PROBLEMAS RESUELTOS

El plomo cristaliza en el sistema cúbico centrado en las caras, tiene un radio atómico de 174,9 pm y una densidad de 11340 Kg/m3. Determine:

a) Su constante reticular. b) Su masa atómica.

(Selectividad andaluza junio-97)

La celdilla elemental del plomo tiene la estructura indicada a continuación

a

4R

2a

a. Siendo a la constante reticular

pm69,4949,1742

42

4=⋅=⋅= Ra

átomos4216

818carasen át. sen vértice át.átomos de número =⋅+⋅=+=

celdapor átomos4átomos de número =

b. El volumen de la celda unitaria es

( ) 3283123 m1021,11069,494 −− ⋅=⋅== aV

luego su masa atómica será

( ) kg1043,34

mkgm113401021,1

ºatómica masa

253328

−−

⋅=⋅⋅⋅

=

=⋅

=átomosden

V ρ

Durante el ensayo de tracción de una probeta de acero estirado en frío de diámetro 13 mm y longitud 5 cm se han obtenido los siguientes datos:

Carga axial (N) Alargamiento de la longitud patrón (cm) 0 0

8300 0,0015 13800 0,0025 26400 0,0045

Determinar: a) El módulo de Elasticidad del material. b) Alargamiento que experimenta una barra cilíndrica de 6 cm de

diámetro y 50 cm de longitud del mismo material al aplicar a sus extremos una carga de 50000 N, suponiendo que no haya superado el límite de elasticidad.

(Selectividad andaluza)

a. Se podría considerar una carga baja, que cumpla la ley de Hooke. Podemos calcular la media aritmética de los valores centrales

21 4 6 8 ε ( x10 )4

2

0,5

1

1,5

3 5 7 9

x108

( )2mNεσ

=E ( )2mNAF

=σ ε

2,08 · 1011 0,62 · 108 3 · 10-4

2,06 · 1011 1,03 · 108 5 · 10-4

2,2 · 1011 1,98 · 108 9 · 10-4

211 mN1007,2 ⋅=medioE

4104 −⋅=medioε

b. El alargamiento experimentado por la barra de las dimensiones especificadas se obtiene

o

o

o

o

AllF

llAFE

⋅∆⋅

=∆

==εσ

Despejando l∆ nos queda

o

o

AElFl

⋅⋅

=∆

Antes calculamos la sección de la barra

222

cm2,2846

4=

⋅=⋅=

ππ

DAo

mm042,0m102,41007,2102,28

1050105 5114

24

=⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅

=∆ −

−

o

o

AElFl

Para determinar la dureza Brinell de un material se ha utilizado una bola de 5 mm de diámetro y se ha elegido una constante K = 30, obteniéndose una huella de 2,3 mm de diámetro. Calcule:

a) Dureza Brinell del material. b) Profundidad de la huella.

(Selectividad andaluza septiembre - 97)

a. La dureza Brinell

kgf750530 22 =⋅=⋅= DKF

2mmkgf54,1704,4

750===

AFHB

b. La profundidad de la huella

mm28,02

3,2552

2222

=−−

=−−

= dDDf

Un latón tiene un módulo de elasticidad E = 120·109 N/m2 y un límite elástico de 250·106 N/m2. Si disponemos de una varilla de dicho material de 10 mm2 de sección y 100 mm de longitud, de la que suspendemos verticalmente una carga en su extremo de 1500 N, se pide:

a) ¿Recuperará el alambre su longitud primitiva si se retira la carga?. b) ¿Cuál será el alargamiento unitario y total en estas condiciones?. c) ¿Qué diámetro mínimo habrá de tener una barra de este material pa-

ra que sometida a una carga de 8.104 N no experimente deforma-ción permanente.

(Selectividad andaluza)

a. Calculamos la tensión de tracción aplicada a la varilla.

286 mN105,1

10101500

⋅=⋅

== −oA

Fσ

Como el valor obtenido es inferior al límite elástico, la varilla recuperará la lon-gitud primitiva.

b. El alargamiento unitario será

339

8

1025,110120

15010120105,1 −⋅=

⋅=

⋅⋅

==Eσ

ε

y el alargamiento total

mm125,0mm1025,11001025,1 13 =⋅=⋅⋅=⋅=∆ −−oll ε

c. Calculamos la sección mínima, que vendrá determinada por el límite elástico

246

4

m102,310250

108 −⋅=⋅

⋅==

Emín

FAσ

El diámetro mínimo será consecuencia del valor anterior obtenido

mm18,20m02018,0102,344 4

==⋅⋅

=⋅

=−

ππminAD

Dibuje una celdilla elemental con las posiciones atómicas del hierro a tem-peratura ambiente. Si disponemos de 1mm3 de hierro, y sabiendo que la constante reticular de su celdilla es a = 2,86x10-10 m, calcular:

a) El número de átomos que habría. b) El volumen real ocupado por los átomos si el radio atómico es

1,24x10-10 m. (Selectividad andaluza)

El estado alotrópico del hierro a temperatura ambiente tiene una estructura cú-bica centrada en el cuerpo (BCC).

a

4R

2a

( ) ( ) 222 24 aaR +⋅=

( ) 2222 324 aaaR =+=

aR ⋅= 34

Ra ⋅=3

4

a. El número de átomos en una celda

átomos28181sen vértice át. centro elen át.átomos de número =⋅+=+=

celdapor átomos4átomos de número =

El volumen de cada celda será

( ) 32032933103 mm1034,2m1034,2m1086,2 −−− ⋅=⋅=⋅== aVcelda

El número de celdas en 1 mm3

celdas102735,41034,2

1 1920 ⋅=

⋅= −Celdas

Como cada celda tiene 2 átomos, el número total de átomos en 1mm3

átomos108,547102735,42º 1919 ⋅=⋅⋅=átomosden

b. El volumen real ocupado dependerá del número de átomos existentes y el vo-lumen que ocupa cada uno de ellos

átomoreal VátomosnV ⋅°=

( )3310-

31019319

mm682,0m10,826

1024,13410547,8

3410547,8

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= −ππ RVreal

A una probeta de sección cuadrada de 10 mm de lado y 2 mm de entalla en el centro de una de sus caras , se le somete a un ensayo de flexión por cho-que, con un martillo de 20 Kgf, cayendo desde una altura de 90 cm y recupe-rando, tras la rotura, la altura de 70 cm. Haga un esquema del ensayo pro-puesto y determine:

a) Energía absorbida por la probeta. b) Resiliencia del material.

(Propuesto Andalucía 96/97)

a. Representamos la probeta que tendrá una forma similar a la indicada.

10

8

La sección en la zona de la entalla será de 2mm80810 =⋅=A

La energía absorbida por la probeta será la energía potencial que posee el martillo debido a su altura menos la energía potencial que adquiere en la recu-peración.

( ) ( ) cmkgf400cmkgf202070902021 ⋅=⋅⋅=−=−⋅⋅= hhgmE p

J2,39mN2,391018,9400cmkgf400 2 =⋅=⋅⋅⋅=⋅ −

b. La resiliencia se calcula por la expresión 0A

absorbidaEp=ρ

siendo A0 la sección en la zona de la entalla.

Por lo que la resiliencia será

2cmJ498,02,39

==ρ

Una probeta normalizada de 13,8 mm de diámetro y 100 mm de distancia en-tre puntos, es sometida a un ensayo de tracción, experimentando, en un de-terminado instante, un incremento de longitud de 3x10-3

mm. Si el módulo de Young del material es 21,5 x 105 Kgf/cm2, determine:

a) El alargamiento unitario. b) La tensión unitaria en KN/m2. c) La fuerza actuante en dicho instante en N.

(Propuesto Andalucía 96/97)

a. El alargamiento unitario

53

103100103 −

−

⋅=⋅

=∆

=oll

ε

b. La tensión unitaria en kN/m2

22654

5 mKN6321mN1032,610310

8,9105,21 =⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅= −−

−εσ E

c. Anteriormente al cálculo de la fuerza actuante necesitamos calcular la sección de la probeta

( ) 24232

2 m105,14108,13

4−

−

⋅=⋅

⋅=⋅=⋅= πππDrAo

Ahora calculamos la fuerza actuante

N15,948105,110321,6 46 =⋅⋅⋅=⋅= −oAF σ

Se ha fabricado un engranaje de acero que posteriormente ha sido verifica-do en laboratorio. En uno de los ensayos efectuados se midió la dureza en la superficie y en el núcleo de la pieza, siendo sus resultados de 500 HB y de 200 HB, respectivamente.

a) Indique en qué unidades vienen expresados dichos valores y en qué consiste (brevemente) el método de ensayo utilizado.

b) Explique, en función de su aplicación posterior, qué se persigue con la obtención de diferentes durezas en la pieza fabricada.

(Selectividad andaluza septiembre - 97)

a. Grado de dureza según ensayo Brinell

H = Hard del inglés duro o dureza

B = inicial de Brinell

La dureza Brinell se obtiene intentando penetrar una bola de acero en la super-ficie a ensayar, de manera que si aplicamos a la bola una fuerza F, siendo A la superficie del casquete esférico de la huella dejada por la bola en la superficie a ensayar, tendremos que la dureza será

AFHB =

medida en 2mmKgf . La fuerza se elige proporcional al material mediante

una constante K, tal que 2DKF ⋅= , siendo D el diámetro de la bola.

b. Dureza de la superficie 500 HB

Dureza del núcleo 200 HB

La dureza en la superficie es mayor para evitar que el engranaje se desgaste en su parte exterior. La dureza en el núcleo es menor, ya que debe absorber los choques o rozamientos con el otro engranaje, puesto que a menor dureza mejor amortiguación de los choques.

Para endurecer el acero se le somete a tratamientos térmicos o termoquímicos.

En relación con la figura: a) Obténgase la expresión para evaluar la dureza Brinell de un material. b) Si la constante de ensayo para el material implicado es de 30, se ha

utilizado una bola de diámetro 2,5 mm y se ha obtenido una huella de 1 mm de diámetro, calcúlese la dureza Brinell del material.

(Selectividad andaluza)

a. Para calcular la dureza Brinell utilizamos la expresión AFHB =

En el triángulo considerado obtenemos que

222

222

−

=

−

dEfD

4422

4

222

2 dDfDfD−=⋅−+

De donde obtenemos la ecuación de segundo grado

04

22 =+−

dDff

que tiene como soluciones

2

22 dDdf −±= , de las que sólo nos quedamos con

2

22 dDdf −−=

ya que un discriminador positivo nos dará un valor de flecha muy grande.

F

D

f

d

La superficie del casquete de la huella es fDA ⋅⋅= π

Sustituyendo el valor de f nos dará

−−⋅⋅=

2

22 dDDDA π

Luego

−−⋅⋅

=22

2

dDDD

FHBπ

b. Calculamos la fuerza actuante

Kp5,1875,230 22 =⋅=⋅= DKF

la dureza Brinell será

HB7,228mmKg7,228

15,25,25,2

5,18722

2

2222

==

=

−−⋅⋅

⋅=

−−⋅⋅

=ππ dDDD

FHB

Una pieza de 300 mm de longitud tiene que soportar una carga de 5000 N sin experimentar deformación plástica. Elija el material más adecuado entre los tres propuestos para que la pieza tenga un peso mínimo.

Material Límite elástico (Mpa) Densidad (g/cm3)

Latón 345 8,5

Acero 690 7,9

Aluminio 275 2,7

(Propuesto Andalucía 96/97)

Se calcula la sección de cada material según la fuerza aplicada y su límite elástico

25 m1045,1MPaKN

3455 −⋅=⋅==

LatónLatón

FAσ

26 m1025,7MPaKN

6905 −⋅=⋅==

AceroAcero

FAσ

25 m108,1MPaKN

2755 −⋅=⋅==

AluminioAluminio

FAσ

Calculamos la masa de cada uno de los materiales en función de la longitud re-querida y las secciones obtenidas.

g97,36105,83,01045,1 65 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= −ρρ lAVmLatón

g18,17109,73,01025,7 66 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −ρlAmAcero

g72,14107,23,0108,1 65 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −ρlAmAluminio

Resultando que el material de menor peso sería el aluminio

Una barra cilíndrica de acero con un límite elástico de 325 Mpa y con un mó-dulo de elasticidad de 20,7 x 104 Mpa se somete a la acción de una carga de 25000 N. Si la barra tiene una longitud inicial de 700 mm, se pide:

a) ¿Qué diámetro ha de tener si se desea que no se alargue más de 0,35 mm?

b) Explique si, tras eliminar la carga, la barra permanece deformada?

(Selectividad andaluza junio - 98)

a. La sección de la barra en función de las condiciones establecidas

2443

33

m104,2107,201035,0

107001025 −−−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅∆⋅

=EllFA o

o

por lo que el diámetro

mm5,17m0175,0104,2444

42

==⋅⋅

=⋅

=⇒⋅=−

πππ

ADDA

b. Calculamos la tensión de tracción para compararla con el límite elástico

MPa104Pa104,10104,21025 7

4

3

=⋅=⋅⋅

== −AF

σ

Como la tensión de tracción MPa104=σ es menor que el límite elástico MPa325=Eσ , al eliminar la carga la barra no permanece deformada y volve-

rá a su posición inicial.

Realice un dibujo esquemático representativo de un ensayo Brinell. Supon-ga que la carga utilizada es de 250 Kgf y el penetrador de un diámetro de 5 mm, obteniéndose una huela de 3,35 mm2. Se pide:

a) Explique para que sirve este ensayo. b) Determinar el resultado del mismo. c) Compruebe si se acertó al elegir el tamaño del penetrador y la carga.

(Propuesto Andalucía 97/98)

a. Consiste en comprimir una bola de acero templado (penetrador), aplicando so-bre esta una carga F durante un tiempo t determinado. Se mide el diámetro de la huella y se calcula la dureza.

F

D

d

b. Calculamos la dureza HB en con los datos facilitados

HB62,7435,3

250===

AFHB

c. Para comprobar si se han elegido adecuadamente el tamaño de la bola y la carga aplicada se calcula el diámetro de la huella

mm235,3444

2

=⋅

=⋅

=⇒⋅=ππ

πAddA

El diámetro de la huella debe estar comprendido entre 5,2225,1

24

<<

<< DdD

Como en este caso es así, se acertó en la elección del penetrador y la carga.

Este ensayo, cuando se aplica en materiales cuyo perfil es grueso, se realiza correctamente. Sin embargo, cuando los perfiles tienen un espesor inferior a 6

mm y el penetrador 10 mm de diámetro, se deforma el material y los resultados suelen ser erróneos. Para solucionar este problema se utilizan penetradores de menor diámetro D, de manera que, el diámetro de la huella, quede comprendi-do entre D/4 < d < D/ 2.

Una aleación de cobre tiene un módulo de elasticidad E = 12600 Kgf/mm2 y un límite elástico de 26 Kgf/mm2. Se pide:

a) La tensión unitaria necesaria para producir, en una barra de 400 mm de longitud, un alargamiento elástico de 0,36 mm.

b) ¿Qué diámetro ha de tener una barra de este material para que, so-metida a un esfuerzo de tracción de 8000 Kgf, no experimente de-formaciones permanentes?

(Selectividad andaluza junio - 98)

a. Calculamos el alargamiento unitario de la forma

4109400

36,0 −⋅==∆

=oll

ε

y obtenemos a continuación la tensión unitaria

24

mmkgf34,1110912600 =⋅⋅=⋅= −εσ E

b. Calculamos la sección despejando de la expresión del límite elástico

AF

E =σ

2mm7,30726

8000===

E

FAσ

El diámetro mínimo será

mm79,193,307444

2

=⋅

=⋅

=⇒⋅=ππ

πADDA

En el diagrama de tracción adjunto, la figura pequeña corresponde a la re-gión ampliada del origen de coordenadas. Dicho gráfico se ha obtenido de un ensayo de tracción efectuado a una probeta cilíndrica de una aleación de aluminio. Sabiendo que, inicialmente, la probeta tenía un diámetro de 10 mm y una longitud de 75 mm, calcule:

a) Módulo de elasticidad. b) El alargamiento, al aplicar una carga de 13500 N. c) La carga máxima que puede soportar esta probeta sin que se deforme

permanentemente.

(Propuesto Andalucía 98/99)

a. Observando el detalle realizado en la gráfica podemos determinar aproxima-damente que el límite elástico tiene un valor de 200 MPa, valor al que le corres-pondería una deformación de 0,032

300

200

100

0 0 0,005 0,010

MPa

0,032 Podemos calcular el módulo de elasticidad, de la forma

2mMN62500Pa62500Mpa032,0

200====

εσE

b. Para calcular el alargamiento, primeramente calcularemos la sección de la pro-beta

25222

m1085,7mm53,78410

4−⋅==

⋅=⋅=

ππ

DA

Deformación

Tens

ión

(MP

a)

400

300

200

100

00 0,05 0,10 0,15 0,20

300

200

100

0 0 0,005 0,010

MPa

esta sección nos sirve para calcular la tensión unitaria

285 mN1078,1

1085,713500

⋅=⋅

== −AF

σ

El alargamiento unitario será

36

81075,2

106250010718,1 −⋅=⋅

⋅==

Eσ

ε

y el alargamiento total

mm21,0751075,2 3 =⋅⋅=⋅=∆ −oll ε

c. Según la gráfica, podemos determinar que, el límite elástico se encuentra en 250 MPa, aproximadamente,

Deformación

Tens

ión

(MP

a)

400

300

200

100

00 0,05 0,10 0,15 0,20

σΕ

por lo que la máxima carga aplicable será

N196251085,710250 56 =⋅⋅⋅=⋅= −AF Eσ

Calcule el diámetro del vástago de un cilindro que debe soportar una fuerza de 5000 Kg fabricado en acero de tensión admisible 30 Kg/mm2. (La carrera del cilindro no excederá de 100 mm para que no exista pandeo).

(Selectividad andaluza septiembre-99)

La sección del cilindro deberá ser

2mm6,16630

5000===

E

FAσ

por lo que el diámetro

mm56,146,16644=

⋅=

⋅=

ππAD

Un alambre de acero con un módulo elástico de 210000 MPa y un límite elás-tico de 1800 MPa, tiene una longitud de 2 m y un diámetro de 1 mm. Calcule su longitud cuando se somete a una carga de tracción de 100 kg y dibuje un croquis del alambre con la carga aplicada.

(Propuesto Andalucía 98/99)

F

l

∆l

l0

La sección del alambre

27222

0 m108,7mm78,041

4−⋅==

⋅=⋅=

ππ

DA

De la expresión del módulo elástico, despejamos el valor del incremento de longitud l∆

o

o

o

o

AEIF

l

ll

AF

E⋅⋅

=∆⇒∆

==εσ

mm9,11m0119,0

108,7102128,9100

710

==

=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

=∆−

o

o

AElF

l

La longitud total cuando el alambre está sometido a la carga

0lll −=∆

mm9,20119,1120000 =+=+∆= lll

Si calculamos la tensión a la que está sometido el alambre

MPa1250mN1025,1108,7

8,9100 297

0

=⋅=⋅⋅

== −AF

σ

Al ser el límite elástico 1800 MPa y superior a la tensión aplicada de 1250 MPa, el alambre no sufrirá una deformación permanente, recuperando su longitud inicial cuando se elimine la carga aplicada.

Una varilla se ha fabricado con acero de límite elástico 350 MPa y de módulo de elasticidad 200 GPa. La varilla tiene una sección uniforme de 12 mm2 y una longitud de 50 cm.

a) Si se carga en uno de sus extremos con una fuerza de 1800 N en la di-rección del eje de la barra, ¿ recuperará la varilla su longitud inicial cuando se elimine la fuerza?

b) Calcule el alargamiento unitario en las condiciones de carga plantea-das en a).

c) ¿Cuál deberá ser el diámetro mínimo de la varilla si no se desea que se alargue permanentemente tras ser sometida a una carga de 5000 N?

(Selectividad andaluza junio-00)

a. La tensión de tracción

MPa150Pa105,1mN

10121800 8

26 =⋅=⋅

== −AF

σ

La varilla recuperará la longitud inicial puesto que el esfuerzo o tensión de trac-ción a la que se le somete (150 MPa ) no supera el límite elástico de 350 MPa.

b. El alargamiento unitario

49

6

105,71020010150 −⋅=⋅⋅

==Eσ

ε

c. La sección de la varilla correspondiente al límite elástico

2426 m10428,1

mNN

1035050000 −⋅=

⋅==

E

FAσ

El diámetro mínimo

mm44,13m0134,010428,144 4

==⋅⋅

=⋅

=−

ππAD

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