4.1
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CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
4.1 ÁREAS Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x 0 a y x = b está dada por:
y
f
A = ∫ f ( b
a
dxx)
Ejemplo 1: Calcular el área de la región acotada por la recta y = − 2
1 x + 2, el eje x y el eje y. x 0 1 2 3 4 y 2 1.5 1 0.5 0
A = =∫b
a
dxxf )( ( ) [ ]404
4
021 22 2 xdxx x +−=+−∫
A = 84)4(2442 +−=+−
A = 4 u2 Ejemplo 2: Hallar el área de la región limitada por la parábola y2 =4x, el eje y y la recta y = 4. x 0 1 2 3 4 y 0 2 2.8 3.5 4
A = ∫b
a
dyyf )(
A =
4
0
34
0
2
124 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∫
ydyy
A = 316
1264
1243
== u2
a x b
f(x)=-1/2*x+2
Area
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.
0.5
1
1.5
2
x
y
5
f(x)=sqrt(4x)
f(x)=cuatro
Ar ae
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1
2
3
4
x
y
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 1
CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
Ejemplo 3: Encontrar el érea de la región limitada por la curva y = 4 − x2 y el eje x. x -2 -1 0 1 2 y 0 3 4 3 0
Como el eje y es un eje de simetría de la región, se puede calcular el área de la mitad y se multiplica por dos
A = 2 ∫b
a
dyyf )(
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−∫ 3
2)2(423
42)4(232
0
32
0
2 xxdxx
A = 3
323882 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2 y la recta y = 4. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 Como el eje y es un eje de simetría de la región, el centroide estará sobre el eje y.
f(x)=4-x^2
Sombreado 1
f(x)=cero
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
x
y
A = 2 ∫b
a
dyyf )(
A =4
0
234
023
234
0
21 )4(342)(2 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=∫
ydxy
A = 3
32)8(34)4(
34 23 ==
f(x)=x^2
Sombreado 1
f(x)=cuatro
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
2
4
6
8
x
y
3
El área entre dos funciones se calcula como:
A =
a b
y = f(x)
y = g(x)
y
x
∫ −b
a
dxxgxf )]()([
Donde f(x) es la función que se encuentra más arriba ( o mas a la derecha) y g(x) es la función que se encuentra más abajo o más a la izquierda.
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 2
CAPÍTULO 4 CÁLCULO II
Ejemplo 5: Hallar el centroide de la región que tiene como fronteras las curvas y = x2 y y = x3. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9
A = ∫ −b
a
dxxgxf )]()([
A =41
31
43)(
1
0
1
0
4332 −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−∫
xxdxxx
A = 121
f(x)=x^2
f(x)=x^3
Sombreado 1
0.1 0.2 0. 5 0 1
3 0.4 0. 0.6 0.7 .8 0.9 1.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
M. I. CLAUDIA RAZO HERNÁNDEZ 3