ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRABAJO COLABORATIVO - MOMENTO 4

PRESENTADO POR

MARTHA DEL PILAR LÓPEZ – CÓDIGO 52.060.249

GLORIA ROCÍO GARZÓN AGUILAR - CÓDIGO 51.997.515.

LAURA YANETH DÍAZ - CÓDIGO. 52066425

GRUPO: 301301 - 674

TUTOR: LUZ MERY RODRÍGUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ABRIL 05 DE 2015

INTRODUCCIÓN

Este trabajo busca que el estudiante aborde y resuelva los ejercicios planteados

mediante la aplicación de los conocimientos adquiridos durante la exploración de la

Unidad 2: Funciones trigonométricas, Trigonometría, e Hipernometría y sus

propiedades; valiéndose de diferentes medios de aprendizaje como son los módulos,

videos, lecturas y bibliografías recomendadas.

El estudio mediante la estrategia de aprendizaje basada en tareas (ABT) nos permite

como estudiantes del desarrollo de un conocimiento mucho más autónomo a partir de la

solución de ejercicios.

Finalmente la aplicación del trabajo colaborativo propende por un conocimiento

enriquecido con las experiencias y los conocimientos de los demás estudiantes.

CONTENIDO

Descripción de la actividad:

Temáticas revisadas: Funciones Trigonometría e Hipermetropía

Pasos para el desarrollo del Trabajo Colaborativo del Momento # 4:

1. Determine el dominio de la función f(x) =

√4 x−3x2−4

Numerador: condición. Debe ser ≥0

Denominador: Condición. Debe ser positivo y NO debe ser 0

√4 x−3x2−4

€ entonces: 4x-3 ≥ 0 ˄ x2- 4 ≠ 0

4x-3 ≥ 0 ˄ x2- 4 = 0

4x-3 ≥ 0 ˄ x2 = 4

X ≥ 34 ˄ x

+¿−¿√4 ¿

¿

Luego x ≠ +¿−¿¿ ¿ 2

Por lo tanto el dominio será:

D f(x) =[ 34 ,2¿ U (2, ∞)

2 .Determine el rango de la función f(x) = x+6√x−5

Numerador: condición. X+6 €

Denominador: Condición. X-5 >0

x+6√x−5

€ Entonces: X - 5 > 0 por tanto

X > 5

D f(x) = (5, ∞)

El rango de la función son los valores que toma la función.

Tabulando será:

X Y 6 127 13/√2100 106 /√95

Esto demuestra que el rango son los reales mayores que 5

R f ( x )={ y / y R , y>5 } es decir; (5, ∞)

3. Dadas las funciones:

f ( x )=2 x−12 ; g(x) = x2+2

Determine:

a) (f + g) (2)

(f + g) (x) = 2x−12 + x2+2

(f + g) (x) = 2x−1+2 x2+4

2

(f + g) (x) = 2x2+2x+32

(f + g) (2) = 2(2)2+2(2)+32

(f + g) (2) = 8+4+32

(f + g) (2) = 152

b) (f - g) (2)

(f - g) (x) = 2x−12 - x2+2

(f - g) (x) = 2 x−1−2(x¿¿2+2)

2¿

(f - g) (x) = 2x−1−2x2−4

2

(f - g) (x) = −2x2+2 x−52

(f + g) (2) = −2(2)2+2 (2 )−52

(f + g) (2) = −8+4−5

2

(f + g) (2) = −92

c) (f * g) (3)

(f - g) (x) = ( 2x−12 )∗¿ (x2+2)

(f - g) (x) = 2x3+4 x−x2−2

2

(f - g) (x) = 2x3−x2+4 x−2

2

(f + g) (3) = 2(3)2−(3 )2+4 (3 )−2

2

(f + g) (3) = 54−9+12−2

2

(f + g) (3) = 552

d) (f / g) (-3)

(f - g) (x) = 2x -1

2

x2+2

1

(f - g) (x) = 2 x−12 (x2+2 )

(f - g) (-3) = 2 (−3 )−12[ (−3 )2+2]

(f - g) (-3) = −6−12[9+2]

(f - g) (-3) = −722

4 Dadas las funciones:

f ( x )=√x+2 ; g(x) = x2−1 Determine:

a) (f o g) (x)

(f o g) (x) = f (g (x))

(f o g) (x) = √(x¿¿2−1)+2¿

(f o g) (x) = √ x2−1+2 (f o g) (x) = √ x2−1+2 (f o g) (x) = √ x2+1b) (g o f) (x)

(f o g) (x) = g (f (x))

(f o g) (x) = (√ x+2 )2❑ -1

(f o g) (x) = x+2-1

(f o g) (x) = x+1

c) (f + g) (x)

(f o g) (x) = (√ x+2 ) + (x2−1 )

(f o g) (x) = (√ x+2 ) + x2−1

d) (f - g) (x)

(f - g) (x) = (√ x+2 ) - (x2−1 )

(f o g) (x) = (√ x+2 ) - x2+1

5. Verifique la siguiente identidad:

2 senxcosx−cosx1−senx+sen2 x−cos2 x

= cot x

cosx (2 senx−1 )1−senx+sen2 x−(1−sen2 x )

= cot x

cosx (2 senx−1 )1−senx+sen2 x−1+sen2 x

= cot x

cosx (2 senx−1 )2 sen2 x−senx

= cot x

cosx (2 senx−1 )senx (2 senx−1 )

= cot x

cosxsenx = cot x

5. Demuestre la siguiente identidad, usando las definiciones de las diversas identidades hiperbólicas fundamentales:

tanhx1−tanh2x

= senh2 x

No es identidad porque:

tanhx1−tanh2x

¿cosh2x - 1 aplicando coshx = 1sechx

tanhx

1−tanh2 x = 1

sech2 x -1

1−tanhx1−tanh2x

= 1−sech2 x

sech2 x

Aplicando sech2 ( x)+¿ tanh2 ( x )=1

tanhx1−tanh2x

≠ tanh2 x1−tanh2 x

7. Un avión que pasa 60 metros sobre la azotea de un edificio de 40 metros de altura, desciende 200 metros hasta tocar tierra en un lugar A. ¿Con que ángulo descendió? ¿Qué distancia hay entre la base del edificio y el lugar A?

60mts

200mts

B 100 Cmts 40

mts

90° A

Podemos usar la función coseno (adyacente/opuesto):

Cosαα = 100 = 1

200 2

α = arccos(0,5) = 60°

R/ El avión descendió con un ángulo de 60°

B. Podemos usar la función seno:

Senα = X

200

X = (200). (sen 60°) = 173,21 m

R/ La distancia que hay entre la base del edificio y el lugar A es de 173,21 metros.

8. Desde lo alto de un globo se observa una ciudad A con un ángulo de 50°, y otra ciudad B, situada al otro lado y en línea recta con un ángulo de 60°. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros de la ciudad A y a 4 kilómetros de la ciudad B.

Determine la distancia entre las ciudades Ay B

a b6 4

50° 60°A B

DISTANCIAc

Hallamos el ángulo en el vértice donde está el globo que sería de 70° ya que si trazamos por la base del globo una línea horizontal paralela al piso, a la izquierda tendríamos 50º y a la derecha 60º como ángulos de depresión con respecto a la línea horizonte.

Para hallar la distancia entre la ciudad A y la ciudad B usamos el teorema del coseno, porque el ángulo que conocemos es el que forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.

a = 6 kilómetros

b = 4 kilómetros

c = distancia X entre a y b

C2=a2+b c2 – 2ab

C2=(6Km)2+¿ – 2(6Km)(4Km). Cos 70°

C2=36Km+16 Km – 2(24Km ).(−0.3420)

C2=36Km+16Km – 48.(−0.3420)

C2=35.584Km.

C2=√35.584.

C=5.96 Km

R/ La distancia entre la ciudad A y la B es de 5.96 Kilómetros

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.

 2cos2x + √3 senx = -1

2¿x) + √3 senx = -1

2−¿x + √3 senx +1 = 0

- 2 sen2x + √3 senx +3 = 0

a = -2

b = √3c = 3

Ecuación cuadrática:

X=−b±√b2−4 ac2a

senx = −√3± √3−4(−2)(3¿)2(−2)

¿

senx = −√3±√3+24−4

senx = −√3±√27−4

Donde: √27 = √9.√3

Donde: √27 = 3√3

senx = −√3±3√3−4

senx1 = −√3+3√3−4

= 2√3−4

senx1 = −√32

senx1 = arcsen (−√32 )

x1 = -60° Ξ 300°

senx 2 = −√3−3√3−4

= −4 √3−4

senx 2 = √3

x 2 = arcsen (√3)

x 2 = No existe

CONCLUSIONES

A lo largo de esta actividad hemos aprendido el tema de Funciones Trigonometría e Hipernometría.

La trigonometría tiene varias aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento como las técnicas de triangulación, en astronomía para medir las distancias entre estrellas, también para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.

Con esta actividad hemos aprendido y conceptualizado de mejor manera lo que son las ecuaciones trigonométricas como seno, coseno, cotangente, secante y cosecante, así como los métodos y el proceso para resolver cada uno de los ejercicios planteados en el trabajo.

Mediante los ejercicios de la práctica hemos desarrollado habilidades matemáticas la aplicación de los diferentes conceptos de la unidad 2

BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

Rondón Durán, J. (2011). Módulo de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica, Colombia. UNAD.

Swokowski, Cole. (2009). Algebra, trigonometría y Geometría Analítica. Mexico D.F. Edamsa Impresiones S.A de C.V.

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdf

Recuperado en marzo 14 de 2015

https://www.youtube.com/watch?v=SL-u4Qa6vWA&feature=youtu.be . Alexander Henao R. Funciones trigonométricas geogebra. Video.

Recuperado en marzo 17 de 2015

https://www.youtube.com/watch?v=5bC_ZVLSG-Q . 2010. Ecuación general de la recta. Video.

Recuperado en marzo 25 de 2015