SOLUCIONES : SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicio nº 1.- A la vista de la siguiente gráfica:

a)))) Obtén tres puntos de la recta ax ++++ by ==== c.

b)))) Halla tres soluciones de la ecuación ax ++++ by ==== c.

c)))) ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación? Solución:

a) Por ejemplo: (0, 0); (2, 1); (4, 2).

b) Por ejemplo: (0, 0); (2, 1); (4, 2).

c) Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

Ejercicio nº 2.-

a)))) Representa en los mismos ejes las rectas:

1

2 2 2

− + =− + =− + =− + =

− + =− + =− + =− + =

x y

x y

b)))) ¿En qué punto ((((o puntos)))) se cortan? ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema? Solución:

a) Representamos las rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

− + = → = + − + = → − + = → = +1 1 2 2 2 1 1

0 1 Es la misma recta.

1 2

x y y x x y x y y x

x y

b) Se cortan en todos sus puntos, puesto que se trata de la misma recta. El sistema tendrá infinitas soluciones: todos los puntos de la recta.

Ejercicio nº 3.- a) Resuelve por sustitución:

2 3 14

3 14

x y

x y

− + =− + =− + =− + =

− = −− = −− = −− = −

b) Resuelve por igualación:

2 3 2

6 12 1

x y

x y

+ =+ =+ =+ =

− + =− + =− + =− + =

Solución:

− + =

− = −

a) 2 3 14

3 14

x y

x y ( )= +

− + + =

3 14

2 3 3 14 14

y x

x x

− + + = → = − → = − = −

= − + =

282 9 42 14 7 28 4

7

12 14 2

x x x x

y

Solución: x = −4 ; y = 2

+ =

− + =

b) 2 3 2

6 12 1

x y

x y

− =

+ =

2 2

3

1 6

12

xy

xy

− +=

− = +

2 2 1 6

3 12

8 8 1 6

x x

x x

−− = − → = = → =

−

7 1 114 7

14 2 3x x y

= =1 1

: ;2 3

Solución x y

Ejercicio nº 4.- Resuelve los siguientes sistemas e interpreta gráficamente la solución obtenida:

4 1a)

2 5

x y

x y

+ =+ =+ =+ =

+ = −+ = −+ = −+ = −

3 4b)

6 2 1

x y

x y

+ =+ =+ =+ =

− − =− − =− − =− − =

Solución:

+ =

+ = −

a) 4 1

2 5

x y

x y ( )= −

− + = − → − + = −

1 4

2 1 4 5 2 8 5

x y

y y y y

− = − → = → = −7 7 1 3y y x

Solución: x = −3 ; y = 1

Son dos rectas que se cortan en el punto (−3, 1).

b) 3 4

6 2 1

x y

x y

+ =

− − = ( )4 3

6 2 4 3 1 6 8 6 1

y x

x x x x

= −

− − − = → − + =

0 = 9 → No tiene solución. Son dos rectas paralelas.

Ejercicio nº 5.-

Resuelve el sistema de ecuaciones:

( )

( )

2 13

3

3 5 3 12

xy

x y x

++++− = −− = −− = −− = −

+ − + =+ − + =+ − + =+ − + =

Solución:

( )

( )

+− = −

+ − + =

2 13

3

3 5 3 12

xy

x y x

+ − = −

+ − + =

2 23

3

3 15 3 3 12

xy

x y x

+ − = −

− = −

2 2 3 9

6 3 3

x y

x y

2 3 11

2 1

x y

x y

− = −

− = −

( )1 2 3 11

2 1

x y

x y

× − − + =→− = −→

= → =Sumando : 2 10 5y y

2 1 2 5 1 2 4 2x y x x x− = − → − = − → = → =

Solución: x = 2 ; y = 5 Ejercicio nº 6.- Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y, que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.

Solución:

Llamamos x a la primera cifra del número (la de las decenas) e y a la segunda cifra (la de las unidades). Así, el número será 10x + y. Tenemos que:

3

3 5430 10 3 54 18 54 3

10 10 54 18

y x yx

x x x x x xy x x y

==

+ = + + → = → = =+ = + +

y = 3x = 9

x = 3 ; y = 9 El número buscado es el 39. Ejercicio nº 7.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados

del triángulo?

Solución: Llamamos x a la longitud de cada uno de los dos lados iguales e y a la del lado desigual.

Tenemos que:

( )2 19 2 2 2 19

2 2 4 4 19

x y y y

x y y y

+ = + + =

= + + + =

5y = 15 → y = 3 → x = 6 + 2 = 8

x = 8 ; y = 3

Los lados iguales miden 8 cm cada uno; y el lado desigual mide 3 cm. Ejercicio nº 8.- La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una de ellas?

Solución: Llamamos x e y a las edades de cada uno. Tenemos que:

( )3 2 1523 2

3 3 2 30 30

15 30 15 45

x xxx y

y x x x

y x y

= += → =

= + → == + = + =

x = 30 ; y = 45

Tienen 30 y 45 años.