3

2.2. Trabajo con variables

Las variables adoptan múltiples significados, según la situación en que se usan; de este modo se les puede asignar un valor fijo cuando hallamos el valor numérico de un término, pueden ser incógnitas o parámetros en una ecuación, pueden recorrer todos los elementos del dominio de definición de una función, pueden servir para generalizar una regla o para representar de forma genérica una situación, entre otras posibilidades de empleo. Pueden ser variables para números, figuras geométricas o funciones, entre otros objetos y relaciones matemáticas.

Aplicar las operaciones fundamentales con variables a la representación de situaciones propias de la actividad práctica y a la interpretación de información dada de manera simbólica es propio de la actividad matemática. Esto es lo que usualmente denominamos traducción del lenguaje común al matemático y viceversa, lo que es imprescindible para la matematización de situaciones de la realidad o de las distintas ciencias.

Ejemplo 1

Traduce del lenguaje común al algebraico:

a) La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360o.

b) El quíntuplo de la suma de dos números es igual a las dos terceras partes de su producto.

c) El área de un trapecio es igual, al producto de la semisuma de las longitudes de sus bases por la longitud de la altura.

d) La producción de una empresa ha aumentado en un 5%.

e) El promedio de edad de 146 personas, vinculadas a las acciones del 26 de julio en 1953, era de 26 años.

f) La cantidad de calor que se desprende en un conductor al paso de la corriente eléctrica es proporcional a la intensidad de la corriente al cuadrado, a la resistencia y al intervalo de tiempo durante el cual circula la corriente.

Resolución:

Para poder realizar la traducción del lenguaje común al algebraico es necesario introducir o declarar variables.

a) Sean , , y las amplitudes en grados sexagesimales de los ángulos

interiores de un cuadrilátero. Entonces podemos expresar + + + = 360o.

b) Luego, si denotamos por las variables m y n a dos números diferentes y entendemos que el quíntuplo significa 5 veces el número, su traducción

matemática es: n.m3

2)nm(5

c) Sea: A: área del trapecio

4

B: base mayor; b: base menor

h: altura del trapecio

Entonces: A = hbB

2

d)) Sea x la producción de la empresa, entonces la expresión será:

x +0,05x =1,05x.

e) Sea xn (n = 1, 2, 3, .., 145, 146) la edad de cada persona que participó en la acción, entonces:

146

14621 x...xx = 26

f) Sea:

Q. cantidad de calor

I: la intensidad de la corriente

R la resistencia de un conductor y

T el tiempo durante el cual circula la corriente

Entonces:

RtIQ2 ♦

En la práctica también resulta necesario realizar el proceso inverso cuando se quieren interpretar expresiones escritas en el lenguaje simbólico de la matemática, por ejemplo, cuando al analizar la fórmula P = I. U, donde P denota la potencia eléctrica, I la intensidad de la corriente y U, la tensión, interpretamos que la potencia es directamente proporcional a la intensidad de la corriente y la tensión.

Adición y sustracción de polinomios

Todo número, variable, o combinación de ellos mediante el producto, cociente y potencia se llama monomio. Todos los monomios son términos. Son monomios:

0,5; b

a; b2; – 2xy2; xy; no son monomios 7x 14;5x – 3; a + b+c..

En un monomio se le llama grado de la variable al exponente de esta, por lo que el grado de cada monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponente entero no negativo) es la suma de los grados (exponentes) de las variables que contenga. Luego 0,5 es de grado 0 y –2xy2 es de grado 3.

Se llama polinomio a la suma algebraica de monomios donde aparezcan los números y las variables relacionadas mediante la potencia y el producto. Son

5

polinomios: 4x2 – 5; 4 t2 – 5 t + 1; x7yx9xy2x2

3 322 . No son polinomios

xy

5 ;

m

m 2. Observa que hay polinomios en una y en varias variables.

Los polinomios se pueden denotar como P (x), A(x, y), por ejemplo.

Las variables expresan en ocasiones valores de un dominio numérico, en ese caso pueden ser sustituidas por estos valores. Cuando las variables de un término se sustituyen por valores, entonces se puede calcular el valor numérico del término.

Ejemplo 2

Halle el valor numérico de cada uno de los términos siguientes, para los valores de las variables que se indican:

a) b

a

2; para a = 16,8; b = 4

b) b

a2; para a = 4; b = 0

Resolución:

a) Al sustituir los valores dados se obtiene 1,28

8,16

42

8,16

b) Al sustituir los valores dados se obtiene 0

42 , la operación no es posible

realizarla ya que la división por cero no está definida. En este caso se dice que

el valor b = 0 indefine al término y no existe valor numérico de b

a2.♦

Las expresiones algebraicas, no son más que combinaciones de variables, números, signos y símbolos de operaciones que deben colocarse en un orden determinado para que su significado sea comprensible.

Un aspecto muy importante en el trabajo con variables es la utilización de los signos de agrupación en las expresiones algebraicas. Un ejemplo que se puede plantear es la expresión que permite determinar el perímetro de un rectángulo:

A = 2 ( a + b ), dado que no es lo mismo 2a +2b que 2a + b.

Resulta ventajoso escribir las expresiones algebraicas de la forma más breve posible, para lo cual resulta útil la reducción de términos semejantes. Debes recordar que dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Para reducir términos semejantes se halla la suma algebraica de sus coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Pon ejemplos de términos semejantes:________________

6

Con estos términos se pueden realizar las mismas operaciones que con los números reales.

Adicionar polinomios es formar un nuevo polinomio, cuyos términos resulten de adicionar todos los términos de los polinomios dados, tras reducir los términos semejantes si los hubiera. Para sustraer dos polinomios se deben adicionar el polinomio minuendo y el opuesto del polinomio sustraendo.

Ejemplo 3

Reduce la siguiente expresión y calcula su valor numérico para a = 10 y b = 3

1 :

1,5a – [(6,7a – 3,4b) – (8,1 – 4,3 b)]

Resolución:

Con este fin se hace necesaria la eliminación de los paréntesis. Debemos tener en cuenta qué signos preceden cada signo de agrupación; si el signo que aparece es negativo esto indica el opuesto de la expresión; de esta forma obtenemos:

1,5a – [(6,7a – 3,4b) – (8,1 – 4,3 b)] =1,5a – [6,7a – 3,4 b – 8,1 + 4,3 b]

= 1,5a – [6,7a + 0,9 b – 8,1]

= 1,5a –6,7a–0,9b+8,1

= –5,2a –0,9b+8,1

–5,2(10)–0,9

3

1+8,1 = –52+0,3+8,1= –43,6♦

Ejemplo 4

Introduce dentro de paréntesis los siguientes monomios:

2a + 3b – 5a2 – 14ac + 6ab – 34d

Debemos considerar si vamos a utilizar un signo más o un signo menos antes del paréntesis, por lo que de acuerdo al enunciado del ejercicio, es posible agrupar los monomios de varias formas; mostraremos algunas de ellas:

2a + 3b – 5a2 – 14ac + 6ab – 34d = (2a + 3 b) – (5a + 14ac – 6ab + 34d)

2a + 3b – 5a2 – 14ac + 6ab – 34d = 2 a – (-3b + 5a2 + 14ac) + (6ab – 34d)

2a + 3b – 5a2 – 14ac + 6ab – 34d = (2a + 3b -5a2) + (-14ac + 6ab – 34d).

¿Son estas las únicas formas en que se pueden agrupar los monomios dados?_____________________________________________________ ♦

En este caso lo más conveniente sería agrupar en un paréntesis todos los monomios que están precedidos por un mismo signo: 2a + 3b+ 6ab – (14ac +34d).

Regla práctica para eliminar paréntesis.

7

1. Todo paréntesis precedido por el signo “+” puede eliminarse dejando los términos del polinomio incluidos en él con sus propios signos.

2. Todo paréntesis precedido por el signo “” puede eliminarse cambiando el signo a los términos del polinomio incluidos en él.

Regla práctica para introducir paréntesis:

1. Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “+”, los términos que se incluyen en él conservan sus propios signos.

2. Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “”, se les cambia el signo a los términos que se incluyen en él.

Ejemplo 5

Calcule A(x) – B(x) si A(x) = 5x2 – 3x – 4; B(x) = 2x3 + 2x2 – 3x

Resolución:

Una vía es hallar primeramente el opuesto de B(x), que no es más que cambiarle el signo a todos sus términos:

−B(x) = – 2x3 – 2x2 + 3x

y después se suman A(x) y – B(x)

A(x) + ( B(x)) = 5x2 – 3x – 4 – 2x3 – 2x2 + 3x

= – 2x3 + 5x2 – 2x2 – 3x + 3x – 4 = – 2x3 + 3x2 – 4♦

Ejemplo 6

Halla el polinomio P(y) que debe sumarse a – 3y + 1 - y2 para obtener 5 – 8y

Resolución:

¿Qué operación nos permite hallar al polinomio P(y)?:

P(y) + (–3y + 1 – y2 ) = 5 – 8y,

basados en la operación inversa de la adición, tendremos que

P(y) = (5 – 8y) –(–3y + 1 – y2) = 5 – 8y + 3y – 1 + y2 = y2– 5y +4♦

Por regla general la respuesta se da ordenada, de forma descendente según el grado de la variable.

Además de las operaciones de suma y resta, es posible multiplicar y dividir polinomios. Recordemos cómo se realiza la multiplicación a través de los siguientes ejemplos:

Multiplicación y división de polinomios

Para multiplicar dos monomios se multiplican sus coeficientes y la parte literal de ambos. Efectuar el producto de un monomio por un polinomio consiste en multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio. En este caso

8

se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. La multiplicación de dos polinomios consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, aplicando también la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Por ejemplo:

a) 2 3 2 5 31 12a b. a b a b

4 2 b) 23xy 1,5x 0,2 4,5x y 0,6xy

Ejemplo 7

Selecciona la respuesta correcta:

a) Al efectuar la multiplicación de ( x -15 ) ( x + 4 ) se obtiene:

___ x2 +19x + 60

___ x2 +19x – 60

___ x2 -11x – 60

b) El producto de ( x -2 ) ( x2- 2x +3) es:

____x3-4x2 +7x -6

___ x3-4x2 +7x +6

___ x3+ 4x2 +7x -6

c) El resultado de calcular ( xn + 5 ) ( xn – 24) es:

___ xn – 19x n – 120

___ x2n – 19x n – 120

___ x2n – 19x n + 120

d) Al multiplicar (3x3 +xy) (y– 2xy4) se obtiene:

____3x3y– 6x4y4+ xy2 ּ – 2x2y5

____3x3y– 6x3y4+ xy ּ – 2xy4

______3x3y– 6x4y4+ xy2 ּ – 2x2y5

Resolución:

Para realizar las multiplicaciones, es necesario aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y reducir términos semejantes, si existen.

a) ( x -15 ) ( x + 4 )= x. x + 4x-15x–15.4 = x2 +4x -15x -60= x2 -11x -60, luego la respuesta correcta es la tercera.

b) ( x -2 ) ( x2- 2x +3) la respuesta correcta es la tercera porque

( x -2 ) ( x2- 2x +3)= x.x2- 2x.x+3x-2.x2+2.2x- 2.3 = x3-4x2 +7x -6

c) El resultado de multiplicar ( xn + 5 ) ( xn – 24) es x2n – 19x n – 120 porque al aplicar las propiedades de la potencia xn . xn = xn+n = x 2n

d) La respuesta correcta es la primera♦

9

Productos notables

Frecuentemente se presentan productos que cumplen ciertas reglas, por lo que resulta útil memorizarlos y así no tener que efectuar las multiplicaciones. A estos productos se les suele llamar productos notables.

Por otra parte, para resolver ecuaciones es recomendable transformar las sumas algebraicas en productos donde los factores sean irreducibles, es decir, donde las expresiones estén factorizadas completamente.

(a + b) (a – b) = a2 – b2 Diferencia de cuadrados

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Trinomio cuadrado perfecto

Teorema de Vieta: Las raíces de un polinomio de la forma x2+px+q cumplen la propiedad de que a · b = q y −(a + b) = p. En símbolos:

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b)x + ab.

(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd.

Formula con tus palabras las reglas para los productos notables que se derivan de las identidades algebraicas anteriores.

Además, efectúa los siguientes productos:

(a+b)3=_______________

(a–b)3=_______________

(a +b+c)2=_____________

Enuncia con tus palabras las reglas que se infieren de los resultados obtenidos.

Ejemplo 8

Expresa como sumas los siguientes productos:

a) (2m+0,8)2

b) (3a+ 2 )(3a– 2 )

c) (t2+5)(t2 –4)

d) (5p–2)3

Resolución:

a) (2m+0,8)2= 4m2+3,2 m + 0,64

b) (3a+ 2 )(3a– 2 )=9a2–2

c) (t2+5)(t2 –4)=t4 + t2 –20

d) (5p–2)3= 125p3 –150p2+60p–8

Ejemplo 9

En las siguientes expresiones algebraicas halla la expresión correspondiente al polinomio A si:

10

a) 5a·A(a) = 15a4 - 20a3 -2a2 – 20 a b) (x + 4)A(x) = 3x2 + 2x – 8

Resolución:

a) Primero se dividen ambos miembros por 5a, (a≠0). Debemos aplicar la propiedad distributiva de la división con respecto a la adición de la siguiente forma:

A(a) = a

a

a

a

a

a

a

a

a

aaaa

5

20

5

2

5

20

5

15

5

2022015 234234

= 3a3 – 4a2 - 5

2a – 4

b)¿Es posible proceder de la misma forma en el inciso b?¿ Cuál es la diferencia?

A (x)= (3x2 + 2x – 8):(x + 4)

¿Cómo realizar la división?

Aunque se trata de una división de polinomios, puedes realizar la misma aplicando la galera como se procede con los números reales, pero para comenzar a dividir debes observar si los polinomios del dividendo y del divisor están ordenados y si el grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor.

Procedimiento

3x2 + 2x – 8 l x + 4

-3x2 -12x 3x -10

- 10x -8

10x+40

32

Si llamamos P(x) al dividendo Q(x) al cociente y R al resto, observa que el grado del resto es menor que el del divisor, En este caso el grado del resto es 0 y el del divisor es 1. La división anterior se puede representar como:

P(x) = (x – a) Q(x) + R

Al comprobar se obtiene:

3x2 + 2x – 8 =( x + 4)( 3x – 10 ) + 32

= 3x2 -10x + 12x – 40 + 32

= 3x2 + 2x – 8

Luego, la división está correcta ♦

Ejemplo 10

Divide a3 –2a 2 – 5 por a –3

¿Qué diferencia se observa con relación al anterior? Falta la variable elevada a grado 1, entonces ¿cómo debes proceder?

11

Comprobación

a3 –2a 2 –5 la - 3_____ ( a2 +a + 3 )(a–3)+4=a3 + a2 + 3a -3a 2 – 3 a –9+ 4 a2 +a + 3

–a3 + 3a 2 = a3 – 2a 2 –5♦

a 2 – 5

–a2+3a

3 a–5

–3a+ 9

4

Ejemplo 11

¿Para qué valores reales de k se obtiene resto 7 al dividir x2 -3x + 2k por x + 2?

x2 –3x + 2k l x + 2

- x2 -2x x– 5

-5x + 2k

5x + 10

10 + 2k entonces 10 + 2k = 7

2k = –3

k = –2

3 ♦

12

En general

Cuando dividimos un polinomio P(x) de grado n por un binomio de la forma (x–a), se cumple que:

P(x) = ( x–a ) Q(x) +R ,

donde:

Q(x): es un polinomio de grado menor en una unidad que P(x) y

R es un polinomio de grado cero, es decir, un número entero.

Si R es el resto de la división de un polinomio P (x) por x –a , entonces P (a) = R. (Teorema del resto)

Un polinomio P(x) es divisible por un binomio de la forma (x–a) si y sólo si el resto de la división es cero, entonces P (x) puede ser expresado de la forma:

P(x) = ( x– a ) . Q (x)

Si dado un polinomio P(x) se cumple P(a)=0 para un cierto valor real a, entonces a es una raíz del polinomio y este es divisible por (x–a).

La división de un polinomio por un binomio (x–a) se puede realizar de forma más abreviada. Para analizarla utilicemos la división del ejemplo 9b).

(3x2 + 2x – 8) : (x + 4)

3 2 – 8 Coeficientes del dividendo

–4 –12 40

3 –10 32

¿Qué representan el 3, el -10 y el 32? El 3 y el -10 son los coeficientes del cociente (que es de un grado menor en una unidad al grado del dividendo) y el 32 es el resto de la división, es decir:

Q (x) = 3x -10 y R = 32♦

Observa que se coloca el valor de a , en este caso –4, en un esquema como el ilustrado, se colocan los coeficientes del dividendo en orden descendente atendiendo al grado de la variable, se baja el primer coeficiente y se multiplica a por ese coeficiente, el resultado se coloca debajo del siguiente coeficiente y se suma algebraicamente. Se repite el procedimiento con el resultado obtenido y así de manera sucesiva.

13

El resultado obtenido en el último paso son los coeficientes del cociente de la división (de un grado menor que el del dividendo) y el resto de la división.

El algoritmo empleado, donde se trabaja con los coeficientes del dividendo ordenados en potencias descendentes y el valor de “a” en el divisor de (x –a), se le llama división sintética o regla de Ruffini.

Descomposición factorial

Con el propósito de resolver ecuaciones resulta muy útil descomponer en factores, o sea, transformar sumas en productos, lo cual podrás apreciar en el próximo epígrafe.

Ejemplo 12

Factoriza:

a) 5x2 – 20x

b) 16x2 – 25y4

c) (a + 2b)2 – 1

d) x4 – 5x2 – 50

e) a6 + 4a3b4 + 4b8

f) 3x2 – 5x –2

g) (4x2)2 – 8(4x2) - 105

Resolución:

a) 5x2 – 20x = 5x(x - 4)

b) 16x2 – 25y4 = (4x – 5y2)(4x + 5y2)

c) (a + 2b)2 – 1 = (a + 2b +1)(a + 2b – 1)

d) x4 – 5x2 – 50 = (x2 – 10)(x2 + 5)

e) a6 + 4a3b4 + 4b8 = (a3 + 2b4)2

f) 3x2 – 5x –2 = (3x+1)(x–2)

g) (4x2)2 – 8(4x2) - 105

Haciendo (4x2) = a obtenemos a2 – 8a – 105 = (a - 15)(a + 7)

Luego (4x2)2 – 8(4x2) - 105 =(4x2 – 15)(4x2 + 7)

Observa que este inciso también se puede hacer utilizando el producto notable para mx2+ px + q (m≠0).♦

Ejemplo 13 Transforma las siguientes sumas algebraicas para que contengan un trinomio cuadrado perfecto: a) x2–6x

4

b) a2+3a c) y2 + z2

d) p2+4

1

e) q4+81 f) x2+2x+5

Resolución: En a) y b) debemos hallar primero el complemento cuadrático, dividiendo por 2 el coeficiente del término lineal, éste se eleva al cuadrado y se adiciona y sustrae para no alterar lo que está en el miembro izquierdo: x2–6x = (x2–6x+9)–9

b) a2+3a=

4

9a3a

2–

4

9

En c), d) y e) para obtener un trinomio cuadrado perfecto debemos hallar las raíces de los dos términos cuadráticos para después multiplicarlas por 2 y adicionar y sustraer el nuevo término hallado a los efectos de no alterar el miembro izquierdo: c) y2 + z2 = (y2 + 2yz + z2) – 2yz

d) p2+4

1= p

4

1pp

2

e) q4+81= 224q1881q18q

En f) se ha descompuesto el término independiente en dos sumandos, de forma tal de poder obtener el completamiento cuadrático. f) x2+2x+5= (x2+2x+1)–1+5=(x2+2x+1)+4♦ Suma y diferencia de cubos Al efectuar (a–b)(a2 +ab+b2) se verifica que

a3–b3= (a–b)(a2 +ab+b2).

De igual manera se comprueba que:

(a+b)(a2 –ab+b2)= a3+b3

Ejemplo 14 Transforma en producto:

a) z3+27

b) 125u3–1

c) a4 – 8a

Resolución:

a) z3+27= (z+3)(z2–3z+9)

b) 125u3–1= (5u –1)(25u2+5u+1)

4

c) a4 – 8ª = a(a3 – 8) = a(a – 2)(a2 + 2a + 4) ♦

Descomposición en factores por agrupamiento de términos

Ejemplo 15

a) ax–3x+2ay–6y

b) a2(a – 1) – 9(a – 1)

c) 4xy3–12xyz–y2+3z

Resolución:

a) Esta expresión contiene factor común x en los dos primeros sumandos y factor común 2y en los dos segundos. Agrupemos estos sumandos en paréntesis precedidos del signo más:

ax–3x+2ay–6y = (ax–3x)+ (2ay–6y)

=x(a–3)+2y(a–3) extrayendo los factores x y 2y

=(a–3)(x+2y) extrayendo factor común (a–3)

b) En este caso observa que se puede extraer como factor común (a – 1):

a2(a – 1) – 9(a – 1) = (a – 1)(a2- 9)

Como uno de los factores es una diferencia de cuadrados, resulta:

= (a – 1)(a – 3)(a + 3)

c) De forma análoga al inciso a) se observa que se puede extraer factor común en los dos primeros términos y por ende se obtiene:

4xy3–12xyz–y2+3z = 4xy (y2–3z)– y2+3z

Haciendo un cambio de signo en los dos últimos términos resulta:

4xy (y2–3z)– (y2–3z) extrayendo factor común (y2–3z):

= (y2–3z)( 4xy–1) ♦

Ejemplo 16

Descomponer en factores

a) a6 + 2a3b3 + b6

b) x2 + 2x + 1 – y2

c) x6(a – 2) – a + 2

Resolución:

a) a6 + 2a3b3 + b6 = (a3 + b3)2 = [(a + b(a2 – ab + b2)]2

b)x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2 = (x + 1 + y)(x + 1 – y)

d) x6(a – 2) – a + 2 = x6(a – 2) – (a – 2)

5

= (a – 2)(x6 – 1)

= (a – 2)(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)

= (a – 2)(x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1) ♦

Fundamenta cada uno de los pasos efectuados en la resolución del ejemplo anterior.

Regla de Ruffini

Para determinar si un polinomio en una variable es divisible por un binomio de la forma x – a, basta dividir; si el resto es cero, entonces es divisible, en caso contrario no lo es.

Un método para descomponer en factores es efectuar la división del polinomio por binomios de la forma x – a, sabiendo de antemano que a es una raíz del polinomio. Usualmente se utiliza para efectuar la división un algoritmo más simple que es la regla de Rufini, la cual se ilustra a continuación.

Ejemplo 17

Descompón en factores el polinomio x3 –x2 – 10x – 8

Resolución:

Los divisores del término independiente son:

Divisores de 8: 1: 2: 4: 8

Se trabaja sólo con los coeficientes que se colocan ordenadamente (en forma descendente) Si falta algún término se coloca un cero.

Se coloca a en un esquema como el que se ilustra

1 -1 - 10 -8

1 1 0 -10

1 0 - 10 - 18

Como el resto es – 18 ≠0, se continúa probando con los posibles divisores, hasta encontrar si existe, el divisor, en este caso pudimos haber tomado a = –1 y a = 2 o a = 4 . Para este último valor resulta

1 - 1 - 10 - 8

4 4 12 8

1 3 2 0

Luego x3 –x2 – 10x – 8 = ( x – 4) (x2 + 3x + 2) + 0

Cuando el resto es cero se ha obtenido una descomposición en factores del polinomio, es decir, x3 –x2 – 10x – 8 = ( x – 4) (x2 + 3x + 2)

6

Para completar la descomposición del polinomio hay que descomponer el trinomio x2 + 3x + 2, por lo que, x3 –x2 – 10x – 8 = ( x – 4) (x2 + 3x + 2)

= ( x – 4) (x + 1)(x +2) ♦

Observación:

Si el coeficiente del término de mayor grado es 1, a debe ser un divisor del término independiente. En el ejemplo los posibles divisores serían: 1, 2, 4, 8 .

Este método es aplicable para el caso de polinomios con coeficientes racionales, en que las raíces son también racionales. Cuando ninguna de las raíces es entera, entonces si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de 1, a debe ser divisor del término independiente o un número racional cuyo numerador sea divisor del término independiente y su denominador, divisor del coeficiente del término de mayor grado.

En el polinomio 12x3–52x2+64x–15 todas las raíces son fraccionarias. Se descompone como : (2x–5) (3x–1)(2x–3), luego observa que las raíces son

2

5x1 ;

3

1x2 y

2

3x3 . Nota que todos los numeradores son divisores de –15

y todos los denominadores divisores de 12.

Ejemplo 18 Sea P (x) un polinomio de cuarto grado. Determina este polinomio, sabiendo que P(1)=P(2)=P(-1)=P(3)=0. Resolución: El hecho que se cumpla P(1)=P(2)=P(-1)=P(3)=0 implica que x1=1, x2=2, x3=–1 y x4=3 son raíces del polinomio P (x) de cuarto grado. Luego P(x) se puede escribir como: P (x) = (x–1)Q1(x) = (x–1)(x–2)Q2(x)= (x–1)(x–2)(x+1) Q3(x)= (x–1)(x–2)(x+1)(x–3) , siendo: Q1(x) un polinomio de grado menor en una unidad que P (x) (Q1(x)es de grado 3), Q2(x) un polinomio de grado menor en una unidad que Q1(x) (Q2(x)es de grado 2), Q3(x)= x–3. ♦

Ejemplo 19

Si el residuo de dividir el polinomio P(x)=ax5+bx3+cx–8 entre (x+3) es 6, determina entonces el residuo de dividir P(x) entre (x-3). Resolución: Escribamos todas las relaciones que se infieren del enunciado: P(x) = (x+3) Q(x) +6, luego P(–3) =6 a(–3)5+b(–3)3+c(–3)– 8 = 6 35 a + 33 b + 3 c = – 14

7

R= P (3)= (35 a + 33 b + 3 c) – 8= –14–8=–22 Luego: P(x) = (x–3) Q(x) +R= (x–3) Q(x) + P (3)= (x–3) Q(x)–22. El residuo de dividir P(x) entre (x-3) es –22. ♦

Resumen

Para descomponer en factores un polinomio es conveniente tener en cuenta el siguiente orden:

Ejercicios (epígrafe 2.2)

1. Con ayuda de variables se pueden describir objetos y relaciones de diferentes

dominios. Así por ejemplo, a través de a

b se puede representar la densidad de

población de una región, donde a denota la cantidad de habitantes de la región y b, su área. Indague en diferentes fuentes y ponga ejemplos de otras

relaciones que se pueden representar a través de a

b.

2. Reduzca términos semejantes y calcule el valor numérico de la expresión resultante para los valores de las variables que se indican:

a) 9a2 – 5a – a2 + 8 – 3a2 – 4a – 2 + a2 + a

para a = 2

b) 3x3y2 – 5x4 + 6y2 + x2y3 – x3y2 + 2x4 – 3y2

para x = –1; y = 0,5

c) 0,25p2q – pq + 0,5p2q + 3pq – 4pq2

para p = 0,3 : q =1

d) –2x2yz + 6xyz + 2xyz2 + 3x2yz – 5xyz – xyz2 para x = 1,3; y = 0,2 y z = –1

8

3. Encierre en un paréntesis precedido del signo negativo los dos últimos términos de cada una de las siguientes expresiones:

a) x2 – a2 + b2– y2

b) x + y – z + u

c) 3a – b2 – a2 – 4b

d) xy – 5x2y + 4x2 + 7y

4. Sean P = 7a2b – a , Q = 4ab2 + a3, R = – a2 + 7a2b + ab2

a) Calcule: P + Q – R

b) Halle el valor numérico del resultado obtenido para a = –2; b = 0,5.

5. Justifica los pasos siguientes en la multiplicación de )5( x por )2( x :

(x + 5)(x – 2) = x(x – 2) + 5(x – 2) ______________________________________

= x2 – 2x + 5x - 10 _________________________________________

= x2 + (-2 + 5)x - 10 ________________________________________

= x2 + 3x – 10 ________________________________________

6. Sean A = 5c – d; B = c2 –3cd + 9d2 ; C = c + 3d

a) Efectúe: A B

b) Determine el valor numérico de: B C; para c = 2 , d 1

7. Prueba que:

a) (p + q) ( p2 – pq + q2) = p3 + q3

b) (c –1) (c2 + c + 1) = c3 – 1

8. Determina el polinomio que hay que adicionar al producto de (3x + 5y) y (2x –y) para obtener 10xy - 6y2.

9. Si se sustrae x2 - 6x de (x – 5)2, se obtiene: ____4x – 25 ____–4x + 25 ___–6x + 25 ____ 6x-25

10. Al efectuar la expresión algebraica 3 x2 y2 + 4xy - 5 - ( 3xy + 2 )( 3xy - 2 ) se obtiene:

___. 6 x2 y2 + 4xy - 1 ___- 6 x2 y2 + 4xy - 1 ___- 6 x2 + 4xy - 9 ___ - 2 x2 y2 - 1

11. Determina cuáles de las siguientes divisiones son exactas: a) x2-x -5 : x -3 __ b) x3 – 14x2 –x -10 : x + 2 __ c) x5 +x4 -5x3+7x2- 9x +5 : x-1

12. Si un polinomio de segundo grado es divisible por los binomios (x – 7) y (x + 9), entonces los ceros del polinomio son:

A. -7 y 9 B. 7 y – 9 C. 7 y 9 D. -7 y -9

13. Sea M(a) = a3 + 7a2 - 4a + 3 y N(a) = (4a - 5)(2a + 3), determina el valor numérico de

a) M(2) - N

2

1 b) M 2 +N 2 c) M )3 -N )13

9

14. Para obtener como resultado a3 + 10a2 - a – 1. ¿Qué expresión hay que sustraer al producto de 3a - 2 y a2 + 4a - 1?

15. Reduce a P tanto como sea posible:

a). P = 14

8216

)nm(n03,0

)n(5

2m5,4

b). P = 4a2b(2,5ab2 – ½ ab) – (25)8·2520·a9·b-1:1039·a6·b-4

16. Halla el valor numérico de la expresión 1b

1

1a

1

para a = 2+ 5 y

b= 2– 5 .

17. Demuestra que: a) Si el menor de tres números naturales consecutivos es impar, entonces su suma es divisible por 6.

b) La suma de tres números naturales consecutivos no es siempre divisible por 6.

c) Si el menor de tres números naturales consecutivos es par, entonces el producto de estos números es divisible por 4.

d) El cuadrado de la suma de dos números impares es un múltiplo de 4.

e) Si el cuadrado de un número natural impar se disminuye en 1, entonces esta diferencia es siempre divisible por 8.

18. Calcula el complemento cuadrático. Escribe como potencia las sumas obtenidas:

a). x2 – 6x b). x2 + 10 c). x2+ 3x d). x2 + 15

e). x2 -10

x f). x2 -

2

x g). 9x4 + 6x2 h). 4x2 + 12x

i). 16x2 – 24x j). 25x2 - 40x k). 100x2 – 60x l). 5x2 – 6

19. Transforma los siguientes trinomios de modo que contenga cuadrados perfectos:

a). x2 + 2x + 5 b). x2 - 2x – 5 c). x2 - 8x – 1 d). x2 - 11x + 5 e). x2 - 15x + 0,25 f). 4x2 + 8xy + 8y2 g). 81x2 + 15 x – 3 h). 25x2 + 10x + 2 i). 144x2 - 48x + 7

20. Descomponer en factores: a) x2 – 17x – 60 b) x4 - 5x2 – 50 c) 48 + 2x2 - x4 d) (a + b)2 - 12(a+b) + 20 e) 6x2 - 7x – 3 f) 12 - 8n + n2 g) (5x)2 + 13(5x) + 42 h) a4 – 2a2b + b2 i)10 + 29x4 - 10x2

j) 6m2 - 13am – 15a2

10

21. Factoriza: a). 27a3 – b3 b). x12 + y12 c). a3 + 8b12 d). x6 – 8y12 e). 0,008 – a6b9 f). 125 – x6 g). 1 – 216x3

22. Descomponer en factores: a). ax + bx + ay + by b). –ax - 2bx +2ax - 2ay + 4by c). (x + 1)(x - 2) + 3y(x - 2) d). (a + 1)(a + 3) – 4(a + 1)

e). 1 - x + 2a(1 - x) f). a(n + 1) – b(n + 1) – n – 1 g). 1 - x + 2a (1 – x) h). x(a + 1) – 3(a + 1)

23. Transforma en producto: a). x3 – x b). a3 – 4a c). b2 - 9b4 d).x2(a - 2) –a + 2 e). a3(a + 5) - 8(a + 5) f). 27(a2 - 4) - x3(a2 - 4) g). a3(a - 1) - 216(a - 1) h). 125(x + 1) + x6(x + 1)

24. Transforma las siguientes sumas en producto: a). 6ab + 2ac + 15b + 5c b). 4aq + 10bq - 2ap - 5bp c). 910ab - 70a3b3 - 39 + 3a2b2 d). 15y + 5z + 2xz + 6xy e). 10dg – 5dh - 2ch + 4cg f). 3x3 - 9ax2 – x + 3a

g). 2 xy - 2 yz – xz + z2 h). 4am3 - 12amn - m2 + 3n

25. Descompón en factores:

a)x3+ 4x2 –8x + 3

b) m3–5 m2 –9m + 10

c) 26p–9 p2 +p3–24

d) a5+a4–21a3–a2+20a

e) x3–4x2+5

f) 2v3+3v2+15–32v

g) 6q4+q3–16q2+12q+3

h) 2x5+6x4–4x2+8x

27. Escribe los factores lineales que permiten obtener lo siguientes polinomios: a) 17x – 8x2 +x3 – 4 b) 6x3 – 4x +3 c) 19 + 6x3 – 17 x2 – 4x

d) 7x -15 +x3 + 7x2

28. Si el resto del polinomio M(x) = x3-3x2-2x +8 es 4, entonces el divisor es:

___ x -4 ___x +2 ____ x -1 ___ x + 1

29- Al dividir 4x5 -30x3 -50x – 2 por x +3 se obtiene como resto :

4

____ 0 ___3 ____ -3 ___4

30- Determina si el polinomio X3 +8x2 +14x -3 es multiplo de x + 3

31- Aplica el metodo de Ruffini para determinar los cocientes y el resto de las siguiente divisiones :

a)( x3 + 2x2 – 3x – 4) : ( x + 2 )

b) ( 2y3 – 3y +1 ) : ( y – 2 )

c) ( 3x4 + 2x3 – 4x -1 ) : ( x + 3 )

d) ( p5 + 1 ) : ( p + 1 )

e) ( q 4 – 3q3 – 5q2 + 6q – 3 ) : ( q – 4 )

f) a3 – 4 a2 +8 a -8 : a- 2 g) x 4 + 2 x3 – 7x2 – 6x +12 : x2 -3 h) x3 +4x2 -7x +3 : x +4 i) -5x + 2x3 +x4 – 4 : x + 3 o) 3x3 + 5x2 -4 : x +2 32. Si p(x) y Q(x) son dos polinomios de grado n y si P(x)=Q(x) para más de n valores de x, entonces ¿cómo se relacionan P(x) y Q(x)?

33. Sea 3 2

3 2 1 0P(x) a x a x a x a , dondea3, a2, a1, a0 son enteros.

a) Si P(2) =0, hay un entero que debe ser un entero par. Identifique este coeficiente y explique por qué debe ser par.

b) Si 1

P 02

, hay un coeficiente que debe ser un entero par. Identifique este

coeficiente y explique por qué debe ser par. c) Si a3=a0=1, P(–1)≠0 y P(1) ≠0, ¿tieneP(x) algunas raíces racionales?. Apoye su conclusión con argumentos verbales y /o ejemplos.

Sugerencia: Toma en cuenta la observación que se hace al final del ejemplo 17.

34. Halla el valor de b para que al dividir x3+ 9x2 + bx + 2 por (x – 1), el resto sea 1 y que al dividirlo por (x – 2) el resto sea 2.