3. Semántica de la lógica proposicional

3a. Semántica de las conectivas

Semántica formal

• Una tarea de la semántica es investigar las CONDICIONES DE VERDAD de los enunciados

• La semántica formal se ocupa únicamente de los aspectos formales o estructurales de las condiciones de verdad

• Un enunciado complejo será verdadero o falso en función de la forma en que estén dispuestos los enunciados simples que lo componen

• Esta forma viene dada por la disposición de las conectivas dentro del enunciado

Principio de bivalencia• En L0 todo enunciado es verdadero o falso: no hay una

tercera posibilidad

• Decimos que son sus 2 posibles VALORES DE VERDAD

• Es corriente simbolizar estos valores como V / F o como 1 / 0: usaremos los segundos

• Por tanto, todo enunciado simple puede tomar los valores 1 y 0

• El valor de un enunciado compuesto dependerá del modo en que se combinen los valores de los enunciados simples que lo componen

• Cada conectiva lógica determina una cierta combinación de valores de verdad

Semántica de las conectivas• Lo que diferencia semánticamente las conectivas es el

valor de verdad del enunciado compuesto que se forma con ellas:

1. Luke es rubio y Leia es morena

2. Luke es rubio o Leia es morena

3. Si Luke es rubio, Leia es morena

4. Luke es rubio, si y sólo si, Leia es morena

5. Luke no es rubio, ni Leia morena

• Cada una de estas afirmaciones (1-5) es verdadera en condiciones diferentes. Dichas condiciones vienen dadas por las distintas conectivas lógicas.

Semántica de las conectivas• Nuestro punto de partida para estudiar la semántica de

las conectivas es ver cómo se da en el lenguaje natural.• Pero hay que tener en cuenta que el lenguaje natural es

mucho más rico y complejo que nuestro L0: tenemos que considerar el contexto para saber qué se pretende decir con un enunciado.

• Dado que el lenguaje lógico prescinde del contexto, va a selecciona algunos de los usos de las conectivas, aquellos que considera importantes para sus propósitos.

• Una vez “fijados” estos valores semánticos, podemos estudiarlos aisladamente y ver el tipo de relaciones semánticas que establecen.

Semántica de las conectivas• Los valores de las conectivas que vamos a ver NO SON

UNA PURA ABSTRACCIÓN: aparecen realmente en nuestro usos del lenguaje natural.

• Pero a veces es difícil ver la equivalencia con los usos ordinarios, porque tendemos a “meter más contenido” que lo que la oración estrictamente garantiza, en función de cuáles creamos que son las intenciones del hablante al proferir un enunciado.

• Hay otros tipos de lógica con otro tipo de semántica para las conectivas, que pretenden captar intuiciones lógicas distintas. Son LÓGICAS NO ESTÁNDAR.

• Lo que vamos a ver es la semántica lógica estándar o CLÁSICA.

Semántica de la conectiva NOZP: “No subiré el impuesto de la renta”

Consideremos 2 posibles situaciones al final de la legislatura:

1. El Gobierno sube el impuesto de la renta

2. El Gobierno no sube el impuesto de la renta

¿en qué situación diríamos que ZP faltó a la verdad?

Obviamente en la 1. El negador simplemente cambia el valor de verdad de aquello que niega: si tenemos un enunciado , su negación, ¬ , será verdadera justo en

las circunstancias en que era falsa, y viceversa.

Semántica de la conectiva YZP: “Bajaremos el IVA del tabaco y del alcohol”Consideremos 4 situaciones:1. Se baja el IVA del tabaco y del alcohol2. No se baja el IVA del tabaco y sí el del alcohol3. Se baja el IVA del tabaco, no el del alcohol4. No se baja el IVA del tabaco ni del alcohol

¿en qué situación/es diríamos que ZP faltó a la verdad?

En la 2, 3 y 4. La promesa de ZP está compuesta por dos partes, unidas por Y. Para que la promesa compuesta se cumpla, debe cumplirse cada una de esas dos partes. Basta con que una de ellas no lo haga, para que la promesa sea falsa.

Semántica de la conectiva OZP: “Aprobaremos el estatuto leonés o el manchego”Consideremos 4 situaciones:1. Se aprueba el estatuto leonés y el manchego2. No se aprueba el estatuto leonés, sí el manchego3. Se aprueba el estatuto leonés, no el manchego4. No se aprueba el estatuto leonés, ni el manchego

¿en qué situación/es diríamos que ZP faltó a la verdad?

Solamente en la 4. La promesa de ZP está compuesta por dos partes, unidas por O, pero en este caso basta con que una de ellas se cumpla para que la promesa sea verdadera. ZP falta a la verdad cuando ninguna de esas dos partes resulta verse cumplida.

Semántica de la conectiva OAcabamos de ver el sentido INCLUSIVO de la O. Hay otro uso

típico de la O en el lenguaje natural que es EXCLUSIVO: las dos proposiciones que se unen no pueden ser verdaderas al mismo tiempo:

ZP: “Elegiré a mi sucesor por votación o a dedo”

En este caso se plantean dos situaciones mutuamente excluyentes, dado que elegir al sucesor por un método excluye hacerlo por el otro.

Pero este es un hecho acerca del mundo, no acerca de la naturaleza lógica de ese enunciado.

Semántica de la conectiva OHay incluso otros usos de la O aún más dudosos:

ZP: “Crearemos 400.000 ó 600.000 puestos de trabajo”

Supongamos que se crean 500.000 puestos. ¿Faltó a la verdad ZP?

Obviamente no: en este caso la O se limita a marcar unos márgenes para que el enunciado sea verdadero.

En lógica sólo nos interesa el sentido inclusivo de la O.

Semántica de la conectiva SIZP: “Si sube la vivienda, bajaremos el IBI”Consideremos 4 situaciones:1. Sube la vivienda y baja el IBI2. No sube la vivienda, baja el IBI 3. Sube la vivienda y no baja el IBI4. No sube la vivienda, ni baja el IBI

¿en qué situación/es diríamos que ZP faltó a la verdad?

Solamente en la 3. La promesa de ZP es un condicional, que dice que acciones se tomarán si se cumple el antecedente. Pero no dice nada acerca de lo que se hará cuando el antecedente no se cumple. El condicional sólo resulta ser falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Semántica de la conectiva SIEn el lenguaje natural, con frecuencia usamos el condicional

dando cosas por sobrentendidas:ZP: “Si me votáis, os irá mejor”(sobrentendido: “Si no me votáis, no os irá mejor”)

ZP: “Si la inflación se dispara, tomaré medidas”(sobrentendido: “Si no se dispara, no se tomarán medidas”

Pero en lógica no nos interesan los sobrentendidos, sino sólo lo que la oración estrictamente garantiza. Y el condicional garantiza que, dado un antecedente verdadero, el consecuente ha de ser verdadero. Pero si el antecedente es falso, el condicional seguirá siendo verdadero.

Semántica de la conectiva SIDe hecho, hay condicionales en los que el antecedente es

admitidamente falso: los contrafácticos.ZP: Si hubiera bajado el déficit, habría destinado más dinero a I+D

Tanto antecedente como consecuente son falsos: ni ha bajado el déficit ni se ha destinado más a I+D. Sin embargo, podemos seguir admitiendo la verdad del condicional.

Este contrafáctico sería falso en la situación en que (viajando atrás en el tiempo) el déficit ha bajado y, a pesar de ello, no se ha destinado más dinero a I+D. Es decir: sería falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. El condicional es verdadero en los restantes casos.

Semántica de la conectiva SI Y SÓLO SI

ZP: “Invadiremos Andorra si, y sólo si, el Parlamento lo aprueba”

1. Se invade Andorra, el Parlamento aprueba la invasión2. No se invade Andorra, el Parlamento aprueba la invasión3. Se invade Andorra, el Parlamento no aprueba la invasión4. No se invade Andorra, el Parlamento no aprueba la invasión

¿cuándo se faltó a la verdad?

En los casos 2 y 3. El bicondicional establece, entre las oraciones que une, una relación más fuerte que el condicional. El bicondicional establece que las dos partes se cumplen, o ninguna de ellas lo hace. Si una parte se cumple, pero la otra no, entonces la oración bicondicional resulta ser falsa

Tablas de verdad• Las relaciones entre valores de verdad que

establecen las conectivas pueden recogerse en forma de tablas.

• La tabla especifica cuál es valor de verdad del compuesto dado el valor de verdad de las partes

• Dado que sólo tenemos dos valores, que llamaremos 1 y 0, cada conectiva tiene una tabla única.

Tablas de verdad: negador• Sea una fórmula cualquiera, ¬ es verdadero

cuando es falso, y falso cuando es verdadero:

¬ 1 0

0 1

Tablas de verdad: conyuntor• Sean y ß fórmulas cualesquiera, ( ß) es

verdadero cuando y ß son verdaderos, y falso en los demás casos

ß ß

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

Tablas de verdad: disyuntor• Sean y ß fórmulas cualesquiera, ( ß) es

falso cuando y ß son falsos, y verdadero en los demás casos

ß ß

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 0

Tablas de verdad: condicional• Sean y ß fórmulas cualesquiera, ( ß) es

falso cuando es verdadero y ß es falso, y verdadero en los demás casos

ß ß

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 0 1

Tablas de verdad: bicondicional• Sean y ß fórmulas cualesquiera, ( ß) es

falso cuando y ß tienen distinto valor de verdad, y verdadero cuando tienen el mismo valor de verdad

ß ß

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

Tablas de verdad con 2 constantes y ß son fórmulas cualesquiera, por tanto, pueden ser

a su vez fórmulas complejas.• Toda fórmula tiene una única conectiva dominante.

Para determinar la tabla de verdad de una fórmula que incluye a y ß, primero uno resuelve las tablas de verdad de y de ß, y a continuación aplica la tabla de verdad de la conectiva dominante.

• Pero y ß tendrán a su vez conectivas dominantes cuyas tablas hay que solucionar.

• Veamos primero casos sencillos con sólo dos constantes proposicionales: p, q.

Tablas de verdad con 2 constantes

¬ p q

0 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

La tabla de verdad viene dada por la

conectiva dominante que une las fórmulas ¬p , q.

El negador es la dominante de ¬p. Por tanto, primero resolvemos el negador para obtener la tabla de ¬p.

Después combinamos los valores de verdad obtenidos en esta tabla con los de la fórmula q

Tablas de verdad con 2 constantes

¬ (p q)

0 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

1 0 0 0

En este caso la dominante es ¬ así que será la última columna en resolver.

Primero resolvemos la fórmula (p q).

Después aplicamos el negador sobre los valores de verdad de dicha fórmula

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

Tenemos que obtener todas las posibles combinaciones de valores de verdad. Tanto p como q pueden tener 2 valores, de modo que en total tenemos 2 x 2 = 4 combinaciones totales.

Para actuar sistemáticamente, tomamos la primera constante que aparezca y escribimos debajo 1 y 0 alternativamente, hasta completar cuatro filas. Hacemos lo mismo todas las veces que aparezca esa constante.

( p q ) ( ¬ p q )

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1

0 0

1 1

0 0

A continuación tomamos la segunda constante y escribimos bajo ella, todas las veces que aparezca, grupos de dos 1 y de dos 0, hasta completar 4 filas.

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1 1 1

0 1 0 1

1 0 1 0

0 0 0 0

Ahora podemos ir resolviendo la fórmula “de dentro hacia fuera”. Primero resolvemos las fórmulas atómicas con negador.

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1 0 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

0 0 1 0 0

Ahora podemos ir resolviendo la fórmula “de dentro hacia fuera”. Primero resolvemos las filas de las fórmulas atómicas con negador.

Después resolvemos las filas de las conectivas no dominantes másinternas, en este caso y

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0

Ahora podemos ir resolviendo la fórmula “de dentro hacia fuera”. Primero resolvemos las filas de las fórmulas atómicas con negador.

Después resolvemos las filas de las conectivas no dominantes másinternas, en este caso y

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 0

Por último combinamos los valores de las tablas de las dos fórmulas unidas por el disyuntor.

Tablas de verdad con 2 constantesQueremos hallar la tabla de:

( p q ) ( ¬ p q )

1 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

Por último combinamos los valores de las tablas de las dos fórmulas unidas por el disyuntor.

La columna resultante es la tabla de verdad de nuestra fórmula.

Tablas de verdad con 3 constantes• Queremos cubrir todas las posibles

combinaciones de valores de verdad. Si tenemos 3 constantes, cada una con 2 posibles valores de verdad, totaliza 2 x 2 x 2 = 8 combinaciones.

• Esto nos dará un total de 8 filas en la tabla.• Para cubrir sistemáticamente toda posibilidad,

en la columna de la tercera constante escribiremos ahora grupos de 1s y 0s de cuatro en cuatro.

Tablas de verdad con 3 constantes ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 1

0 1 1 1

1 0 1 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 0 1

1 0 0 0

0 0 0 0

Ahora vamos resolviendo cada subfórmula, de dentro hacia fuera

Tablas de verdad con 3 constantes ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 1

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0

0 0 1 1 0

1 1 0 0 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 0 0 1 0

Determinamos la conectiva dominante y resolvemos las atómicas negadas (NO aún los negadores pegados a un paréntesis)

Tablas de verdad con 3 constantes ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 1 1 0

0 0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1 0

Ahora resolvemos las subfórmulas más interiores

Tablas de verdad con 3 constantes ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1 1 0

1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 0

Resolvemos los negadores de los paréntesis de las subfórmulas interiores.

Tablas de verdad con 3 constantes ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

Resolvemos finalmente la columna de la conectiva dominante

Tablas de verdad con n constantes• En general, para n constantes, necesitaremos 2n

filas para cubrir todas las combinaciones.• Así, hallar la tabla de verdad de la fórmula:

(p [q ¬(r s)]) (t ¬u)

requeriría 26 = 64 filas !• Cada nueva constante duplica el número de 1s

y 0s seguidos que es preciso escribir en su columna: grupos de 20 para la primera constante, de 21 para la segunda, de 22 para la tercera constante, etc.

Tabla de verdad para 4 constantes( p q ) [( p r ) ( q s )]

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1

0 0 0 1 0 1

1 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0

1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Interpretación veritativa de una fórmula

Consideremos cada fila de esta tabla. En ella hay una combinación única de valores de verdad de las constantes, que determina cierto valor de la fórmula.

( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

Interpretación veritativa de una fórmula

La fila 1ª nos indica que cuando p, q y r tienen valor de verdad 1, la fórmula tiene valor de verdad 0.

Las demás filas muestran que para cualquier otra combinación de valores de p, q y r, la fórmula tiene valor de verdad 1.

( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

Interpretación veritativa de una fórmula

Cada fila constituye una interpretación veritativa de la fórmula, i.e., asigna un valor de verdad a la fórmula, el cual depende de (1) los valores de verdad asignados a las constantes y (2) la disposición de las conectivas.

( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

Errores típicos con las tablas de verdad

1. Mala distribución de 1s y 0s ( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0

Errores típicos con las tablas de verdad

2. Mala interpretación del condicional

( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0

Errores típicos con las tablas de verdad3. Mala aplicación del negador

( p q ) ¬ ( r ¬ q )

1 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0El ¬ fuera de paréntesis es la conectiva dominante de la subfórmula ¬(r ¬q) y

se resuelve después de resolver la fórmula dentro del paréntesis, aplicado a la columna bajo la conectiva dominante de dicha fórmula