4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

OPERACIONES COMBINADAS

1) Simplifica:

a) (5x2 – 4x + 2)[2x

3– 3x + 2 – (2x + 1)(x

2 – 2x)]

b) 3x(2x – 1) – (x – 3)(x + 3) + (x – 2)2

c) (2x – 1)2 + (x – 1)(3 – x) – 3(x + 5)

2

2) Desarrolla los productos , teniendo en cuenta las identidades notables, y simplifica

las siguientes expresiones:

a) (2y + x)(2y – x) – (x + y)2 – x(y + 3)

b) 3x(x + y) – (x – y)2 + (3x + y)y

c) (2y + x + 1)(x – 2y) – (x + 2y)(x – 2y)

3) Saca factor común:

a) 6x4– 15x

3 + 9x

2– 3x

b) 35x5– 42x

4 + 14x

3

c) 36x4– 60x

3 + 12x

2

4) Factoriza teniendo en cuenta las identidades notables:

a) 16x2– 8x + 1 b) 36x

2+ 60xy + 25y

2

c) 9x4+ y

2 + 6x

2y d) 49x

2– 16

e) 9x4– y

2 f) y

4+ 1 – 2y

2

g) 81x4– 64x

2 h) 1 – 144x

4

5) Factoriza, sacando primero factor común y utilizando después, si es posible, las

identidades notables:

a) 20x3 – 60x

2 + 45x b) 27x

3 – 3xy

2

c) 3x3 + 6x

2y + 3xy

2 d) 4x

4 – 81x

2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS, REGLA DE RUFFINI Y TEOREMA DEL

RESTO:

6) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (7x2– 5x + 3) (x

2– 2x + 1) b) (2x

3– 7x

2+ 5x –3) (x

2– 2x)

c) (x3– 5x

2+ 2x + 4) (x

2– x + 1) d) (x

2– 4x + 1) (2x – 3)

7) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (3x5– 2x

3+ 4x – 1) (x

3– 2x + 1) b) (x

4– 5x

3+ 3x – 2) (x

2+ 1)

c) (4x5+ 3x

3– 2x) (x

2– x + 1) d) (x

3– 3x

2+ 5) (3x

2– 2x)

4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

8) Calcula las siguientes divisiones y factoriza las que sean exactas:

a) (6x3+ 5x

2– 9x) (3x – 2)

b) (x4– 4x

2+ 12x – 9) (x

2– 2x + 3)

c) (4x4+ 2x

3– 2x

2+ 9x + 5) (–2x

3+ x – 5)

9) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones mediante la regla de

Ruffini:

a) (5x3 – 3x

2 + x – 2) (x – 2) b) (x

4– 5x

3+ 7x + 3) (x + 1)

c) (–x3 + 4x) (x – 3) d) (x

4– 3x

3+ 5) (x + 2)

e) (6x5– 3x

4+ 2x) (x + 1) f) (4x

4+ 6x

2– 1) (x – 1/2)

10) Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y

encuentra los binomios del tipo (x – a) por los que son divisibles:

a) x4+ 3x

3– 2x

2– 10x – 12 b) x

4+ x

3+ 7x

2+ 2x + 10

11) Dado el polinomio P(x) = 4x3– 3x

2– 2x + 1, calcula el valor numérico para:

a) x = 1 b) x = –1 c) x = 2 d) x = 0 e) x =1/2 f) x =-1/3

12) Dado el divisor (x- a) de los siguientes polinomios, encuentra el resto de las

divisiones mediante el Teorema del resto para a = 1, a = -2 y a = 3.

a) P(x ) = 2x3– 5x

2+ 7x + 3 b) P(x) = 4x

2+ 6x – 10

13) Escribe todos los divisores del término independiente de los siguientes polinomios y

obtén sus raíces enteras aplicando el Teorema del resto.

a) P(x) = x3– 2x

2– 5x + 6 b) P(x) = x

3– 3x

2+ x – 3

c) P(x) = 3x2+ 2x – 8 d) P(x) = x

4– 3x

2+ 7

14) El polinomio x4– 2x

3– 23x

2– 2x – 24 es divisible por dos binomios del tipo (x – a).

Encuentra los y obtén sus cocientes.

15) Encuentra el valor de k para que (2x4– 5x

3+ kx

2– 12) (x + 2) sea exacta.

16) Encuentra el valor de m para que P(x) = x3– mx

2+ 5x – 2 sea divisible por (x + 1).

17) El resto de la división (2x4+ kx

3– 7x + 6) (x – 2) es –8. Encuentra el valor de k .

18) Encuentra el valor de m sabiendo que (x + 2) es un factor del polinomio mx3– 3x

2+

5x + 9m.

4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

19) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) 3x3– 12x b) 4x

3– 24x

2+ 36x c) 45x

2– 5x

4

d) x4+ 2x

3+ x

2 e) x

6– 16x

2 f) 16x

4– 81

20) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) x2– 4x – 5 b) x

2+ 8x + 15 c) 7x

2 – 21x – 280

d) 3x2+ 9x – 210 e) 2x

2– 9x – 5 f) 4x

2– 4x – 3

21) Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) x3+ 2x

2– x – 2 b) 3x

3– 15x

2+ 12x c) x

3– 9x

2+ 15x – 7

d) x4– 13x

2+ 36 e) x

3– 2x

2– 2x – 3 f) 4x

4+ 4x

3– 3x

2– 4x – 1

22) Calcula los m.c.m y M. c.d de los siguientes polinomios:

a) P(x) = x2; Q(x) = x

2– x; R(x) = x

2– 1

b) P(x) = x – 3; Q(x) = x2– 9; R(x) = x

2– 6x + 9

c) P(x) = x + 2; Q(x) = 3x + 6; R(x) = x2+ x – 2

d) P(x) = 2x; Q(x) = 2x + 1; R(x) = 4x2– 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS

23) Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

b) c) d)

24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) c)

d) e) f)

25) Reduce:

a) b) c)

d) e) f)

4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

26) Reduce a común denominador y calcula:

a) b)

c) d)

e) f)

27) Calcula teniendo en cuenta el orden de operaciones:

a) b) c)

d) e) f)

28) Calcula:

a) b)

c) d)

29) Calcula:

a) b)

c) d)

e) f)

30) Expresa el área y el volumen de la siguiente figura usando polinomios:

4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

31) Expresa el área del siguiente tronco de pirámide como función de x.

32) Expresa el perímetro del rombo inscrito en el rectángulo como una función de x e y.

33) Expresa el área coloreada como una función de x e y.

SOLUCIONES

1) a) 15x4– 17x

3+ 20x

2–10x + 4 b) 6x

2– 7x + 13 c) –30x – 77

2) a) 3y2– 2x

2– 3xy – 3x b) 2x

2+ 8xy c) x – 2y

3) a) 3x(2x3– 5x

2+ 3x – 1) b) 7x

3(5x

2– 6x + 2) c) 12x

2(3x

2– 5x + 1)

4) a) (4x – 1)2 b) (6x +5y)

2 c) (3x

2+ y)

2 d) (7x + 4)(7x – 4) e) (3x

2+ y)(3x

2– y)

f) (y2– 1)

2 g) (9x

2+ 8x)(9x

2– 8x) h) (1 + 12x

2)(1 – 12x

2)

5) a) 5x(2x – 3)2 b) 3x(3x + y)(3x – y) c) 3x(x + y)

2 d) x

2(2x + 9)(2x – 9)

6) a) Q(x) = 7; R(x) = 9x – 4 b) Q(x) = 2x –3; R(x) = –x – 3 c) Q(x) = x – 4;

R(x) = –3x + 8 d) Q(x) = x/2–5/4; R(x) = – 11/4

7) a) Q(x) =3x2+ 4; R(x) = –3x

2+ 12x – 5 b) Q(x) = x

2– 5x – 1; R(x) = 8x – 1

c) Q(x) = 4x3+ 4x

2+ 3x – 1;

R(x) = –6x + 1 d) Q(x) = x/3 – 7/9; R(x) = –14x/9 + 5

8)a) Q(x) = 2x2+ 3x – 1; R = –2 b) Q(x) = x2+ 2x – 3; R = 0 exacta:

x4–4x

2+ 12x – 9 = (x

2– 2x + 3) (x

2+ 2x – 3) c) Q(x) = –2x – 1; R = 0 exacta:

4x4+ 2x

3– 2x

2+ 9x + 5 = (–2x

3+ x – 5)(–2x – 1)

9)a) Q(x) = 5x2+ 7x + 15; R = 28 b) Q(x) = x

3– 6x

2+ 6x + 1; R = 2

c) Q(x) = –x2– 3x – 5; R = –15 d) Q(x) = x

3– 5x

2+ 10x – 20; R = 45

e) Q(x) = 6x4– 9x

3+ 9x

2– 9x + 11; R = –11

f) Q(x) = 4x3+ 2x

2+ 7x + 7/2; R = ¾

10)a) por (x – 2) y por (x + 3) b) por ninguno.

11)a) P(1) = 0 b) P(–1) = –4 c) P(2) = 17 d) P(0) = 1 e) P(1/2) = –1/4 f) P(–1/3) = 32/27

12)a) P(1) = 7; P(–2) = –47; P(3) = 33 b) P(1) = 0; P(–2) = –6; P(3) = 44

13)a) 1, –2 y 3 b) 3 c) –2 d) ninguno

4º ESO TEMA 2: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS MATEMÁTICAS-OPCIÓN B

14)a) por (x + 4) Q(x) = x3– 6x

2+ x – 6 y por (x – 6) Q(x) = x

3+ 4x

2+ x + 4

15) k = –15

16) m = –8

17) k = –4

18) m = 22

19)a) 3x(x + 2)(x – 2); raíces: 0, –2, 2 b) 4x(x – 3)2; raíces: 0, 3 doble

c) 5x2(3 + x)(3 – x); raíces: 0 doble,–3, 3 d) x

2(x + 1)

2; raíces: 0 doble, –1 doble

e) x2(x + 2)(x – 2)(x

2+ 4); raíces: 0 doble, –2, 2 f) (4x

2+ 9)(2x + 3)(2x – 3); raíces: –3/2,

3/2

20)a) (x – 1)(x + 5); raíces: 1, –5 b) (x + 5)(x + 3); raíces: –5, –3 c) 7(x + 5)(x – 8);

raíces: –5, 8 d) 3(x –7)(x + 10); raíces: 7, –10 e) (x – 5)(2x + 1); raíces: 5, –1/2

f) (2x – 3)(2x + 1); raíces: 3/2, –1/2

21)a) (x – 1)(x + 1)(x + 2); raíces 1, –1, –2 b) 3x(x – 1)(x – 4); raíces 0, 1, 4

c) (x – 1)2(x – 7); raíces: 1doble, 7 d) (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3); raíces: 2, –2, 3, –3

e) (x – 3)(x2+ x +1); raíces: 3 f) (x – 1)(x + 1)(2x + 1)2; raíces: 1, –1, –1/2 doble

22)a) M.c.d = 1; m.c.m = x2(x – 1)(x + 1) b) M.c.d = (x – 3); m.c.m = (x – 3)2(x + 3)

c) M.c.d = x + 2; m.c.m =3(x + 2)(x – 1) d) M.c.d = 1; m.c.m = 2x(2x + 1)(2x – 1)

23) a) sí b) no c) sí d) sí

24) a) b) c) d) e) f)

25) a) b) c) d) e) f)

26) a) b) c) d) e) f)

27) a) b) c) 3 – x d) e) f)

28) a) b) c) d)

29) a) b) -2 c) 1 d) b e) 2 f)

30) A = 6x2+ 8x – 12; V = x

3+ 2x

2– 8x

31)A = 6x2+ 12x + 8

32)

33)A = 4xy – 4x2.