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Universidad Tecnológica Metropoli tana Departamento de Matemática.
Ecuaciones Diferenciales - Guía No1 - II – 2005 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
1. Escriba su respuesta como solución de una ecuación diferencial, es decir, la función y la ecuación diferencial de la cual es solución: (* ) a. Una función cuya 1ª derivada sea la misma función. b. Una función cuya derivada sea un múltiplo de la misma función. c. Una función cuya 2ª derivada sea igual a la función misma.
d. Una función cuya 2ª derivada sea la negativa de la función misma. 2. Suponga que la función biparamétrica y�x ���C1y1�x ���C2y2�x �es solución de una ecuación diferencial de segundo orden en un intervalo I . Si x =�0 esta en I , determine una solución particular de la familia, que satisfaga las condiciones y�0 ���2 y y U�0 ���0 .Indique las hipótesis requeridas. 3. Indique cómo se resuelven los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales y ejemplifique:
a. � b.
4. Encuentre una ecuación diferencial lineal de 2º orden F�x, y, yU, y’’ ) ��0 para la cual y ��C1x ��C2x
3 sea una familia
biparamétricas de soluciones. Asegúrese que en su ecuación no estén los parámetros arbitrarios C1 y C2 .
5. Verificar que la función indicada es solución de la Ecuación Diferencial dada:
6. Compruebe que la familia uniparamétrica de soluciones de y ��xyU�����1 ���yU 2
es y ��cx �� 1 ��c2 . Demuestre que x2 ��y2 ��1 define una solución singular de la ecuación diferencial en el intervalo
"1 ��x ��1
7. Determine, si el teorema de existencia y unicidad impli ca que el problema con valor inicial dado tiene una solución única. a) 6)0(,33 =−= yyx
dx
dy b) π==+ )2(,04 yt
dt
dxx
c) 0)1(, == yx
dx
dyy
dx
dy dx
2 d y 2
f ���� �x
��f �� �x
��y
y
��
l. x
m. x
n.
o.
0 �������x
�������"�
12x
2 t ;
2
y
x
b. c.
d.
e f. g
h. i. j. k.
y
y
y
y
��y ��������
e ���6 5
��
0; y "�
a. 2y 2 6 5
U� dy dt dy dx 2
20y
y x
�� �����
24 y y
"� e "� t
,x
20
x
y ( � ; y y
xy
c (* ) ��U� � U�3 ��
�� 2
����2
�� y | |
��x 1
"��"�
y U�
2 2 ����
xydx
��2
2 c >0��������2
��� ��dy 0; yx y
X X
��x ����
2 y
�y
dX dt
;
X 1 ; ln �"� ��2 �� "�X 1 2
�����
senh �x �U�
��x
be
����
���0;
��cosh ��y; y ��
c | ��c 2 | 1 y �2 �� ��ln x �� y
"�
"�x ;��0
t xy ��������
x 2
3
��t (* )
"�x 2 U���UU��UU��UU�
4 x x "�0; y ae y 12y
e e 1; y ������
ce
U�
dt ��
x x
xcos ��ln �� ��y 2
3 d
dx
�� � ����
y xy UU�2
3
U� , x 0 "�y 3
2
2y 0; y x
���y
2x dx
2 d 2 "�x dy dx
1 4x , x ��2
"� ��0; U�xy
2
"�
2 c y ,x
,x
��xln + x c ������≥
�� t "�;
x U� U�
2
x 0
0 2 2 ��y �����xy y
8. Verifique que y ���4 "�x2 e y ��"��4 "�x2 son soluciones de dy ��"�x en el intervalo "�2 ��x ��2. dx y
Explique porqué y = 4 "�x2 , "�2 ��x ��0 no es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo �
������"��4 "�x2 , 0 t�x ��2
9. Encuentre el valor de m tal que y ��xm sea la solución de la ecuación diferencial: (* )
a. x2yUU�"�y ��0 b. x2yUU���6xyU���4y ��0
10. Verifique si y1 ��x2 e y2 ��x3 son, ambas, soluciones de 1 2
x2yUU�"�4xyU���6y ��0
¿Son también soluciones c1y1 , c2y2 ,con c1 ,c2 constantes arbitrarias? Justifique. ¿Es la suma y1 ��X2 solución?
11. Obtenga la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas por:
a. y ��Ce"x
b. C�y��1 �2 ��x
c. y ��C1e3 x ��C2 e"4x
d. y ���C1sen�wt ����C 2 cos�wt , donde w es una constante que no debe eliminarse. e. y ��C1e kx ��C2 e"kx, donde k es una constante que no debe eliminarse.
f. y ��C1excos �x ���C2 e"x sen�x �
g. y ��C1 ��C2ex ��C3 xe x (* )
12. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen. (* )
13. Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje OY.
14. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por ��0, -3 �y �0, 3 �y cuyos centros están en el eje OX. 15. Determine la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y2���2x.
Respuestas: 1) a) y = ex , y’ = y b) y = ecx , y’ = cy c) y = ex , y’ ’ = y d) y = sen x , y’’ = - y
2) y (x) = )0(')0()0()0('
)0('2
2121
2
yyyy
y
−− y1(x) +
)0(')0()0()0('
)0('2
2121
1
yyyy
y
− y2(x) Hip. Requerida: 0)0(')0()0()0(' 2121 ≠− yyyy
3) a) integrando una vez con respecto a x b) integrando dos veces con respecto a x
4) y’’ = 32 6
'3
3
'6x
xyy
x
y −− 7) a) Sí Impli ca b) Sí Impli ca c) No Impli ca
8) La función no es contínua en x = 0, luego no es diferenciable en x = 0.
9) a) m = 2
51± b) m = -1 o -4
10) Todas son soluciones de x2yUU�"�4xyU���6y ��0
11) a) y’ + y = 0 b) 2xy’ = y + 1 c) y’’ + y’ - 7y = 0 d) y’’ + w2y = 0
e) y’’ – k2y = 0 f) y’’ = 2y’ – 2y g) y’’’ = 2y’’ – y’
12) xy’ – y = 0 13) y’ – xy’’ + (y’) 3 = 0 14) y2 = x2 + 9 + 2xyy’ 15) 2yy’ = 2x(y’) 2 + 1
Ecuaciones Diferenciales MAT 630 - 2do Semestre 2005