2º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS
-
Upload
aron-ze-ar -
Category
Documents
-
view
1.205 -
download
6
Transcript of 2º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
120
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
BLO
QU
E 4
5
A = ?
A = L²A = 5²A = 5 x 5A = 25 u²
V = ?V = L³V = 4³V = 4 x 4 x 4V = 64 u³
4
Para calcular el ÁREA de un cuadrado se multiplica
lado por lado.
Para calcular el VOLUMEN de un cubo se multiplica lado por lado
por lado.
Cuando un número se multiplica varias veces por sí mismo, se dice que se eleva a una POTENCIA.
En la potencia el número que se repite como factor se llama BASE.El número que indica las veces que se repite el factor se llama EXPONENTE.El resultado se llama POTENCIA.
Base
Potencia
Exponente
Encuentra la potencia de cada una de las siguientes potenciaciones:
233x3 = 344x4x4 = 477x7x7x7 =
12555x5x5 3 ==
_____________9
_____________8
_____________7
_____________6
_____________5
_____________4
_____________3
_____________2
_____________1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
_____________9
_____________8
_____________7
_____________6
_____________5
_____________4
_____________3
_____________2
_____________1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
_____________18
_____________17
_____________16
_____________15
_____________14
_____________13
_____________12
_____________11
_____________10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
_____________18
_____________17
_____________16
_____________15
_____________14
_____________13
_____________12
_____________11
_____________10
3
3
3
3
3
3
3
3
3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4.1Elaborar, utilizar y justificar
procedimientos para calcular productos y cocientes de
potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una
potencia.Interpretar el significado de
elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que
intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO
Si abreviamos la multiplicación de FACTORES IGUALES obtenemos una POTENCIA.
Completa lo que falte en el cuadro.
¡CUIDADO! no es lo mismo que:
Porque:
( )5−
el signo " – " no es el signo de la base.el signo " – " forma parte de la base.
5−
BLO
QU
E 4
Resuelve las siguientes operaciones; hasta obtener la potencia:
02
( ) 25−
( ) ( ) ( ) 25555 2 =−−=−
25−
( )
( ) =−
=−
=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2
2
2
2
74
74
6575
21
( )
( ) =
=+
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2
2
2
2
6.0
52
43
32
( ) ( ) ( ) 25555 2 −=−=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
41
( )2.0− 2
Multiplicación Base Exponente Potencia
5 4 3,025 ( ) ( ) ( ) ( ) 455555 =
2
31
31
31
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
3
41
41
41
41
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( ) ( ) 34444 −=−−−
81
21
21
21
21 3 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25644444 4 +=−=−−−−
+ - +
( ) ( ) ( ) 16.04.04.04.0 2 ==
121
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Ya observaste ¿qué sucede con los exponentes de cada potencia? _______________________
_____________________________________________________________________________
lo cual es igual a
03
BLO
QU
E 4
( ) ( ) 532 bbbbbbbb =⋅⋅⋅⋅= ( ) ( ) 53232 bbbb == +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) =−−
=
=
=−−
=
=−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
a2
41
32
n2n
23
53
43
42
2.02.0
22
69
mm
aa
35
52
52
8.08.0
Resuelve las siguientes operaciones; hasta obtener la potencia:
122
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18723333333333 734 −=−=−−−−−−−=−−
( ) ( ) ( ) ( ) 18723333 73434 −=−=−=−− +
811
31
31
31
31
31
31
31 43 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
811
31
31
31
31 4133 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
o sea que
o sea que
también
( ) ( ) ( ) 02414444 53232 === +
( ) ( ) ( ) ( ) 0241444x4x44x444 51111132 ==== ++++
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) =
=
=−−
=
=−−
=−−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
−
33
22
66
4.04.0
55
333
41
41
41
4012777
2
32
23
23
21
53
23
422
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
04
BLO
QU
E 4
¿Ya observaste qué sucede con los exponentes en la división de potencias de igual base?
Escríbelo _____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
( )( )
( )( )
( )( ) =
=
=
=−−
=
=== −
2
4
2
3
5
6
5
4
3
4
4484
8
5.05.0.6
77.5
xx.4
22.3
aa.2
162222.1
( )( )
( )( )
( )( ) =
−−
=
=++
=−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
5
3
3
6
6
3
5
2
4
4
5
y2xy2x.12
ab3ab3.11
nmnm.10
99.9
3232
.8
6.26.2.7
Resuelve las siguientes operaciones; hasta obtener la potencia:
( ) ( ) 33252
5
1434
3
0222
2
2242
4
aaaaatambién
2.05155
55también
14444también
93333también
===
−=−
−=−=−−
===
===
−
−−
−
−( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3
2
5
14
3
02
2
22
4
aaa
aaaaaaa
551
5555555
55
144444
44
333
333333
==
−=−
=−−−−
−−−=
−−
===
==
−
123
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
05
Resuelve las siguientes operaciones:
BLO
QU
E 4
( )[ ] ( ) 09.03.06.0x5.0 22 ==es igual que: ...............................................................................
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 10001258525x2 333 =−−=−−=−
es igual que: ................................................................................ ( )[ ] ( ) 1000105x2 33 ==−−
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 09.036.025.06.05.06.0x5.0 222 ===
( ) 22222 dcdcdc =⋅=⋅ ( ) 222 dcdc =⋅es igual que: ...........................................................
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )[ ] =−
=⋅−
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
=⋅⋅
=−−
22
232
232
43
32
2
2
b3.1a2.114
2313
yx12
53
5311
nn10
2539
348
POTENCIA DE UN PRODUCTO
124
( ) ( ) 3663x2:queiguales369x43x23x2 22222 =====
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )
( )
( )
( ) =−
=
=
=−
=−−
=
=
−
22
3
22
22
2
3
2
ba37
mm66
7.05
3.14
353
2.04.02
625551
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )625390
151555:queigual555
729333:queigual729333333
ba8bbbaaa222ba2
8842428222242
63232622222232
333
======
=======
==
−−−−−+−+−+−−
⋅++
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
NOTACIÓN CIENTÍFICA DE CANTIDADES GRANDES
06
BLO
QU
E 4
Expresar cantidades grandes es mejor y facilita conocer su magnitud, hacerlo a través la notación científica; es decir, representarlas en función de potencias de 10.
Por ejemplo, un millón se escribe 1,000,000 y es lo mismo que 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10, en notación científica quedará como
El diámetro del sol es: 1,392,000,000 m esta cantidad puede ser expresada como,
610x1
NOTACIÓN CIENTÍFICA DE CANTIDADES PEQUEÑAS
m10x392.1 9
Algunas de las células bacterianas más pequeñas miden menos de una micra.
Una micra es igual a una millonésima parte de un metro
El tamaño o volumen exacto de un átomo es difícil de calcular, pero puede estimarse razonablemente en
66 10x1
101
000,000,11 −==
m10x0586.1 01−
Completa la siguiente tabla anotando las cantidades que faltan en cada caso:
125
Notación Científica
Distancia media de la tierra al sol
Distancia media de Neptuno al sol
150,000,000,000 m
4,500,000,000,000 m
m10x5.1 11
Distancia media de Saturno al sol 1,427,000,000,000 m
Distancia media de Marte al sol 1110x28.2
Protón 0.000,000,000,000,000,000,167,26 kg
m10x5 5−
Notación Decimal
El grosor del pelo es aproximado a 0.05 mm
Diámetro de un glóbulo rojo 0.0065 cm
Cantidad de moléculas en 1 gr de agua 33,400,000,000,000,000,000,000
Tamaño de un microbio cm10x4 6−
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraicoB
LOQ
UE
4RADICACIÓN
Es la operación i n v e r s a a l a p o t e n c i a c i ó n mediante la cual c a l c u l a m o s l a B A S E , s i s e c o n o c e e l exponente y la potencia.
Los términos de la raíz cuadrada son:
07
Este procedimiento ya lo vimos en el curso anterior, ahora vamos a ver como encontrar la radicación de cantidades elevadas a potencias. Si la raíz cuadrada de una cantidad (radicando) es aquella (raíz) que al multiplicarse por sí misma da como resultado el radicando.
Ejemplo: raíz cuadrada de 81 es 9 porque 9 x 9 = 81 El número 81 es igual a 9²
Entonces observa que extraer raíz a un número con exponente, éste se divide entre el índice; así, 2 : 2 = 1.
Raíz cúbica de 64 es 4; porque, 4 x 4 x 4 = 64 El número 64 es igual a 4³
Entonces observa que extraer raíz a un número con exponente, éste se divide entre el índice; así, 3 : 3 = 1.
992 2 =
443 3 =
25
2:52 5
32:62 6
22:42 4
mmm
777
666
==
==
==
07
1.- Separamos de derecha a izquierda el número en cifras de dos en dos. Nos queda: 56,25
2.- Encontramos la raíz cuadrada más próxima del 56 sin pasarse; raíz cuadrada de 56 es aproximadamente 7 y escribimos el 7. Decimos 7 x 7 es igual a 49; 49 para completar 56 es igual a 7 y escribimos el 7.
3.- Bajamos el 25 que junto con el 7 se forma el número 725.
4.- El 7 obtenido se multiplica por 2, y escribimos 14 abajo del 7.
5.- Para encontrar el siguiente número del resultado, y como ese número se bajara y se colocará junto al 14 se formará el ciento cuarenta y tantos , cuantos ciento cuarenta y tantos caben en el número 725.
6.- Encontramos que 5 veces el ciento cuarenta y tantos puede formar el 725, mismo que anotamos tanto en el resultado como a la derecha del 14 formando los números 75 y 145.
7.- Multiplicamos enseguida 5 x 145 = 725 , cantidad que se resta al 725 formado anteriormente, quedando como residuo cero.
126
35
31
35313 5
2363 6
38
383 8
x3x3x3
444
5.25.25.2
==
==
==
÷÷
÷
÷
n5
n1
n5n1n 5
1666 6
45
454 5
a4a4a4
7777
32.032.032.0
==
===
==
÷÷
÷
÷
225 15 -1 125 25 -125 0
2
Radicando
RaízÍndice
Residuo
5 6,2 5 7 5- 4 9 1 4 5 7 2 5 - 7 2 5 0
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
08
BLO
QU
E 4Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números :
1) 1 4 4 2) 4 0 0 3) 4 9 4) 1 6 9
5) 4 9 0 0 6) 1 9 3 6 7) 5 3 2 9 8) 1 3 6 9
_______________ba710
__________________38)9
________________w14)8
__________________c5)7
__________________n3)6
_________________dc5)5
__________________14)4
__________________y5)3
___________________9)2
_________________75.0)1
2 73
2 3
2 32
2 3
2 7
2 3
2 2
2 5
2 8
2 6
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
_______________yx3420
__________________78)19
_________________r5)18
__________________d4)17
_________________n8)16
_______________ed27)15
__________________14)14
__________________j3)13
________________45.9)12
_________________5.6)11
4 52
7 3
3 32
5 3
y nm
3 32
6 2
x 4
5 3
3 7
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Encuentra las siguientes raíces expresándolas en función de sus exponentes:
127
Significado y uso de las operacionesSentido numérico y pensamiento algebraico
09
BLO
QU
E 4
128
También la raíz cuadrada se puede realizar en operaciones como en las de los ejemplos:
21
212
am3a
m3am3 −
== 32
32
31
32
31
3 233
7
5
mm1m
1m1
mmmmmmmmmmmm
mm −−
=⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
Observa cómo el exponente que queda en el denominador lo puedes subir al numerador pero con el signo contrario.
323212624222 64 yx2yx2yx2yx4 === ÷÷÷
41
41
35
32
4
3 52
a21
yx
a21
yx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=0001210x210x210x0.8008000000.0 33
933
3 93 ==== −−−
Encuentra el resultado de los siguientes raíces:
=
=
=
=
=
=
=
3
34
22 3
3 2
2
33
4
3
2 23
2 32
3 32
nm7nm127
yx3
a6x26
00000000060055
yx9yx184
nm6ba12
3
m5nxm6
2
2cba7
1
y2
3x5
yx2
y3x5
yx2
y3x5
21
21
23
23
21
21
21
21
2
2 3
22
==
De las figuras anteriores, ¿qué figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño?
________ y _______ ________ y ________ ________ y ________
Partiendo de los conocimientos que ya has aprendido en los cursos anteriores, da la respuesta a las preguntas que se te hacen.
¿Cuáles de las siguientes figuras geométricas son congruentes?
FIGURAS PLANAS
4.2Determinar los criterios de
congruencia de triángulos a partir de construcciones con
información determinada.
1
23
46
78
910
11
12 13
5
BLO
QU
E 4
129
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Dos o más figuras geométricas son CONGRUENTES cuando sus lados y ángulos son iguales ó dos o más figuras también lo son cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño.Para indicar congruencia se utiliza el símboloA las figuras geométricas que tienen la misma forma o sus ángulos miden lo mismo pero sus lados tienen diferente medida les llamamos: FIGURAS SEMEJANTES.Para indicar semejante se utiliza el símbolo
~
~=
Dados los siguientes triángulos, determina cuáles son congruentes:
140°140°
140°
25°
25°15°
1212
12
Considerando los datos de los siguientes triángulos, determina cuáles son congruentes.
Q
M
=~
=~
=~
=~=~
=~
=~ =~=~
55° 65°
8 8A
=~
C
B
P
=~
BLO
QU
E 4
130
Forma, espacio y medida Formas geométricas
M
N
A B C D E F G
65°
60°
60°
55°
6
Para que dos figuras sean CONGRUENTES es necesario que:
a).- Dos triángulos son congruentes, si tiene dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
d).- Dos triángulos son congruentes, cuando son congruentes los dos lados de uno a los dos lados del otro y un ángulo adyacente a cualquiera de los dos lados.
c).- Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
b).- Dos triángulos son congruentes, si tiene dos ángulos congruentes y el lado común a ellos también es congruente.
M
N
O M'
N'
O'130° 130°
7 7
6 6
Y Y'
X X'
Z Z'
MNO M'N'O''=~
BLO
QU
E 4
131
Forma, espacio y medida Formas geométricas
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C B' C'
5 5
6 6
A A'
65°65°
C B' C'
5 5
A A'
60° 60°
65°65°
AB A' B'=~ BC B' C'=~
ABC A' B' C'=~
X Y
X' Y'=~
Y Z
Y' Z'=~
Z X
Z' X'=~
ABC A' B' C'
AB A' B'=~
CAB C' A' B'=~=~
Forma, espacio y medida Formas geométricas
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para que dos figuras sean semejantes es necesario que:
a) Sus ángulos homólogos sean congruentes. b) Sus lados homólogos sean proporcionales.
Estas condiciones son necesarias para toda figura, incluyendo a los triángulos; sin embargo, existen condiciones más específicas para los triángulos:
1.- Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos son respectivamente congruentes con dos ángulos del otro triángulo.
3.- Dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno son proporcionales a los tres lados del otro.
2.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y congruente el ángulo comprendidos entre ellos.
NMO N'M'O' ~
~ABC A'B'C'
~XYZ X'Y'Z'
C
A
60°
65 ° B' C'
A'
60°
65 °
42
6 345°y'
x'
z'45°y
x
zBLO
QU
E 4
132
M O
N
M'O'
N'
12.9
2
38.7
6
B ' =~A ' =~
4 es proporcional a 2
6 es proporcional a 3
1 es proporcional a 3
2 es proporcional a 6
2.9 es proporcional a 8.7
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Encuentra los triángulos semejantes aplicando los criterios de semejanza entre ellos:
4.4
23
70°
40°
4.1630°
4.8
40°
70°
2.4
2.0830º
6.6
4.5
3
60 °
60 °
3
3.46
32°
6.44
5
A) B) C)
D)
G) H) I)
E) F)
De las siguientes figuras semejantes, señala los lados HOMÓLOGOS
AB es homólogo de _____ BC es homólogo de _____ AC es homólogo de _____
A
B C
D
E
Cuando dos figuras son semejantes sus lados son HOMÓLOGOS.
BLO
QU
E 4
133
~ ~ ~_____ _____ _____ _____ _____ ____
Forma, espacio y medida Formas geométricas
RECTAS Y ÁNGULOS
Al observar la figura que se encuentra en la parte derecha, tú encontrarás líneas como:
_____________________, ____________________
_____________________, ____________________
¿Así es,....verdad?
En los cursos anteriores, aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo y la mediatriz de un segmento.
Con base en lo que aprendiste anteriormente, escribe los siguientes conceptos. ¿Qué es la BISECTRIZ?
¿Qué es el INCENTRO?
¿Qué es la MEDIATRIZ?
¿Qué es el CIRCUNCENTRO?
Con ayuda de tu maestro, analiza las siguientes figuras y observa que en ambas, las rectas trazadas son las bisectrices, mediatrices, medianas y alturas, IDENTIFÍCALAS y observa lo que ocurre.
4.3 Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en el triángulo.
BLO
QU
E 4
134
Rojo .... __________
Verde .. __________
Azúl .... __________
Fiucha __________
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Si queremos trazar la BISECTRIZ de un ángulo, se procede de la siguiente manera. Recuerda que ésto lo vimos en el curso anterior.
Traza la BISECTRIZ de los siguientes ángulos, usando el proceso anterior.
1) Hacemos con el compás, centro en el vértice B, y trazamos los arcos M y N.
2) Con el centro en M y N trazamos los arcos M' y N' respectivamente.
3) Trazamos la BISECTRIZ, uniendo el vértice B y el punto donde se cortan los arcos M' y N'
C
B
A
M
N
M'
N'
BISECTRIZ
1)
2)
3)
Traza la BISECTRIZ de cada ángulo de los siguientes triángulos, usando el mismo proceso.
Observa que las bisectrices tienen un punto donde las tres se juntan. A este punto de coincidencia se le llama: INCENTRO
BISECTRIZ DE UN ÁNGULOB
LOQ
UE 4
135
Forma, espacio y medida Formas geométricas
En todo triángulo isósceles la BISECTRIZ del ángulo diferente siempre es un EJE DE SIMETRÍA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partes iguales.
EJEMPLO: Trazo de su eje de simetría usando regla y compás.
Traza con el compás, la BISECTRIZ o el EJE DE SIMETRÍA, a cada uno de los siguientes ángulos.
Traza con ESCUADRAS, los EJES DE SIMETRÍA que tengan cada una de las siguientes figuras.
Con base en la figura, completa: AO = _________ AC = _________ ACO = _________
ACO = _________
BLO
QU
E 4
136
A B
CY
Y'O
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Ya que analizaste lo que son las rectas paralelas y las perpendiculares, vamos analizando una recta perpendicular especial que nos será muy útil en la construcción de algunas figuras geométricas.
¿Cómo harías para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de recta dado?¡Házlo!
¿Qué hiciste? _________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
¿Usaste sólo las escuadras? Sí o No
Recordando lo que se hizo en 1°, veamos como trazar dicha recta haciendo uso de compás y regla.
Reafirmando lo aprendido, repite el proceso expresado, para trazar la mediatriz a cada lado del los triángulos, tomando en cuenta los puntos que se dan.
Haciendo uso de la construcción de una MEDIATRIZ, trázalas en las líneas punteadas de las siguientes figuras:
60
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DE RECTA
1.- Abre el compás, un poco más de la mitad de la longitud de la recta.
2.- Con la abertura del compás, apóyalo en uno y otro extremos de la recta y traza arcos que se crucen, en uno y otro lado de la recta.
3.- Desde los cruces de arcos traza una recta, la cual dividirá en dos partes iguales a la primera recta.
2
12
3
Mediatriz
R S
BLO
QU
E 4
137
M
N
o
o o
o
oo
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja un triángulo isósceles, sobre la línea roja dada, el centro de una circunferencia y el centro de una elipse.
Para Tí, ¿qué es la línea que venimos llamando MEDIATRIZ? ___________________________
____________________________________________________________________________
Al trazar las alturas de un triángulo y al prolongarlas, se encontrarán en un mismo punto llamado: Ortocentro.
En los cursos anteriores aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento y la altura de un triángulo; además, aprendiste cada uno de los tres conceptos.
La altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular a un lado que va de un vértice al lado opuesto.
Traza las alturas de los siguientes triángulos y prolóngalas, de manera que coincidan en un mismo punto de unión.
¿Cuántas alturas tiene un triángulo? .................................................. ______________________BLO
QU
E 4
138
°
ALTURA
Forma, espacio y medida Formas geométricas
Al trazar las medianas de un triángulo y al prolongarlas, se encontrarán en un mismo punto llamado: Baricentro.
En el triángulo que se presenta, escribe el nombre del segmento que se indica.
MEDIANA
En los cursos anteriores aprendiste a trazar con el compás y la regla la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento, la altura de un triángulo y la mediana de un triángulo; además, aprendiste cada uno de los conceptos.¿Cuántas medianas tiene un triángulo? ................................................... ___________________
La mediana de un triángulo es el segmento de recta entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Traza las medianas de los siguientes triángulos y prolóngalas, de manera que coincidan en un mismo punto de unión.
Escribe el nombre del punto que se te indica:
Punto de intersección de las tres bisectrices ......................... ____________________
Punto de intersección de las tres mediatrices ...................... ____________________
Punto de intersección de las tres alturas ............................... ____________________
Punto de intersección de las tres medianas ........................... ____________________
BLO
QU
E 4
139
PROBABILIDAD es la posibilidad que existe de que ocurra un evento.
Históricamente la PROBABILIDAD inicia con la necesidad de establecer las condiciones para determinar la posibilidad de que en los experimentos aleatorios se obtenga un resultado lo más próximo a ser real.
En mi grupo de clase, somos 35 compañeros, el Maestro de Educación Artística sorteará entre todos nosotros un boleto para asistir a una exposición de cultura. ¿Qué posibilidad tengo de obtener el boleto?
Consideremos los siguientes CONCEPTOS:
En este caso el ESPACIO es de 35 alumnos y la MUESTRA es un boleto
Análisis de la informaciónManejo de la información
4.4Distinguir en diversas
situaciones de azar eventos que son independientes.
Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más
eventos independientes.
BLO
QU
E 4
140
ESPACIO o POBLACIÓN - Todos los elementos de un fenómeno.MUESTRA - Cada uno de los posibles resultados que hay en el espacio.EVENTO - Son los elementos del espacio con determinadas características.
Ejemplos:
¿Cuál es la probabilidad de que el cumpleaños de Elena sea durante el mes de mayo?
muestra del evento es igual a 1, muestra del espacio es igual a 12 ................... Probabilidad =
Para un sorteo de un teléfono celular se elaboraron cien boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar un número, éste resulte ganador?
muestra del evento es igual a 1, muestra del espacio es igual a 100 ................. Probabilidad =
En una caja con 3 canicas rojas, 2 verdes, y 5 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica verde?
muestra del evento es igual a 2, muestra del espacio es igual a 10 .................... Probabilidad =
1 12
1 100
2 10
NOCIÓN DE PROBABILIDAD
RESULTADO: La probabilidad que tengo de obtener el boleto es de
135
La fórmula de la PROBABILIDAD de un evento es:
P( E )
P( E ) 1 35=
Muestra del eventoMuestra del espacio=
¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Canto? ................. ________
¿Qué probabilidad tengo de asistir a cualquier evento? .................. ________
¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Danza? ................. ________
¿Qué probabilidad tengo de no obtener algún boleto? .................... ________
¿Qué probabilidad tengo de asistir al evento de Poesía Coral? ...... ________
¿Qué es más probable que ocurra? ......................................... __________________________
¿A cuál evento tengo más probabilidad de asistir? ................... __________________________ ¿A cuál evento tengo menos probabilidad de asistir? ............... __________________________
Observa detenidamente los resultados que encontraste y señala lo siguiente:
Análisis de la informaciónManejo de la informaciónB
LOQ
UE 4
141
Al Maestro asesor de mi grupo (45 alumnos), le dieron para repartir entre mis compañeros un total de 20 boletos para asistir a diferentes eventos culturales; 10 boletos para Canto, 5 para Poesía Coral y 5 para Danza.
Contesta lo siguiente:
El espacio es ................................................... 45 La muestra de Canto es .............. 10
La muestra de Danza es ................................. _____ La muestra de Poesía Coral es ... _____
La muestra de los que asistirán a algún evento _____ La muestra de los que no asistirán _____
Aplicando la fórmula: contesta lo que se solicita:
muestra del eventomuestra del espacioP =(E)
EVENTO: Juega a sacar los objetos. Si sacas las cuatro ruedas antes que los fantasmas, te ganas un automóvil último modelo. Si sacas los tres fantasmas antes que las cuatro ruedas, pierdes. Por cada billete ganas 500 pesos.
¿Cuántos papelitos hay en la caja? .................................. ______________
¿Cuál es la probabilidad de que ganes el automóvil? ....... ______________
¿Cuál es la probabilidad de que pierdas? ......................... ______________
¿Cuál es la probabilidad de que ganes 500 pesos? .......... ______________
En una caja simula con papelitos cuatro ruedas de carro, tres fantasmas y cuatro billetes de 500 pesos.
Análisis de la informaciónManejo de la informaciónB
LOQ
UE
4
142
41deesadprobabilidLa
41
369
63x
63
==
Si arrojamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga en número par? .............. ________
Si arrojamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga en número impar? .......... ________
Si arrojamos un dado dos veces, ¿qué probabilidad existe, de las dos veces, que caiga en número impar?
Si arrojamos un dado tres veces, ¿qué probabilidad existe, de las tres veces, que caiga el número 4?
_________________________________
Si arrojamos un dado cinco veces, ¿qué probabilidad existe, de las cinco veces, que caiga un número par?
__________________________________
Si arrojamos un dado cuatro veces, ¿qué probabilidad existe, de las cuatro veces, que caiga un número 1?
_________________________________
EVENTOS DEPENDIENTESE INDEPENDIENTES
Ejemplo: En una bolsa tengo tres monedas de cinco pesos, dos de dos pesos y tres de un peso.La probabilidad de sacar una moneda de cinco pesos es de 3/8.La probabilidad de volver a sacar otra moneda de cinco pesos depende de: que al haber sacado la primer moneda, ésta se reintegre o no a la bolsa.
En este caso: Si al sacar monedas de la bolsa y se vuelven a reintegrar a la bolsa, se llama: EVENTO INDEPENDIENTE porque no se modifica la muestra del espacio. Si al sacar monedas de la bolsa no se vuelven a reintegrar, se llama:
EVENTO DEPENDIENTE porque cada extracción de monedas modifica la muestra del espacio.
Si arrojamos una moneda al aire, ¿qué probabilidad existe de que caiga águila?
Si lanzamos un dado, ¿qué probabilidad existe de que caiga el número 6?
Si lanzamos una moneda y un dado, ¿ qué probabilidad existe de que caiga águila y el número 6?
En este caso la probabilidad de los dos eventos juntos, es el producto de la probabilidad de cada
evento
2posiblescasos1favorablescasosadprobabilid
==
=
6posiblescasos1favorablescasosadprobabilid
==
=
121deesadprobabilidLa
121
61x
21
=
Dentro de una bolsa se colocaron 5 bolitas color rojo, 3 azules y 4 verdes:
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color rojo? ..................... ___________
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color verde? .................. ___________
Si efectivamente salió verde y ya no se vuelve a colocar dentro de la bolsa,¿cuál es la probabilidad de volver a sacar otra verde? ............................................. ___________
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una, ésta sea de color verde o azul? ....... ___________
Si en los diferentes intentos ya salieron dos bolitas rojas y no se volvieron a colocar dentro de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de volver a sacar otra roja? ..... ___________
2.- 15 personas van a participar en el sorteo de una televisión, una grabadora y una licuadora. Simula con papelitos, 1 televisión, 1 grabadora, 1 licuadora y 12 sin ningún objeto. Realicen este juego aleatorio entre 15 compañeros.
Análisis de la informaciónManejo de la información
143
En mi grupo el maestro sorteó a los equipos los trabajos que vamos a presentar a fin de año; en una urna colocó 3 papelitos que decían triángulos, 4 que decían ecuaciones y 2 que decían gráficas.Considerando la información anterior, y que al sacar los papelitos estos ya no se regresan, contesta lo que se te pregunta:
¿ Cuál es la probabilidad de que al sacar uno, éste señale ecuaciones? .............................................................................. ____________
¿ Si no se regresa el papel a la urna, cuál es la probabilidad de que al sacar otro, éste señale triángulos? ............................. ____________
¿ Si no se regresa el papel a la urna, cuál es la probabilidad de que al sacar otro, éste señale gráficas? ............................... ____________
BLO
QU
E 4
ecuacionestriángulos
gráficas
CONTESTA:
¿Cuántas personas participan en el sorteo? .................................................................... _______
¿Cuál es la probabilidad de obtener una televisión? ........................................................ _______
¿Cuál es la probabilidad de obtener una grabadora? ...................................................... _______
¿Cuál es la probabilidad de obtener una licuadora? ........................................................ _______
¿Cuál es la probabilidad de obtener una televisión o una grabadora? ............................. _______
esto equivale a sumar + =
¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquiera de los tres premios? .............................. _______esto equivale a sumar
¿Cuál es la probabilidad de no obtener algún premio? .................................................... _______+ + =
1 115 15
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números
4.5Interpretar y utilizar dos o más
gráficas de línea que representan características distintas de un
fenómeno o situación para tener información más completa y en su
caso tomar decisiones.
Ya anteriormente observaste otro tipo de gráficas.Ahora vuelve a observar y analizar en equipo, el siguiente plano cartesiano y contesten lo que se solicita.
¿En cuál mes hay mayor diferencia en ventas entre las tiendas el paraíso y la fortuna?
____________________________________¿Cuál tienda durante el año tiene el mayor número de ventas?
____________________________________¿En cuál mes el paraíso y la fortuna tienen las mismas ventas de juegos?
____________________________________ ¿Qué representa en lo general la gráfica?
____________________________________
____________________________________
Describe para cada tienda de juegos, la línea de tendencia de ventas:
El paraíso: ____________________________________________________________________
La fortuna: ____________________________________________________________________
Escribe el tipo de pendiente que tiene cada una de las rectas.
El paraíso _______________ La fortuna _______________
En una granja en el mes de enero, nacen 4 conejos blancos y 8 negros; en febrero, 2 conejos blancos y 10 negros; en marzo, 10 conejos blancos y 6 negros; en abril, 12 conejos blancos y 4 negros y en el mes de mayo, nacen únicamente 12 conejos blancos.Traza una gráfica siguiendo las indicaciones de los incisos.
a) Escribe un título para la gráfica.
b) Identifica el eje vertical y el horizontal.
c) Escribe la escala para los ejes vertical y horizontal.
d) Traza las rectas para cada color de los conejos, según los datos dados.
GRÁFICAS
1
E F M
2
6
345
78
A M J J A S O N D
109
Mes
No.
de
jueg
os v
endi
dos
(en
cent
enas
)
Promedio de ventaspor mes
El paraísoLa fortuna**
**
** *
***
*
144
BLO
QU
E 4
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números
El costo por viajar en taxi en diferentes ciudades es el siguiente:En la ciudad A, se cobra $ 5.00 por el banderazo y $ 1.50 por cada kilómetro que recorre y en la ciudad B, el banderazo es de $ 1.00 y $ 2.00 por kilómetro recorrido.En el mismo plano cartesiano construyan las gráficas con respecto a lo anterior y posteriormente contesten lo que se te solicita.
CIUDAD A CIUDAD B
¿Qué sucede al recorrer 8 kilómetros en taxi en ámbas ciudades? ________________________
______________________________________
¿En cuál ciudad el viajar en taxi es más barato?
______________________________________
Observa y analiza la siguiente gráfica para responder las preguntas.
¿A qué hora empezó el recorrido Toño? .......................................... ______________________
¿Cuánto tiempo descansa cada vez que camina una hora? ........... ______________________
¿Cuántos kilómetros camina hasta el punto M? .............................. ______________________
¿A qué horas llega al punto M? ....................................................... ______________________
Kilómetros Cantidadrecorridos a pagar
145
RECORRIDO REALIZADO POR TOÑO
1216
48
20
10 11 12 13HORAS
X
Y
KM
M
BLO
QU
E 4
Kilómetros Cantidadrecorridos a pagar
x
y
Kilómetros
Cantidad
a
pagar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
16
13
14
15
17
18
20
19
1
2
6
3
4
5
7
8
10
9
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números
146
BLO
QU
E 4
Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas.
A las dos de la tarde sale de la ciudad de Chihuahua un automóvil con una velocidad constante de 80 km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?
40X
Y
1 2 3 4 5 6 7Hora: ________________
Distancia: ____________
Un hombre rema río abajo 10 km en una hora y río arriba 4 km en una hora. Hallar la velocidad del bote y la velocidad del río.
x = velocidad del bote, en km/h.
y = velocidad del río, en km/h.
x - y = velocidad del bote contra la corriente, en km/h.
x + y = velocidad del bote en favor de la corriente, en km/h.
x - y = 4
x + y = 10 12
6
345
78
109
Tiempo (hr.)
Dis
tanc
ia (k
m)
1 2 3 4 5 6 7 8
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números
¿A qué horas inicia el recorrido el Sr. Soto?
____________________________________
¿A qué velocidad se traslada el Sr. López?
____________________________________
El Sr. Soto y el Sr. López viajan por separado en motocicletas e inician desde el mismo lugar, por la misma carretera y a velocidades diferentes. Interpreta las tablas de valores y la gráfica de estos recorridos, para que contestes lo que se te pregunta.
Después de dos horas de recorrido, el Sr. Soto, ¿cuánto tiempo descansa? ________________
¿Qué tipo de pendiente tienen la gráfica del Sr. Soto y la del Sr. López? .... ________________
¿En qué momento se encontrarán? .............................................................. ________________
¿Quién utiliza menos tiempo para hacer el mismo recorrido? ....................... ________________
¿A qué velocidad promedio se traslada el Sr. Soto?
____________________________________
Tabla de valores del Sr. Soto
2040
120
6080
100
140160
200180
Tiempo (hr)
Dis
tanc
ia (k
m)
*
*
*
*
*
1 2 3 4 5 6 7 8
Sr. Soto Sr. López
* *
Tabla de valores del Sr. López
4.6Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de
recta que modelan situaciones relacionadas con
movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
Tiempo Distancia
GRÁFICASB
LOQ
UE 4
147
descansa 1 hora
12:00 hr 0
13:00 hr 30 30 km/h
14:00 hr 60
Tiempo Distancia
15:00 hr 0
16:00 hr 95
17:00 hr 130 35 km/h
18:00 hr 165
19:00 hr 200
15:00 hr 0
16:00 hr 50
17:00 hr 100 50 km/h
18:00 hr 150
19:00 hr 200
Por medio de una gráfica resuelve lo siguiente. El pueblo de Temosachi está a una distancia de 230 km. de la ciudad de Chihuahua. El señor Pedro Mata sale de Chihuahua hacia Temosachi a una velocidad promedio de 50 km/hr. Su hijo Antonio dejó Temosachi, una hora más tarde y se dirige hacia la ciudad de Chihuahua por la misma carretera a una velocidad de 40 km/hr, ¿cuándo y dónde se encontrarán?
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números
Observa y analiza la gráfica siguiente para responder las preguntas.
100200
600
300400500
700800
1000900
11001200
10 20 30 40 50 60 70 80
Recorrido de un alumno
Dis
tanc
ia d
esde
la e
scue
la (m
etro
s)
Tiempo (minutos)
1.- Si inició su recorrido a las 6:40, ¿cuántos metros lleva recorrido después de 25 minutos? _____
2.- ¿A qué hora inicia su regreso? ___________ 3.- ¿De cuántos metros es su recorrido? _____
4.- ¿Cuántos minutos descansa? ___________ 5.- ¿A qué hora? ..................................... _____
148
BLO
QU
E 4