2.1.3. Elementos del Triángulo CAP. 2.1 El...

64 Geometría 65Und. 2 - Estudio del Triángulo

2.1.1. Definición

Si A, B y C son tres puntos cualquiera no alineados, entonces se llama triángulo ABC, denotado por DABC, a la reunión de los segmentos AB, BC y AC.

En términos conjuntistas podemos definir al triángulo por medio de la siguiente expresión:

DABC = AB ∪ BC ∪ AC

2.1.2. Interior y Exterior de un Triángulo

2.1.2A. Interior de un triánguloEl interior de un triángulo es la región convexa deter-minada por la intersección de las regiones interiores de los tres ángulos del triángulo.

La región triangular ABC se define como el conjunto de puntos del plano que comprende los puntos del trián-gulo y su correspondiente interior.

2.1.2B. Exterior de un triánguloEl exterior de un triángulo es el conjunto de todos los puntos del plano del triángulo que no pertenece al triángulo ni a su interior.

La figura más recurrente en las aplicaciones de la geometría es el triángulo, tal vez, porque se trata de una figura de fácil descripción, sea por el número de sus lados o el de sus ángulos.La tecnología GPS (Global Positioning System o Sistema de Posicionamiento Global) es un Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) que permite determinar, en todo el mundo, la posición de una persona, un vehí-culo o una nave, con una precisión hasta de centímetros mediante las señales emitidas por tres satélites formando un triángulo.

CAP. 2.1 El Triángulo2.1.3. Elementos del Triángulo

Los elementos del triángulo son cada uno de los segmentos, puntos y ángulos que lo determi-nan. En relación al DABC de la figura consideramos los siguientes elementos:Lados: AB, BC y ACÁngulos internos: RBAC, RABC y RBCAVértices: A, B y CÁngulos externos: RCAM, RABN y RBCP Perímetro del DABC: 2p(DABC) = AB + BC + AC

2.1.4. Clasificación de Triángulos

CRITERIO DEFINICIÓN EJEMPLIFICACIÓN

SEGÚN

LA

CONGRUENCIA

DE SUS

LADOS

Triángulo EscalenoEs aquel en el que ningún par de lados son con-gruentes. En el DABC mostrado:

AB ≠ BC ≠ AC

Triángulo IsóscelesEs aquel que tiene al menos dos lados congruentes. En el DABC mostrado:

AB = AC ≠ BC

Triángulo EquiláteroEs aquel que tiene sus tres lados congruentes.En el DABC mostrado:

AB = AC = BC

SEGÚN

LA

MEDIDA

DE SUS

ÁNGULOS

Triángulo AcutánguloEs aquel que tiene sus tres ángulos agudos.En el DABC mostrado: a, b, g < 90º

Triángulo RectánguloEs aquel que tiene un ángulo recto.En el DABC mostrado: b = 90ºAB y BC son los catetos, y AC es la hipotenusa.

Triángulo ObtusánguloEs aquel que tiene un ángulo obtuso. En el DABC mostrado: 90º < b < 180º


2.1.5. Congruencia de Triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados y sus tres ángulos respectivamente con-gruentes.

Sean DABC y DDEF dos triángulos congruentes, denotado por: DABC @ DDEF, cuya figura es (a).

Ejemplo.- En la figura (b) los triángulos ABC y PQR son congruentes, en los que se cumple que AB @ PQ, BC @ QR y RB @ RQ, luego necesa-riamente se cumple que AC = PR y RA @ RP y RC @ RR.

Una correspondencia como esta se denomina Postulado LAL (siglas de Lado - Ángulo - Lado), que estudiaremos en el capítulo 2.3. Visualizando las siguientes figuras, con acuciosidad, com-probamos que:

ELEMENTOS RELACIÓN BIYECTIVA CONGRUENCIA

Vértices (puntos) A ↔ D , B ↔ E , C ↔ F A @ D , B @ E , C @ F

Lados (segmentos) AB ↔ DE , BC ↔ EF , AC ↔ DF AB @ DE , BC @ EF , AC @ DF

ÁngulosRABC ↔ RDEFRBCA ↔ REFDRACB ↔ RDFE

RABC @ RDEFRBCA @ REFDRACB @ RDFE

En el cuadro mostrado, los elementos relacionados por la biyección se denominan elementos homólogos. Al tratarse de una congruencia de ángulos y segmentos, se establece que estos elementos, por tener la misma forma y tamaño, poseen igual medida. Luego:

Si: RABC @ RDEF → mRABC = mRDEF

Si: AB @ DE → AB = DE

Observación.- Al hacer una inspección de las relaciones biyectivas comprobamos que en dos triángulos congruentes: «A ángulos congruentes se les opone lados congruentes».

Ejemplo.- Identifiquemos los elementos homólogos entre los triángulos congruentes mostrados.

Empezaremos reconociendo que ambos triángulos son rectángulos. Asimismo, si completamos los án-gulos en ambas figuras, relacionándolas con los la-dos, será fácil identificar los ángulos homólogos así como sus correspondientes lados homólogos:

RA @ RE = 37º ∧ RC @ RD = 90º ∧ RB @ RF = 53º

Además: AB @ EF ∧ AC @ DE ∧ BC @ DF

2.1.6. Teoremas Fundamentales en el Triángulo

Teorema.- Un teorema es una proposición afirmativa que puede ser demostrada como verda-dera dentro de un proceso lógico llamado demostración.

TEOREMA DEMOSTRACIÓN

Suma de Ángulos Interiores

«La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º».

Trazamos la recta BD AC

P y apli-cando la propiedad de los ángulos entre paralelas, identificamos los ángulos alternos internos. En «B» se verifica:

a + b + q = 180º l.q.q.d

Suma de Ángulos Exteriores

«La suma de las me-didas de los ángulos externos, consideran-do uno por vértice, es igual a 360º».

Trazamos , y aplicando la propiedad de los ángulos en-tre paralelas, identificamos los ángulos conjugados alrededor del vértice «B». Luego, sumando los ángulos alrededor de «B» se tiene:

x + y + z = 360º l.q.q.d

Ángulo Exterior (TAE)

«La medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes».

*) TAE: Teorema del ángulo exterior.

Trazamos CD BA

P y se define una partición del ángulo exte-rior «q».Aplicando la propiedad de ángulos entre paralelas, identificamos los ángulos alternos internos (a) y los ángulos conjugados (b). Luego, en «C» se verifica que:

a + b = q l.q.q.d

Triángulo Isósceles (TTI)

«En todo triángulo isósce-les se verifica que a lados congruentes se oponen ángulos congruentes».Si: AB @ AC

→ RABC @ RACB

Prolongamos AB y AC hasta «D» y «E» respectivamente de modo que BD = CE = b, luego por el postu-lado LAL: DDAC @ DEAB, donde: DC @ BE y RD @ RE.Análogamente DBDC @ DBEC

→ RDBC @ RECB\ b = a l.q.q.d

Observación.- Este último teorema es muy útil para el planteamiento de diversas aplicaciones geométricas. Es necesario reconocer que la última demostración se sustenta en la congruencia de triángulos que será ampliamente tratada en el capítulo 2.3.


2.1.7. Teoremas Auxiliares del Triángulo

TEOREMA DEMOSTRACIÓN

RelaciónLado - Ángulo en un Triángulo

«En todo triángulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa»

Si: a > b → a > b

Trazamos BN de modo que: RCNB @ RNBC, así el DNCB es isósceles. Se reconoce que:q = a + w → a < q

w + q = b → q < b \ a < bAdemás:

NC = BC y NC < AC

→ BC < AC

\ A menor ángulo se opone menor lado. l.q.q.d

Teorema de la Mínima Distancia

«El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpen-dicular trazado desde dicho punto hasta la recta»

Sea «A» un punto cualquiera de la recta L. Hacemos PH L ⊥

.

En el AHP, se verifica que: RA = a ∧ RH = 90º, tal que:

a < 90º

Luego los lados que se oponen respec-tivamente a estos ángulos verifican:

PH < AP l.q.q.d

Del Polígono No Convexo

«El ángulo externo del polígono no convexo viene dado por la suma de los ángulos inter-nos»

x = a + b + q

Prolongamos AP hasta «N», siendo N ∈ BC, y así se visualiza que:

En el DABN: y = a + b . . . (1)

En el DPNC: x = y + q . . . (2)

Sustituyendo (1) en (2):

x = a + b + q l.q.q.d

2.1.8. Teorema de la Existencia de un Triángulo

«En todo triángulo la longitud de cualquier lado es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su correspondiente diferencia»En el triángulo mostrado se verifica que: a – b < c < a + b a – c < b < a + c b – c < a < b + c

APÉNDICE 2

A. Ángulos interiores de un triángulo

El triángulo de vértices A, B y C, y lados AB, BC y AC, puede denotarse como: DABC, DBAC, DACB, etc. El orden de los vér-tices (A, B o C) no es importante, excepto cuando se hace la correspondencia en la congruencia de triángulos.

En el DABC de la Fig. 1 se reconocen sus ángulos internos o interiores: RCAB, RABC y RBCA, los cuales pueden denotarse abreviadamente como: RA, RB y RC.

En general, los ángulos de un triángulo son sus ángulos inte-riores.

B. Ángulos exteriores de un triángulo

Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con uno cualquiera de los ángulos interiores de un triángulo.

En la Fig. 2 se observa que:

αβγ

α β γ+ =+ =+ =

→

mmm

R

R

R

BACABCBCA

y son ángu180180180

ººº

, llos exteriores del ABC.∆

En la Fig. 3 también se verifica que: a’, b’ y g’ forman pares lineales con RBAC, RABC y RBCA, respectivamente. De esto deducimos que a’, b’ y g’, también, son ángulos exteriores del DABC.

Relacionando los ángulos exteriores de la Fig. 2 y la Fig. 3, podemos reconocer que, en aplica-ción de la definición de ángulos opuestos por el vértice, los ángulos a, b y g son congruentes con a’, b’ y g’, respectivamente, es decir: a = a’, b = b’ y g = g’.

Si bien estos pares de ángulos son congruentes no podemos decir que se trate de los mismos ángulos, pues están formados por rayos diferentes. De este raciocinio concluimos que en un triángulo se identifican tres ángulos interiores y seis ángulos exteriores.

C. Ángulos interiores remotos

Dado un ángulo exterior de un triángulo, los dos ángulos interiores que no forman un par lineal con él reciben el nombre de ángulos interiores remotos de ese ángulo exterior.

Ejemplo.- En la Fig. 2, los ángulos interiores remotos de «a» son: RB y RC.

Adaptado de: Geometría Plana, Dr. Michel Helfgott,Ed. Escuela Activa, 2001, Lima.


01.- En base al siguiente conjunto de puntos se pide completar la notación conjuntista de todos los triángulos que son posibles de construir con ellos.

a. DABC = AB ∪ BC ∪ AC

b. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____

c. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____

d. D_____ = _____ ∪ _____ ∪ _____

02.- Visualiza cada uno de los triángulos y com-pleta la tabla.

Vértices:

Lados:

Ángulos:

___________

___________

___________

Vértices:

Lados:

Ángulos:

___________

___________

___________

Vértices:

Lados:

Ángulos:

___________

___________

___________

03.- Escribe el nombre de la clase a que corres-ponde cada triángulo según las medidas de sus lados.

Triángulo ABC Triángulo EFG m(AB) = 9 m(EF) = 8 m(BC) = 5 m(FG) = 6 m(AC) = 7 m(EG) = 8

DABC: _______ DEFG: _______

Triángulo MNQ Triángulo PQR

m(MN) = 12 m(PQ) = 10

m(NQ) = 12 m(QR) = 12

m(MQ) = 12 m(PR) = 10

DMNQ: _______ DPQR: _______

04.- Identifica y justifica la existencia de los trián-gulos mostrados, aplicando la desigualdad trian-gular.

a. i. 7 – 6 < 4 < 7 + 6

ii. 7 - 4 < 6 < 7 + 4

iii. 6 - 4 < 7 < 6 + 4

\ El triángulo sí existe

b. _______________

_______________

_______________

_______________

c. _______________

_______________

_______________

_______________

05.- Utiliza regla, compás y transportador para construir cada uno de los siguientes triángulos:

a. Un triángulo equilátero de 8 cm de lado.

b. Un triángulo escaleno de 5 cm, 7 cm y 8 cm de lado.

c. Un triángulo isósceles cuyos ángulos con-gruentes miden 40º, y su lado desigual mide 9 cm.

d. Un triángulo rectángulo de 30º y 60º, y cuya hipotenusa mide 8 cm.

06.- Calcula el mayor valor entero de «x» en cada caso:

a. b.

x = _________ x = _________

c. d.

x = _________ x = _________

07.- Calcula el valor de «x» en cada caso:

a. b.

x = _________ x = _________

c. x = _____________

08.- Con la información dada en cada caso calcu-la la medida de todos los ángulos del DABC.

a. mRA – mRB = 10º y mRA – mRC = 20º

b. mRA + mRC = 70º y mRB – mRC = 80º

09.- En cada uno de los casos, determinar el valor de «x».

a. x = ___________

b. c.

x = _________ x = _________

10.- Calcular en cada triángulo, el ángulo exterior «a».

a.

a = ________

b.

a = ________

c.

a = ________

11.- En cada caso identifica y escribe el mayor lado.

a. ___________

b. ___________

c. ___________


Prob. 01En la figura, calcular «a».

En el gráfico aplicamos el TAE referido al RC del DCDE:

mRACD = a+a

mRACD = 2a

Anotamos el ángulo exterior (2a) del DCDE:

EnelDABC: 60º = 2a+a

60º = 3a \ a=20º

Prob. 02En la figura, si CD = 8 y mRACB = 65º, cal-cular AD.

En la figura nos piden: AD = xEnel DBC: mRD + 40º = 90º → mRD = 50ºPor dato: mRACD + 40º = 65º → mRACD = 25ºEn el DACD aplicamos el TTE referido al RADC:

50º = mRA + 25º → mRA = 25º

Siendo isósceles el DADC, proponemos:AD = DC \ x=8

Prob. 03Se tiene un DABC, tal que AC = BC y en AC se ubica un punto «D» de modo que AB = BD = DC. Calcular mRC.

Elaboramos el gráfico según los datos del problema:

En la figura nos piden: mRC = x

Como el DCBD es isósceles, se cumple que:

mRDBC = mRC = x

Aplicando el TAE referido al RD del DBDC, se tiene:

mRADB = x+x → mRADB = 2x

Como el DABD es isósceles, se cumple que:

mRA = mRADB = 2x

Según dato el DACB es isósceles, luego:

mRA = mRB = 2x

→ mRABD = x

En el DABD, aplicando el teorema de la suma de ángulos de un triángulo, se tiene:

2x + 2x+x = 180º

\ x=36º

Prob. 04

En la figura, calcular «x».

Apliquemos el TAE:

EnelDAPC: x = a+b . . . (1)

EnelDABC: 120º = 3a + 3b

→ 40º = a+b . . . (2)

De (1) y (2): x=40º

Prob. 05

Si BE es bisectriz del RABC y DE es bisectriz del RADC, calcular «x».

Completando ángulos, según condición del problema, aplicamos el TAE en el polígono no convexo ABCD:

2q = 60º + 2a + 20º → 2q – 2a = 80º

→ q–a = 40º . . . (1)

Aplicando el TAE:

EnelDAPB: b = 60º + a

EnelDDPE: b = x+q

Entonces: 60º + a = x+q

De donde: 60º – x = q–a . . . (2)

Reemplazando (1) en (2): 60º – x = 40º

\ x=20º

Prob. 06

En un triángulo ABC, mRA = 2mRC y AB = 4. Calcular el mínimo valor entero de BC.


Elaboramos un diagrama con los datos del problema:

Aplicando el teorema de la relación lado - ángulo se tiene:

mRA > mRC

→ x > 4 \ xmín=5

Prob. 07Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón «r». Si el perímetro del triángulo es 18, calcular el mayor valor entero que puede tomar «r».

Por condición del problema AB, BC y AC están en progresión aritmética de razón «r», entonces:

AB = a–r , BC = a y AC = a+r

Por dato el perímetro es: 2p = 18

AB BC AC 18

+ + =

→ (a–r)+a + (a+r) = 18

\ a=6

Luego, por el teorema de la existencia de un triángulo, se tiene:

(6 + r) – (6 – r) < 6 < (6 + r) + (6 – r)2r < 6 < 12

De aquí: 2r < 6 → r < 3\ rmáx=2

Prob. 08En la figura PQ P AC. Si AP + QC = 12, cal-cular PQ.

Como PQ P AC, identificamos los ángulos alternos internos, determinándose que:

mRPIA = mRPAI = a

mRQIC = mRQCI = b

Así resulta que el DAPI es isósceles: AP = PI

También el DIQC es isósceles: IQ = QC

Luego nos piden: PQ PI IQ= +

→ PQ = AP + QC

\ PQ=12

Prob. 09

En la figura BQ P AC, si BC – AB = 8, cal-cular PQ.

Siendo BQPAC, identificamos los ángulos alternos internos de medida 2a, reconocién-dose además que:

mRBAP = mRBPA = amRBCQ = mRBQC = q

Así el DABP es isósceles: AB = BP

También el DCBQ es isósceles: BC = BQ

Luego: PQ BQ BP= −

PQ = BC – AB \ PQ=8

Prob. 10En la figura: AB = BC y BQ = BP, calcular «x».

Anotando los datos, se tiene:

En el triángulo isósceles ABC, se tiene:

mRA = mRC = a

En el triángulo isósceles QBP, se tiene:

mRPQB = mRQPB = q

Aplicando el TAE en el DHQC: x = a+q

Además: xx

+ + =α θ

180º → 2x = 180º

\ x=90º

Prob. 11

Dados los segmentos consecutivos y con-gruentes AB, BC y CD, si mRCBD = 20º, y A, C y D son colineales, calcular la mRABC.

Elaboramos un gráfico según los datos del problema:

Siendo el DBCD isósceles, se tiene que:

mRCDB = 20º

Aplicando el TAE referido al vértice «C» del DBCD, tendremos:

mRACB = 40º → mRBAC = 40º

Luego: 40º + 40º + x = 180º

\ x=100º

Prob. 12

En el triángulo ABC: AM = MP; PN = NC. Calcular el valor de «x».


Anotando los datos, se tiene:

En la figura el DAMP es isósceles, luego:

mRA = mRAPM = a

También el DPNC es isósceles, luego:

mRC = mRNPC = b

Luego en el punto «P» se verifica que:

x+a+b = 180º . . . (1)

Según el teorema de la suma de ángulos en elDABC:

a+b + 80º = 180º

De donde: a+b = 100º . . . (2)

Reemplazando (2) en (1):

x + + =α β

180º

x + 100º = 180º

\ x=80º

Prob. 13En la figura el triángulo ABC es isósceles (AB = BC). Si mRACF = 30º, AC = CF y FM = MB, calcular «x».

En la figura el DACF es isósceles, luego:

mRA = mRAFC = 75º

EnelDABC isósceles: mRA = mRC = 75º

→ mRFCB = 45º

Aplicando ahora el TAE en el DFCB, referi-do al vértice «F», se tiene:

75º = 45º + mRB → mRB = 30º

Como el DFMB es isósceles, se cumple que:

mRF = mRB → mRF = 30º

En el vértice «F» se cumple que:

75º + x + 30º = 180º \ x=75º

Prob. 14En la figura AB = BD y mRDBC = 51º. Cal-cular «x».

Aplicando el TAE en el DCBD, referido al vértice «D», se tiene:

mRADB = 51º + qComo el DABD es isósceles, se cumple que:

mRA = mRADB = mRA = 51º + qLuego: mRBAE = 51º

Además, por el teorema de la suma de án-gulos en el DABD:

q + 51º + q + 51º + q = 180ºDe donde: 3q = 78º → q = 26º . . . (1)Aplicando el TAE en el DBAP, referido al vértice «P», se tiene:

x = 51º + q . . . (2)Reemplazando (1) en (2): x = 51º + 26º \ x=77º

Prob. 15En el gráfico AB = BE = AD. Calcular «x».

En la figura se traza BD, y luego de reco-nocer que el DBAD es isósceles, se obtiene que:

mRABD = mRADB = 60º

Así resulta que el DBAD es equilátero, luego:

AB = AD = BD

Entonces el DDBE es isósceles, por consi-guiente:

mRBDE = mRBED = a

Además: mRBDE = 60º – a

Y por el teorema de la suma de ángulos en elDDBE:

a+a+a – 60º = 180º

3a = 240º → a = 80º

En el vértice «D» se cumple que:

60º + a+x = 180º

Reemplazando: 60º + 80º + x = 180º

\ x=40º

Prob. 16Uno de los ángulos externos de un triángulo mide 70º y el producto de las medidas de los ángulos no adyacentes a él es 1200. Calcular la diferencia absoluta de las medidas de tales ángulos.


Sean a y q las medidas de los ángulos no ad-yacentes, luego por condición del problema:

a·q = 1200 . . . (1)

Además por el TTE en el DABC, referido al vértice «C», se tiene:

a+q = 70° . . . (2)

La expresión (1) por 4:

4a·q = 4800 . . . (3)

La expresión (2) la elevamos al cuadrado:

a2+q2 + 2aq = 4900 . . . (4)

(4) – (3): a2+q2 – 2aq = 100

→ (a–q)2 = 100

\ |a–q|=10º

Prob. 17En un DABC: mRA = 30º y mRB = 120º. En la prolongación de AB se ubica el punto «P» y en AC se ubica el punto «Q», tal que AB = BP = QC. Calcular mRPQC.

Graficando y ubicando los datos correspon-dientes, se tiene:

Observemos que: mRC = mRA = 30ºDe donde: AB = BCYa que mRPBC = 60º, el DPBC es equilátero.En consecuencia: PB = BC = PCAhora el DQCP resulta ser isósceles.

Luego: mRQPC = x

Desarrollando: 2x + 90º = 180º

\ x=45º

Prob. 18

Dado el triángulo PBR, se toman los puntos A, C y Q tales que A ∈ PB, C ∈ BR y Q ∈ AC. Si AB = BC, mRBPQ + mRPRT = 142º («T» en la prolongación de CR), calcular mRCQR si el triángulo PQR es equilátero.

Elaboramos un esquema y ubicamos los da-tos correspondientes.

Si: mRBPQ = a∧mRPRT = b

Por dato se tiene: a+b = 142º . . . (1)

Como el triángulo ABC es isósceles se de-duce que:

RPAQ @RQCR

Con lo cual resulta la siguiente igualdad:

a + 120º – x = x + 120º – b

→ x = +α β2

. . . (2)

De (1) en (2): x=71

Prob. 19En un triángulo ABC se traza BD (D ∈ AC), con la condición que:

m m mR R RDBC BAD ACB3 2 1

= = y CD = 12

Calcular el valor entero de AB.

Construimos el gráfico correspondiente y hacemos que: mRACB = q.

De modo que, según la condición del pro-blema se tiene que:

mRBAD = 2q y mRDBC = 3q

Así también: AB = x

Trazamos BE con la condición que:

mREBC = q

Resultando que: AB = BE = EC = x

Además tenemos: BD = DE = 12 – x

Por otro lado, en el triángulo isósceles BDE se cumple que: BE < BD + DE

→ x < 12 – x + 12 – x

→ 3x < 24

Y: x < 8 . . . (1)

EnelDABD se cumple que mRD = 4q, luego:

mRD > mRA → x > 12 – x

→ 2x > 12

De donde: 6 < x . . . (2)

de (1) y (2): 6 < x < 8

Y si x∈Z: x=7

Prob. 20

En un triángulo ABC: mRA = 2(mRC) = 2a. Sea «P» un punto exterior al triángulo y relati-vo a BC tal que AB = CP y mRBCP = 60º – a. Calcular la medida del ángulo PBC.

Construimos el diagrama correspondiente y ubicamos los datos mencionados.

EnelDABC, trazamos BD con la condición que:

mRDBC = a

Resultando que el DBDC es isósceles y:

mRADB = 2a

Luego el DABD es isósceles y se cumple que:

AB = BD = DC

Como mRDCP = 60º, concluimos que el DDCP es equilátero y en consecuencia:

PD = PC = DC y mRPDC = 60º

Con esto reconocemos que el DBDP es isós-celes, en donde:

mRBPD = x+a y mRBDP = 120º – 2a

Finalmente: x+a+x+a + 120º – 2a = 180º

→ 2x + 120º = 180º \ x=30º

Prob. 21

En un triángulo ABC se traza BD (D ∈ AC) tal que: mRDCB = 2(mRDBC) = 2a y mRBAD = 60º – 2a. Si AD = BC, calcular a.


Construimos un diagrama correspondiente y ubicamos en éste los datos del problema:

Prolongamos AB y trazamos PD tal que:mRBPD = 60º – 2a

De este modo el DAPD es isósceles, y apli-cando el TAE en el DABC, referido al vértice «B»:

mRCBP = (60º – 2a) + 2a = 60ºPor el teorema de la suma de ángulos en el DBPD:

mRD + (60º + a) + (60º – 2a) = 180º→ mRD = 60º + a

Luego el DBPD es isósceles, por lo cual con-cluimos que: AD = PD = BP. Esto permite asegurar que el DPBC es equilátero, por tal razón: BP = PC. A su vez, esto sugiere que elDDPC es isósceles, por lo que:

mRPDC = mRPCD = 60º + 2a

Finalmente, aplicando el TAE en el DAPD, referido al vértice «D», se tiene:

mRPDC = mRDAP + mRAPD → 60º + 2a = (60º – 2a) + (60º – 2a) \ a=10º

Prob. 22«P» es un punto interior a un DABC tal que: PB = AC, mRPAC = 2a, mRPCA = 90º – 3a y mRBPC = 150º – a. Calcular la mRPCB.

Elaboremos el gráfico correspondiente ubi-cando en este los datos del problema.

Prolongamos AP hasta «Q», tal que:mRAQC = 2a

Luego: mRQPC = mRQCP = 90º – a y AC = QC = PQEn el triángulo equilátero BPQ:

BQ = BP = PQ y mRBQP = 60ºEn el triángulo isósceles BQC:

mRQCB = 60º – a = mRQBCRespecto del RPCQ, se puede decir que:

x + 60º – a = 90º – a \ x=30º

Prob. 23En un triángulo rectángulo ABC recto en «B»,

se traza BD, tal que: m mR RDBC BAC3 2

= = α

y AB = BC + CD. Calcular «a».

Construimos un diagrama y ubicamos los datos correspondientes.

Hacemos que: CD = b, BC = a

→ AB = a+b

Luego trazamos BE tal que: mRAEB = 2a

Resultando que: AB = BE = DE = a+b

de donde: CE = a

En el triángulo isósceles BCE: mRCBE = 2a

De donde: 3a + 2a = 90º – a

→ 6a = 90º \ a=15º

Prob. 24En la figura se sabe que:

AB = BC y

mRABC = 240º – 4a,

calcular «x».

En el DABD trazamos el segmento BP de modo que: mRPBD = a.

Luego: AB = BP = PD y

mRABP = 180º – 4a

Como: mRABC = 240º – 4a (dato)

→ mRPBC = 60º

De donde el DPBC resulta ser equilátero:

→ mRBPC = mRBCP = 60º y BP = PC = BCPor ángulo exterior en el DPCD:

60º + 2a = a+x+a+x \ x=30º

Prob. 25Si se sabe que AP = PC, calcular «x».

ElDAPC es isósceles, entonces: mRPCA = 40ºLuego: mRQCA = 40º – 30º = 10ºPor TAE: mRBPC = 40º + 40º = 80ºElDPCB es isósceles, entonces: CP = CBElDQBC es isósceles, entonces: BQ = BC

En el vértice «P» se cumple que:mRRPC = 180º – (30º + 80º) = 70º

ElDPCR es isósceles, entonces: PC = RC, de donde el DBCR resultó ser equilátero en con-secuencia:BR = BC = RC y mRRBC = mRBRC = 60º

Finalmente en el DQBR isósceles:x + 10º = 80º \ x=70º


Prob. 26

En el exterior de un DABC y relativo a BC se ubica el punto «P», tal que: AB = BC = AP. Si mRABC = 36º y mRPAC = 12º, calcule la mRAPC.

A) 12º B) 18º C) 20º D) 22º E) 24º

Elaboramos el gráfico correspondiente se-gún condición del problema y ubicamos datos.

En el triángulo isósceles ABC:

mRBAC = mRBCA = 72º

→ mRBAP = 60º

El triángulo ABP resulta ser equilátero.

→ AB = BP = AP y mRBPA = 60º

En el triángulo isósceles CBP:

mRBCP = 60º + x

EnelDACP aplicamos el teorema relativo a la suma de las medidas de los ángulos inte-riores:

12º + 72º + 60º + x+x = 180º → 2x = 36º

\ x=18º

Prob. 27

Se tienen los triángulos ABC y AMN, donde M ∈ AC y B ∈ AN, además RMBC @ RNBC, RBMN @ RNMC. Si mRBAC = f. Determine la medida del ángulo que determinan las bi-sectrices exteriores de los ángulos N y C.

A) 90º + φ4

B) 135º − φ4

C) 125º − φ2

D) 90º + φ2

E) 135º + φ4

Elaboramos el gráfico correspondiente se-gún condición del problema y ubicamos datos.

En el cuadrilátero ANLC:

w+ε = f+x . . . (1)

EnelDABM: 2a + 2q = 180º + f

→ α θ φ+ = +902

º . . . (2)

EnelDANM: 2w+q = 180º + f . . . (3)

EnelDABC: 2ε+a = 180º + f . . . (4)

Sumando las expresiones (3) y (4):

2(w+ε)+q+a = 360º + 2f . . . (5)

Sustituyendo (1) y (2) en (5):

2 902

360 2( ) º ºφ φ φ+ + + = +x

2 2

2270 2φ φ φ+ + = +x º

Cancelando: 2 2702

x = −º φ

\ x == −−135 4º ff

Prob. 28

En un triángulo ABC cuyo lado menor es AC; AB = 18, BC = 23 se ubica un punto interior «P», tal que PA + PB + PC es representado por un numeral entero y el mayor posible. Calcule PA + PB + PC.

A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 58

Elaboramos el gráfico correspondiente y ubicamos datos.

Puesto que AC es el lado menor tenemos que:

b<q<a

Trazamos, por el punto «P», la paralela TQa AC resultando que:

mRBTQ = mRA = a

mRBQT = mRC = q

Aplicando el teorema de la envolvente y en-vuelta:

PA + PC < AT + TQ + QC . . . (1)

Empleando el teorema de correspondencia enelDTBQ:

b<q

→ TQ < TB . . . (2)

Como: mRBPQ > a∧a > q

→ q < mRBPQ

De donde: PB < BQ . . . (3)

Sumando las expresiones (1), (2) y (3):

PA+PC+PB+TQ<(AT+TB)+(BQ+QC)+TQ

Ya que:

AT + TB = AB = 18 y BQ + QC = BC = 23

Luego: PA + PB + PC < 41

(Teorema de Visschers)

El máximo valor entero es:

PA+PB+PC=40

Prob. 29

En un triángulo ABC se trazan las cevianas AP y CQ concurrentes en el punto «E» y la altura BH que intercepta a CE en el punto «F» tal que AE = EF. Si los ángulos ABH y ECH miden 69º y 19º respectivamente. Calcule la medida del ángulo CAE sabiendo que es un número entero.

A) 16º B) 21º C) 14º D) 20º E) 17º


01.- Los ángulos del triángulo ABC miden A = 60º y B = 100º. Prolongando AB una lon-gitud BD = BC, se pide calcular la mRACD.

A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º

02.- En el DABC, mRA = 30º y la medidas de los otros dos están en la relación de 3 a 7. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

A) 105º B) 110º C) 102º

D) 115º E) 120º

03.- En un triángulo ABC se toma en AC un punto «D» y se une con «B» de tal modo que BD = DC = AB, si mRC = 40º; calcular la mRABD.

A) 15º B) 18º C) 20º D) 24º E) 25º

04.- Si mRBAC – mRBCA = 16º, calcular «x».

A) 12º B) 14º C) 16º D) 8º E) 20º

05.- Si AB = BC = AD, calcular «x».

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º

E) 70º

06.- Si EB = BC = CD, calcular «x».A) 40ºB) 50ºC) 60º D) 70ºE) 80º

07.- Si los ángulos «A» y «C» de un triángulo ABC miden 40º y 30º respectivamente, ¿cuál de sus tres lados es el mayor?A) BC B) AB C) AC D) F.D E) N.A

08.- Los lados de un triángulo isósceles mi-den 5 y 11. Evaluar el perímetro de dicho triángulo.A) 21 B) 24 C) 25 D) 27 E) 30

09.- En la figura AB = 6 y BC = 4. Calcular el valor entero de BD.A) 3B) 4C) 5 D) 6E) 8

10.- Dado triángulo rectángulo cuyo períme-tro es 33, calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

11.- En el triángulo ABC, se traza una paralela a AC, cortando a AB, a la bisectriz interior de «A», al lado BC y a la bisectriz exterior de «C» en los puntos P, Q, R y S respectivamen-te. Evaluar QR, si AP = 3, RC = 4 y PS = 9.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2.1. El TriánguloElaboramos el gráfico correspondiente y ubicamos datos.

Sean: AE = EF = a y FC = b

Enel AHB: mRBAH = 90º – 69º = 21º

En el vértice «A»: x < 21º . . . (1)

EnelDAEC, reconocemos que:

AE = a∧ EC = a+b → AE < EC

Luego, aplicando el teorema de correspon-dencia se tiene:

19º < x . . . (2)

De (1) y (2): 19º < x < 21º

Y ya que x∈Z+: x=20º

Prob. 30

En un triángulo ABC, las bisectrices interior del ángulo «A» y exterior del ángulo «C» se interceptan en el punto «E». Por el punto «E» se traza una recta paralela al lado AC que in-tercepta a los lados BC y BA en los puntos «P» y «Q». Si AQ – CP = l, entonces la lon-gitud de PQ es:

A) l B) l2

C) 23l D) l

3 E) 3

4l

Construimos el gráfico correspondiente según condición del problema y ubicamos datos.

Sea: AQ = a∧CP = b

→ a–b = l

El punto «E» se conoce como excentro en donde concurren AE y CE que son las bi-sectrices de los ángulos BAC y BCT respec-tivamente.

Aplicando la propiedad de los ángulos al-ternos internos tenemos:

mRQEA = a∧RPEC = q

Los triángulos AQE y CPE son triángulos isósceles, entonces:

AQ = QE = a y CP = PE = b

Finalmente, como: PQ = QE – PE

Reemplazando: x = a–b

\ x=l


12.- Si AB = AC = AD, determinar «x».

A) 30º

B) 40º

C) 45º

D) 50º

E) 60º

13.- Calcular «q».

A) 40º B) 45º C) 50º D) 55º E) 60º

14.- Según el gráfico, calcular «x».

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 80º

E) 90º

15.- En el gráfico: AB = BP; PQ = QC. Calcu-lar la mRBPQ.

A ) 72º B ) 45º C) 36º D) 90º E) 120º

16.- En un triángulo ABC (obtuso en «B»), se tiene que BC = 2 y AC = 10. Determinar el tercer lado.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

17.- Del gráfico, calcular «x».

A) 22º

B) 18º

C) 24º

D) 20º

E) 28º

18.- Dos lados de un triángulo escaleno miden 4 y 6, calcular la suma de valores enteros pa-res que puede tomar el tercer lado.

A) 8 B) 10 C) 14 D) 16 E) 18

19.- De la figura, calcular «x».A) 50ºB) 72ºC) 60º D) 36ºE) 45º

20.- En la región exterior de un triángulo ABC, relativo a la hipotenusa AC, se ubica el punto «P», luego se ubica en BC el punto «Q», tal que AP = PQ = PC y mRBAC = 4mRAPQ. Calcular la mRAPQ.

A) 18º B) 24º C) 28º D) 30º E) 20º

21.- En un triángulo ACD, se ubica el punto «B» exterior a dicho triángulo y relativo a AC, tal que la mRBAD = 100º, mRADC = 60º, BC = CD y AD = AB + BC. Determinar la mRBCD.

A) 50º B) 60º C) 70º D) 80º E) 90º

22.- Del gráfico: AB = DE = FE. Calcular «x», si es un valor entero.A) 84ºB) 85ºC) 83º D) 82ºE) 86º

23.- El triángulo ABC es acutángulo; AD = DC, DB = BC. Calcular el mínimo valor entero que toma «q».

A) 23º B) 31º C) 46º D) 30º E) 29º

24.- Si AB = 6 y BD = 4, calcular CD.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

25.- En la figura, si: AB = AD = CD, calcular «x».

A) 30º B) 15º C) 45º D) 20º E) 10º

26.- En la figura: EB = BC; AB = BF. Calcular «x».

A) 18º B) 24º C) 21º D) 27º E) 28º

27.- BQ = BC = AC. Calcular «x».

A) 15º

B) 20º

C) 18º

D) 30º

E) 22,5º

28.- Si AB = BD; DBC es un triángulo equilá-tero, calcular «x».

A) 30º

B) 36º

C) 48º

D) 54º

E) 60º

29.- En la figura, si: AC = CD = DE, calcular «x».

A) 10º

B) 12º

C) 15º

D) 18º

E) 20º

01 02 03 04 05 06 07 08D A C D E D C D

09 10 11 12 13 14 15 16C D B C C C D C

17 18 19 20 21 22 23 24D A C E D B A C

25 26 27 28 29A B D D E

CLAVES

2.1.3. Elementos del Triángulo CAP. 2.1 El...

Documents

Transcript of 2.1.3. Elementos del Triángulo CAP. 2.1 El...