DERIV A D A S P A R C I ALES DE FUNCI O NES DE VARIAS V A RI A BLES Y SU I NTER P R ETACI Ó N

GEOMÉTRICA

Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si

, entonces el punto está sobre la superficie . El plano

vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza

de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical

interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por elpunto .

Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la

pendiente de su recta tangente en el punto es La curva

es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente

en el punto es

En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C

Figura 1: derivada parcial en P respecto a Figura 1: derivada parcial en P respectox

[Ve r en 3 D - LG3 D][Ver en 3 D - Jview]a y

[Ve r en 3 D - LG3 D][Ver en 3 D - Jview]

Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse

geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas

y en el punto , respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si

, entonces representa la razón de cambio de con respecto a

, cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razón

de cambio de con respecto a , cuando permanece fija.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección

del paraboloide y el plano , cuando .

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es : , pero pasa por el punto

y así

En la figura 1 se muestra la recta tangente y la parábola

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura2.

Figura 3: Tangente en P [V e r e n 3 D - J v ie w ]

Figura 4: Tangente en P

Ejemplo 8

El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la

elipse el el punto .

Solución

La ecuación define a implícitamente como una función de

e , entonces :

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

Pero como la recta tangente pasa por el punto , entonces

De donde su ecuación es : ; y sus ecuaciones paramétricas son

Figura 3: Tangente en P [V e r e n 3 D - J v ie w ]

Observación : si es una función de dos variables e , entonces

sus derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo

que podemos considerar sus derivadas parciales y , las cuales

cuales se llaman segundas derivadas parciales de Si , utilizamos la siguiente notación :

La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego

con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.

Ejemplo 9

Calcule las segundas derivadas parciales de

Solución

Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como

Entonces tenemos que :

Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.

Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

Sea una función escalar donde es un disco

abierto con centro en y radio , entonces si las funciones y

son continuas en entonces

y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que si estas funciones son continuas.

Ejemplo 10

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo

de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que la función satisface la ecuación de Laplace.

Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por

con lo cual

de donde

Ejemplo 11

La ecuación de onda

Sustituyendo obtenemos que

donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.

Si y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función

satisface la ecuación de onda.

Solución

Las derivadas de con respecto a están dadas por :

Las derivadas de con respecto atestan dadas por :

Ejemplo 12

Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la función

satisface la ecuación diferencial parcial

Solución

Las derivadas de con respecto a están dadas por :

Sustituyendo

Ejemplo 13

Si se dijera que existe una función cuyas derivadas parciales son

y ¿usted lo creería?

Solución

Por el teorema de Clairaut, puesto que y son continuas en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.

Ejemplo 14

Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en grados centígrados esta dada por

con

1. Trace la gráfica de para y

2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.

3. Calcule ¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de temperatura?

Solución

1. La gráfica de las funciones y se muestran en la figura 2.

Figura 6

Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).

2. La derivada parcial respecto a esta dada por y al evaluar obtenemos que

como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva

para cualquier valor de concluimos que la temperatura va disminuyendo,

pues las pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.

Por otro lado,

observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de

las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye.

Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado antes.

0 254.16 58.7785

10 93.5003 21.623420 34.3968 7.9564130 12.6539 2.9264140 4.65511 1.0765750 1.71252 0.39605

3. La derivada parcial respecto a está dada por

Observe que para y cualquier valor de y

para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.

Ejemplo 15

Las ecuaciones

definen a y como funciones de las variables independiente e .

Exprese en términos de y .

Solución

Para calcular derivemos las ecuaciones (4) respecto a

Ahora usemos la regla de Cramer para hallar

De donde

Ejemplo 16

Compruebe que la función satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales

Solución

Calculemos las derivadas parciales

y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.

Definición (vector gradiente)

Sea una función escalar de dos variables,

entonces el gradiente de es la función vectorial

definida por

Observación: si es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por

Ejemplo 17

Si calcule

Solución

El gradiente está dado por :

y evaluando