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Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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3 MODELOS FEM
3.1 EXPRESIONES TEÓRICAS DE MODOS DE VIBRACIÓN Y SUS CURVATURAS
La forma del modo de vibración del modelo teórico es la de una viga en voladizo,
la cual viene dada por la siguiente ecuación, según lo recogido en el capítulo “Analysis
of undamped free vibrations” (Clough, Penzien 1975):
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−⋅⋅
⋅+⋅⋅+⋅
+⋅−⋅⋅= )cos()cosh()cosh()cos()()()()()( 1 xaxa
LaLaLasenhLasenxasenhxasenAxφ
donde 1A es la amplitud del modo (no conocida a priori) y a una constante cuyo valor
varía dependiendo de si es primer, segundo o tercer modo de vibración.
La constante a tiene la siguiente expresión 42
IEma⋅⋅
=ω
, de lo que se deriva que
la frecuencia es m
IEa ⋅⋅=
4
ω . Del ejemplo E18-2 (Clough, Penzien 1975), se
extrae que las expresiones que definen las frecuencias de los tres primeros modos de
vibración son las siguientes:
42
1 )875.1(LmIE
⋅⋅
⋅=ω 4
22 )694.4(
LmIE
⋅⋅
⋅=ω 4
23 )855.7(
LmIE
⋅⋅
⋅=ω
Para transformar la fórmula primera de la frecuencia en esta última se procede
como sigue:
( )4
24
444
LmIELa
LmLIEa
mIEa
⋅⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅=ω
Por lo tanto, se deduce que el valor de la constante a para los tres primeros
modos de vibración se obtiene de igualar la expresión anterior con cada una de las
expresiones de la frecuencia para cada modo.
Primer modo vibración: La ⋅= 1875.1 → L
a 875.11 =
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Segundo modo vibración: La ⋅= 2694.4 → L
a 694.42 =
Tercer modo vibración: La ⋅= 3855.7 → L
a 855.73 =
L es la longitud total del vástago, cuyo valor puede ser 5.29m ó 4.54m en función
de la altura a la que se considere el empotramiento, estudio que se desarrollará en
próximos apartados.
A partir del estudio realizado por Romero en su Proyecto Fin de Carrera (pág.63)
(Romero Ordóñez 2007), la expresión anterior que describe la forma del modo se
puede simplificar agrupando constantes, para el posterior ajuste de las amplitudes y de
las pendientes.
( ) ( ))cos()cosh()()()( 21 xaxaCxasenhxasenCx ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=φ
donde
[I] 11 AC =
)cosh()cos()()(
12 LaLaLasenhLasenAC⋅+⋅⋅+⋅
⋅=
Para la obtención de los valores de 1C y 2C Romero propone (Romero Ordóñez
2007) la resolución de un sistema sobredeterminado donde ix es la coordenada de la
sección i , iClin y iAcel son las amplitudes de los clinómetros y de los acelerómetros
de dicha sección.
Los datos manejados para la obtención de las constantes son las amplitudes de
los tres acelerómetros, instalados en el vástago a diferentes alturas ( 1Acel a
mx 657.12 = , 2Acel a mx 212.23 = y 3Acel a mx 687.24 = ). Por ello el sistema de
ecuaciones no tendrá en cuenta las amplitudes de los clinómetros y el sistema
quedará de la siguiente forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅
3
2
1
2
1
4444
3333
2222
)cos()cosh()()()cos()cosh()()()cos()cosh()()(
AcelAcelAcel
CC
xaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasen
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Resolviendo este sistema directamente los valores de 1C y 2C no cumplen las
relaciones [I] y por tanto la expresión )(xφ no refleja en ese caso la forma del primer
modo de una viga en voladizo. Para que se cumplan, se propone en este trabajo
introducir ambas en el sistema a resolver, de forma que sólo exista una incógnita
11 AC = .
)cosh()cos()()(
LaLaLasenhLasenD⋅+⋅⋅+⋅
=
DCC ⋅= 12
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅
3
2
1
2
1
4444
3333
2222
)cos()cosh()()()cos()cosh()()()cos()cosh()()(
AcelAcelAcel
CC
xaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasen
1S 2S Acel
AcelCSCS =⋅+⋅ 2211 → AcelDCSCS =⋅⋅+⋅ 1211
Quedando el siguiente sistema de ecuaciones: [ ] [ ] [ ]AcelCDSS =⋅⋅+ 121
Este mismo proceso es el que se seguirá para determinar el primer modo analítico
a partir de los valores numéricos de cualquier modelo de elementos finitos, que más
adelante serán descritos. Para estos casos ix es la coordenada de la sección i y
iAcel el valor del desplazamiento de la misma sección obtenido del análisis modal de
cada modelo.
La expresión de la curvatura analítica no es más que la derivada segunda de la
función del modo analítico.
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅+⋅
+⋅⋅−⋅⋅−⋅= 22221 )cos()cosh(
)cosh()cos()()()()()(" axaaxa
LaLaLasenhLasenaxasenhaxasenAxφ
[II]
Sabiendo que:
11 AC =
)cosh()cos()()(
LaLaLasenhLasenD⋅+⋅⋅+⋅
=
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DAC ⋅= 12
La expresión de la curvatura queda:
( ) ( ))cos()cosh()()()(" 22
21 xaxaaCxasenhxasenaCx ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−=φ [III]
El valor de la curvatura en el extremo del vástago (x=L) tiene que ser nulo. Esto se
deduce al sustituir en la función [II] el valor L en la variable x. Para que esto siga
cumpliéndose al sustituir los valores de 1C y 2C en la expresión [III] habrá que tener
en cuenta al resolver el sistema sobredeterminado la relación entre estas constantes,
expuesta con anterioridad. De otra forma la expresión de la curvatura obtenida no
sería correcta.
3.2 ESCALADO DE LOS MODOS
Se parte de la necesidad de escalar los datos numéricos y experimentales para
poder trabajar con única escala y así poder comparar coherentemente los resultados.
Existen varias alternativas a la hora de realizar el escalado de los modos. Por un
lado está la normalización del vector de datos a norma unidad. Por otro lado se tiene el
escalado del vector desplazamiento de tal forma que el valor de éste en la sección del
acelerómetro 3 sea la unidad. Por último el escalado de los datos tal que la suma de
los desplazamientos en las secciones de los acelerómetros al cuadrado sea la unidad.
En el estudio realizado se ha optado por la última opción de escalado. Esto es
debido a que con esta forma de normalización no se obliga a que ningún punto de la
curva pase por un valor determinado. Si esto ocurriese podría provocar la pérdida de
información a la hora de trabajar con los modos numéricos, y por tanto en la posterior
obtención de los parámetros modales, llegando a falsear las comparaciones con los
distintos resultados.
[ ]numnacelacelacel AAAAA ............ 3211 → ( ) 123
22
21
2 =++⋅ acelacelacel AAAα →α
[ ] [ ] α⋅= numescalado ......
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3.3 MODELO 1D
3.3.1 SELECCIÓN DE TIPO DE ELEMENTOS
El modelo monodimensional de la estructura portante del Giraldillo se diseña
como una viga en voladizo compuesta por tres tramos de diferente sección y dos
masas puntuales (una en el extremo libre del vástago y otra a 20cm por encima de la
unión superior) que representan el reparto de masa de la escultura entre esos dos
puntos.
Para la selección de los tipos de elementos a usar en la caracterización del
modelo 1D se ha partido de un pequeño ejercicio, el cual consiste en una viga en
voladizo de sección constante con una carga puntual en su extremo libre. A partir de
este diseño sencillo lo que se pretende es comprobar que el elemento viga y el
elemento masa elegidos tengan un correcto comportamiento ante el análisis modal.
Para ello se determinarán, a partir del cálculo matricial, las frecuencias de este sistema
para compararlas con las frecuencias resultantes del modelo de elementos finitos,
haciendo uso de los elementos a examinar.
Al ser un ejercicio bidimensional se ha escogido como elemento viga BEAM3 y
como elemento masa MASS21. El elemento elástico BEAM3 es un elemento uniaxial
con tres grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las direcciones x e y y
rotación alrededor del eje z. El elemento MASS21 hace referencia a una masa
estructural puntual con seis grados de libertad: Mx, My, Mz, Ixx, Iyy e Izz.
Para iniciar el ejercicio se caracteriza la estructura con las siguientes propiedades:
1L= m
M=1000kg
21mA = 41mI =
37850mkg
=ρ
2910210
mNE ⋅=
Las frecuencias obtenidas del análisis modal en ANSYS son: 1139, 1212 y
4396.5Hz.
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Para la resolución matricial de este caso se parte de las matrices de masa y
rigidez siguientes:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⋅=
0000000
422022156000140
420 2
MM
LLLALM ρ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
LEI
LEI
LEI
LEI
LEA
K
460
6120
00
2
23
02 =⋅− MK ω
De esta forma los valores de la frecuencia son: 1212.5, 2356.5, 22236.17Hz.
Como se observa al comparar los resultados de los dos métodos de cálculo las
frecuencias no coinciden, eso es debido a que la matriz de masa del elemento BEAM3
que emplea ANSYS tiene la siguiente expresión:
( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⋅−⋅⋅+=
0000000
),(),(0),(),(0
0031
1 MM
rErCrCrALmAM in
φφφφερ
donde
m : masa añadida por unidad de longitud ( 0=m )
inε : pretensión ( 0=inε )
( )2
22
156
31
107
3513
),(φ
φφφ
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⋅+⋅+
= Lr
rA
( )2
22
1
21
101
241
12011
21011
),(φ
φφφ
φ+
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+⋅+⋅+
=
LLr
rC
( )2
22
22
1
31
61
152
1201
601
1051
),(φ
φφφφ
φ+
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅++⋅+⋅+
=
LLr
rE
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donde
AIr = : radio de giro
ss LGAEI12
=φ G : módulo a cortante
ss
FAA = : área a cortante; sF : constante de deflexión por cortante
Como SHEARZ=0 entonces 0=sF → ∞=sA → 0=φ . Por lo tanto los términos
de la matriz de masa quedan de la siguiente forma (para L=1m):
2
56
3513)( rrA ⋅+=
2
101
21011)( rrC ⋅+=
2
152
1051)( rrE ⋅+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⋅=
0000000
),(),(0),(),(0
0031
MM
rErCrCrAALMφφφφρ
Resolviendo matricialmente el cálculo de las frecuencias y haciendo uso de la
matriz de masa en función de r, se obtienen las frecuencias: 1139.7, 1212.8 y
4396.5Hz, coincidentes con las resultantes del análisis modal del modelo de
elementos finitos.
En el caso más habitual de barras esbeltas, el valor de r se puede despreciar. Así,
en el caso de un perfil de características 201.0 mA = e 45101 mI −⋅= las frecuencias
obtenidas del modelo en ANSYS son: 12.517, 227.68 y 532.87Hz. Las resultantes a
partir del cálculo matricial, en función de r, son: 12.5166, 227.6779 y 532.8662Hz. Y
por último las obtenidas del cálculo matricial suponiendo r=0, son: 12.5172, 227.6779 y
536.6442Hz.
De este ejercicio se concluye que los elementos seleccionados tendrán un
comportamiento adecuado al tipo de análisis y a la estructura a examinar. Puesto que
la estructura es tridimensional se ha optado por usar un elemento viga BEAM4, el cual
tiene un comportamiento similar al del BEAM3, con la diferencia de ser tridimensional y
por tanto presentar seis grados de libertad en cada nodo.
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3.3.2 MODELO VÁSTAGO GIRALDILLO
El diseño monodimensional del modelo del vástago está basado en las
características descritas en el apartado 2.
Puesto que a priori se desconoce la cota del empotramiento del modelo del que se
disponen los datos experimentales de referencia, se ha optado por diseñar dos
modelos con las dos posibles alternativas de empotramiento. El primero consta de tres
tramos de longitudes (de abajo hacia arriba) 1840, 750 y 2700mm, y el segundo
modelo de 1090, 750 y 2700mm. Dichos tramos están definidos con elementos
BEAM4.
Las propiedades de los dos primeros tramos serán las correspondientes a un
material ST52 ( GPaE 210= , 37850mkg
=ρ , 3.0=υ ) y las del tercer tramo las de un
material AISI 316L ( GPaE 193= , 38000mkg
=ρ , 3.0=υ ).
Para poder comparar con los resultados experimentales es necesario que la
frecuencia del primer modo de vibración del modelo sea 1.025Hz, ya que éste es el
valor de la frecuencia natural del experimental. Para ello se distribuyen los 1500kg del
Giraldillo entre los dos puntos de apoyo en el vástago, situación que fue indicada
anteriormente, en cuyos nodos se define un elemento masa MASS21.
Tras varias iteraciones el reparto de masa queda de la siguiente forma:
Masa superior (kg) Masa inferior (kg) Frecuencia (Hz)
Modelo tramo 1840mm 804 696 1.0253
Modelo tramo 1090mm 1300 200 1.0252
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3.3.3 VALIDACIÓN MODELOS 1D POR COMPARACIÓN CON EXPERIMENTAL. DETERMINACIÓN LONGITUD DE EMPOTRAMIENTO DEL VÁSTAGO
A partir del análisis modal de los dos modelos de elementos finitos anteriormente
definidos, se han obtenido dos vectores de desplazamiento nodal (uno por cada
modelo) correspondientes al primer modo de vibración. Para poder comparar estos
resultados con los datos experimentales se procede a normalizar según la última
alternativa de escalado descrita en el apartado 3.2.
Los datos experimentales de los que se dispone son los correspondientes a los de
los tres acelerómetros distribuidos por el vástago. A partir de estos se ha obtenido una
curva del primer modo haciendo uso de la expresión analítica del modo, es decir, se
obtiene lo que se denominará como “modo experimental aproximado”.
Representando gráficamente las curvas del modo numérico de los dos modelos, el
modo experimental y el modo experimental interpolado se tiene lo siguiente (Fig. 1):
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91er MODO MODELO 1D
Longitud
Des
plaz
amie
nto
US
UM
modo 1D 1840 escaladomodo 1D 1090 escaladomodo acelmodo exp aprox
Fig. 1. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 1D y los resultados
del modelo experimental
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Para determinar la longitud de empotramiento del vástago se pueden comparar
las dos curvas de los modelos monodimensionales con la experimental aproximada,
observándose que el modelo que sigue un comportamiento similar al del experimental
es el de 1090mm de longitud en el tramo 1. En el análisis experimental se consideró
que la longitud del primer tramo era de 1840mm, por eso se observa que en el origen
exista esa diferencia entre ambas curvas. Pero una vez salvado el origen ambas
curvas tienden prácticamente a una, a medida que se recorre el vástago.
Por lo tanto se concluye que la estructura portante del Giraldillo consta de tres
tramos de longitudes 1090, 750 y 2700mm. A partir de esto se procederá al diseño del
modelo en tres dimensiones de acuerdo con estas longitudes.
3.4 MODELO 3D
3.4.1 SELECCIÓN DE TIPO DE ELEMENTOS
Para la selección de los tipos de elementos a usar en la caracterización del
modelo tridimensional se parte de unos sencillos ejercicios de una viga en voladizo de
2.5m de longitud. Esta barra en un primer caso será un tubo hueco de propiedades:
mmext 3.141=φ
mme 7.12=
mmmed 6.128=φ
( ) 444int
4 1010688.064
mII extzy−⋅=−== φφπ
4510376.2 mI x−⋅=
Y en un segundo caso será un cilindro de características:
mm100=φ
451048986.0 mII zy−⋅==
46107972.9 mI x−⋅=
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Para cada perfil descrito se diseñan unos modelos de elementos finitos en 1D, 3D
y 1D+3D, y se someten a un análisis modal con el fin de comparar las frecuencias
resultantes entre ellas, tomando como referencia la primera frecuencia de vibración del
modelo monodimensional, cuyo elemento viga es BEAM4. Los elementos a evaluar
son para los modelos con perfil tubular los elementos lámina SHELL63 y SHELL93, y
para los modelos con perfil circular macizo los elementos sólido SOLID45 y SOLID95
(Fig. 2). El elemento SHELL63, usado para modelar superficies planas, está definido
por cuatro nodos con seis grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las
direcciones x, y y z y rotaciones alrededor de los ejes x, y y z. El SHELL93,
especialmente adecuado para modelar superficies curvas, está definido por ocho
nodos con tres grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las direcciones x,
y y z. Los elementos SOLID45 Y SOLID95 están definidos por ocho y veinte nodos,
respectivamente, con tres grados de libertad por nodo: desplazamientos en las
direcciones x, y y z. El SOLID45 es usado en el modelado de estructuras sólidas
tridimensionales con contornos lineales, y para los casos con contornos cuadráticos se
emplea el SOLID95.
PERFIL TUBULAR
BEAM 4SHELL 63 óSHELL 93
SHELL 63 óSHELL 93
BEAM 4
PERFIL CIRCULAR MACIZO
BEAM 4SOLID 45 óSOLID 95
SOLID 45 óSOLID 95
BEAM 4
Fig. 2. Ejercicios para la selección de los tipos de elementos del modelo tridimensional
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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La primera frecuencia del modelo 1D, para el caso del perfil tubular, es de
21.128Hz. Las diferentes alternativas de caracterización del modelo 3D, el cual será
diseñado con el diámetro medio del perfil, son usar el elemento SHELL63 o el
SHELL93.
Con el SHELL63, partiendo de un tamaño de elemento de 0.8, la frecuencia es de
17.404Hz, la cual dista mucho del valor de referencia. Para llegar a dicha frecuencia
hay que disponer de un mallado muy fino con tamaños de elementos inferiores a
0.007, por lo que complica la resolución de un modelo tan sencillo, por el hecho de
manejar un elevado número de elementos.
Al emplear el SHELL93, partiendo de un tamaño de elemento de 0.8, la frecuencia
es de 21.155Hz. La diferencia con la frecuencia de referencia es muy pequeña. De
esta forma se puede usar una malla más tosca, facilitando la resolución del modelo.
La primera frecuencia del modelo 1D, para el perfil circular macizo, es de
10.983Hz. Con el SOLID45, partiendo de un tamaño de elemento de 0.1, la frecuencia
es de 14.194Hz, cuyo valor dista con el de referencia. Para alcanzar esta frecuencia
hay que reducir el tamaño de los elementos por debajo de 0.001, lo que complica el
cálculo del modelo al definir un número tan elevado de elementos.
Haciendo lo mismo con el SOLID95, para un tamaño de elemento de 0.1, la
frecuencia es de 11.265Hz. Este valor es más próximo al de referencia por lo que la
malla a usar puede presentar un menor número de elementos que si se usase el
SOLID45.
Después de haberse ejecutado estos cuatro ejercicios se concluye que el
elemento lámina SHELL93 y el elemento sólido SOLID95 son los que presentan un
comportamiento más adecuado y práctico para el análisis del modelo en tres
dimensiones.
Por último se crean unos modelos combinando 1D y 3D con el objeto de
comprobar que la unión rígida entre los tramos 1D y 3D, la cual se describe en el
siguiente subapartado, responde correctamente a cualquier tipo de análisis. En el caso
del perfil hueco se definen los tramos 1D con elementos BEAM4 y los tramos 3D con
elementos SHELL93, y en el caso del perfil macizo los tramos 1D se caracterizan igual
que el anterior y los tramos 3D con elementos SOLID95.
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Para el primer caso y un tamaño de elemento de 0.05 se obtiene una frecuencia
de 20.960Hz y para el segundo caso, y el mismo tamaño de elemento, la frecuencia es
de 10.763Hz. Ambas frecuencias son próximas a sus valores de referencia, por lo que
la selección de estos elementos para el diseño del vástago en tres dimensiones es la
más adecuada.
3.4.2 MODELO VÁSTAGO GIRALDILLO
Una vez decidida la cota de empotramiento del modelo, analizado en el
subapartado 3.3.3, y el tipo de elementos a utilizar, se procede al diseño en tres
dimensiones del modelo de elementos finitos del vástago del Giraldillo junto con los
elementos de unión descritos, en dimensiones y propiedades, en el capítulo 2.
Con la idea de simplificar el modelo, de tal manera que el número de elementos
no sea muy elevado, se ha optado por diseñar tramos del vástago
monodimensionales. Para que esta simplificación no afecte al comportamiento de la
estructura en el análisis a realizar, se establece una unión rígida consistente en
acoplar todos los desplazamientos y giros del nodo extremo del tramo
monodimensional con los nodos de la superficie en contacto del tramo tridimensional.
A continuación (Fig. 3) se muestra un ejemplo gráfico:
Node masterNode slave
SHELL93
BEAM4
Fig. 3. Esquema acoplamiento tramos 1D y 3D
Puesto que las dos uniones que presenta la estructura portante son diseñadas en
tres dimensiones, los tramos del vástago próximos a ellas también serán
tridimensionales, quedando el resto monodimensional. En el esquema de la figura (Fig.
4) se muestran las longitudes de los diferentes tramos:
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
20
300300
150200
2700
750
1090
Fig. 4. Esquema estructura portante del Giraldillo usada en el diseño 3D
Los tramos de vástago con perfil tubular, es decir, los tramos 1 y 2, son diseñados
a partir del diámetro medio. Esto hace que entre la superficie del vástago y el hueco de
la brida y las cartelas no exista contacto. Para solucionar esto se rellena ese espacio
mediante una unión rígida haciendo uso de un material con un elevado módulo
elástico y una baja densidad ( aceroEE ⋅= 100 y 1001=ρ ). Dicha unión presenta el
siguiente aspecto (Fig. 5):
Diámetro medio
Láminaunión rígida
Anillo sólidounión rígida
Fig. 5. Unión rígida entre vástago tubular y el hueco de la brida y las cartelas
En la caracterización del modelo de elementos finitos se han usado los siguientes
tipos de elementos para las distintas partes del mismo: elementos BEAM4 para los
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
21
tramos del vástago monodimensionales; SHELL93 para los tramos del vástago de
perfil tubular y las cartelas; SOLID95 para los tramos de vástago de perfil macizo y las
bridas, y MASS21 para las cargas puntuales de la masa del Giraldillo. En la siguiente
figura (Fig. 6) se muestra un esquema con los tipos de elementos y materiales
asociados a cada parte del modelo:
SHELL93 / ST52
SOLID95 / ST52
SHELL93 / ST52
SOLID95 / AISI 316L
SOLID95 / AISI 316L
SHELL93 / ST52
DETALLE A
SHELL93 / ST52
SHELL93 / ST52
SOLID95 / ST52
SHELL93 / ST52
SHELL93 / ST52
BEAM4 / AISI 316L
BEAM4 / ST52 A
B
MASS21
MASS21
DETALLE B
Fig. 6. Esquema con tipos de elementos y materiales asociados a cada parte del modelo 3D
Para hacer un mallado coherente entre las distintas partes tridimensionales de la
estructura se procede a dividir las áreas de los perfiles tubulares y los volúmenes de
las bridas y del perfil macizo. De esta manera los nodos generados tras el mallado, en
las líneas y superficies comunes entre elementos estructurales resultantes de la
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
22
división, coincidirán. Esto permitirá además realizar una unión nodo a nodo entre cada
pareja de bridas, dando lugar a lo que se denominará modelo “sin tornillos”. A
continuación se exponen una serie de imágenes ilustrativas de las divisiones
practicadas en el modelo y el mallado resultante según esta división (de Fig. 7a Fig.
12):
Fig. 7. Imagen 3D de la unión inferior
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Fig. 8. Imagen 3D de la unión superior
Fig. 9. Imagen 3D mallado de la unión inferior
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Fig. 10. Detalle mallado de la unión inferior
Fig. 11. Imagen 3D mallado unión superior
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Fig. 12. Detalle mallado de la unión superior
Una vez terminado el diseño del modelo, y considerando el mismo reparto de
masa que en el caso monodimensional, tras el análisis modal la primera frecuencia de
vibración resultante es 1.0364Hz. Para comparar con los datos experimentales se
reparte la masa de tal manera que la frecuencia sea 1.025Hz. Tras varias iteraciones
el reparto queda de la siguiente forma:
Masa superior (kg) Masa inferior (kg) Frecuencia (Hz)
1300 200 1.0364 Modelo 3D tramo 1090mm 1331 169 1.0253
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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3.4.3 SIMULACIÓN DE TORNILLOS
Continuando con el diseño del modelo de elementos finitos, y con el fin de que
éste se aproxime a la estructura real, se procede a la simulación de los tornillos. En el
caso anterior, había una unión nodo a nodo de los nodos coincidentes entre cada par
de bridas, y ahora se procede a desconectar dichos nodos y simular la unión entre las
bridas mediante tornillos.
En cada unión entre tramos de vástago hay ocho tornillos, que serán diseñados
como unas barras que atraviesan las bridas por los huecos destinados a ello. Por lo
tanto los tornillos de la unión inferior tendrán una longitud de 60mm y los de la unión
superior 40mm. Para que dichos tornillos queden fijos en sus extremos a las
superficies de las bridas se establece una unión rígida, consistente en acoplar todos
los desplazamientos y giros de cada nodo extremo del tornillo con los nodos del borde
del orificio de la superficie de la brida. A continuación (Fig. 13) se muestra un
esquema:
Node master
Node slave
Fig. 13. Esquema acoplamiento entre el extremo del tornillo y el borde del orificio
Los tornillos serán caracterizados con elementos tipo BEAM4. Para las dos
uniones que presenta la estructura los tornillos poseen propiedades y medidas
diferentes. En la tabla siguiente se listan las características de los tornillos en función
de la unión:
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Métrica Diámetro (mm) Iy=Iz (m4) Ix (m4) Material
Unión Inferior
M20 17.662 0.47669·10-8 0.95337·10-8
A4-80 (Inox):
2910300
mNE ⋅=
38000mkg
=ρ
Unión Superior
M14 12.1005 0.10503·10-8 0.21005·10-8
A4-70 (Inox):
2910225
mNE ⋅=
37960mkg
=ρ
Para comprobar el efecto que provoca en la estructura la presencia de tornillos
pretensados se ha hecho inicialmente un modelo con tornillos sin pretensar y otro
considerando una pretensión en ellos. Los tornillos de la unión inferior poseen un
apriete de 450Nm y los de la unión superior de 150Nm. Este apriete se introduce en el
modelaje como una deformación inicial:
Apriete 450Nm →
KNN 1200 ≈ 2245mmA =
2310300
mmNE ⋅=
→ 30 1063265.1 −⋅=⋅
=AE
Ninicialε
Apriete 150Nm →
KNN 570 ≈ 2115mmA =
2310225
mmNE ⋅=
→ 30 102029.2 −⋅=⋅
=AE
Ninicialε
Una vez terminado el diseño de los modelos, y considerando el mismo reparto de
masa que en el caso tridimensional descrito en el subapartado anterior (Masa
superior=1331kg y Masa inferior=169kg), se obtiene una primera frecuencia de
vibración de 1.0018Hz para ambos modelos, con tornillos sin pretensar y con tornillos
pretensados. La frecuencia disminuye en un 2.26% respecto a la del modelo “sin
tornillos” (1.025Hz), lo que significa que en el modelo “con tornillos” las uniones entre
bridas es más flexible, siéndolo incluso más que en la estructura real.
El efecto de la pretensión en los tornillos o de cualquier tipo de carga externa no
se refleja en los resultados del análisis en el dominio de la frecuencia, de ahí que la
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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frecuencia sea la misma en ambos casos. Para analizar dicho efecto habría que
someter los modelos a un análisis transitorio en el dominio del tiempo.
3.4.4 VALIDACIÓN DE MODELOS 3D: COMPARACIÓN CON MODELO 1D Y EXPERIMENTAL
A partir del análisis modal de los modelos de elementos finitos diseñados en el
subapartado anterior, se obtiene un vector de desplazamiento nodal para cada uno de
ellos, correspondiente al primer modo de vibración. El tamaño de estos vectores es de
12423 nodos para el modelo tridimensional “sin tornillos” (acoplamiento entre bridas
nodo a nodo) y de 13233 nodos para el modelo “con tornillos”.
Con el fin de comparar estos resultados con los del modelo monodimensional y
con los datos experimentales, se programa una función en Matlab la cual selecciona
de entre todos los nodos aquellos que representan la forma del modo de los modelos
tridimensionales como si el diseño fuese monodimensional. Los nodos seleccionados
son aquellos que en su posición indeformada se encuentran sobre el eje Z o, en su
defecto, los más próximos a dicho eje, es decir, los nodos situados en la generatriz
más cercana al eje Z. Según esto el tamaño del vector de desplazamiento de los
modelos sin tornillos y con tornillos es de 116 nodos, en ambos casos, un número de
datos considerablemente más manejable que el inicial. Las coordenadas de posición
de dichos nodos son iguales para todos los diseños tridimensionales.
En las siguientes imágenes se muestra el modelo tridimensional (Fig. 14) y el
conjunto de nodos que representarán la forma del modo a comparar con los demás
modelos (Fig. 15).
Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo
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Fig. 14. Imagen modelo de elementos finitos 3D del vástago
Fig. 15. Conjunto de nodos usados para representar la forma del modo del modelo 3D
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Para comparar los resultados numéricos de los modelos tridimensionales con los
demás casos se procede a normalizar los vectores de desplazamiento de igual manera
que se hizo en el modelo monodimensional. Puesto que los datos experimentales de
los que se dispone son hasta la posición del acelerómetro 3, en las gráficas se
analizará la forma del modo de los modelos hasta dicha posición.
En un primer análisis comparativo, se representan gráficamente la curva del modo
numérico del modelo tridimensional sin tornillos y la del monodimensional, el modo
experimental y el modo experimental aproximado por la expresión teórica del modo
(Fig. 16).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91er MODO (vastago 1090 y modonum escalado)
Longitud
Des
plaz
amie
nto
modo 3D 1090 escaladomodo 1D 1090 escaladomodo acelmodo exp aprox
Fig. 16. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 1D y 3D con los
resultados del modelo experimental
A la vista de esta gráfica se observa que el modo del modelo tridimensional sin
tornillos tiene un comportamiento similar al del modelo monodimensional. La diferencia
entre ambas curvas está en la definición y caracterización de las uniones en el diseño
tridimensional, pero a efectos prácticos dicha desviación puede considerarse
despreciable. Esto permite que ante estudios de la estructura portante en los que la
definición de las uniones no se vea alterada se puede hacer uso del modelo
monodimensional, facilitando la obtención de resultados y el posterior manejo de los
mismos.
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Por último, en la siguiente gráfica (Fig. 17) son representadas las curvas de los
modos numéricos de los modelos tridimensionales sin tornillos, con tornillos sin
pretensado y con tornillos pretensados, el modo experimental y el modo experimental
aproximado por la expresión teórica del modo.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.91er MODO vastago 1090 (modonum escalado con tornillos pretensados y sin pretensado)
Longitud
Des
plaz
amie
nto
modo 3D 1090 escalado sin tornillosmodo 3D 1090 escalado con tornillos sin pretensadomodo 3D 1090 escalado con tornillos pretensadomodo acelmodo exp aprox
Fig. 17. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 3D “sin tornillos” y
“con tornillos” con los resultados del modelo experimental
Como se muestra en la gráfica las curvas de los modos de los modelos con
tornillos (sin pretensado y con pretensado) son iguales, esto se debe a que la
pretensión en los tornillos no afecta a los resultados del análisis en el dominio de la
frecuencia. Comparando estas dos curvas con la del modelo sin tornillos ésta última
presenta un comportamiento prácticamente idéntico a las anteriores. Las diferencias
existentes versan en torno a lo descrito en la gráfica anterior, pero en este caso son
menores ya que en los tres modelos están definidas las uniones y lo que diferencia a
un caso de otro es la presencia o no de tornillos.
Las formas de los modos de estos modelos tridimensionales y del
monodimensional, junto con la del modo experimental serán tomadas como referencia
en posteriores cálculos comparativos y análisis de sensibilidad.