20141ILN270T200_Clase 3 - Matematicas

La importancia del uso de supuestosConcavidad y convexidad

DerivadasOptimizacion

Microeconoma I

Introduccion: Matematicas

Profesora: Triana Yentzen

Otono 2014

Profesora: Triana Yentzen Microeconoma I



Contenidos

1 La importancia del uso de supuestos

2 Concavidad y convexidad

3 Derivadas

4 Optimizacion




Supuestos en economa

Dado que la economa intenta explicar el comportamiento humanotrata fenomenos muy complejos. Con el fin de abordar esta comple-jidad la economa utiliza supuestos que permiten concentrarse en lasvariables relevantes y olvidar aquellas que no son de gran a porte enel estudio del fenomeno.

El mejor ejemplo de esto es el que pone Samuelson, quien explicael uso de supuestos en la economa, como el uso de un mapa parallegar a algun destino.




Concavidad

Sea f : U Rn R una funcion, decimos que es concava si parados elementos cualesquiera u, v U,

f (tu + (1 t)v) tf (u) + (1 t)f (v),t [0, 1]

Sea f : U Rn R una funcion, decimos que es estrictamenteconcava si para dos elementos cualesquiera u, v U,

f (tu + (1 t)v) > tf (u) + (1 t)f (v),t ]0, 1[




Convexidad

Sea f : U Rn R una funcion, decimos que es convexa si parados elementos cualesquiera u, v U,

f (tu + (1 t)v) tf (u) + (1 t)f (v),t [0, 1]

Sea f : U Rn R una funcion, decimos que es estrictamenteconvexa si para dos elementos cualesquiera u, v U,

f (tu + (1 t)v) < tf (u) + (1 t)f (v),t ]0, 1[




Derivadas

Para una funcion f : U Rn R la derivada de f en el puntox0 U se define como,

f (x0) = limh0f (x0 + h) f (x0)

h

Indistintamente podemos escribir esta misma derivada como,

df

dx(x0)

Entonces podemos definir la derivada de segundo orden como:

d2f

dx2(x0)




Derivadas parciales

Sea f : U Rn R una funcion que depende de muchas variables(x1, x2, ..., xn). La derivada parcial de f con respecto a xi en el puntox0 U se define como,

f

xi(x0) = limh0

f (x0 + hei ) f (x0)

h

Donde el vector ei denota el i-esimo elemento de la base canonicade Rn

Entonces podemos definir la derivada de segundo orden como,

2f

xixj(x0)




Teorema de Young

Si f : U Rn R es dos veces continuamente diferenciable,entonces:

2f

xixj(x1, ..., xn) =

2f

xjxi(x1, ..., xn)

Es decir, las derivadas cruzadas son iguales, esto nos ayuda en elcalculo del Hessiano para determinar la concavidad o convexidad deuna funcion con mas de una variable.




Derivada Total

Sea f : U Rn R una funcion. Dada una variableindependiente t, entonces la derivada de f con respecto a t en elpunto x0se puede expresar de la siguiente forma:

df

dt=

ni=1

f

xi(x0)

dxi

dt(x0)

Como la variable anterior es valida para cualquier valor de t,comunmente se expresa de la siguiente forma:

df =

ni=1

f

xidxi




Funcion homogenea y Teorema de Euler

Una funcion f : Rn+ R es homogenea de grado r 0 si:

f (tx1, tx2, ..., txn) = tr f (x1, x2, ..., xn),t > 0

Entonces el Teorema de Euler dice:

ni=1

f (x1, ..., xn)

xixi = rf (x1, ..., xn)

Ademas, si f : Rn+ R es homogenea de grado r 1, entonces susderivadas parciales son funciones homogeneas de grado r 1




Optimizacion

Sea f : U Rn+ R una funcion. Decimos que x es un maximo

de f en U si y solo si f (x) > f (x) x U

Una vez solucionado el problema de optimizacion -encontradoel maximo- definimos la funcion de valor del problema como lafuncion objetivo evaluada en la solucion(es) del problema.

Por ejemplo, dada una funcion f (x , a) donde x es la variable ya es un parametro cualquiera, podemos definir la solucion delproblema de optimizacion como f (x(a)). Entonces se puededefinir la funcion de valor como:

M(a) = f (x(a), a)




Maximizacion sin restricciones (con derivadas)

Para encontrar el maximo de una funcion f : U Rn+ R dosveces derivable, existen dos criterios importantes:

Cuando un punto x cumple con la siguiente condicion deprimer orden (CPO) f

xi= 0 i = 1, 2, ..., n entonces decimos

que es candidato a un maximo.

La condicion de segundo orden (CSO) para que exista unmaximo es que la funcion sea concava.




CSO en funciones de varias variables

Para que la funcion sea concava y por ende tenga solo un maximo,es suficiente que la matriz Hessiana sea definida negativa en el puntox.

Para probar que la matriz es definida negativa hay que encontrar losmenores principales (evaluados en x).

|H1| = f11

|H2| =

f11 f12f21 f22

Hay que verificar que: |H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0 hasta el casonesimo; (1)n|Hn| > 0




Maximizacion sin restricciones (ejemplo)

f (x , y) = ax2 + bxy + cy2

f

x= 2ax + by = 0

f

y= bx + 2cy = 0

2f

x2= 2a

2f

y2= 2c

2f

xy= b

Hessiano

[2a bb 2c

]

Condiciones de Segundo Orden

2a 0

4ac b2 0




Maximizacion con restricciones

Para encontrar el maximo valor que funcion f : U Rn+ R dosveces derivable puede tomar, acotando las elecciones sobre las xdisponibles, existen tres criterios importantes:

Las restricciones deben ser cumplidas de forma exacta y debenser parte del problema de optimizacion.

Cuando un punto x cumple con la siguiente condicion de pri-mer orden (CPO) L

xi= 0 i = 1, 2, ..., n entonces decimos que

es candidato a un maximo.

La condicion de segundo orden (CSO) para que exista un maxi-mo es que la funcion sea concava.




Teorema de la Envolvente

Hace referencia a como varia el valor optimo de una determi-nada funcion cuando cambia un parametro de la funcion.

Afirma que la pendiente de la relacion entre el valor maximode la determinada funcion y el parametro a analizar se puedecalcular mediante la pendiente de la relacion auxiliar que secalcula sustituyendo los valores optimos de los argumentos eesta funcion y calculando la derivada directamente de esta c/ral parametro.

f (x)

a=

f

a{x = x(a)}


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