Cálculo integral Semestre 3

Fascículo No. 4

Tabla de contenido Contenido

Áreas y volúmenes

Áreas

Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas

Volúmenes

Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida

Volumen de un sólido por revolución

Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las

arandelas)

Método de las capas o cascarones

Resumen

Bibliografía recomendada

Nexo

Autoevaluación formativa

Áreas y volúmenes

Vamos ahora a tratar una de las más importantes aplicaciones de la integral

definida: el problema del cálculo de áreas y volúmenes generados por curvas en el

plano. Se aclara que éstas no son las únicas aplicaciones de la integral definida,

pues más adelante vamos a tratar más aplicaciones geométricas y físicas de la

integral definida.

Indicadores de logros

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

• Deduce, construyendo sumas de Riemann, las fórmulas para el cálculo de

áreas y de volúmenes.

• Adapta las fórmulas para el cálculo de volúmenes de acuerdo con la situación

concreta del problema a resolver.

• Calcula áreas de regiones limitadas por curvas en el plano.

• Calcula volúmenes de cuerpos sólidos.

Áreas

Vamos ahora a tratar el problema de calcular el área entre dos curvas;

bxaparaxgyyxfy ≤≤== )()( , geométricamente esto es:

Y y=f(x) Área

A y=g(x) X a b

Para resolver este problema vamos a efectuar una partición sobre el intervalo [a ,

b]:

[ ] nixxervalossubendivididoquedaqueodebxxxxxa

ii

ni

,...,2,1,,intmod,......

1

210

==<><<<<

−

[ ] .,...,2,1,,,,int

int

1**

1

nixxxxervalosubcadaen

arbitrariopuntounelijamoservalosubcadadelongitudlaxxxSea

iiii

iii

=∈

−=Δ

−

−

Consideremos con respecto a cada subintervalo, un rectángulo de ancho

1−−=Δ iii xxx

y alto .,...,2,1,)()( ** nixgxf ii =− De manera que el área de cada rectángulo esté

dada por:

( ) ( )[ ] .,...,2,1** niparaxxgxfA iiii =Δ−=Δ

Entonces una aproximación al área total comprendida entre las dos curvas entre a

y b será:

Y y=f(x) hi y=g(x) a xi-1 xi b *

ix

Una aproximación del área total entre las dos curvas entre a y b , es:

( ) ( )[ ]∑∑==

Δ−=Δ=n

iiii

n

ii xxgxfAAtotalÁrea

1

**

1:

Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero,

0→P , y tendremos el valor exacto del área buscada:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∑ −=Δ−==→

b

a

n

iiii

PdxxgxfxxgxfAexactaÁrea

1

**

0lim:

Ejemplo

Hallar el área comprendida entre la parábola 2xy = y la recta xy = .

En este caso la región, está limitada, superiormente, por la recta Y = x e,

inferiormente, por la parábola y = x2 , para x entre 0 y 1; siendo la gráfica de la

región la siguiente:

Entonces, el área estará dada por:

[ ]610

31

21

32

32

1

0

1

0

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−==−= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫

xxdxxxA

Fórmula general para el cálculo del área entre dos curvas

La fórmula general para calcular el área entre dos curvas, sin importar cuál es la

superior y cuál es la inferior está dada, considerando la altura de cada rectángulo

como el valor absoluto de la diferencia entre las dos funciones; por tanto el área

de un rectángulo será:

( ) ( ) iiii xxgxfA Δ−=Δ **

Y y=f(x) ( ) ( )**

iii xgxfh −= y=g(x) X a xi-1 xi b *

ix

Entonces, dxxgxfAb

a∫ −= )()(

Observación

Note que, en la práctica, esto significa dividir la integral según la propiedad de

aditividad, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto.

Ejemplo

Calcule el área comprendida entre las curvas ,2 2xyyxy −== 20 ≤≤ xpara

La gráfica de la región aparece más abajo.

Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas:

⎩⎨⎧

=−=

⇒=−+⇒=−+⇒−=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

12

0)1)(2(0222

222 x

xxxxxxx

xyxy

.

En el problema, la intersección que es de nuestro interés es x = 1; puesto que:

( )( ) 02

,21;02,102

2

>−−

<<<−−<<

xxquetenemosxparaquemientrasxxquetenemosxPara

Entonces,

( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ ∫∫ −−+−−−=−−=1

0

2

1

222

0

2 222 dxxxdxxxdxxxA

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]

3312

21

3842

312

21

312

21

384

240

312

21

3232

2222

32

232

2

2

1

1

0

1

0

2

1

221

0

2

1

22

=

=−+−+−+−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

=+−=

=+−++−−=−−+−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

∫ ∫∫ ∫

xxxxxx

dxxxdxxxdxxxdxxxA

Ejemplo

Calcular el área comprendida entre las curvas 22 −== xyyxy .

(Ver figura)

Hallemos los puntos de corte entre ambas curvas.

⎩⎨⎧

−==

⇒=+−⇒=−−⇒+=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+==

12

0)1)(2(0222

222

yy

yyyyyyyx

xy

En nuestro problema, los puntos de corte son: )2,4()1,1( y− .

En este problema (véase la figura); al trabajar en función de “x”, vemos que la

curva superior es siempre la rama superior de la parábola,

( )xyxyxy ±=⇒=+= 2, ; mientras que la curva inferior cambia, pues para

10 << x es xy −= , mientras que para 41 << x es 2−= xy .

En este caso, lo más apropiado es trabajar el problema en función de “y”. Esto es,

considerar a y como la variable independiente y las curvas expresadas en la

forma x como función de y; es decir, 21,22 ≤≤−+== yparayxyyx .

Entonces (véase la gráfica) los rectángulos se tomarán en forma horizontal, siendo

la curva “superior” la que está a la derecha y la “inferior” la que está a la izquierda.

Entonces el cálculo del área entre las dos curvas se llevará a cabo planteando y

calculando la siguiente integral:

( )[ ] [ ]

29

312

21

3842

3222

32

2

2

1

2

1

22

1

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

==−+=−+= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+∫∫

−

−−

yyydyyydyyyA

Observación

En general, la fórmula para el cálculo de áreas entre dos curvas en función de y

es:

dyygyfAd

c∫ −= )()(

Actividad 4.1

1. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje X en el

intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:

a. 21,3)( 2 ≤≤−+= xxxf b. 21,23 ≤≤−+−= xxxy

c. 11,3 ≤≤−= xxy d. 21,4 2 ≤≤−−= xxy

2. Calcule el área de la región S, comprendida entre la curva y el eje Y en el

intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:

a. 11,1)( 2 ≤≤−−= yyyf b. 31,22 ≤≤−+= yyx

3. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas en el

intervalo indicado; bosqueje la gráfica de la región S:

a. 22;)(,3)( 2 ≤≤−−=+= xxxgxxf

b. 32;1,2 2 ≤≤−+=−= yyxx

4. Calcule el área de la región S, comprendida entre las curvas dadas (halle el

intervalo de integración determinando los cortes entre las curvas); bosqueje la

gráfica de la región S:

a. xxgxxf −=−= )(,2)( 2 b. 4,22 +=−= xyxy

c. 1,3 2 −=−= xyyx d. 0,6, =+−== yxyxy

e. 0,623 =−−= yxxxy f. 8,0,4 ==−= xyxy

g. 1,342 =−+−= yxxxy h. 0,42,2 =−== xxyxy

i. 2,4 2 =+−= yxyx j. 03,32 =+−−= yxyyx

k. 0124,02 22 =−+=− xyyx l. 44 2, yxyx −==

5. Calcule el área de la región S; bosqueje la gráfica de la región S:

a. ( ){ }2,2, 2 ≤+≤≤−= yxxyxxyxS

b. ( ){ }yxeyyxS x ≤≤−≤≤= − 4,0,

Volúmenes

En esta sección vamos a tratar el problema del cálculo de volúmenes.

Comenzaremos con el caso del volumen de un cuerpo con sección transversal

conocida y posteriormente trataremos otros casos.

Para tratar este problema es necesario recordar las fórmulas para el volumen de

algunas figuras geométricas conocidas: el paralelepípedo y el cilindro.

Volumen del paralelepípedo

Volumen = AxBxC C B B A

Volumen del cilindro

radio r Volumen = Área de la base x altura altura h Volumen del cilindro circular = hr 2π

Volumen de un cuerpo con sección transversal conocida

Sea A(x) una función que expresa el área de la sección transversal como función

de x.

Eje X a b A(x) , a ≤ x ≤ b .

Efectuemos una partición del segmento [a , b]; esto es,

[ ] nixxervalossubendivididoquedaqueodebxxxxxa

ii

ni

,...,2,1,,intmod,......

1

210

==<><<<<

−

[ ] .,...,2,1,,,,int

int

1**

1

nixxxxervalosubcadaen

arbitrariopuntounelijamoservalosubcadadelongitudlaxxxSea

iiii

iii

=∈

−=Δ

−

−

El cuerpo queda dividido en “rebanadas” de grosor ixΔ ; cada “rebanada” puede

considerarse aproximadamente como un cilindro de altura ixΔ y área de la base

dada por )( *ixA :

Área de la sección: )( *

ixA ixΔ

De modo que el volumen de cada elemento (“rebanada”) de la partición esté dado

por:

.,...,2,1,)( * niparaxxAV iii =Δ=Δ

Entonces, una aproximación del volumen total del cuerpo será:

∑∑==

Δ=Δ=n

iii

n

ii xxAVVtotalVolumen

1

*

1)(:

Hagamos el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a cero,

0→P , y obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo:

∫∑ =Δ==→

b

a

n

iii

PdxxAxxAVexactoVolumen )()(:

1

*

0lim

Ejemplo

Muestre que el volumen de una esfera de radio R es 3

34 Rπ .

R El radio r de cualquier sección será: 22 xRr −= r x X El área de cualquier sección será: ( )222)( xRrxA −== ππ

Entonces el volumen buscado es:

( ) 333

3

0

0

22

34

3220

32

322

32 RRRRdxxRV

xxRR

R

ππππ π ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫

Volumen de un sólido por revolución

Sea un sólido (cuerpo) engendrado al rotar una región en el plano XY alrededor

de uno de los ejes coordenados.

Al efectuar una partición sobre el intervalo [a , b], tenemos que cada “rebanada” o

elemento de la partición tiene aproximadamente la forma de un cilindro circular

con

iXΔ iii xrV Δ=Δ 2π donde )( *

ii xfr = r [ ] iii xxfV Δ=Δ )( *π

Entonces, [ ] [ ]∫∑ =Δ==→

b

a

n

iii

PdxxfxxfV 2

1

2*

0)()(lim ππ

Análogamente, si la región está dada en función de y

Y

X

En este caso la fórmula estará dada por:

[ ] [ ]∫∑ =Δ==→

d

c

n

iii

PdyyfyyfV 2

1

2*

0)()(lim ππ .

Ejemplo

Hallar el volumen del sólido que se obtiene al rotar la región S alrededor del ejeY.

( ){ }40,0, ≤≤≤≤= yyxyxS .

Hagamos la gráfica de la región e indiquemos el radio de rotación.

Entonces el cálculo del volumen propuesto se realiza a partir de:

[ ]∫=4

0

2dyyV π

[ ] πππππ3

6434

33

4

0

4

0

24

0

2

3===== ∫∫

ydyydyyV

Volumen de un sólido de revolución con un hueco (Método de las arandelas)

Sea la región S comprendida entre dos curvas en función de x, y puesta a rotar

alrededor del eje X; sea f(x) la curva exterior y g(x) la curva interior.

a rext rint b

hueco a b

Podemos observar, que el cuerpo se encuentra entre dos superficies, la externa

está generada por la curva superior que determina el radio exterior (rext ), y la

interna que está determinada por la curva inferior que determina el radio interior

(rint ) .

Es obvio que el volumen buscado será la diferencia entre el volumen determinado

por la superficie exterior [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫

b

aexterior dxxfV 2)(π y el volumen determinado por la

superficie interior (éste será el volumen del hueco) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫

b

aerior dxxgV 2

int )(π , por

tanto, obtenemos la fórmula:

[ ] [ ]{ }∫ −=b

a

dxxgxfV 22 )()(π

Ejemplo

Hallar el volumen del cuerpo que se engendraal rotar alrededordel eje X la región

limitada por las curvas 2xyyxy == .

Las curvas se cortan en los puntos (0,0) y (1,1);

Radio interior Radio exterior

Por tanto el volumen se calculará mediante la integral:

[ ] [ ]{ } [ ] ππππ152

531

0

1

0

421

0

222

53∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫ ==−=−=

xxdxxxdxxxV

Análogamente, si la región entre dos curvas está dada en función de y y rota

alrededor del eje Y, entonces la fórmula es:

[ ] [ ]{ }∫ −=d

c

dxygyfV 22 )()(π

Método de las capas o cascarones

Este método de calcular volúmenes se emplea cuando tenemos la región dada

con respecto a un eje (variable) y rota alrededor del otro eje.

Y X a b

Sea una región S dada en la forma ( ){ }bxaxfyyxS ≤≤≤≤= ,)(0, ; y rota

alrededor del eje Y, generando un cuerpo, como se muestra en la figura.

Si efectuamos una partición sobre el intervalo [a, b], tendremos que la parte del

cuerpo que corresponde a cada subintervalo [ ]ii xx ,1− forma una capa o cascarón

de forma aproximada a un anillo cilíndrico de grosor ixΔ , que es la diferencia

entre el radio exterior y el radio interior; y altura h determinada por la función f(x).

( )( )( )( ) ( )

ii

extext

extext

eriorexterior

eriorexeriorti

rhr

hrrrrhrrrr

hrr

hrhrV

Δ=

−+

=

−+=−=

=−=Δ

*

intint

intint

2int

2

2int

2

22

2

π

π

ππ

ππ

Por tanto, una aproximación del volumen total de la figura es:

∑∑∑===

Δ=Δ=Δ=n

iiii

n

iii

n

ii xxfxrhrVVtotalVolumen

1

**

1

*

1)(22: ππ

Efectuando el proceso de límite, para cuando la norma de la partición tiende a

cero, 0→P , obtenemos el valor exacto del volumen del cuerpo:

∫∑ =Δ==→

b

a

n

iiii

PdxxfxxxfxVexactoVolumen )(2)(2:

1

**

0lim ππ

Ejemplo

Hallar el volumen del cuerpo generado al rotar la región S alrededor del eje Y:

( ){ }axxyyxS ≤≤≤≤= 0;0,

S 0 a

3

00

2

0 32

322)(2:

3adxxdxxxVexactoVolumen

xa

aa

ππππ ==== ∫∫

Se le deja propuesto al alumno que obtenga las fórmulas correspondientes a:

(1) Región en función de y, y rota alrededor del eje X

(2) Región comprendida entre dos curvas (sólido con hueco)

Actividad 4.2

1. Halle el volumen del sólido generado al rotar la región S alrededor del eje o

recta indicada:

a. ( ){ } XejeyxyxyxS ;0,0,2, ===+=

b. ( ){ } YejeyxyxyxS ;0,0,2, ===+=

c. ( ){ } 3;0,0,2, ====+= xyxyxyxS

d. ( ){ } 1;0,0,2, −====+= yyxyxyxS

e. ( ){ } XejeyxxyyxS ;0,0,cos, ====

f. ( ){ } XejeyxyxyxS ;0,0,4, ==−==

g. ( ){ } YejeyxyxyxS ;0,0,4, ==−==

h. ( ){ }

2),2)))

;2,1,0,41,

=−=

===−===

ydxcYejebXejea

yyxyxyyxS

i. ( ){ }

YejebXejea

xyxxyyxS

))

;,3, 2 =−==

j. ( ){ }

1)1)))

;4,3, 2

=−=

=+==

ydxcYejebXejea

yxyyxS

2. La base de un sólido está dentro del círculo 922 =+ yx . Encuentre el volumen

del sólido si cualquier sección transversal perpendicular al eje X es un cuadrado.

3. La base de un sólido es la región acotada por 42 11 xyyxy −=−= . Las

secciones del sólido que son perpendiculares al eje X son cuadrados. Halle

el volumen del sólido.

4. Halle el volumen del sólido formado por la intersección de dos cilindros

circulares de radio cuyos ejes se intersectan perpendicularmente.

5. La base de un sólido es la región S acotada por 2xyyxy == . Cada sección

perpendicular al eje X es un semicírculo con diámetro inscrito en S. Halle el

volumen del sólido.

Resumen

En este fascículo hemos tratado lo referente al cálculo de áreas y volúmenes

mediante la integral definida; en todos los casos fue fundamental la construcción

de una suma de Riemann que nos llevara a la definición de integral definida. Es

importante que el alumno sea capaz de identificar estas fórmulas con las

situaciones particulares que representan y pueda variarlas para otras situaciones

análogas, pero no idénticas.

Bibliografía recomendada.

Stewart, James. Cálculo, trascendentales temprano. Editorial Thomson, tercera

edición, capítulo 6, sección 6.1 – 6.3; páginas 380 - 402.

Nexo

En estas aplicaciones de la integral definida hemos trabajado, fundamentalmente,

con situaciones que nos llevan a integrales definidas de funciones racionales y

alguna que otra función trigonométrica. En el próximo tema vamos a comenzar a

tratar lo referente a los métodos de integración, que nos darán mayor amplitud en

la posibilidad de resolución de integrales indefinidas, sobre todo al trabajar con

funciones trascendentes. Con ello estaremos en condiciones de poder resolver

una mayor cantidad de problemas diferentes.

Autoevaluación formativa

1) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas

xyyxxy 33 −=−= . Bosqueje la gráfica de la región S.

2) Halle el área de la región S, comprendida entre las curvas

31,222 ≤≤−−=−= yparaxyyyx . Bosqueje la gráfica de la región

S.

3) Halle el volumen del sólido que se engendra al rotar la región S en la

forma indicada:

( ){ }

1),2)))

;1,21, 2

==

=−+==

ydxcYejebXejea

yxxyyxS

4) La base de un sólido está inscrita en un círculo de radio 2 y cualquier

sección transversal al eje X es un triángulo equilátero. Halle el volumen de

dicho sólido.