Estructuras elasto-plasticas Victorio E. Sonzogni Noviembre 2007

1. Estructuras elastoplasticas

En este captulo se trataran estructuras de materiales elastoplasticos. Estos materiales tienen un comportamiento como se muestra en la figura 1. Hasta alcanzar el punto de fluencia (Y) el comportamiento es elastico lineal. A partir de all se deforma manteniendo constante la tension. Estas deformaciones son permanentes y se producen disipando energa. El punto (U) marca la ruptura del material. La deformacion ultima u es mayor que la de fluencia y pero las tensiones son iguales, u = y .El acero ductil tiene un comportamiento elastoplastico, con un marcado punto de fluencia.El hormigon, si esta adecuadamente armado, puede presentar un comportamiento elastoplastico satisfactorio. Para ello las cuantas de acero de dureza natural no deben ser altas, y debe deta- llarse adecuadamente. El comportamiento plastico del hormigon armado esta aportado por la armadura en traccion.

10

s

s = s

Y 2 Uy u

E

1

e e e e e1 y 2 u

Figura 1: Relacion tension-deformacion para materiales elastoplasticos.

La llegada del material a fluencia no implica ni la falla del material, ni el colapso de la estructura. Esto se puede observar con un simple ejemplo.

Ejemplo 1:

Sea una viga simplemente apoyada (figura 2) de seccion rectangular, de material elastoplastico homogeneo, con carga distribuida, Se trata de hallar el valor de la carga q que corresponde al estado lmite ultimo o de colapso de esta viga.El diagrama de momentos flectores para un tramo con carga distribuida es el mos- trado en la figura 2. Los momentos en cada seccion estan en equilibrio con las cargas actuantes. Ese diagrama es independiente del comportamiento del material, o de consideraciones de compatibilidad.El maximo momento se produce en la seccion central de la viga.

Las deformaciones en la seccion a a son las indicadas en el diagrama de la figura3, debido a la validez de la hipotesis de Bernouilli. Las tensiones, si el material se encuentra en el rango elastico, son proporcionales a las deformaciones. Considerese un valor q1 de la carga para el cual las deformaciones 1 y tensiones 1 esten en el perodo elastico.El maximo momento flector, en la seccion a a, esta dado por

q1l2M1 = 8

A su vez, el momento y las tensiones maximas 1 estan relacionados por

M1 = 1 W

6siendo W = bd2

el modulo resistente de la seccion rectangular.De las dos expresiones anteriores, puede obtenerse la carga que produce el nivel de tensiones 1

q1 =

8M1 =l2

41bd23l2

El comportamiento elastico es valido hasta el punto de fluencia (Y), de modo que la carga qy que hace alcanzar las tensiones de fluencia en el material es

qy =

8My =l2

4y bd23l2

Si bien la resistencia del material es y la carga qy no produce la falla de la estructura. En efecto puede incrementarse la carga y para un valor q2 el material en la parte superior e inferior de la seccion a a alcanza el punto 2 del diagrama tension- deformacion de la figura 1

Puede verse que hay una zona en la seccion a a en que el material esta en fluencia, y otra que permanece en estado elastico (figura 3-c). La viga puede soportar incre- mentos de carga que aumentaran la extension de las zonas plasticas, reduciendo la de las zonas elasticas. En el lmite el diagrama de tensiones alcanzara la forma de la figura 3-d. En ese momento toda la seccion a a esta en estado plastico y no admite incremento de momentos. Se designara con Mp y qp respectivamente al momento en la seccion a a y la carga correspondientes a este estado de plastificacion de la seccion.

q

a a

2Ma= q l /8

Figura 2: Viga isostatica de seccion rectangular, con carga distribuida

e s e s e s s1 1 y y 2 y y

ey

bd

ey

e s e s e s s1 1 y y 2 y y

(a)

(b) (c) (d)

Figura 3: Deformaciones y tensiones en la seccion central de la viga

Se usa el termino rotula plastica para referirse a la seccion central en ese estado. La rotula plastica, permite rotaciones relativas a ambos lados de la seccion indefinida- mente grandes, y tiene asociado un momento flector igual al momento Mp (figura4). El diagrama momento-curvatura es lineal hasta alcanzar el momento de fluenciaMy . A aprtir de all es no lineal y se hace completamente plastico con el momento de plastificacion Mp (figura 5)

M

Mu

Zona plstica

My

Zona elstica

EI

Figura 4: Rotula plastica k ky

Figura 5: Momento-curvatura en la rotula plastica

Con la constitucion de esa rotula plastica en el centro de la viga, queda formado un mecanismo con un grado de libertad, al existir -incrementalmente- tres rotulas alineadas. Aqu la estructura se ha transformado en mecanismo y corresponde a la definicion de uno de los Estados Lmites Ultimos o de Colapso. La carga ultima o de colapso qu sera, por tanto,qu = qp

El momento flector Mp puede calcularse evaluando la cupla de las resultantes de tensiones de compresion y traccion:

d d bd2

y dado que

Mp = (y b 2 ) 2 = y 4

qpl2

se puede obtener

qp =

Mp =

8Mp =l2

8

2y bd2l2

Puede definirse entonces tres valores de la carga en esta viga: un valor qy , para el cual el material alcanza su punto de fluencia; otro valor qp para el cual se forma, en alguna seccion, una rotula plastica; y finalmente un valor qu corespondiente al colapso o agotamiento de la resistencia o estabilidad de la estructura.

Para esta viga de seccion rectangular,

qp = 1,5qy

y por ser isostatica

qu = qp

Es decir, luego de llegar el material a fluencia se incremento un 50 % la carga antes de formarse la rotula plastica y el mecanismo de colapso.

En el caso analizado las cargas de plastificacion y de colapso coinciden pues, al ser la viga isostatica, no posee reserva de resistencia. Se analizara a continuacion el caso de una viga hiper- estatica.

Ejemplo 2:

Sea una viga bi-empotrada (figura 6-a) de seccion rectangular, de material elas- toplastico homogeneo, con carga distribuida, Se trata de hallar el valor de la carga q que corresponde al estado lmite ultimo o de colapso de esta viga.En esa figura se ha dibujado tambien el diagrama de momentos flectores. El analisis de la deformaciones y tensiones en la seccion rectangular es igual al efectuado en el ejemplo anterior. El valor de la carga de fluencia qy es

q = 12 My = 12y l2

El valor de la carga de plastificacion qp es

y W = 2l2

y bd2l2

q = 12 Mp = 12p l2

y bd2= 34l2

y bd2l2En este momento (figura 6-c) se forman sendas rotulas plasticas en los extremos de la viga. Pero la viga aun soporte incrementos de carga, funcionando como una viga bi-articulada. A partir de aqu hay redistribucion de momentos. Los momentos en los extremos quedan en el valor Mp y el momento en el centro aumenta hasta alcanzar el valor Mp tambien. Cuando ello ocurre, se tienen tres rotulas alineadas: un mecanismo (figura 6-d). La carga de colapso, pues, es la que corresponde a un diagrama parabolico de flecha 2Mp

qul28

Mp

= 2Mp

bd2

bd2qu = 16 l2 = 16y 4l2 = 4y l2

Puede verse que en este casoqp = 1,5qy

qu = 2qy

q

aa (a)

MB= q l /12 MB= q l /122 2

2Ma= q l /24

q l2 /12

qy l /12y

2qp l /12

2qy l /24

2qp l /12

2(b)

(c)

2qp l /24

q l2 /12

qp l /12p

2(d)

2qp l /24

Figura 6: Viga hiperestatica de seccion rectangular, con carga distribuida

2. Analisis lmite

El objetivo del analisis lmite es encontrar cual es el valor de la carga que pone a la estructura frente a un Estado Lmite Ultimo. En el caso de estructuras elastoplasticas ese estado ultimo puede sobrevenir por la formacion de un mecanismo.Se introduciran algunas definiciones que seran de utilidad para efectuar un analisis lmite.

Estado de Deformaciones Cinematicamente Admisible

Un Estado de Deformaciones Cinematicamente Admisible (EDCA) es un estado de deforma- ciones compatible con los vnculos, que la estructura puede tomar una vez formada las rotulas plasticas. No se pide en esta definicion que ese estado este en equilibrio con las fuerzas actuantes, solamente que sea compatible. Por ejemplo, para una viga de dos vanos, algunos EDCA estan dibujados en la figura 7. All se ha indicado la ubicacion de rotulas plasticas que conforman diferentes mecanismos.

Estado de Tensiones Estaticamente Admisible

Un Estado de Tensiones Estaticamente Admisible (ETEA) es un conjunto de fuerzas externas e internas bajo las cuales cada parte del sistema esta en equilibrio. No se pide en esta definicion que ese estado sea compatible, ni que corresponda al estado de tensiones real de la estructura.

Solo que sea equilibrado. Un ETEA se dice estable si en ninguna seccion los momentos flectores superan los valores de plastificacion. Algunos ejemplos de ETEA se dan en la figura 8,para la misma viga de dos vanos. En la figura se muestran distintos diagramas de momentos flectores, todos ellos en equilibrio con las carga uniformemente repartida.

Figura 7: Estados de DeformacionesCinematicamente Admisible

Figura 8: Estados de TensionesEstaticamente Admisible

Teoremas del analisis lmite

Teorema 1: Durante el colapso de una estructura por transformacion en mecanismo, para la carga lmite, todos los momentos permanecen constantes y todas las deformaciones incrementales estan localizadas en las rotulas plasticas.

Teorema 2 - Teorema estatico o del lmite inferior: La carga correspondiente a cualquierETEA y estable es menor o igual a la carga lmite

Pe Pu

Teorema 3 - Teorema cinematico o del lmite superior: La carga correspondiente a cualquier EDCA es mayor o igual a la carga lmite

Pc Pu

De los teoremas 2 y 3 surge que las cargas estatica y cinematica acotan la carga de colapso:

Pe Pu Pc

Teorema 4 - Teorema de unicidad: La carga correspondiente a una solucion cinematicamente admisible, estaticamente admisible y estable coincide con la carga lmite

3. Analisis lmite de placas. Metodo de Johansen

K. W. Johansen introdujo en 1930 el metodo que se ha denomiado metodo de las lneas de rotura, aunque mas precisamente sera denominarlo metodo de las lneas de plastificacion. Es un metodo basado en el teorema del lmite superior. Se plantea un mecanismo de colapso mediante un adecuado trazado de lneas de plastificacion, y se calcula la carga en equilibrio asociada a ese mecansimo. Por el teorema cinematico esa carga es cota superior para la carga de colapso.

3.1. Mecanismo de colapso de la placa

El primer paso para calcular la carga lmite por el metodo de Johansen es la construccion de unEDCA.Supongase una placa homogenea isotropa de material elastoplastico (si el material no lo es, no es aplicable este metodo!). Cuando en algun punto se alcanza el momento de plastificacion, el material comienza a fluir plasticamente. Los momentos flectores no se modifican. Al aumentar la carga se redistribuyen tensiones y las zonas cercanas al punto en fluencia van alcanzando tambien el valor del momento plastico. se va originando as una lnea de material plastificado. A medida que progresa la plastificacion estas lneas van delimitando trozos de la placa que quedan unidos por estas bisagras plasticas, y se llega a formar un mecanismo, en el estado ultimo Durante el colapso, los momentos flectores permanecen constantes, igual al valor de plastificacion, a lo largo de las lneas plasticas.Algunos principios basicos ayudan a proponer un mecanismo en la placa:

1. Las lneas plasticas separan la losa en trozos que giran alrededor de sendos ejes. Si hay un apoyo o empotramiento, el eje coincide con ese borde. Si hay una columna, como apoyo puntual, el eje pasa por sobre la columna.

(a) (b) Figura 9: Lneas de plastificacion y ejes de rotacionEn la figura 9-a se muestra una placa trapezoidal con dos bordes empotrados y dos bordes simplemente apoyados. En los bordes empotrados hay que ubicar una lnea de plastificacion (LP) para permitir el movimiento del mecanismo de colapso. Las LP se han dibujado con lineas gruesas de color gris. En la misma figura se indican los ejes de rotacion de cada trozo, con lneas de punto y raya. La figura 9-b tiene una placa rectangular con un borde empotrado, tres bordes libres, y apoyada sobre dos columnas.

2. Durante el colapso, las deformaciones se concentran en las lneas plasticas. Las deformacio- nes elasticas son mucho menores que las deformaciones plasticas. Luego los trozos pueden

suponerse planos. As siendo, las lneas de plastificacion resultan de la interseccion de planos y por tanto las lneas de plastificacion son rectas.

3. Las lneas de plastificacion que separan dos trozos de la placa, pasan por el punto de interseccion de los ejes de rotacion de esos trozos.

4. Las lneas de plastificacion que se intersectan en un punto interior de la placa deben ser por lo menos tres.

3.2. Calculo de la carga lmite

Una vez elegido un mecanismo de colapso plastico, se calcula el valor de la carga que esta en equilibrio con el momento plastico actuando sobre todas las lneas de plastificacion. Este valor corresponde a una carga cinematica, y por el teorema del lmite superior, es mayor o igual a la carga lmite. Esto coloca al ingeniero del lado de la inseguridad, pues la carga de colapso podria ser inferior a la calculada. Es preciso a veces calcular la carga lmite para diferentes configuraciones de las lneas de platificacion. Aquel mecanismo que se acerque mas al mecanismo real de colapso, sera el que de un valor menor de la carga cinematica y por ende mas cercano a la carga lmite.El calculo de la carga cinematica puede hacerse por dos vias:

1. Mediante el uso de las ecuaciones de equilibrio

2. Por aplicacion del principio de los trabajos virtuales

3.2.1. Calculo de la carga por el principio de los traba jos virtuales

En la configuracion de colapso adoptada queda formado un mecanismo. Se da un movimiento virtual al mismo. Este movimiento debe ser compatible con los vnculos externos e internos. Cada parte de la placa gira alrededor de sus ejes de rotacion. Se supondra que los desplazamientos virtuales son suficientemente pequenosSe evalua el trabajo de las fuerzas externas We a lo largo del desplazamiento virtual y el de las fuerzas internas Wi. El principio de los trabajos virtuales establece que, si la placa esta en equilibrio, la suma de esos trabajos es nula:

We + Wi = 0

El trabajo de las fuerzas externas puede escribirse formalmente:

Z ZWe =

q(x, y) w(x, y) dx dy + X Pi wi

El primer termino es el trabajo de la carga distribuida q(x, y) (funcion de las coordenadas cartesianas x, y sobre el plano de la placa), donde w(x, y) es el desplazamiento virtual de cada punto y la integral se extiende sobre el area de la placa. El segundo termino contiene el trabajo de las cargas puntuales Pi a lo largo del desplazamiento virtual wi de su punto de aplicacion.

El trabajo de las fuerzas internas es aquel ejercido por los momentos de platificacion en cadaLP, a lo largo de las rotaciones plasticas de las bisagras plasticas.

Wi =

N roLPX

i

M~ pi ~i

El momento plastico por unidad de longitud mp actuando sobre una lneas de plastificacion de longitud l produce un momentoMp = mp l

La figura 10 destaca el momento sobre una de las lneas de plastificacion en un trozo que gira alrededor de su eje de rotacion. El trabajo interno para esa LP:

M~ p ~ = mp l cos

l

mpy

g

x dq

Figura 10: Evaluacion del trabajo interno

A veces conviene referir todos lo vectores a un sistema cartesiano de coordenadas y considerar el trabajo por componentes:

M~ p ~ = Mpx x + Mpy y

donde Mpx y Mpy son las componentes del vector Mp y x y y las de la rotacion virtual.La figura 11 representa un corte por un plano perpendicular a una de las LP. Puede verse all queel sentido del momento plastico es siempre opuesto al de la rotacion virtual. Por este motivo el trabajo de las fuerzas internas es siempre negativo.

qqq1 2

21+ q

qq1 2Mp Mp

Figura 11: Trabajo interno en una lnea de plastificacion

Ademas el trabajo puede evaluarse por cada trozo de placa, o por cada LP. En este ultimo caso, puede verse que el trabajo realizado es el producto del momento plastico por la rotacion relativa entre los dos trozos de placa.

Mp1 + Mp2 = Mp(1 + 2) El principio de los trabajos virtuales dice que

We + Wi = 0

Z Zxq w dx dy + X Pi wi X Mp

x + Mpy

y = 0 (1)

Esta ecuacion permite determinar una incognita. Aqu puede procederse de distintas formas.

1. Puede hallarse el valor lmite de un parametro de carga Es decir si las cargas se escriben

q = q0

Pi = P0idonde q0 y P0i dan la forma de carga y su magnitud. De la ecuacion (1), conocida la resistencia de la placa, a traves de mp, puede despejarse , que da el factor de carga cinematica. Es decir un lmite superior para la carga de colapso.

2. Si parte de las cargas son fijas, puede hallarse la magnitud de una de ellas variable. Por ejemplo si los Pi tienen valores determinados. La ecuacion (1) permite hallar el valor de q lmite (en realidad el valor de carga cinematica, cota superior de la carga lmite).

3. Si las cargas son conocidas, entrando los valores ultimos de estas (por ejemplo la carga de servicio por un factor de amplificacion de cargas), se puede usar la ecuacion (1) para hallar la resistencia requerida mp de la placa. Y as poder pasar a la fase de dimensionamiento.

3.2.2. Calculo de la carga mediante uso de las ecuaciones de equilibrio

En cada trozo de la placa se deben colocar momentos plasticos sobre todas las LP. En ese caso es sencillo plantear una ecuacion de equilibrio de momento alrededor de algun eje. De esa ecuacion se puede despejar el valor de la carga cinematica.Por ejemplo en la figura 12 se muestra un trozo de placa donde se han colocado los momentos plasticos sobre cada LP.

l2

1l mp

mp A

lmp 3ig2 g1

di

g3mp

l

Figura 12: Equilibrio de momentos en un trozo de placa

La ecuacion de equilibrio de momentos alrededor del eje de rotacion se puede escribir:

3 !mp l + X li cosii=1

= q X Ai didonde Ai es el area de cada triangulo en que se ha dividido ese trozo, di la distancia de su baricentro al eje, y la sumatoria se extiende a la cantidad de triangulos.

De esa ecuacion puede depejarse el valor de la carga cinematica, o proceder como se indico en el apartado anterior.

3.2.3. Ejemplo de calculo de la carga lmite

Como ejemplo de calculo de la carga cinematica, se considerara el caso de una placa poligonal regular, de n lados, empotrada en todo su contorno, y sometida a una carga concentrada en el centro (figura 13-a).

+P

(a) (b)

g

ldq g

rPdqa dq cos gdwdq cos g

(c) (d)

Figura 13: Placa poligonal regular con carga concentrada

La placa se supone de material elastoplastico, isotropa. La figura 13-b muestra una configuracion de lneas de plastificacion posible, quedando formado un mecanismo con un grado de libertad.

Aplicacion del principio de los traba jos virtuales

Dando un desplazamiento virtual al mismo se obtiene una deformada como se indica en la figura13-d. El descenso del punto de aplicacion de la carga puede expresarse en funcion del angulo de rotacion (pequenos desplazamientos):

Trabajo virtual externo:

w = a

We = P w = P a

Trabajo virtual interno:Se evaluar

el trabajo virtual interno para uno de los trozos triangulares (13-c). Luego se mul-tiplicar

ese trabajo por la cantidad de triangulos.El trabajo interno para el triangulo j:

W ji = (mp l + 2 mp r cos)

El primer termino es el trabajo a lo largo del borde empotrado, donde mp es el momento plastico por unidad de longitud. El segundo termino tiene el trabajo sobre los otrso dos lados del triangulo. Sumando la contribucion de todos los triangulos:

Wi = (n mp l + 2 n mp r cos) Haciendo uso de las relaciones

se puede expresar

r sen = a r cos = l2

l tg = 2 aWi = 2 n mp l

El principio de los trabajos virtuales:

We + Wi = 0

P a = 2 n mp l

de donde se obtiene la carga cinematica (cota superior a la carga lmite):

1Pc = 4 n mp

Para polgonos regulares de n lados se verifica:

tg

=

1tgPor lo que la carga lmite puede ponerse:

2 n

= tg( )n

Pc = 4 n mp tg( n )

Aplicacion de las ecuaciones de equilibrio

La carga lmite se puede calcular tambien haciendo uso de las ecuaciones de equilibrio. Si se considera uno de los triangulos (figura 14), y se plantea equilibrio de momentos alrededor del borde empotrado:Pmp l + 2 mp r cos = n ade donde, usando las expresiones que relacionan l, r y a queda:

4 mp

a = P a tg n

r

mp g mpl agmp

Figura 14: Placa poligonal regular con carga concentrada. Equilibrio de momentos

yPc = 4 n mp

1tgque es, por supuesto, la misma carga calculada anteriormente.

Placa simplemente apoyada

En el caso en que la placa estuviera simplemente apoyada en su contorno, el analisis es similar al anterior. En este caso el trabajo interno es:

Wi = n mp l

y la carga cinematica:

Pc = 2 n mp tg( n )Particularizando para algunos valores del numero de lados se obtienen los valores dados en laTabla 1.

Tabla 1. Carga lmite para placas poligonales regulares simplemente apoyadas, con carga concentrada en el centro.

nPc

310,39 mp

48,0 mp

66,93 mp

2 mp

3.3. Momento plastico. Placas isotropas y ortotropas

El momento de plastificacion de una placa es el mismo momento resistente (ver figura 5), por lo que puede calcularse como se evalua la resistencia flexional de placas.Si la placa es isotropa, en cualquier direccion el valor del momento plastico es el mismo.Una placa con armadura en dos direcciones Asx y As y y profundidad de la armadura dx y dytendr

momentos plasticos mpx y mpy , segun las dos direcciones.Analizando la direccion x, y llamando a a la profundidad del bloque de tensiones en el hormigon,la resultante de compresion, siguiendo las prescripciones de la ACI-318,

cC = 0,85 f 0 b a

y la de traccion

T = As x fyPor equilibrio de fuerzas horizontales, esas dos resultantes son iguales. De all puede despejarsea = As x fy 0,85 f c bEl momento flector:

a m = Asx fy (dx 2 )El momento resistente debe minorarse por el coeficiente por lo que el momento plastico en direccion x se puede escribir:ampx = Asxfy (dx 2 )Analogamente se calcula el momento plastico en la otra direccion.

Si se considera una direccion con inclinacion con respecto a la direccion donde actua mpx(figura 15), estableciendo equilibrio de un elemento, se tiene:

mp l = (mpx l cos ) cos + (mpy l sen ) sen

2 2mp = mpx cos + mpy sen y en direccion perpendicular a ese borde:

mt = (mpx mpy ) sen cos

dqmpy

mpx

mpy

l sen a

mpxy

x Asy

a

Asx

mpa

l

a

mta

l cos a

Si la placa es isotropa:

de donde surge que y.

Figura 15: Momentos plasticos en placa ortotropa

mpx = mpy = mp

mp = mp

mt = 0

Analoga para placas ortotropasUna placa ortotropa con momentos de plastificacion mpx y mpy puede estudiarse resolviendo una placa transformada isotropa , modificando los datos segun se indica en la Tabla 2.

Tabla 2. Placa isotropa equivalente a una placa ortotropa

Placa original (ortotropa)Placa transformada (isotropa)

lxlx

lyly 1

mxmx

qq

PP 1

En esa tabla

mpy =mpxq y P hacen referencia a cargas distribuidas y concentradas respectivamente.Vale decir que la placa ortotropa puede estudiarse como tal, utilizando la expresion de mp indicada arriba, para las lneas de plastificacion inclinadas; o bien, en su lugar calcular la carga lmite como si fuese isotropa, con los datos transformados de la Tabla 2.