3° EMT Matemática

Práctico orientador para el docente

EJERCICIOS DE ANÄLISIS

1) Estudia el dominio, ceros y signo, continuidad, límites en caso que x tienda a + y -, máximos y

mínimos relativos de las siguientes funciones. Realiza en cada caso el bosquejo correspondiente.

)3.()(:) 2 xxxgga ; xxxjjb ).3()(:) ; xxexhhc 42

.2)(:)

2) Estudia crecimiento, decrecimiento y existencia de extremos relativos.

)1ln()(:) xxxffa ; b) 3

)(:2

3

x

xxgg

ALGUNOS PROBLEMAS

3) De una hoja de cartón cuadrada, de lado 20 cm, hay que hacer una caja rectangular abierta, que tenga

la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando

después los salientes de la figura en forma de cruz así obtenida. ¿Qué dimensiones debe tener la

caja?

4) Hallar el punto del gráfico de la función 1

1)(

2

xxf , en el que la recta tangente a dicho gráfico

tenga la mayor pendiente posible.

5) Estudia el dominio, ceros y signo, continuidad, Ramas infinitas y asíntotas, máximos y mínimos

relativos de las siguientes funciones. Realiza un bosquejo de c/u.

x

xxffa

2)1()(:)

2)2(

3)(:)

x

xxffb

x

exffc

x

)(:)

6) Se considera una función f cuyo gráfico es:

Y 1

5/2 3

3/2

-4 -3 -2 -1 0 2 3 4 x

a) Determinar sig(f(x)) y sig(f ‘(x))

b) Determinar f ‘(4), 2

lim ( )x

f x

y 2

lim ( )x

f x

c) ¿Es f derivable en 2?, ¿y en 0?

7) Representa gráficamente una función f que cumpla:

Sig f(x) + + + 0 - - - - 0 - - - - - - + + + + +

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x

exff

x

4)(:

2

-5 -3 0 0

lim ( )x

f x

Sig f´(x) ) - - - - 0 + + + - - - - - - - - 0 + +

-4 -3 0 1

lim ( )x

f x

( )

limx

f x

x

( )lim 2x

f x

x lim ( ) 2 4

xf x x

f(-4) = -2 f(1) = 2 3

lim ( ) 3x

f x

3

lim ( ) 0x

f x

8) Sea f: f (x) = Lx si x >1

1-x si 0<x<1

x2+2 si x ≤0

a) Estudiar continuidad de f en 0 y en 1.

b) Grafica f.

c) Calcular f ‘(-1) y construir la recta tangente a la gráfica de f en (-1,f(-1)). 9) Estudio analítico y Representación gráfica de las funciones cuya imagen es:

a) 1

: ( ) ( 2) xf f x x e ; b) 2: ( ) 6f f x L x x

10) Dada

a) Realiza el EA y RG de f.

b) A partir de gráfico de f representa gráficamente las funciones: f ; f ; f .

11) Estudia: dominio, continuidad, aproxima ceros , signo, ordenada en el origen, ramas infinitas y

asíntotas, crecimiento y decrecimiento, aproxima extremos relativos. Realiza su representación

gráfica.

12) Dada la función: h(x)= x5-2x

3+8

Halla h(1) y h(-3), puedes afirmar la existencia de al menos una raíz en (-3;1), justifica y en caso afirmativo

aproxímala.

13) Hallar a )a( para que las siguientes funciones sean continuas en su dominio.

i)

a)2(f

2xsi2x

4x)x(f

:f

2

ii)

0xsi1x

a)x(f

0xsi4e)x(f

:f

2x

14) De una función g se sabe que la ecuación de la recta tangente al gráfico en el punto

de abscisa -2 es y = 2x + 3.

Indica entonces el valor de g´(-2), el valor de g(-2) y

15) Dada la función h: h(x) =

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a) Estudia la variación de h y determina máximos y mínimos relativos

b) Estudia RIAS

c) Aproxima las raíces con un error menos a 0.05.

d) Bosqueja el gráfico de h.

16) Estudia continuidad y derivabilidad de

2

2

si 0

: ( ) en si 0

2

x Lx x

g g x xx

17) Sea

1 2

: ( ) / ( ) xf f f xx a

xe

D , con ( )fD el mayor dominio posible.

a) Hallar a si en x=-2 la función presenta un extremo.

b) Para el valor hallado en la parte a) realizar el estudio analítico y la

representación gráfica de f.

c)

i)Sea2

( ) si 2: ( )

4 si 2

f x xh h x

x x b x

, hallar b para que h sea continua

en su dominio.

ii)¿Es h derivable en x= -2? Justifique.

18)

x

x

f (x) e .(x a) si x 0

Sea f : x bf (x) si x 0

e

1) Probar: f continua en x 0 a b

2) Hallar a y b para que f sea derivable en x 0

3) Para los valores hallados E.A. y R.G. de f

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

1) Uno de los extremos de un segmento es el punto A(7;8) y su punto medio es M(4;3). Halla

las coordenadas del otro extremo.

2) Sean los puntos 0,0 , 2,0 1,5O A y B .

a) ¿El triángulo (OAB) es isósceles?

b) ¿El triángulo (OAB) es rectángulo en A?

3) a) Dados los puntos 1,1 ; 3,2 3,3A B y C . Determinar el punto /D ABCD sea

un paralelogramo.

b) Comprueba que las diagonales se cortan en su punto medio.

4) Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto de intersección de

las rectas r: x+6y+2=0 y s: 3x+4y-6=0

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5) Halla a y b reales, para que las rectas de ecuación ax+(2-b)y-22=0 y (a-

1)x+by+16=0 pasen simultáneamente por el punto de coordenadas(1;-1)

6) Escribe en cada caso la ecuación de la recta paralela a la recta r) y que pase por el

punto B

7) Determina el valor de k real para que sean paralelas las rectas de ecuación

3x+6ky=7 y 9kx+8y=15

8) P es el punto de intersección de las rectas r: 2x+y-8=0 y s: 3x -2y+9=0. Halla las

coordenadas de P y la ecuación de la recta que pasa por P y además cumple:

a) es perpendicular a la recta t: 2x=-y+4

b) es perpendicular a la recta s: 2x-6y=1

9) Calcula la distancia entre la recta y el punto dado:

i) y+2=0 y P(4;1)

ii)

iii)

10) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son: O(0;0), A(2;4) y B(6;3)

11) Halla el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta de

ecuación 6x+4y+24=0

12) Calcular las coordenadas del punto de la recta de ecuación 3x-y+3=0 que equidiste de

los puntos A(-3;2) y B(1;6)

13) Halla las dimensiones del rectángulo sombreado en la figura adjunta, tal que su área sea

máxima.

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14) Hallar la ecuación general de la circunferencia C en cada caso sabiendo que: i) Su centro es Q (3,-1) y tiene radio igual a 5.

ii) Pasa por el punto A (2,6) y su centro es el punto C (-1,2).

15) A (2,3) y B (-4,5) son los extremos de uno de sus diámetros

a. Hallar la ecuación general de la circunferencia C en cada caso sabiendo que: i) Su centro es C (2,-4) y es tangente al eje y.

ii) Su radio es igual a 5 y su centro es el punto de intersección de las rectas

)3 2 24 0 )2 7 9 0r x y y s x y

iii) A (-1,-5) y B (-1,3) son puntos de ella y su centro pertenece a la recta

r) x-y=0.

iv) Pasa por los puntos: (2, 2); ( 1,4); (4,6)A B C .

16) Una cuerda de la circunferencia de ecuación 2 2 25x y está sobre la recta cuya ecuación es

7 25 0x y . Hallar la longitud de la cuerda.

17) Dada la circunferencia 2 2 5x y , halla los valores de k, para los cuales las rectas de la familia

2 0x y k :

a) Cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes.

b) Son tangentes a la circunferencia.

c) No tienen ningún punto en común con la circunferencia.

18) Dada la circunferencia 2 2 6 2 6 0x y x y , halla los valores de m, para los cuales las

rectas de la familia 3y mx :

a) Cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes.

b) Son tangentes a la circunferencia.

c) No tienen ningún punto en común con la circunferencia.

19) Representar gráficamente los puntos M(x,y) del plano cuyas coordenadas verifican:

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2 2

2 2

2 2

2 2

) 9

) 2 0

) 2 2 14 0

) 4 0

i x y

ii x y x

iii x y x y

iv x y

20) Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones:

2 2 10 0)

5

x y yi

y

2 2

2 2

9)

4

x yii

x y

2 2

2 2

16)

1

x yiii

x y

2 2 9)

2 4

x yiv

x y

21) Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea la figura pintada

i)

ii)

PROPUESTAS DE PARCIALES

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Parte del primer parcial 2012

1) Se dan los puntos A(2;0) y B(6;8).

a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A y B.

b) Hallar la ecuación de la recta s, sabiendo que es perpendicular a r ya que pasa por el punto B.

c) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con el eje de las abscisas.

2) Se da la recta r) -8x+2y+10=0 y los puntos P(-1;-9) y Q(3;-7)

a) Verifique que P pertenece a r y Q no pertenece a r

b) Halle la ecuación de la recta s, sabiendo que es paralela a r y que pasa por el punto Q.

c) Halle la distancia entre P y Q

3)

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Propuestas de examen:

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