3

Por lo tanto, yp(x) = 2x2e2x + 4 cos(x) + 3 sin(x). Finalmente, la solucion general es:

yG(x) = C1e2x + C2xe

2x + 2x2e2x + 4 cos(x) + 3 sin(x)

2

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3. Las ardillas negras que tienen su habitat en las montanas rocallosas varan su poblacionsegun un modelo logstico modificado el que viene expresado mediante:

dP

dt= kP

1

P

N

P

M 1

donde, k > 0 es el coeficiente de razon de crecimiento, N es la capacidad de soporte delecosistema y M es la constante de escasez y son tales que 0 < M < N, ademas, P(t) es el

numero de ardillas negras en el instante t (expresado en anos).

a) Graficar f(P) = kP

1

P

N

P

M 1

b) Encontrar los puntos de equilibrio, clasificarlos y dibujar la linea de fase.

c) Bosqueje y estudie la estabilidad (el comportamiento a largo plazo) de la poblacionde ardillas, si inicialmente el numero de estas es el promedio entre la capacidad desoporte y la constante de escasez.

Solucion:

(a)

(b)

(c)

lmt

P(t) = N

Soluciones de Equilibrio

La poblacion de ardillas se estabiliza en torno a la capacidad de soporte.

3

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4. Resolver la ecuacion lineal de segundo orden no homogenea:

(1 + 2x)y + 4xy 4y = 1 + 4x + 4x2

si se sabe que una de las soluciones de la homogenea asociada es tambien solucion de laecuacion de coeficientes constantes de tercer orden, y + 2y = 0

Solucion: La solucion de la ecuacion homogenea y + 2y = 0 es:

yh(x) = C1 + C2x + C3e2x

La ecuacion homogenea asociada normalizada es y +4x

2x + 1y

4

2x + 1y = 0

Sabemos que y = e2x es solucion de la ecuacion anterior, en efecto:

4e2x +4x

2x + 1 2e2x

4

2x + 1e2x = 0

Ademas, y = x tambien es solucion de la ecuacion anterior, en efecto:

0 +4x

2x + 11

4

2x + 1x = 0

Utilizando lo anteriormente planteado y el metodo de Abel, podemos obtener la otrasolucion linealmente independiente, con y1(x) = e

2x:

y2(x) = e2x

e4xe

4x

2x + 1dx

dx = e2x

(2x + 1)e2x1dx = xe1 = x

es decir, y2(x) = x. Utilizando el metodo de variacion de parametros tenemos:

c1

(x)e2x + c2

(x)x = 02c

1(x)e2x + c

2(x) = 2x + 1

c1

(x) = xe2x

c2

(x) = 1

c1(x) =

e2x

4(2x 1) + ...

c2(x) = x + ...

As yp(x) = c1e2x + c2(x)x = x

2 +x

2+

1

4, finalmente, la solucion general de la ecuacion

diferencial viene dada por:

yg(x) = C1 + C2e2x + x2 +

x

2+

1

4

4