34EcuacionesDValoresEquivalentes
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Matemáticas financieras 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1 UNIDAD III. INTERÉS COMPUESTO 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes Como se ha visto en temas pasados, el dinero cambia de valor en el tiempo, y $1 peso en el presente no valdrá lo mismo que un peso en el futuro; la relación de equivalencia que hemos estudiado entre el monto o valor futuro y el capital o valor presente viene dado por la ecuación: n M=C(1+i) Ejemplo 1. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 2% mensual capitalizable mensualmente. Primero debemos hacer la gráfica que relacione las cantidades en el tiempo, esta gráfica se le conoce comúnmente como diagrama de flujo de caja. X (Pago trimestral) $100 $100 $100 Mes 0 1 2 3 transcurrido Hay varias formas de igualar el pago trimestral desconocido X con el valor al cual equivalen los pagos mensuales. Todas estas formas es variando la fecha o el punto en el tiempo de referencia (fecha focal). Una manera es considerando la fecha focal ubicada en el pago trimestral. Quedando de la siguiente forma: ( ) ( ) 2 1 X=$100 1 0.02 $100 1 0.02 $100=$306.04 + + + + Otra forma es considerando el mes 0 como fecha focal, entonces la ecuación queda: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 X $100 $100 $100 = 1 0.02 1 0.02 1 0.02 1 0.02 + + + + + + La cual al despejar: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 X $100 $100 $100 = 1 0.02 1 0.02 1 0.02 1 0.02 + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 2 3 $100 1 0.02 $100 1 0.02 $100 1 0.02 X= 1 0.02 1 0.02 1 0.02 + + + + + + + + ( ) ( ) 2 1 X=$100 1 0.02 $100 1 0.02 $100=$306.04 + + + +
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Matemáticas financieras 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1
UNIDAD III. INTERÉS COMPUESTO
3.4. Ecuaciones de valores equivalentes Como se ha visto en temas pasados, el dinero cambia de valor en el tiempo, y $1 peso en el presente no valdrá lo mismo que un peso en el futuro; la relación de equivalencia que hemos estudiado entre el monto o valor futuro y el capital o valor presente viene dado por la ecuación:
nM=C(1+i) Ejemplo 1. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 2% mensual capitalizable mensualmente. Primero debemos hacer la gráfica que relacione las cantidades en el tiempo, esta gráfica se le conoce comúnmente como diagrama de flujo de caja. X (Pago trimestral) $100 $100 $100 Mes 0 1 2 3 transcurrido Hay varias formas de igualar el pago trimestral desconocido X con el valor al cual equivalen los pagos mensuales. Todas estas formas es variando la fecha o el punto en el tiempo de referencia (fecha focal). Una manera es considerando la fecha focal ubicada en el pago trimestral. Quedando de la siguiente forma:
( ) ( )2 1
X=$100 1 0.02 $100 1 0.02 $100=$306.04+ + + +
Otra forma es considerando el mes 0 como fecha focal, entonces la ecuación queda:
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3
X $100 $100 $100=
1 0.02 1 0.02 1 0.02 1 0.02+ +
+ + + +
La cual al despejar:
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3
X $100 $100 $100=
1 0.02 1 0.02 1 0.02 1 0.02+ +
+ + + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3
1 2 3
$100 1 0.02 $100 1 0.02 $100 1 0.02X=
1 0.02 1 0.02 1 0.02
+ + ++ +
+ + +
( ) ( )2 1
X=$100 1 0.02 $100 1 0.02 $100=$306.04+ + + +
Matemáticas financieras 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2
Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36% anual capitalizable mensualmente. Nuevamente realizamos el diagrama de flujo de caja. 100mil $200 X $250mil $250mil 0 1 2 3 4 5 6 Podemos usar la fecha focal como el mes número 6; quedando las ecuaciones de la siguiente manera (en miles de pesos para ahorrar espacio):
2 4 30.36 0.36 0.36
X + $200 1 $100 1 $250 1 25012 12 12
+ + + = + +
Por lo tanto al despejar el valor de X queda:
3 2 40.36 0.36 0.36
X $250 1 250 $200 1 $100 112 12 12
= + + − + − +
X = $198.451 (en miles de pesos) X = $198,451 (en pesos normales)
Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en 30, 60 y 90 días; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales de 30 y 60 días ¿Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 3.5% mensual; capitalizable mensualmente. El diagrama de flujo simplificado en miles de pesos: X X $15 $15 $15 Mes 0 1 2 3 transcurrido Tomando la fecha focal como el mes 1, queda (en miles de pesos para ahorrar espacio):
( ) ( ) ( )2
X $15 $15X $15
1 0.035 1 0.035 1 0.035+ = + +
+ + +
Factorizando el valor de X:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1 $15 $15X 1 $15
1 0.035 1 0.035 1 0.035
$15 $15$15
1 0.035 1 0.035X= $22.121
11
1 0.035
+ = + +
+ + +
+ ++ +
=
++
X = $22,121.75 (en pesos normales)
Matemáticas financieras 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3
EL ALUMNO REALIZA LOS EJEMPLOS 1, 2 Y 3 NUEVAMENTE PERO CON LAS SIGUIENTES MODIFICACIONES: Ejemplo 1 Modificado. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 20% anual capitalizable mensualmente. Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales, siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36% semestral capitalizable mensualmente. Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con pagos de $15,000 a pagar en 2, 4 y 6 meses; si se desea pagar en dos exhibiciones iguales en los meses 2 y 4 ¿Cuál debe ser el importe de estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 35% semestral; capitalizable mensualmente. Recomendación: consulta más ejemplos por tu cuenta usando los libros de la biblioteca.
Actividad 3.4. Ecuaciones de valores equivalentes. Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- En la compra de un televisor con valor de $3,000 se realizan dos pagos iguales a 3 y 6 meses ¿Cuál es el importe de dichos pagos si la tasa es del: a) 2% mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 24% anual capitalizable mensualmente d) 20% anual capitalizable trimestralmente 2.- Para realizar la compra de un terreno se paga $15,000 de enganche y se firman dos documentos por la misma cantidad a pagar dentro de 1 y 2 años. Si se desea comprarlo solo en dos pagos iguales; uno de enganche y el otro al cabo de un año, determine el monto de dichos pagos si la tasa de interés es del: a) 2% mensual capitalizable mensualmente b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente c) 24% anual capitalizable mensualmente d) 20% anual capitalizable trimestralmente 3.- Una empresa compra una maquinaria con valor de $35,000; si se realiza un pago de $10,000 de contado ¿Qué cantidad deberá liquidar la deuda al cabo de 6 meses si la tasa de interés es del: a) 30% anual capitalizable al mes. b) 20% anual capitalizable al semestre Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto colocar “3.4. Ecuaciones de valores equivalentes”. PROPUESTA: Después de haber hecho esta actividad a mano, incorpore las ecuaciones en EXCEL para confirmar.
