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4. GAMAS DE AFINACIÓN

Gama o escala es el conjunto de sonidos que corresponden a un sistema

musical.

4.1. Gama de Ling-Lun

Ling-Lun fue el primero en establecer una escala utilizando la relación 2 a 1 para

la octava y 3 a 2 para la quinta. Con estos elementos, y partiendo del sonido fa#

(diapasón chino) dio forma a la escala de su nombre, escala que más tarde tomará el

nombre de pentatónica. Desde fa#, y por superposición de quintas, obtenemos los 5

siguientes sonidos:

3/2 9/4 27/8 81/16

Llevando éstos al ámbito de una sola octava quedará:

9/8 81/64 3/2 27/16 2

(Sol# =�� : 2; etc… )

Que partiendo del sonido do se escribirá como:

1 9/8 81/64 3/2 27/16 2

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4.2. Gama de Terpandro

Terpandro (primera mitad del siglo VII a.C.), filósofo griego y verdadero

fundador de la música griega, añadió a la gama de Ling-Lun dos nuevas quintas

ascendentes, formando la escala:

1 9/8 81/64 729/256 3/2 27/16 243/128 2

(Si = Mi x ��; Fa# = (Si x

�� : 2 )

Esta escala no fue muy bien aceptada debido al intervalo que formaba el cuarto

sonido respecto de la fundamental.

4.3. Gama de Pitágoras

Pitágoras (ca.580 a.C.- ca.495 a.C.) resolvió el problema del intervalo de cuarta

aumentada añadiendo, en lugar de una última quinta ascendente, una quinta

descendente desde la fundamental:

2/3

(Fa = 1 : ��, es decir, bajar una quinta desde Do (1) )

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

(Fa = �� x 2 )

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Posteriormente, los seguidores de Pitágoras expandieron la escala aumentado

más quintas por encima y por debajo, obteniéndose las notas con sostenidos y

bemoles:

Nota Operación Fracción En la octava

Sol¨ : 3/2 64/729 1024/729

Re¨ : 3/2 32/243 256/243

La¨ : 3/2 16/81 128/81

Mi¨ : 3/2 8/27 32/27

Si¨ : 3/2 4/9 16/9

Fa : 3/2 2/3 4/3

Do 1 1

Sol x 3/2 3/2 3/2

Re x 3/2 9/4 9/8

La x 3/2 27/8 27/16

Mi x 3/2 81/16 81/64

Si x 3/2 243/32 243/128

Fa# x 3/2 729/64 729/512

Do# x 3/2 2187/128 2187/2048

Sol# x 3/2 6561/256 6561/4096

Re# x 3/2 19683/512 19683/16384

La# x 3/2 59049/1024 59049/32768

Recordemos que estamos trabajando con relaciones de frecuencia respecto de

un sonido base, en este caso en Do central. Para medir la dimensión de un intervalo

cualquiera, habrá que dividir la relación de frecuencia del sonido más agudo entre la

del sonido más grave, obteniendo la relación de frecuencia entre ambos.

Como se observa, se obtienen dos relaciones de frecuencia distintas para los

sonidos enarmónicos de nuestro sistema temperado (por ejemplo, Do# y Re¨, llevados

ambos a la misma octava). Esto nos hace plantearnos que el intervalo Do-Re¨ y el

intervalo Do-Do# serán de diferente dimensión.

Un semitono diatónico es aquel que aparece entre notas de distinto nombre.

Fa – Mi = ��: ����

= �����

= 1,053497942386831

Equivalente para los demás

21

Un semitono cromático es aquel que aparece entre una nota y esta misma

alterada. Es mayor que el supuesto intervalo diatónico enarmónico. Se puede obtener

también quitando a un tono pitagórico un semitono diatónico pitagórico.

Do# – Do = �������

∶ 1 = �������

= 1,06787109375

En el sistema de afinación pitagórico el círculo de quintas no se cierra porque

doce quintas superpuestas no equivalen a siete octavas. Dicho de otro modo: el

encadenamiento sucesivo de factores iguales a 3:2 (la quinta) nunca produce un valor

que se pueda reducir a la relación 2:1 (la octava). La coma pitagórica es el intervalo

musical que resulta de la diferencia entre doce quintas perfectas y siete octavas:

Coma pitagórica = 12 quintas – 7 octavas = �����: 2

7 =

���

��� =

����������

= 1,0136432647705

La coma pitagórica se puede obtener también con la diferencia entre el

semitono cromático y el semitono diatónico:

�������

∶ �����

� ����������

22

20-12-2012

4.4. Gama natural, o de los Físicos, o de Aristógenes, o de Zarlino, o de los Armónicos

Dado que las proporciones en las relaciones de frecuencia de algunos grados de

la escala pitagórica resultaban excesivamente complejas, los físicos las redujeron a

otras más sencillas, basándose en la serie de armónicos.

Así pues, podría sustituirse la relación 81/64 correspondiente al Mi de Pitágoras

por la de 5/4 que se deduce de la serie de armónicos. A partir de este nuevo Mi se

obtienen los sonidos La y Si, bajando y subiendo respectivamente una quinta

(pitagórica, 3/2). Por tanto quedará:

1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

(Si = Mi x ��; La = Mi :

�� x 2 )

Al grupo Fa-Do-Sol-Re se le denominó grupo tonal, y al La-Mi-Si grupo modal.

Se designó la denominación de tonos grandes a los pertenecientes a un mismo grupo,

y tonos pequeños a los de grupos distintos.

Los tonos grandes son:

Fa Do Sol Re La Mi Si

Dimensión= ��

Los tonos pequeños son:

Fa Do Sol Re La Mi Si

Dimensión= ���

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Los intervalos de quinta dentro de cada grupo son quintas naturales (3/2)

La quinta que se genera entre sonidos de diferentes grupos se llama quinta

sintónica, y equivale a:

La – Re = �∶ �

�=��

�=1,481…

La diferencia entre una quinta natural y una quinta sintónica se llama coma sintónica.

Coma sintónica = �

�∶ ��

� = ��

�� = 1,0125

Cuando desarrollamos la escala buscando cromatismos ocurre que:

El semitono cromático se calcula restando al intervalo de tercera mayor el de

tercera menor.

Se dan dos semitonos diatónicos, el grande (restando al tono grande el

semitono cromático) y el pequeño (restando al tono pequeño el semitono cromático).

La diferencia entre ambos es también la coma sintónica.

Actualmente los instrumentistas de entonación libre tienden a adoptar los

sonidos de la escala natural o de Aristógenes cuando ejecutan notas cuya función es

armónica, mientras que si las notas desempeñan una función melódica se eligen los

sonidos de Pitágoras.

Ejercicio: Calcular la dimensión del semitono cromático y de los dos diatónicos.

Deducir la coma sintónica desde los semitonos diatónicos.

24

4.5. El Temperamento Desigual o Escala del Tono Medio

El temperamento desigual fue empíricamente aplicado al comenzar el siglo XVI

por el teórico musical y organista Francisco Salinas (1513-1590), y siguió siendo

empleado hasta mediados del siglo XIX.

El fundamento de esta escala está basado en tomar una sucesión de cuatro

quintas reducidas por igual, de manera que la última quinta sea igual a la tercera

mayor de la escala natural o de Aristógenes, o lo que es lo mismo, al sonido generado

en la serie de armónicos.

Por tanto el valor de la quinta reducida o templada será igual a la raíz cuarta de

5:

4 quintas = 5 → Quinta4 = 5 → Quinta = √5�

Dado que la quinta tiene 7 semitonos, se hace una división de ésta en 7 partes

iguales, para conseguir propiedades enarmónicas borrando la aparición de semitonos

cromáticos y diatónicos:

7 Semitonos = Quinta → Semitono7 = √5�

→ Semitono = �√5��� √5��

El tono es igual a dos semitonos:

Tono = √5�� � √5�� � √5�� �� √5��

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La gran ventaja del temperamento desigual estriba en la posibilidad de

establecer igualdad de afinación en sonidos enarmónicos, y por lo tanto las facilidades

de modulación que ello permite. Sin embargo, al igual que en la escala pitagórica, la

posible enarmonía que se obtendría al igualar doce quintas con siete octavas no es tal:

12 Quintas = �√5� �12 = 5

3 = 125

7 Octavas = 27 =128

Por tanto una quinta tendrá que ser mayor que las demás (quinta del lobo) para

conseguir la enarmonía. Este hecho demuestra que el sistema es defectuoso, y no

válido para tocar en diferentes tonalidades.

4.6. El Temperamento Igual

El sistema del Temperamento Igual, practicado ya empíricamente por

vihuelistas españoles, fue sistematizado en 1482 por Bartolomé Ramos de Pareja

(1440-1491). Este sistema tardó mucho tiempo en imponerse debido a la dificultad de

establecerlo. Quien lo consagró fue J.S.Bach (1685-1750) en su obra El Clave Bien

Temperado (1722), compuesto en todas las tonalidades mayores y menores.

Su fundamento se basa en conseguir la quinta templada dividiendo la sucesión

de 7 octavas en 12 partes iguales. De este modo se obtiene para la quinta templada el

valor de:

7 Octavas = 12 Quintas → 27 = Quinta

12 → Quinta = √2��

= 1,498307…

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Si ahora dividimos el intervalo de quinta en 7 partes, obtendremos los

semitonos:

Semitono = � √2���

= √2��

= 1,059463094359…

Que coinciden con los semitonos que se obtendrían dividiendo la octava en 12

partes iguales:

Octava = 12 semitonos → 2 = semitono12

→ semitono= √2��

= 1,059463094359…

El tono será la composición de dos semitonos:

Tono = √2�� �

= √2�

La ventaja más importante del temperamento igual es la de poder sustituir

cualquier sonido por su enarmónico y tener absoluta libertad de modulación. Los

inconvenientes estriban en que ninguno de los intervalos, salvo la octava, están

perfectamente afinados (según la serie de armónicos). Las terceras y sextas mayores

son demasiado grandes y la quinta demasiado pequeña. Las segundas y séptimas son

también inexactas, aunque en menor grado. El acorde perfecto mayor compuesto por

una tercera demasiado grande y una quinta pequeña pierde gran parte de su belleza.

En resumen, con este sistema conseguimos que todas las tonalidades estén

afinadas, o desafinadas, por igual.

27

17-01-2013

4.7. ESCALAS MICROTONALES

Las escuelas microtonalistas utilizan

escalas formadas por intervalos menores que

el semitono, pudiendo considerarse al

músico checoslovaco Alois Haba (1893-1973)

pionero en el uso en sus composiciones de

tercios, cuartos y sextos de tono.

En la escala en tercios de tono la unidad de medida, el tercio de tono, estará

contenido 18 veces en el intervalo de octava. Su valor es:

Tercio de tono = √2�� = 1,03925

En la escala en cuartos de tono la unidad de medida, el cuarto de tono, estará

contenido 24 veces en el intervalo de octava. Su valor es:

Cuarto de tono = √2�� = 1,0293

En la escala en sextos de tono la unidad de medida, el sexto de tono, estará

contenido 36 veces en el intervalo de octava. Su valor es:

Sexto de tono = √2�� = 1,01944

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4.8. MEDICIÓN DE INTERVALOS SEGÚN OTROS SISTEMAS

Para evitar los engorros que supone el operar con intervalos pensando en las

relaciones o proporciones entre los sonidos que los definen, se han ideado sistemas en

búsqueda de operaciones directas.

El sistema de Herschel (1738-1822) está basado en la división de la octava en

1000 partes iguales, llamadas milioctavas, cuyo valor es:

Milioctava = √2���� = 1,0006934

Como el semitono es una doceava parte de la octava, tendremos que:

Semitono = ���� !"!#$%&'&(

�� = 83,33 milioctavas

En este punto ya no trabajamos con relaciones de proporción, sino con

distancias. Ahora el tono serán 2 semitonos (83,33 x 2 = 166,66 milioctavas), la tercera

menor 3 semitonos (83,33 x 3 = 249,99 milioctavas) y así sucesivamente.

El sistema de Ellis divide la octava en 1200 cents. Siguiendo la lógica anterior:

Cent = √2����

= 1,0005778

Semitono = ����$)*%(

�� = 100 cents

Tono = 200 cents; …

El sistema de Yasser divide la octava en 600 centitonos:

Centitono = √2���

= 1,0011559

Semitono = ���$)*%!%#*#(

�� = 50 centitonos

Tono = 100 centitonos; …

El sistema se Savart divide la octava en 300 Savarts:

Savart = √2���

= 1,002305238

Semitono = ���(&'&+%

�� = 25 savart

Tono = 50 savart; …