CLASIFICACIN Y RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

Sistemas, Clasificacin.Los sistemas se clasifican de acuerdo al orden de la ecuacin diferencial que los caracteriza. As tenemos que un sistema de primer orden est caracterizado por una ecuacin diferencial de primer orden, un sistema de segundo orden est caracterizado por una ecuacin diferencial de segundo orden, etc.Despus de haber estudiado las diferentes funciones de excitacin estamos en capacidad de estudiar la respuesta de diferentes sistemas. Sometidos a excitaciones dadas. Como dijimos anteriormente, los sistemas los clasificaremos segn el orden de la ecuacin diferencial que los representa.

Clasificacin, Sistemas de Orden Cero o Proporcional.En estos sistemas la relacin entre la entrada y la salida es. una constante, de manera que estn representados por una ecuacin del siguiente tipo:

Clasificacin, Sistemas de Orden Cero o Proporcional.La funcin de transferencia por lo tanto tambin ser una constante. Su valor no depende del tiempo. A este y a cualquier otro coeficiente constante e independiente del tiempo de las funciones de transferencia de orden mayor, se acostumbra llamarlo GANANCIA del sistema.

Clasificacin, Sistemas Integrados.Son aquellos cuya ecuacin diferencial es del tipo:

Clasificacin, Sistemas Integrados, Respuesta a un Escaln.

Clasificacin, Sistemas Integrados, Respuesta a un Excitacin Rampa.

Clasificacin, Sistemas Integrados.Los procesos integrativos casi no se dan en la industria. Su control es muy difcil como veremos ms tarde. A este tipo de proceso se los clasifica como no estables o no regulados porque una excitacin finita (caso del escaln) su respuesta tiende a infinito. Es decir que no hay una correspondencia biunvoca entre los valores de entrada y los valores de salida. En otras palabras no alcanza el estado de equilibrio.

Clasificacin, Sistemas Derivativos.Su ecuacin diferencial es del tipo:

Clasificacin, Sistemas Derivativos, Respuesta a un Escaln.

Clasificacin, Sistemas Derivativos, Respuesta a una excitacin Rampa.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden. Estn representados por una ecuacin diferencial del tipo

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Ejemplo.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Funcin de Transferencia.Hallemos las funciones de transferencia del sistema en estudio.Por el principio de superposicin de los sistemas lineales separamos las dos variables que pueden alterar la respuesta, en nuestro caso la altura del lquido en el tanque. Esas variables son el caudal de entrada al tanque la presin de salida despus de la restriccin.Consideremos primero h0 = 0, luego una funcin de transferencia ser la que relaciona la salida o respuesta (nivel en el tanque) con la entrada o excitacin ( caudal de entrada).

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Funcin de Transferencia.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Funcin de Transferencia.Veamos ahora la otra funcin de transferencia que nos da una relacin entre el nivel y una variacin en la presin de salida h0.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Cambio Escaln.Hallemos ahora la respuesta del sistema para diferentes excitaciones aplicadas al caudal de entrada. (lo mismo podra hacerse para excitaciones aplicadas en h0).

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Cambio Escaln.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Cambio Escaln.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Cambio Escaln.El mismo resultado pudo haberse obtenido ms fcilmente trabajando en el dominio de Laplace y luego hallando la transformada inversa de la expresin de h0(s). (trate de obtener la respuesta trabajando en Laplace ) obtendremos la respuesta estable del sistema, es decir el punto de equilibrio para el cual la entrada es igual a la salida. Sobre todo en el significado fsico conviene detenerse para lograr una perfecta interpretacin del fenmeno matemtico Es por eso que representamos algo tan grfico y sencillo como el tanque para explicar los sistemas de primer orden.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoSupongamos que la ecuacin anteriormente vista excitada por un escaln de amplitud A.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoSi la excitacin hubiese sido unitaria es decir RA = 1, entonces el valor de la tangente en el tiempo t=0 es igual a la inversa de la constante de tiempo.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoDe aqu se desprende la importancia de la constante de tiempo. Cuanto ms tarda en responder un sistema a una excitacin, es decir, cuanto ms lento, mayor es la constante de tiempo, menor es la tangente en el punto t = 0.Fsicamente la constante de tiempo, en el caso del tanque, tiene una relacin directa con el tiempo de llenado del tanque, es decir, con la relacin entre el volumen y el caudal (ver Harriott).Por el enfoque que le damos al curso nos interesa ms desde el punto de vista de sistemas y no de interpretaciones particulares.Comnmente tenemos la representacin grfica de una respuesta a un escaln y deseamos obtener las constantes y coeficientes de la ecuacin diferencial correspondiente. Este arte de la ingeniera de Control es de por si una especializacin que se llama identificacin de sistemas.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoVeamos como podramos obtener la constante de tiempo de un sistema de 1 er orden a partir de su respuesta grfica.Para un tiempo t = T (constante de tiempo) la respuesta sera:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoO sea que en el grfico obtenemos el valor del estado permanente (en este caso igual a RA), hallamos el 63.2% de este valor y proyectando al eje de los tiempos resulta un valor del tiempo que es igual a la constante del tiempo.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Significado Matemtico de la Constante de TiempoA los efectos de los anlisis fsicos consideramos que una respuesta se estabiliza mucho antes que el sealado matemticamente (t infinito.). En realidad con un tiempo transcurrido igual a t = 4T la respuesta alcanza el 98% de su valor de equilibrio o, estado permanente, dado que:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Impulso.Con el fin de estudiar un sistema de diferentes disciplinas escogeremos ahora otro sistema. Analicemos el comportamiento dinmico de sistema formado por un resorte y un amortiguador, ambos sin masa.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Impulso.y arreglando, la ecuacin diferencial del sistema ser:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Impulso.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Impulso.Otra forma muy til de obtener la respuesta es seleccionar el impulso con escaln.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a un Impulso.Con lo cual obtenemos el impulso. Por lo tanto si tenemos la respuesta de un sistema a un escaln hasta con derivarla para obtener la respuesta al impulso. En el ejemplo anterior:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.Estudiaremos ahora la respuesta a un sistema representado por un tanque de mezcla con agitacin.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.Si el nivel del tanque permanece constante el flujo E de entrada ser igual al de salida. Si en la entrada se produce un escaln en la concentracin c1, en el tanque habr una variacin de concentracin hasta que todo el volumen del tanque haya sido renovado. Es lgico pensar que el tiempo de esta variacin de concentracin en el flujo y del volumen del tanque.

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.Esta ltima ecuacin representa el comportamiento de la concentracin en el tiempo. Su funcin de transferencia es:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.Se demuestra que habiendo en tanques iguales la funcin de transferencia es:

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.Apliquemos ahora una excitacin rampa en la concentracin de entrada c1

Clasificacin, Sistemas de Primer Orden, Respuesta a una Funcin Rampa.su representacin grfica:

Clasificacin, Algunos otros casos de sistemas de primer orden:Termmetro sin termoposo, horno; circuito elctrico con una resistencia y un capacitor; circuito elctrico con una resistencia y una inductancia; circuito neumtico RC.Los sistemas de primer orden son generalmente estables, es decir que sus transcientes decaen con el tiempo a cero, debido que su expresin matemtica esta elevada a un exponente negativo. En caso contrario, si el exponente fuera positivo la expresin tendera a infinito, no tendr lmite, en otras palabras no ser estable, dado que su transciente crece con el tiempo.

Clasificacin, Algunos otros casos de sistemas de primer orden:Estos sistemas estables se les suele llamar autoestabilizados, autoestables, y no muy felizmente autoregulados, que daran la idea de que no necesitan control. Su denominacin surge de la capacidad que tienen de encontrar nuevos puntos de trabajo o equilibrio para diferentes magnitudes de excitacin finitas. Es fcil observar as mismo que hay una correspondencia biunivoca entre los valores de la entrega y los valores de la respuesta una vez alcanzado el estado permanente.Como hemos visto en los sistemas integrativos, estos se comportan en forma no autoestable, dado que no pueden encontrar un nuevo punto de equilibrio si son movidos de un punto de trabajo dado.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.Su modelo matemtico es :

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.Si el arreglo hubiera sido vertical, es decir la masa pendiendo del resorte y por el otro extremo agarrada al amortiguador viscoso hubiramos tenido que agregar a la ecuacin el peso de la masa provocando un estiramiento inicial del resorte. Si el sistema se analiza partiendo de ese punto de reposo llegaremos a las mismas ecuaciones que aqu presentaremos, o sea que el peso no interviene dentro del comportamiento dinmico.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.cuyo significado conoceremos ms adelante. Aplicando Laplace con condiciones iniciales iguales a cero:de donde, la funcin de transferencia es:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.las races de la ecuacin caractersticas dependen solo de dos parmetros

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.La posibilidad de varias respuestas puede establecerse desde el punto de vista matemtico. La ecuacin del sistema es una ecuacin diferencial de 2do orden, entonces habr dos races de la ecuacin caracterstica. Dependiendo de la naturaleza de estas races (reales y desiguales, reales e iguales o complejas conjugadas) vara la forma de la solucin. Cuatro posibles respuestas sern investigadas, permitiendo que el coeficiente del amortiguamiento cambie mientras n permanece constante.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Si el coeficiente de amortiguamiento se hace igual a cero la funcin de transferencia (ecuacin 1) del sistema quedaA partir de la ecuacin (2) las races de la ecuacin caracterstica son:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Para obtener la respuesta del sistema excitmoslo con una funcin escaln unitario. De la ecuacin (1) tenemosPor fracciones parciales.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Obsrvese que al suponer =0 eso significa que el coeficiente de friccin cf es igual a cero, luego hay una correspondencia directa entre estos dos valores, no solo matemtica sino conceptual.El significado de Wn tambin ya est claro. Estando en el exponentes como nmero imaginario solo puede representar una cosa: la FRECUENCIA NATURAL con el sistema oscila alrededor de un punto determinado por la excitacin. El perodo ser Wn = 1/T.La representacin grfica de la respuesta para =0 es:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0de la onda cosinusoidal. -Toda la transciente (la solucin homognea) decrecer a cero. Es un sistema estable.Es importante que la frecuencia con la que oscilar el sistema est modificado por el coeficiente de amortiguamiento.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Llamndose Wa frecuencia amortiguada.La representacin grfica de esta respuesta es la mostrada en figura:Como se trata de un sistema estable, la respuesta tiende al valor de la solucin particular. La respuesta es oscilatoria, pero la amplitud de la oscilacin disminuye con el tiempo debido al trmino exponencial e-wt, dado por el amortiguamiento del sistema. La respuesta matemtica es deducible desde el punto de vista fsico: la adiccin del amortiguamiento disipa energa del sistema, teniendo como resultado final la desaparicin de la oscilacin.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Por definicin, un sistema cuya respuesta oscilatoria se llama sistema sub-amortiguado.Veamos ahora algunas propiedades de la curva de respuesta.Para hallar el tiempo en que se producen los mximos de la curva, derivamos la ecuacin y la igualamos a cero. De esta forma obtenemos:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Esto se cumple para la siguiente condicin:Donde n = 0,1,2 dado que es una funcin oscilante.De la ecuacin anterior tenemos que los picos ya sean mnimos o mximos aparecern en los tiempos:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Para hallar la magnitud de los picos basta sustituir en la ecuacin de y(t) el valor de los tiempos encontrados anteriormente.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Primer Caso: Sin Amortiguamiento =0Si llamamos y1 a la diferencia entre el valor del primer pico (n=1) y el valor a que tiene la funcin (el valor del escaln)

La funcin obtenida expresa las desviaciones del valor lmite, por lo tanto lo llamamos funcin de desviacin o funcin error. Cada 2 se repetir un mximo, luego podemos obtener de la misma forma los valores correspondientes a los picos.El coeficiente entre los valores el los picos sucesivos nos dar la realizacin o rata de amortiguamiento.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tercer Caso: Sin Amortiguamiento =1En este caso las races de la ecuacin caracterstica sern:si tomamos X(s) como una excitacin tipo escaln unitario obtenemos

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tercer Caso: Sin Amortiguamiento =1Este es el vaso de amortiguamiento crtico donde las races son reales e iguales.Resolviendo para la ecuacin anteriorComo se podr observar desapareci de la solucin el exponente imaginario. Las races son reales, luego la respuesta no ser oscilatoria. A este valor se le llama crtico porque est en el umbral del nmero complejo.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tercer Caso: Sin Amortiguamiento =1La respuesta grfica sera.La constante de tiempo es:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1De la expresin de las races se obtiene:races reales y siempre negativas.La respuesta ser la suma de las dos funciones exponenciales con exponentes reales y negativos, luego tambin tender a cero.Queremos demostrar ahora que en este caso la ecuacin puede ser representada por el producto se dos sistemas de primer orden, cuyas constantes de tiempo estn en relacin con las races.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1Para ello volvamos a expresar la ecuacin primitiva tal cual la expresamos en el ejemplo mecnico.dividiendo por el trmino del coeficiente independiente:comparndola con la ecuacin que habamos venido trabajando vemos que:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1Expresamos ahora la ecuacin por sus races.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1Si llamamos T1 a la inversa de si y T2 a la inversa de s2.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1Por ltimo si fuera positiva, la solucin tendr exponentes con parte real y positiva, luego ser inestable, es decir la transciente aumentar con el tiempo, llevando al sistema a la saturacin o destruccin. Fsicamente lo podemos entender porque un negativo representa un coeficiente de friccin negativo es decir que en cambio de absorber energa del sistema, entrega, pudiendo el sistema de ese modo aumentar las oscilaciones.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Cuarto Caso: Sin Amortiguamiento >1Podemos entonces anunciar la condicin de estabilidad:Un sistema es estable cuando sus transcientes decaen con el tiempo.Matemticamente expresado: Un sistema es estable cuando el modelo matemtico que lo presenta tiene races por parte real negativa. En este concepto se basan todos los criterios de estabilidad.

Clasificacin, Sistemas Interactivos y No interactivos, Sistemas en Cascada.En el prximo ejemplo veremos que dos sistemas en cascadas (de 1er orden) tiene una representacin matemtica similar a la deducida para el caso de > 1 y las constantes de tiempo que figuran en la ecuacin son las mismas que la de los sistemas de 1er Orden, mientras que en los sistemas en serie las constantes de tiempo de la ecuacin son de valores distintos a la de los sistemas de 1er Orden que la representan.Sea el siguiente sistema en cascada.

Clasificacin, Sistemas Interactivos y No interactivos, Sistemas en Cascada.Para el tanque 1:

Clasificacin, Sistemas Interactivos y No interactivos, Sistemas en Cascada.Para el tanque 2:Sustituyendo el valor de h1 en la primera ecuacin:

Clasificacin, Sistemas Interactivos y No interactivos, Sistemas en Cascada.Teniendo en cuenta que R1C1 = T1; R2C2 = T2Este sistema se llama tambin no interactivo. Como ya sabemos el resultado es una ecuacin diferencial de segundo orden cuyas races son reales y negativas, por lo tanto no ser de carcter oscilatorio.Dicho de otra manera el segundo sistema no podr influir sobre el primero. La representacin en bloques de este sistema es:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos. Sea el siguiente sistema:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.Ejemplo No. 14

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.El modelo matemtica se reduce a un balance de fuerzas.Suponiendo que la friccin sea proporcional a la velocidad reordenando tenemos:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.Las ecuaciones:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.No haremos aqu toda la deduccin, pero sugerimos efectuarla en el dominio de Laplace facilitando as las operaciones. El resultado final es:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.El sistema es interactivo dado que el segundo sistema puede influir sobre el primero.Ejemplo No. 15 (Respuesta de sistema de segundo orden.)El servomecanismo que se ilustra en la figura 15. Permite posicionar una carga mecnica de acuerdo a lo ordenado por el eje de referencia. Los dos potencimetros convierten las posiciones de entrada y salida en seales elctricas, las cuales se comparan y producen una seal de error.

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.El lazo interno puede ser reducido a:El diagrama de bloques puede ser simplificado a la forma de la figura 15a y b donde:

Clasificacin, Sistemas en Serie o Interactivos.La funcin de transferencia para este sistema es:

Como explicaremos ms adelante en este tema, esta configuracin pertenece a una clase general de sistemas denominada tipo-1.

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.El anlisis no est restringido al ejemplo usado en el prrafo anterior pero es vlido en general para un sistema de segundo orden tipo-1.Desde la figura anterior, la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema es:

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Tambin se puede escribir en la forma normal:

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.La respuesta en el tiempo de un sistema es caracterizado por las races del polinomio denominador q(s) llamado la ecuacin caracterstica, es decir:Las races de la ecuacin caracterstica son:

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Se pueden analizar varios casos en funcin del factor de amortiguamiento.Casos:

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.La respuesta de un sistema subamortiguado (0

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.En la figura 9 se puede observar diversas respuestas, de segundo orden a un escaln unitario.

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.La figura muestra la ubicacin de las races de la ecuacin caracterstica en el plano complejo s de acuerdo a la variacin del factor de amortiguamiento.

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Como decamos anteriormente, los sistemas de control son generalmente diseados con un factor de amortiguamiento entre cero y uno, es decir, 0

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Este tipo de respuesta est caracterizado por los siguientes ndices de funcionamiento. Los ndices estn relacionados cualitativamente a:La rapidez del sistema.La oscilacin del sistema.El tiempo para alcanzar el valor final

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Tiempo de retardo (td). Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema alcance el 50% de su valor final.Tiempo de crecimiento (tr). Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema vaya del 10% hasta el 90% de su valor final.Tiempo pico (tp). Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema alcance al mximo sobre paso.Mximo Sobrepaso (Mp): Indica la diferencia entre el valor de la respuesta en el tiempo pico y el valor de la respuesta en estado estacionario y es definida como % mximo sobrepaso.

Clasificacin, Respuesta de un Sistema de Segundo Orden a Escaln Unitario.Tiempo de establecimiento (ts): Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance su valor final dentro de una banda de tolerancia generalmente de 2% a 5%.Error en estado estacionario (e ): Indica el error entre la salida actual y la salida deseada cuando t tiende a infinito, es decir,Factor de amortiguamiento (RA): RA = Y1/Y3

Clasificacin, Especificaciones de Diseo para Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Especificaciones de Diseo para Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Especificaciones de Diseo para Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Especificaciones de Diseo para Sistemas de Segundo Orden.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Coeficientes de Error.Las constantes de error son usadas para describir los errores en estado estacionario de un servomecanismo con entradas simples aperidicas.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Coeficientes de Error.Para este sistema, la seal de error E(s) es el error directamente, y las definiciones son:Como un resultado de estas definiciones, solamente uno de los coeficientes posee un valor finito y distinto de cero para un sistema dado. Por ejemplo, si G(s) tiene un polo Simple en el origen, Kp es infinito, Ka es cero y Kv es finito y distinto de cero.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Coeficientes de Error.Errores en Estado Estacionario.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Coeficientes de Error.Si r(t)es una funcin paso unitario, entonces r(t) =1,Si es una funcin rampa unitaria, entonces r(t)=t

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Coeficientes de Error.Si r(t) es una funcin parbola unitaria, entonces r(t)= t2/2:Entonces, Kp, Ka y Kr son medidas del error en estado estacionario si la entrada es una escalar unitaria, una rampa unitaria y una funcin parablica unitaria, respectivamente.Con esta definicin, el valor de una constante no es forzada a ser cero sin embargo, la constante precedente es distinta de cero y finita.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Errores con Entradas de Baja Frecuencia.La constante generalizadas indican algunos aspectos importantes del comportamiento del sistema:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tipos de Sistemas.La funcin de transferencia G(s) puede expresarse, en forma general como la razn de los polinomios:

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tipos de Sistemas.Entonces,

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tipos de Sistemas, Definicin Generalizada.Si 1/1+G(s) es expandido en una serie de McClaurin en s, la constante de error son definidas en trminos de coeficientes sucesivos,Con G(s) en esta forma, n es el nmero del tipo del sistema.

Clasificacin, Sistemas de Segundo Orden, Tipos de Sistemas, Definicin Generalizada.Los servomecanismos se describen frecuentemente en trminos de su nmero de tipo constantes de error, Kp, Kv y Ka.

ESTIMACIN DE CONSTANTES DE TIEMPO A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES.Debido a que la respuesta a un escaln de una planta o proceso es generalmente mtodo ms simple de experimentacin que provee informacin de la dinmica, se estudian mtodos que pueden ser usados para estimar los parmetros del sistema a partir de datos experimentales.

LINEARIZACIN DE FUNCIONESComo habamos dicho anteriormente, la mayora de los procesos qumicos estn descritos por ecuaciones diferenciales no-lineales . Ahora bien, el hecho. es que mientras disponemos de poderosos mtodos para resolver problemas lineales, no disponemos de un tratamiento general para no linearidades.Existen diversos mtodos para enfocar la solucin de ecuaciones diferenciales no-lineales. El que nos interesa particularmente es la solucin de la ecuacin alrededor de un punto conocido empleando la serie de Taylor.Sabemos que por la serie de Taylor podemos expresar cualquier funcin con una exactitud que estar dada por el resto o residuo de la serie, o sea los trminos no involucrados en la solucin.

Linearizacin.A nosotros nos interesa esta serie solo en su primer grado dado que, los superiores introduciran expresiones no lineales que es lo que justamente queremos evitar. Luego la serie de Taylor se reduce solo a la expresin de la tangente a la curva en el punto conocido y nos dar el valor de la funcin en el entorno de ese punto. Para no cometer errores groseros este entorno debe ser muy pequeo.

Linearizacin.Donde y es el coeficiente de la apertura que vara entre cero y uno. Cv es el coeficiente de flujo de la vlvula = constante.La ecuacin diferencial ser entonces

Linearizacin.La cual no es lineal. Trataremos de linearizarla alrededor de un punto conocido tomado como el punto de trabajo del sistema. Es decir, aquel punto donde normalmente se da el equilibrio que satisfaga las condiciones promedio de demanda. Por ejemplo, supongamos que ese punto es:

Linearizacin.

Linearizacin.Fjense que ha pesar de ser condiciones iniciales diferentes de cero estamos tomando las variaciones por lo tanto es lo mismo suponer condiciones iniciales igual a cero o tomar variaciones con respecto al punto de trabajo. Lgicamente si queremos hallar los valores absolutos se le tendrn que sumar la verdaderas condiciones iniciales en este caso.

Linearizacin.Como se observa la diferencia es muy pequea a pesar de haber vanado un 10% el caudal de entrada.Si hubiramos partido de la funcin de transferencia:

EVALUACIN PRACTICA #1 SISTEMA DE PRIMER ORDEN

CONSTANTES DE TIEMPO, 2do. OrdenMtodo del porcentaje complementario para sistemas de segundo orden.La Figura representa la curva de reaccin tpica de un sistema de segundo orden de dos constantes de tiempo. Se determina el porcentaje complementario (100% menos el porcentaje del valor final del proceso).Ntese que si existe cualquier tiempo muerto, deber restarse de la abscisa del tiempo correspondiente a cada punto del porcentaje complementario.

CONSTANTES DE TIEMPO, 2do. OrdenLa curva de porcentaje complementario se dibuja sobre papel semilogartmico (Ver Figura); el porcentaje complementario so lleva sobre el eje de ordenadas y el tiempo sobre el eje de abscisas. Para el tiempo coro no ha tenido lugar cambio alguno y la reaccin es 100% incompleta (curva A en Figura).

CONSTANTES DE TIEMPO, 2do. OrdenCon objeto de hallar la primera constante de tiempo (T1), se dibuja una lnea B. Para ello se prolonga la parte rectilnea de la curva A hasta el eje de tiempo cero. La curva B corta el eje de ordenadas (tiempo cero) en el punto P1. En la Figura el punto P1 vale 133%. La primera constante de tiempo (1) es el tiempo que tarda la curva B en alcanzar 36,8% de P1. La constante P1 se halla trazando un punto P2 a una distancia 36,8% de P1. En la Fig.6 P2 = 0,368 x 133 =49% de porcentaje complementario. El tiempo que tarda la curva B en alcanzar una ordenada igual a la de P2 (49% de porcentaje complementario) es de 2 minutos en la Fig. 6, de modo que T1 = 2 minutos.

CONSTANTES DE TIEMPO, 2do. OrdenPara hallar la constante de tiempo (T2) de segundo orden se dibuja la curva C. Esta curva C es la diferencia numrica entre las curvas E y A. En un tiempo cualquiera, la ordenada de la curva C es igual a la ordenada de la curva B monos la ordenada de la curva A. Si la curva C no es recta, el sistema no puede estar representado completamente por dos constantes de tiempo.

CONSTANTES DE TIEMPO, 2do. OrdenLa curva C corta en el tiempo cero al eje de ordenadas en el punto P3 que vale 133% menos 100%, o 33%. El punto vale 36,8% de P3 y es 12.1% de complemento.La constante de tiempo de segundo orden, T2, es igual al tiempo que tarda la curva C en alcanzar una ordenada de 12,1% de complemento. En la Fig. vale 0,5 minutos.

PROBLEMA # 5Se tiene una caldera produciendo vapor cuando el sistema de control de nivel se mantiene constante en 50% y es sujeto a una perturbacin escaln en la entrada, la respuesta es mostrada en la figura, determinar K, Wn, Wa, T, V(s), diagrama de bloque, ecuacin en el tiempo, , Tp, funcin de transferencia.