22/04/2322/04/23 0

10

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30

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2003 2004 2005 2006

Población

Edad

Sexo

Es la ciencia que se ocupa de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar a una toma de decisiones más efectiva.

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¿Por qué estudiar estadística?¿Por qué estudiar estadística?

La primera razón es que en todos La primera razón es que en todos lados encontramos información lados encontramos información numérica. La encontramos en numérica. La encontramos en periódicos, revistas de información, periódicos, revistas de información, revistas de negocios, publicaciones revistas de negocios, publicaciones de interés general, revistas de interés general, revistas femeninas o revistas de deportes.femeninas o revistas de deportes.

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La segunda razón es se utilizan para tomar decisiones La segunda razón es se utilizan para tomar decisiones que afectan nuestra vida diaria, influyen en nuestro que afectan nuestra vida diaria, influyen en nuestro bienestar personal:bienestar personal:

Compañías de seguros, para establecer tarifas de Compañías de seguros, para establecer tarifas de casa, automóvil, vida y salud. Existen tablas que casa, automóvil, vida y salud. Existen tablas que indican la probabilidad de que a determinada edad se indican la probabilidad de que a determinada edad se viva un año más, cinco años más, etc. las primas se viva un año más, cinco años más, etc. las primas se establecen de acuerdo a estas probabilidades.establecen de acuerdo a estas probabilidades.

Medio ambiente, periódicamente se pueden tomar Medio ambiente, periódicamente se pueden tomar muestras de agua, aire, condiciones ambientales y muestras de agua, aire, condiciones ambientales y establecer niveles de contaminación y tomar establecer niveles de contaminación y tomar decisiones para mantener el nivel de calidad decisiones para mantener el nivel de calidad requerido.requerido.

Los investigadores médicos estudian las tasas de Los investigadores médicos estudian las tasas de curación de enfermedades, basándose en el uso de curación de enfermedades, basándose en el uso de diferentes medicamentos y distintas formas de diferentes medicamentos y distintas formas de tratamiento.tratamiento.

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La tercera razón es que ayuda a entender por qué se La tercera razón es que ayuda a entender por qué se toman ciertas decisiones, y aporta una mejor toman ciertas decisiones, y aporta una mejor compresión respecto a la forma en la que nos compresión respecto a la forma en la que nos afectan. Sin importar el tipo de trabajo nos afectan. Sin importar el tipo de trabajo nos enfrentamos con la toma de decisiones, y una enfrentamos con la toma de decisiones, y una comprensión del análisis de datos será de gran comprensión del análisis de datos será de gran ayuda. Para poder tomar una decisión basada en la ayuda. Para poder tomar una decisión basada en la información , se necesita:información , se necesita:

1.1. Determinar si la información es adecuada o si se Determinar si la información es adecuada o si se requiere información adicional.requiere información adicional.

2.2. Reunir información adicional, si es necesario, de tal Reunir información adicional, si es necesario, de tal forma que no haya resultados erróneos.forma que no haya resultados erróneos.

3.3. Resumir la información de modo útil e informativo.Resumir la información de modo útil e informativo.4.4. Analizar la información disponible.Analizar la información disponible.5.5. Sacar las conclusiones y realizar las inferencias Sacar las conclusiones y realizar las inferencias

necesarias, al tiempo que se evalúa el riesgo de necesarias, al tiempo que se evalúa el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta.llegar a una conclusión incorrecta.

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Conceptos básicosConceptos básicos

La palabra La palabra estadísticaestadística proviene de una voz italiana proviene de una voz italiana statistastatista que significa estadista, y fue acuñada por Gottfred que significa estadista, y fue acuñada por Gottfred Achenwall (1719 – 1772).Achenwall (1719 – 1772).

La estadística se agrupan en dos categorías:La estadística se agrupan en dos categorías:1.- Estadística Descriptiva1.- Estadística Descriptiva2.- Estadística Inferencial.2.- Estadística Inferencial.La La Descriptiva,Descriptiva, se dedica a describir los datos obtenidos en se dedica a describir los datos obtenidos en

una investigación por medio de gráficas, Tablas y una investigación por medio de gráficas, Tablas y diagramas y facilitan su interpretacióndiagramas y facilitan su interpretación. Analiza series de . Analiza series de datos (edad de una población, altura de los estudiantes de datos (edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) y una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables.estas variables.

La La Inferencial, Inferencial, es un conjunto de métodos utilizados para es un conjunto de métodos utilizados para saber algo acerca de una población, basándose en una saber algo acerca de una población, basándose en una muestra.muestra.

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Algunas definicionesAlgunas definiciones IndividuoIndividuo: cualquier elemento que aporte : cualquier elemento que aporte

información sobre el fenómeno que se estudia. Si información sobre el fenómeno que se estudia. Si estudiamos la altura de los niños de una clase, estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.individuo.

Población:Población: conjunto de todos los individuos que conjunto de todos los individuos que aporten información sobre el fenómeno que se aporten información sobre el fenómeno que se estudia.estudia.

Muestra:Muestra: subconjunto que seleccionamos de la subconjunto que seleccionamos de la población. Es representativa de la población que población. Es representativa de la población que se estudia. Una porción, o parte, de la población se estudia. Una porción, o parte, de la población de interés.de interés.

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Parámetro. Parámetro. Es una medida numérica que Es una medida numérica que describe una característica de la describe una característica de la población.población.

Estadístico.Estadístico. Es la medida numérica que Es la medida numérica que describe alguna característica de la describe alguna característica de la muestra.muestra.

Variables. Variables. Son las características de los Son las características de los objetos o de los individuos.objetos o de los individuos.

Datos. Datos. Son valores observados de las Son valores observados de las variables.variables.

Datos brutos.Datos brutos. Cuando la información Cuando la información obtenida de un estudio, encuesta o obtenida de un estudio, encuesta o experimento, no ha sido organizada, es experimento, no ha sido organizada, es decir, la información no ha sido procesada decir, la información no ha sido procesada por métodos estadísticos. por métodos estadísticos.

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Tipos de variablesTipos de variables

Existen dos tipos de datos:Existen dos tipos de datos:1.1. Los obtenidos a partir de una población Los obtenidos a partir de una población

cualitativa.cualitativa.2.2. Los que resultan de una población Los que resultan de una población

cuantitativa.cuantitativa.Cuando la característica o variable en Cuando la característica o variable en

estudio es no numérica, se le denomina estudio es no numérica, se le denomina variable cualitativa variable cualitativa o o atributo.atributo. Ejemplos: género sexual, religión, tipo de Ejemplos: género sexual, religión, tipo de automóvil, estado o lugar de nacimiento, automóvil, estado o lugar de nacimiento, color de los ojos, etc.color de los ojos, etc.

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Cuando la variable estudiada se puede Cuando la variable estudiada se puede expresar numéricamente, se expresar numéricamente, se denomina denomina variable cuantitativa, variable cuantitativa, y y la población se conoce como la población se conoce como población cuantitativa. Ejemplos: población cuantitativa. Ejemplos: saldo de cuenta de cheques, edad de saldo de cuenta de cheques, edad de los alumnos, duración de las los alumnos, duración de las calculadoras, número de alumnos, calculadoras, número de alumnos, etc.etc.

Las variables cuantitativas pueden ser Las variables cuantitativas pueden ser discretas discretas oo continua. continua.

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Las Las variables discretasvariables discretas pueden pueden asumir sólo ciertos valores, y asumir sólo ciertos valores, y generalmente existen “brechas” o generalmente existen “brechas” o huecos entre ellos. Ejemplos: número huecos entre ellos. Ejemplos: número de salones, cantidad de estudiantes de salones, cantidad de estudiantes en cada grupo del curso de en cada grupo del curso de estadística, etc.estadística, etc.

Las Las variables continuasvariables continuas pueden pueden tomar cualquier valor dentro de un tomar cualquier valor dentro de un intervalo determinado. Ejemplos: intervalo determinado. Ejemplos: tiempo de llegada al salón de clase, tiempo de llegada al salón de clase, estatuta de los alumnos, etc.estatuta de los alumnos, etc.

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Niveles de mediciónNiveles de mediciónLos datos pueden clasificarse de acuerdo con los Los datos pueden clasificarse de acuerdo con los

niveles de medición, los cuales determinan los niveles de medición, los cuales determinan los cálculos que se pueden realizar para resumir y cálculos que se pueden realizar para resumir y presentar la información, y las pruebas presentar la información, y las pruebas estadísticas que pueden desarrollarse. existen estadísticas que pueden desarrollarse. existen cuatro niveles de medición:cuatro niveles de medición:

1.1. Nominal.Nominal.2.2. Ordinal.Ordinal.3.3. De intervalo.De intervalo.4.4. De razón.De razón.El nivel “más bajo”, o más primitivo, es el nominal. El nivel “más bajo”, o más primitivo, es el nominal.

El más alto, o el que proporciona la mayor El más alto, o el que proporciona la mayor cantidad de información acerca de la cantidad de información acerca de la observación, es el de razón.observación, es el de razón.

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Datos de nivel nominalDatos de nivel nominalLas observaciones solamente se pueden clasificar o Las observaciones solamente se pueden clasificar o

contar. No existe algún orden específico entre las contar. No existe algún orden específico entre las clases. Ejemplo: se cuenta el número de estudiantes clases. Ejemplo: se cuenta el número de estudiantes de una clase de matemáticas en cierta escuela, y se de una clase de matemáticas en cierta escuela, y se reporta cuántos son hombres y cuántos son mujeres. reporta cuántos son hombres y cuántos son mujeres. Se puede reportar primero la cantidad de varones o la Se puede reportar primero la cantidad de varones o la de féminas. Para el nivel nominal de medición la única de féminas. Para el nivel nominal de medición la única medición posible es el conteo. Sólo hay dos medición posible es el conteo. Sólo hay dos categorías, donde no existe un orden específico categorías, donde no existe un orden específico ((orden lógicoorden lógico).).

Tales categorías son Tales categorías son mutuamente excluyentesmutuamente excluyentes (propiedad de un conjunto de categorías que implica (propiedad de un conjunto de categorías que implica que una persona, objeto o medición se ha de incluir en que una persona, objeto o medición se ha de incluir en sólo una categoría).sólo una categoría).

Las categorías también son Las categorías también son exhaustivas exhaustivas (propiedad de (propiedad de un conjunto de categorías que implica que cada un conjunto de categorías que implica que cada individuo, objeto o medición debe aparecer en sólo individuo, objeto o medición debe aparecer en sólo una categoría.una categoría.

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Datos de nivel ordinalDatos de nivel ordinalLas categorías para este tipo de datos son mutuamente Las categorías para este tipo de datos son mutuamente

excluyentes y exhaustivas.excluyentes y exhaustivas.Dichas categorías para los datos se clasifican por Dichas categorías para los datos se clasifican por

intervalos, o se ordenan de acuerdo con las intervalos, o se ordenan de acuerdo con las características particulares que poseen. Ejemplo: las características particulares que poseen. Ejemplo: las calificaciones dadas por los estudiantes a un profesor calificaciones dadas por los estudiantes a un profesor en una escuela:en una escuela:

Calificación frecuenciaCalificación frecuenciaExcelente 6Excelente 6Bueno 28Bueno 28Regular 25Regular 25Malo 12Malo 12Muy malo 3Muy malo 3

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Datos de nivel de intervaloDatos de nivel de intervaloIncluye todas las características del nivel ordinal Incluye todas las características del nivel ordinal

pero, además, la diferencia entre los valores tiene pero, además, la diferencia entre los valores tiene un tamaño constante.un tamaño constante.

Las categorías para los datos son mutuamente Las categorías para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas; están ordenadas de excluyentes y exhaustivas; están ordenadas de acuerdo con la cantidad de las características que acuerdo con la cantidad de las características que poseen; diferencias iguales en la característica se poseen; diferencias iguales en la característica se representan por diferencias iguales en la representan por diferencias iguales en la medición.medición.

Hay pocos ejemplos de la escala de medición de un Hay pocos ejemplos de la escala de medición de un intervalo. La temperatura es uno, la medida de intervalo. La temperatura es uno, la medida de calzado es otro.calzado es otro.

Es importante señalar que cero es solamente un Es importante señalar que cero es solamente un punto de la escala, y no representa la ausencia punto de la escala, y no representa la ausencia de la condición.de la condición.

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Datos de nivel de razónDatos de nivel de razónPrácticamente todos los datos cuantitativos son de este tipo Prácticamente todos los datos cuantitativos son de este tipo

de medición. Esta medida tiene todas las características de medición. Esta medida tiene todas las características del nivel de intervalo, pero además el punto 0 si tiene del nivel de intervalo, pero además el punto 0 si tiene significado, y la razón (o cociente) entre dos número significado, y la razón (o cociente) entre dos número también es significativa, ejemplos: salarios, unidades de también es significativa, ejemplos: salarios, unidades de producción, el peso, la distancia entre un conjunto de producción, el peso, la distancia entre un conjunto de escuelas, etc. la razón entre dos números también tiene escuelas, etc. la razón entre dos números también tiene significado.significado.

Las propiedades son:Las propiedades son:1.1. Las categorías de los datos son mutuamente excluyentes Las categorías de los datos son mutuamente excluyentes

y exhaustivas.y exhaustivas.2.2. Dichas categorías tienen un intervalo u orden de acuerdo Dichas categorías tienen un intervalo u orden de acuerdo

con la cantidad de las características que poseen.con la cantidad de las características que poseen.3.3. Diferencias iguales en las características están Diferencias iguales en las características están

representadas por diferencias iguales en los números que representadas por diferencias iguales en los números que se han asignado a las categorías mencionadas.se han asignado a las categorías mencionadas.

4.4. El punto (o valor) 0 representa la ausencia de la El punto (o valor) 0 representa la ausencia de la característica.característica.

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Niveles de datos

Nominal Ordinal De intervalo

Las diferencias entre los valores tienen significado

Temperatura

Orden los datos por jerarquías.

Calificación de un estudiante en su clase.

Sólo clasifica los datos.

Número en la camiseta de un jugador de futbol.Marca de un automóvil.

De razón

El 0 y el cociente entre valores tienen significado.

Número de pacientes atendidos.Número de llamadas de venta realizadas.Distancia a la escuela.

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Análisis Descriptivo de acuerdo Análisis Descriptivo de acuerdo al nivel de Medidaal nivel de Medida

No todos los procedimientos estadísticos son útiles No todos los procedimientos estadísticos son útiles para la totalidad de los niveles de medida. Cada para la totalidad de los niveles de medida. Cada uno de los tipos de medida posee ciertas uno de los tipos de medida posee ciertas características, las cuales debemos tener en características, las cuales debemos tener en cuenta en el momento de realizar un análisis cuenta en el momento de realizar un análisis descriptivo. En la siguiente tabla, se encuentran descriptivo. En la siguiente tabla, se encuentran algunos de los procedimientos que resultan algunos de los procedimientos que resultan ventajosos en los análisis descriptivos de los ventajosos en los análisis descriptivos de los diferentes niveles de medida. Esta tabla es sólo diferentes niveles de medida. Esta tabla es sólo una muestra de las medidas que se pueden una muestra de las medidas que se pueden emplear.emplear.

Escala de Escala de

medidamedidaFrecuenciasFrecuencias Medidas de Medidas de

posiciónposiciónMedidas de Medidas de

dispersióndispersiónMedidas de Medidas de

distribucióndistribuciónGráficosGráficos

NominalNominal SiSi ModaModa NoNo NoNo Sectores Sectores

(diagrama (diagrama

de pastel) y de pastel) y

BarrasBarras

OrdinalOrdinal SiSi ModaModa NoNo NoNo Sectores Sectores

(diagrama (diagrama

de pastel), de pastel),

Barras, Barras,

ÁreasÁreas

EscalaEscala SiSi Media, Media,

Mediana, Mediana,

ModaModa

SiSi SiSi Histograma, Histograma,

Áreas, Áreas,

DispersiónDispersión

De razónDe razón SiSi Media, Media,

Mediana, Mediana,

ModaModa

SiSi SiSi Histograma, Histograma,

Áreas, Áreas,

Dispersión, Dispersión,

Polígono de Polígono de

frecuencias, frecuencias,

OjivaOjiva

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Los niveles Nominal y Ordinal cuentan Los niveles Nominal y Ordinal cuentan con los mismos procedimientos de con los mismos procedimientos de análisis, por lo que se agrupan como análisis, por lo que se agrupan como variables categóricas.variables categóricas.

Para los análisis descriptivos no hay Para los análisis descriptivos no hay una gran diferencia entre estos dos una gran diferencia entre estos dos tipos de variables, pero si existe tipos de variables, pero si existe diferencia en los análisis de diferencia en los análisis de Inferencia.Inferencia.

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Distribución de frecuenciaDistribución de frecuencia

Es la representación estructurada, en Es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.la variable que se estudia.

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Ejemplo:Ejemplo:Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (metros):

Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura

Alumno 1

1,25Alumno

111,23

Alumno 21

1,21

Alumno 2

1,28Alumno

121,26

Alumno 22

1,29

Alumno 3

1,27Alumno

131,30

Alumno 23

1,26

Alumno 4

1,21Alumno

141,21

Alumno 24

1,22

Alumno 5

1,22Alumno

151,28

Alumno 25

1,28

Alumno 6

1,29Alumno

161,30

Alumno 26

1,27

Alumno 7

1,30Alumno

171,22

Alumno 27

1,26

Alumno 8

1,24Alumno

181,25

Alumno 28

1,23

Alumno 9

1,27Alumno

191,20

Alumno 29

1,22

Alumno 10

1,29Alumno

201,28

Alumno 30

1,21

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Tabla de frecuencia.Tabla de frecuencia.Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia:

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas

(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

1,20 1 1 3,3% 3,3%

1,21 4 5 13,3% 16,6%

1,22 4 9 13,3% 30,0%

1,23 2 11 6,6% 36,6%

1,24 1 12 3,3% 40,0%

1,25 2 14 6,6% 46,6%

1,26 3 17 10,0% 56,6%

1,27 3 20 10,0% 66,6%

1,28 4 24 13,3% 80,0%

1,29 3 27 10,0% 90,0%

1,30 3 30 10,0% 100,0%

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Medidas de posición central

Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.

Las medidas de posición son de dos tipos:

a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.

b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.

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Medidas de posición centralLas principales medidas de posición central son las siguientes:

1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra.

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b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc. donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

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La más grande ventaja de la media es que La más grande ventaja de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.ninguna información.

Sin embargo, presenta el problema de que Sin embargo, presenta el problema de que su valor se puede ver muy influido por su valor se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.ésta representatividad.

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2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).

No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).

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3.- Moda: es el valor que más se repite en la muestra.

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos.

Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes:

1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo.

2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como la sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria divide por el tamaño de la muestra. La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

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3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.

4.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.

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EjemploVamos a utilizar la serie de datos de la estatura de los alumnos de una

clase y vamos a calcular sus medidas de dispersión.

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas

(Valor) Simple Acumulada Simple Acumulada

1,20 1 1 3,3% 3,3%

1,21 4 5 13,3% 16,6%

1,22 4 9 13,3% 30,0%

1,23 2 11 6,6% 36,6%

1,24 1 12 3,3% 40,0%

1,25 2 14 6,6% 46,6%

1,26 3 17 10,0% 56,6%

1,27 3 20 10,0% 66,6%

1,28 4 24 13,3% 80,0%

1,29 3 27 10,0% 90,0%

1,30 3 30 10,0% 100,0%

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1.- Rango: Diferencia entre el mayor valor de la muestra (1,30) y el menor valor (1,20). Luego el rango de esta muestra es 10 cm.2.- Varianza: recordemos que la media de esta muestra es 1,253. Luego, aplicamos la fórmula:

Por lo tanto, la varianza es 0,0010

3.- Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. 0.003204.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra.

Cv = 0,0320 / 1,253 Luego,Cv = 0,0255 

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El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.

Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión de una serie de datos de la altura de los alumnos de una clase y otra serie con el peso de dichos alumnos, no se puede utilizar las desviaciones típicas (una viene expresada en cm. y la otra en Kg.). En cambio, sus coeficientes de variación son ambos porcentajes, por lo que sí se pueden comparar.

Tipos de gráficosTipos de gráficos

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HistogramaHistogramaPara la distribución de frecuencia es la Para la distribución de frecuencia es la

representación gráfica más común. En el eje representación gráfica más común. En el eje horizontal se representan los intervalos de horizontal se representan los intervalos de los datos, marcándose de manera continua los datos, marcándose de manera continua las fronteras entre cada uno de los éstos. las fronteras entre cada uno de los éstos. Está compuesto de rectángulos, el ancho de Está compuesto de rectángulos, el ancho de la base es la misma siempre y la altura la base es la misma siempre y la altura corresponde a la frecuencia de cada corresponde a la frecuencia de cada intervalo. Resulta difícil utilizarlo cuando intervalo. Resulta difícil utilizarlo cuando existen intervalos abiertos o cuando los existen intervalos abiertos o cuando los intervalos no son iguales entre sí.intervalos no son iguales entre sí.

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Gráfica de columnas o barrasGráfica de columnas o barrasMuy parecida al histograma. Se elabora con rectángulos Muy parecida al histograma. Se elabora con rectángulos

también, se pide que sus bases sean del mismo ancho y también, se pide que sus bases sean del mismo ancho y sus alturas equivalentes con las frecuencias. No es sus alturas equivalentes con las frecuencias. No es necesario tener una escala horizontal continua, por lo necesario tener una escala horizontal continua, por lo que los rectángulos (o barras) no tienen que aparecer que los rectángulos (o barras) no tienen que aparecer juntas entre sí.juntas entre sí.

Se pueden representar en la misma gráfica, utilizando las Se pueden representar en la misma gráfica, utilizando las mismas escalas horizontales y verticales, varios datos mismas escalas horizontales y verticales, varios datos correspondientes a las mismas variables producto de correspondientes a las mismas variables producto de varias observaciones. Esto produce una gráfica con varias observaciones. Esto produce una gráfica con varias varias seriesseries, correspondiendo cada una de ellas a cada , correspondiendo cada una de ellas a cada observación de la muestra (o población), y teniéndose observación de la muestra (o población), y teniéndose una gráfica compuesta. Es conveniente que cada serie una gráfica compuesta. Es conveniente que cada serie de datos (u observaciones) sean ilustradas o iluminadas de datos (u observaciones) sean ilustradas o iluminadas de igual manera entre sí, pero distinta de las demás.de igual manera entre sí, pero distinta de las demás.

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Existe la posibilidad de representar Existe la posibilidad de representar gráficos compuestos de una manera gráficos compuestos de una manera tridimensional, con gráficos que tridimensional, con gráficos que posean no sólo dos ejes, sino tres; y posean no sólo dos ejes, sino tres; y en los que los rectángulos son en los que los rectángulos son sustituidos por prismas de base sustituidos por prismas de base rectangularrectangular

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También es posible realizar También es posible realizar gráficas gráficas de barras horizontalesde barras horizontales, la función , la función de los ejes se intercambian y el eje de los ejes se intercambian y el eje horizontal queda destinado a las horizontal queda destinado a las frecuencias y el eje vertical a las frecuencias y el eje vertical a las clases.clases.

Es muy común que este tipo de Es muy común que este tipo de gráficos se utilicen para ilustrar el gráficos se utilicen para ilustrar el tamaño de una población dividida.tamaño de una población dividida.

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A este tipo de gráficos en particular se A este tipo de gráficos en particular se le llama le llama pirámide de edadespirámide de edades por su por su forma. Incluso, cuando se compara la forma. Incluso, cuando se compara la población masculina y femenina por población masculina y femenina por estratos de edades, se estila utiliza el estratos de edades, se estila utiliza el lado izquierdo para la población de lado izquierdo para la población de un sexo y el lado derecho para el un sexo y el lado derecho para el otro, el resultado es una "pirámide" otro, el resultado es una "pirámide" casi simétrica (dependerá de la casi simétrica (dependerá de la población en particular).población en particular).

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Gráficas de líneasGráficas de líneas

Se pueden utilizar cuando los datos se relacionan Se pueden utilizar cuando los datos se relacionan entre sí, cuando podemos decir que existe cierta entre sí, cuando podemos decir que existe cierta continuidad entre las observaciones (por ejemplo: continuidad entre las observaciones (por ejemplo: el crecimiento poblacional, la evolución del peso el crecimiento poblacional, la evolución del peso o estatura de una persona a través del tiempo, el o estatura de una persona a través del tiempo, el desempeño académico de un estudiante a lo desempeño académico de un estudiante a lo largo de su instrucción escolar, las variaciones largo de su instrucción escolar, las variaciones presentadas en la medición realizada en algún presentadas en la medición realizada en algún experimento cada segundo o minuto), consiste en experimento cada segundo o minuto), consiste en una serie de puntos trazados en las una serie de puntos trazados en las intersecciones de las marcas de clase y las intersecciones de las marcas de clase y las frecuencias de cada una, uniéndose frecuencias de cada una, uniéndose consecutivamente con líneas.consecutivamente con líneas.

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Polígono de frecuenciasPolígono de frecuencias

Se añaden dos clases con frecuencias Se añaden dos clases con frecuencias cero: una antes de la primera clase cero: una antes de la primera clase con datos y otra después de la con datos y otra después de la última. El resultado es que se última. El resultado es que se "sujeta" la línea por ambos extremos "sujeta" la línea por ambos extremos al eje horizontal y lo que podría ser al eje horizontal y lo que podría ser una línea separada del eje se una línea separada del eje se convierte, junto con éste, en un convierte, junto con éste, en un polígono.polígono.

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OjivaOjivaÉsta se obtiene de aplicar una distribución Ésta se obtiene de aplicar una distribución

acumulativa y existen las acumulativa y existen las ojivas mayor queojivas mayor que y las y las ojivas menor queojivas menor que..

Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje horizontal, para la horizontal, para la ojiva mayor queojiva mayor que sucede sucede con el extremo izquierdo; para la con el extremo izquierdo; para la ojiva menor ojiva menor queque, con el derecho. , con el derecho.

En el eje horizontal en lugar de colocar las En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las fronteras de marcas de clase se colocan las fronteras de clase. Para el caso de la clase. Para el caso de la ojiva mayor queojiva mayor que es la es la frontera menor; para la frontera menor; para la ojiva menor queojiva menor que, la , la mayor. mayor.

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La ojiva mayor que (izquierda) se le La ojiva mayor que (izquierda) se le denomina de esta manera porque viendo denomina de esta manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de el punto que está sobre la frontera de clase "4:00" se ven las visitas que se clase "4:00" se ven las visitas que se realizaron en una hora realizaron en una hora mayor quemayor que las 4:00 las 4:00 horas (en cuestiones temporales se diría: horas (en cuestiones temporales se diría: después de las 4:00 horasdespués de las 4:00 horas). En la ojiva ). En la ojiva menor que la frecuencia que se representa menor que la frecuencia que se representa en cada frontera de clase son el número en cada frontera de clase son el número de observaciones de observaciones menores quemenores que la frontera la frontera señalada (en caso de tiempos sería el señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones número de observaciones antesantes de la hora de la hora que señala la frontera).que señala la frontera).

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Si se utiliza una distribución porcentual Si se utiliza una distribución porcentual acumulativa entonces se obtiene una acumulativa entonces se obtiene una ojiva (ojiva (mayor quemayor que o o menor quemenor que según según sea el caso) cuyo eje vertical tiene sea el caso) cuyo eje vertical tiene una escala que va del 0% al 100%.una escala que va del 0% al 100%.

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Gráfica de áreasGráfica de áreas

Se ocupa cuando para comparar dos Se ocupa cuando para comparar dos series de observaciones (o de datos), series de observaciones (o de datos), la cual consiste en rellenar el área la cual consiste en rellenar el área que se encuentre debajo de las que se encuentre debajo de las líneas que resultan de una gráfica de líneas que resultan de una gráfica de líneas.líneas.

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Diagrama de pastel oDiagrama de pastel o circularcircular

Cuando lo que se desea es resaltar las Cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, y subconjuntos con respecto al total, y además se está usando una escala además se está usando una escala categórica, conviene utilizar una gráfica categórica, conviene utilizar una gráfica llamada llamada de pastelde pastel o o circularcircular..

Si se desea resaltar una de las categorías Si se desea resaltar una de las categorías que se presentan, es válido tomar esa que se presentan, es válido tomar esa "rebanada" de la gráfica y separarla de "rebanada" de la gráfica y separarla de las demás.las demás.

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En ocasiones existen categorías con En ocasiones existen categorías con pocas frecuencias (por ejemplo, dos o pocas frecuencias (por ejemplo, dos o tres con frecuencias relativas menores tres con frecuencias relativas menores al 1% cada una), haciendo que la al 1% cada una), haciendo que la gráfica resulte "pesada" y las etiquetas gráfica resulte "pesada" y las etiquetas se encimen. Una solución es juntarlas se encimen. Una solución es juntarlas en una sola categoría (la típica "otras" o en una sola categoría (la típica "otras" o "varias"), pero entonces habría que "varias"), pero entonces habría que ponderar si se hace una gráfica extra ponderar si se hace una gráfica extra con dichas observaciones únicamente, con dichas observaciones únicamente, haciendo la anotación pertinente, o haciendo la anotación pertinente, o simplemente se ignoran por no resultar simplemente se ignoran por no resultar significativas.significativas.

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PictogramaPictograma

Actualmente, y mucho en los medios Actualmente, y mucho en los medios masivos de comunicación, utilizan masivos de comunicación, utilizan gráficos para ilustrar los datos o los gráficos para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación. resultados de alguna investigación. Regularmente se utilizan dibujos Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, para representar dicha información, y el tamaño o el número de estos y el tamaño o el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la frecuencia determinado por la frecuencia correspondiente.correspondiente.

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Medidas de Distribución: Medidas de Distribución: Asimetría y CurtosisAsimetría y Curtosis

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Las medidas de distribución nos Las medidas de distribución nos permiten identificar la forma en que permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores se separan o aglomeran los valores de acuerdo a su representación de acuerdo a su representación gráfica. Describen la manera como gráfica. Describen la manera como los datos tienden a reunirse de los datos tienden a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la información. Su hallen dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la identificar las características de la distribución sin necesidad de generar distribución sin necesidad de generar el gráfico.el gráfico.

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AsimetríaAsimetría

Nos permite identificar si los datos se Nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central. Presenta tres estados punto central. Presenta tres estados diferentes. La diferentes. La asimetría es positivaasimetría es positiva cuando cuando la mayoría de los datos se encuentran por la mayoría de los datos se encuentran por abajo del valor de la media aritmética, la abajo del valor de la media aritmética, la curva es curva es SimétricaSimétrica cuando se distribuyen cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media y valores en ambos lados de la media y asimetría negativaasimetría negativa cuando la mayor cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los cantidad de datos se aglomeran en los valores mayores que la media.valores mayores que la media.

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El El Coeficiente de asimetríaCoeficiente de asimetría, se representa , se representa mediante la ecuación matemática,mediante la ecuación matemática,

Donde (g1) representa el coeficiente Donde (g1) representa el coeficiente de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de los valores, (x testada) la media de los valores, (x testada) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor.cada valor.

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Los resultados se interpretan:Los resultados se interpretan: (g1=0): La distribución es Simétrica, existe (g1=0): La distribución es Simétrica, existe

aproximadamente la misma cantidad de valores a aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la media. Este valor es difícil de los dos lados de la media. Este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los valores conseguir por lo que se tiende a tomar los valores que son cercanos ya sean positivos o negativos (± que son cercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).0.5).

(g1>0):(g1>0): La curva es asimétricamente positiva por lo La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte que los valores se tienden a reunir más en la parte izquierda de la media.izquierda de la media.

(g1<0):(g1<0): La curva es asimétricamente negativa por La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir más en la lo que los valores se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.parte derecha de la media.

Entre mayor sea el número (Positivo o Negativo), Entre mayor sea el número (Positivo o Negativo), mayor será la distancia que separa la aglomeración mayor será la distancia que separa la aglomeración de los valores con respecto a la media.de los valores con respecto a la media.

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CurtosisCurtosis

Esta medida determina el grado de Esta medida determina el grado de concentración que presentan los concentración que presentan los valores en la región central de la valores en la región central de la distribución. Se identifica si existe distribución. Se identifica si existe una gran concentración de valores una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).concentración (Platicúrtica).

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Para calcular el coeficiente de Curtosis se Para calcular el coeficiente de Curtosis se utiliza la ecuación:utiliza la ecuación:

Donde (g2) representa el coeficiente de Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis, (Xi) cada uno de los valores, Curtosis, (Xi) cada uno de los valores, (x testada) la media de la muestra y (x testada) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor.(ni) la frecuencia de cada valor.

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Los resultados de esta fórmula se Los resultados de esta fórmula se interpretan:interpretan:

((g2=0) la distribución es g2=0) la distribución es MesocúrticaMesocúrtica: : Es difícil  encontrar un Es difícil  encontrar un coeficiente de Curtosis de cero (0), coeficiente de Curtosis de cero (0), por lo que se suelen aceptar los por lo que se suelen aceptar los valores cercanos (± 0.5 aprox.).valores cercanos (± 0.5 aprox.).

(g2>0) la distribución es (g2>0) la distribución es Leptocúrtica.Leptocúrtica.

(g2<0) la distribución es Platicúrtica.(g2<0) la distribución es Platicúrtica.

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Curva NormalCurva NormalCuando la distribución de los datos cuenta con un Cuando la distribución de los datos cuenta con un

coeficiente de asimetría (g1=±0.5) y un coeficiente de coeficiente de asimetría (g1=±0.5) y un coeficiente de Curtosis de (g2=±0.5), se le denomina Curva Normal. Curtosis de (g2=±0.5), se le denomina Curva Normal. Este criterio es de importante porque la mayoría de Este criterio es de importante porque la mayoría de los procedimientos de la estadística de inferencia se los procedimientos de la estadística de inferencia se requiere que los datos se distribuyan normalmente.requiere que los datos se distribuyan normalmente.

La principal ventaja de la distribución normal radica en el La principal ventaja de la distribución normal radica en el supuesto que el 95% de los valores se encuentra supuesto que el 95% de los valores se encuentra dentro de una distancia de dos desviaciones estándar dentro de una distancia de dos desviaciones estándar de la media aritmética; es decir, si tomamos la media de la media aritmética; es decir, si tomamos la media y le sumamos dos veces la desviación y después le y le sumamos dos veces la desviación y después le restamos a la media dos desviaciones, el 95% de los restamos a la media dos desviaciones, el 95% de los casos se encontraría dentro del rango que compongan casos se encontraría dentro del rango que compongan estos valores.estos valores.

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Fuentes:Fuentes:

http://www.spssfree.com/spss/http://www.spssfree.com/spss/analisis3.html (consultada el 14 de analisis3.html (consultada el 14 de septiembre de 2011)septiembre de 2011)

http://www.uaq.mx/matematicas/http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu3.html (consultada el estadisticas/xu3.html (consultada el 14 de septiembre de 2011)14 de septiembre de 2011)

http://www.aulafacil.com (consultada http://www.aulafacil.com (consultada el 20 de septiembre de 2008)el 20 de septiembre de 2008)

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