4_DiseBloq

UNIDAD

Estadstica II ______________________________________________________________________________

______________________________________________________Diseo Aleatorizado Por Bloques Completos

UNIDAD

4

DISEOS DE

BLOQUES

OBJETIVO EDUCACIONAL

Al trmino de esta unidad el alumno ser capaz de:

Usar el modelo de bloques correspondiente en funcin de sus caractersticas particulares

4.1 El Diseo de Bloques Totalmente Aleatorizado

En muchos problemas de diseo experimental es necesario disear el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseo aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una rplica completa del experimento en cada uno de ellos. En la tabla 4.1 aparecen los datos que se obtienen al aplicar un diseo aleatorizado por bloques completos para investigar un solo factor con a niveles y b bloques. En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque.

Datos tpicos para el anlisis de varianza de clasificacin en un sentido

TratamientoBloquesTotalesPromedios

12.b

1

.

2

.

...

..................

a

.

Totales

.

Promedios

.

;

;

;

La notacin del subndice punto implica la sumatoria sobre el subndice que reemplaza.

4.1.1 Anlisis Estadstico

Suponga que tiene inters en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efecta en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadstico lineal

donde es la media global, es el efecto del i-simo tratamiento, es el efecto del j-simo bloque y es el trmino de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribucin normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global, de modo que

y

Tambin se supone que los tratamientos y los bloques no interactan entre s. Esto es, el efecto del tratamiento i es el mismo sin importar en que bloque (o bloques) se pruebe. El inters recae en probar la igualdad de los efectos de los tratamientos (equivale a probar la hiptesis de que las medias de tratamientos son iguales)

1) Hiptesis

2) El estadstico de prueba es:

3) La regla de decisin para con grados de libertad es: Rechazar H0 si

4) Evaluar el estadstico de prueba: para evaluar el estadstico de prueba se utiliza la tabla de anlisis de varianza

Anlisis de Varianza de un diseo Aleatorizado por bloques completos

Fuente de VariacinSuma de

CuadradosGrados de

LibertadCuadrados

Medios

Trats.

Bloques

Error

Total

5) Decisin: SE rechaza o NO se rechaza H0

6) Conclusin: (Si se rechaza H0: Al menos uno de los efectos de tratamientos es diferente de cero) (Si NO se rechaza H0:los efectos de tratamientos son todos iguales a cero).

4.2 Verificacin del ModeloEn cualquier experimento diseado, es siempre importante examinar los residuos y verificar si se violan las suposiciones bsicas (Normalidad, Independencia, Aditividad e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados.

4.2.1 Generacin de los Residuos

Los valores de los residuos del diseo aleatorizado por bloques completos se obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los estimados

y los valores estimados son

o bien

EMBED Equation.3 4.2.2 La Suposicin de Normalidad

El anlisis de varianza del modelo supone que las observaciones estn distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el anlisis de los residuos.

La suposicin de normalidad puede verificarse mediante la construccin de una grfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan en una tabla de distribucin de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad normal. Si la suposicin es vlida los puntos tendern a agruparse sobre una lnea recta que pasa por el punto medio.

4.2.3 Trazado de los Residuos Contra Tratamientos, Bloques y Valores Ajustados

La presentacin visual en el bloque completo aleatorizado implica graficar los residuos por separado para cada tratamiento y para cada bloque. El analista debe esperar variabilidad aproximadamente igual si es vlida la suposicin de igualdad de varianzas. En el caso de la grfica de residuos contra valores estimados podra revelar violacin a nuestra suposicin de aditividad (es decir, ninguna interaccin); si no hay interaccin, debe aparecer un patrn aleatorio

4.2.4 Estimacin de Valores Perdidos

En ocasiones, cuando se utiliza un diseo aleatorizado por bloques completos, alguna de las observaciones en uno de los bloques puede faltar. Esto sucede debido algn descuido o error, o por razones fuera del control del experimentador, como sera el caso de la prdida de alguna unidad experimental. Una observacin faltante introduce un nuevo problema en el anlisis, ya que los tratamientos dejan de ser ortogonales a los bloques. En otras palabras, cada tratamiento no ocurre en cada bloque. Existen dos formas generales de resolver el problema de los valores faltantes. La primera es una anlisis aproximado en el que se estima la observacin faltante. A continuacin se efecta el anlisis de varianza usual como si la observacin estimada fuera un dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es un anlisis exacto usando la prueba de significancia de regresin general.

Suponga que falta la observacin correspondiente al tratamiento i y al bloque j. Esta observacin se representa mediante x el gran total con una observacin faltante se representar mediante y los totales del tratamiento y del bloque con un dato faltante como y , respectivamente. Supongamos, adems, que para estimar la observacin faltante se elige x, de manera que tenga una contribucin mnima a la suma de cuadrados del error. Como la suma de cuadrados del error est dada por

lo anterior equivale a escoger x, de tal forma que minimice

o bien,

en donde R incluye todos los trminos que no contienen a x. Al derivar la SCE con respecto a x e igualar a cero se obtiene

como un estimador para la observacin faltante.

4.3 El Diseo Cuadrado Latino

Un diseo cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada rengln y columna. El diseo cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemticas; en otras palabras, permite analizar sistemticamente por bloques en dos direcciones. A continuacin se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos.

4 x 4

5 x 5

6 x 6 A B D C

A D B E C

A D C E B F

B C A D

D A C B E

B A E C F D

C D B A

C B E D A

C E D F A B

D A C B

B E A C D

D C F B E A

E C D A B

F B A D C E

E F B A D C

El modelo estadstico del diseo cuadrado latino es

en donde

observacin correspondiente al i-simo rengln, la k-sima columna y el j-simo tratamiento

la media general

es el i-simo efecto de rengln

es el j-simo efecto de tratamiento

es el k-simo efecto de la columna

es el error aleatorio

El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interaccin entre los renglones, las columnas y los tratamientos. Slo dos de los subndices i, j y k se requieren para especificar una observacin en particular porque nicamente hay una observacin en cada celda.

El anlisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de las observaciones en sus componentes de rengln, columna, tratamiento y error

cuyos grados de libertad son

Bajo la suposicin de que el error aleatorio se distribuye en forma normal e independiente, cada una de las sumas de cuadrados son al dividir entre , variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada. El estadstico de prueba apropiado para probar la igualdad de medias en los tratamientos es

que tiene una distribucin si la hiptesis nula es verdadera. El procedimiento de clculo para el anlisis de varianza se muestra en la tabla 4.2

Tabla 4.2. Anlisis de Varianza para un Diseo Cuadrado Latino

Fuente de VariacinSumas de CuadradosGrados de libertadCuadrados Mediosf0

Tratam.

Renglones

Columnas

Error

Total

4.4 El Diseo Cuadrado Greco Latino

Consideremos un cuadrado latino p x p al que se le sobrepone un segundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan por letras griegas. Se dice que los dos son ortogonales si al sobreponerse poseen la propiedad de que cada letra griega aparece solamente una vez con cada letra latina. Este diseo se denomina cuadrado greco-latino. un ejemplo de un cuadrado greco-latino 4 x 4 se muestra en la tabla 4.3.

CuadroColumna

1234

1

2

3

4

El diseo cuadrado greco-latino puede utilizarse para controlar sistemticamente tres fuentes extraas de variabilidad. En otras palabras, se usa para hacer un anlisis por bloques en tres direcciones. El diseo permite analizar cuatro factores (rengln columna, letra griega y letra latina), cada uno con p niveles, usando solamente p2 ensayos. Los cuadrados grecolatinos existen para toda excepto para p = 6.El modelo estadstico de un diseo cuadrado greco-latino es

en donde

la observacin que corresponde al rengln i, la columna k, la letra latina j y la letra griega k.

la media general

es el efecto del i-simo rengln

es el j-simo efecto de tratamiento de las letras latinas

es el k-simo efecto de tratamiento de las letras griegas

es el efecto de la columna l

es la componente del error aleatorio

Slo dos de los cuatro subndices son necesarios para identificar completamente cualquier observacin.

El anlisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino. El factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de la letra latina porque cada letra griega ocurre una sola vez en cada rengln, en cada columna y para cada letra latina. Por lo tanto la suma de cuadrados debida al factor letra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. El error experimental se reduce en esta cantidad. Las hiptesis nulas de igualdad entre los renglones, entre las columnas, entre los tratamientos de la letra latina y entre los tratamientos de la letra griega pueden probarse dividiendo la media de cuadrados correspondiente entre la media de cuadrados del error.

Tabla 4.3 Anlisis de Varianza para un Diseo de Cuadrado Greco-Latino

Fuente de VariacinSumas de CuadradosGrados de libertadCuadrados Mediosf0

Tratam.

letra Griega

Tratam.

letra

Latina

Renglones

Columnas

Error

Total

Ejemplo 4.1. Se realiz un experimento para determinar el efecto que tienen cuatro tipos diferentes de puntas de un probador de dureza sobre los valores de dureza observados de una aleacin. Para ello se obtienen cuatro especimenes de aleacin, y se prueba cada punta sobre cada uno de ellos. Los datos obtenidos son los siguientes

Tipo de

PuntaEspcimen

1234

19.39.49.610.0

29.49.39.89.9

39.29.49.59.7

49.79.610.010.2

a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas?

b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.05

c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos

Solucin. Se obtienen los totales y promedios de cada fila y columna y la sumas de cuadrados:Tipo de

PuntaEspecmenTotalPromedio

1234

19.39.49.610.038.39.575

29.49.39.89.938.49.600

39.29.49.59.737.89.450

49.79.610.010.239.59.875

Total37.637.738.939.8154.0

Promedio9.4009.4259.7259.9509.625

a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas?

Utilizando la tabla del anlisis de varianza para probar la hiptesis nula de que no existe una diferencia significativa entre las mediciones de dureza para las cuatro puntas y considerando un nivel de significancia del 5%, tenemosAnlisis de Varianza para el modelo de efectos fijos de clasificacin en un sentido

Fuente de VariacinSuma de

CuadradosGrados de

LibertadCuadrados

Medios

Tratamientos0.38530.128314.433.86

Bloques0.82530.275

Error0.08090.00889

Total1.29015

El valor de F observado para las puntas es de 14.43 es mayor que el valor de F de tablas para el 5% de nivel de significancia, por lo que podemos concluir que existe una diferencia estadsticamente significativa entre las mediciones de dureza entre las puntas.b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.051. Las a medias de tratamientos se arreglan en orden ascendente

2. Se determina el error estndar de la media como

3. Se obtienen de la tabla de Duncan, de intervalos significativos valores

4. Convierta estos intervalos en un conjunto de intervalos significativos, estos es, Rp, ; ;

5. Luego se prueban los intervalos observados entre las medias

* existe una diferencia significativa



No existe una diferencia significativa



c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos

Se obtienen los residuales de acuerdo con la frmula:

Tabla de ResidualesTipo de

PuntaEspecmen

1234

1-0.0500.025-0.0750.10038.39.575

20.025-0.1000.100-0.02538.49.600

3-0.0250.150-0.050-0.07537.89.450

40.050-0.0750.0250.00039.59.875

37.637.738.939.8=154.0

9.4009.4259.7259.9509.625

Graficando los valores de los residuales contra los tipos de punta tenemos

Se observa que la variabilidad dentro de cada nivel el tipo de Punta es aproximadamente la misma, por lo que se cumple satisfactoriamente el supuesto de homocedasticidad.Solucin. En seguida se presenta la solucin de este problema utilizando Statgraphics

a) Existe alguna diferencia en las mediciones de dureza de las puntas? De la pantalla de salida del Statgraphics obtenemos:

Analysis of Variance for Dureza - Type III Sums of Squares

--------------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

--------------------------------------------------------------------------------

MAIN EFFECTS

A:Tipo_Punta 0.385 3 0.128333 14.44 0.0009

B:Especimen 0.825 3 0.275 30.94 0.0000

RESIDUAL 0.08 9 0.00888889

--------------------------------------------------------------------------------

TOTAL (CORRECTED) 1.29 15

El nivel de significancia observado para las puntas es de 0.0009, por lo que podemos concluir que existe una diferencia estadsticamente significativa entre las mediciones de dureza entre las puntas.

b) Pruebe todos los pares de medias empleando la prueba de rango mltiple de Duncan, con = 0.05

Multiple Range Tests for Dureza by Tipo_Punta

--------------------------------------------------------------------------------

Method: 95.0 percent Duncan

Tipo_Punta Count LS Mean Homogeneous Groups

--------------------------------------------------------------------------------

3 4 9.45 X

1 4 9.575 X

2 4 9.6 X

4 4 9.875 X

--------------------------------------------------------------------------------

Contrast Difference

--------------------------------------------------------------------------------

1 - 2 -0.025

1 - 3 0.125

1 - 4 *-0.3

2 - 3 0.15

2 - 4 *-0.275

3 - 4 *-0.425

--------------------------------------------------------------------------------

* denotes a statistically significant difference.c) Analice la grfica de residuos contra tratamientos

En la grfica podemos observar que la variabilidad dentro de cada punta es aproximadamente la misma para todas las puntas.

Ejemplo 4.2 Un experimentador estudia los efectos que tienen cinco formulaciones de la carga propulsora utilizada en los sistemas de expulsin de la tripulacin de un avin basado en la rapidez de combustin. Cada formulacin se hace con un lote de materia prima que slo alcanza para probar cinco formulaciones. Adems, las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencia de los operadores. Por lo tanto, al parecer hay dos factores perturbadores que sern calculados en promedio en el diseo: los lotes de materia prima y los operadores. El diseo apropiado para es problema consiste en probar cada formulacin exactamente una vez con cada uno de los cinco operadores. Al diseo resultante ilustrado en la Tabla 4.4 diseo cuadrado latino.Lotes de materia primaOperadores

12345

1A=24B=20C=19D=24E=24111

2B=17C=24D=30E=27A=36134

3C=18D=38E=26A=27B=21130

4D=26E=31A=26B=23C=22128

5E=22A=30B=20C=29D=31132

107143121130134635

El estadstico apropiado para probar la la hiptesis de que no hay diferencia en las medias de tratamiento es

que se distribuye como bajo la hiptesis nula. Tambin puede probarse la ausencia de efectos de los renglones o la ausencia de efectos de las columnas formando el cociente de CMRenglones o CMColumnas con el CME. Sin embargo, puesto que los renglones y las columnas representan restricciones sobre la aleatorizacin, estas pruebas quiz no sean apropiadas.

Los totales para los tratamientos (las letras latinas) sonLetra latinaTotal del tratamiento

A

B

C

D

E

La suma de cuadrados que resulta de las formulaciones se calcula a partir de estos totales como

La suma de cuadrados del error se encuentra por sustraccin:

Analysis of Variance for Rap_Comb - Type III Sums of Squares

--------------------------------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------------------------

MAIN EFFECTS

A:Formulacion 330.0 4 82.5 7.73 0.0025

B:Lotes 68.0 4 17.0 1.59 0.2391

C:Operadores 150.0 4 37.5 3.52 0.0404

RESIDUAL 128.0 12 10.6667

--------------------------------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------------------------

El anlisis de varianza se resume en la Tabla 4.5. Se concluye que hay una diferencia significativa en la rapidez de combustin media generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. Tambin hay indicios de que hay diferencias entre los operadores, por lo que la formacin de bloques para este factor fue una buena precaucin. No hay evidencia slida de una diferencia entre los lotes de materia prima, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una precaucin innecesaria en esta fuente de variabilidad. Sin embargo, la formacin de bloques de los lotes de materia prima es por lo general una buena idea. Ejemplo 4.3 Suponga que en el ejemplo anterior un factor adicional, los montajes de prueba, podra ser importante. Sean cinco los montajes de prueba denotados por las letras griegas (, (, (, ( y (. En la tabla se muestra el diseo de cuadrado grecolatino resultante .Lotes de materia primaOperadores

12345

1A(=24B(=20C(=19D(=24E(=24111

2B(=17C(=24D(=30E(=27A(=36134

3C(=18D(=38E(=26A(=27B(=21130

4D(=26E(=31A(=26B(=23C(=22128

5E(=22A(=30B(=20C(=29D(=31132

107143121130134635

Observe que, debido a que los totales de los lotes de materia prima (renglones), los operadores (columnas) y las formulaciones (letras latinas) son idnticos a los del ejemplo 4.2, se tiene

; ; ;

Los totales de los montajes de prueba (letras griegas) son

Letra GriegaTotal de la prueba de montaje

(

(

(

(

(

Por lo tanto, la suma de cuadrados debida a los montajes de prueba es

Analysis of Variance for Rap_Comb - Type III Sums of Squares

--------------------------------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------------------------

MAIN EFFECTS

A:Formulacion 330.0 4 82.5 10.00 0.0033

B:Lotes 68.0 4 17.0 2.06 0.1783

C:Operadores 150.0 4 37.5 4.55 0.0329

D:Montaje 62.0 4 15.5 1.88 0.2076

RESIDUAL 66.0 8 8.25

--------------------------------------------------------------------------------


Problemas

1. Se realiza un experimento para obtener una medicin del perfil para diferentes tipos de boquillas y distintos niveles de velocidad de expulsin del chorro. El inters en este experimento se centra principalmente en el tipo de boquilla, y la velocidad es un factor indeseable. Los datos son los siguientes:

Tipo de

boquillaVelocidad de expulsin del chorro (m/s)

11.7314.3716.5920.4323.4628.74

10.780.800.810.750.770.78

20.850.850.920.860.810.83

30.930.920.950.890.890.83

41.140.970.980.880.860.83

50.970.860.780.760.760.75

2. Una prueba de campo para detectar la presencia de arsnico en muestras de orina, ha sido propuesta para su uso entre trabajadores forestales debido al empleo cada vez mayor de arsnicos orgnicos en esta industria. El experimento compara los resultados obtenidos con la prueba al ser efectuada por un inexperto y un entrenador experimentado con el anlisis efectuado en un laboratorio remoto. Para la prueba se escogen cuatro sujetos, los cuales son considerados como bloques. La variable de respuesta es el contenido de arsnico (en ppm) en la orina del sujeto. Los datos son los siguientes:

PruebaSujeto

1234

Inexperto0.050.050.040.15

Experto0.050.050.040.17

Laboratorio0.040.040.030.10

3. Se efecta un experimento para investigar la corriente de fuga en un dispositivo SOS MOSFET de dimensiones cercanas a la micra. La finalidad del experimento es investigar cmo cambia la corriente de fuga a medida que cambia la longitud del canal. Para ello se escogen cuatro longitud de canal. Para dada una de ellas, tambin se utilizan cinco anchos diferentes, y el ancho se considera un factor indeseable. Los datos son los siguientes:

Longitud

del canalAncho

12345

10.70.80.80.91.0

20.80.80.90.91.0

30.91.01.72.04.0

41.01.52.03.02.0

4. Se estudia el efecto de cinco ingredientes diferentes (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reaccin de un proceso qumico. Cada lote de material nuevo slo alcanza para permitir la realizacin de cinco corridas. Adems, cada corrida requiere aproximadamente 1 horas, por lo que slo pueden realizarse cinco corridas en un da. El investigador decide realizar el experimento como un cuadrado latino para que los efectos del da y el lote puedan controlarse sistemticamente. Obtiene los datos que se muestran en seguida.LoteDa

12345

1A = 8B = 7D = 1C = 7E = 3

2C = 11E = 2A = 7D = 3B = 8

3B = 4A = 9C = 10E = 1D = 5

4D = 6C = 8E = 6B = 6A = 10

5E = 4D = 2B = 3A = 8C = 8

5. El rendimiento de un proceso qumico se midi utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del cido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador ((, (, (, ( y (.). Se us el cuadrado grecolatino siguienteLotes de materia primaConcentracin del cido

12345

1A(=26B( =16C(=19D( =16E( =13

2B(=18C(=21D( =18E( =11A(=21

3C( =20D(=12E(=16A( =25B( =13

4D(=15E(=15A(=22B(=14C( =17

5E(=10A( =24B(=17C(=17D(=14

6166 Moiss Muoz Daz Moiss Muoz Daz 65

_1025017519.unknown

_1069824657.unknown

_1069831476.unknown

_1145429110.unknown

_1145430014.unknown

_1145869034.unknown

_1145870064.unknown

_1145870501.unknown

_1145870612.unknown

_1145870672.unknown

_1145871061.unknown

_1145870570.unknown

_1145870490.unknown

_1145870012.unknown

_1145870023.unknown

_1145869999.unknown

_1145431460.unknown

_1145432630.unknown

_1145431269.unknown

_1145430395.unknown

_1145429715.unknown

_1145429812.unknown

_1145429892.unknown

_1145429751.unknown

_1145429213.unknown

_1145429648.unknown

_1069832694.unknown

_1145426675.unknown

_1145426723.unknown

_1069832788.unknown

_1069832717.unknown

_1069831816.unknown

_1069832552.unknown

_1069832593.unknown

_1069831664.unknown

_1069829015.unknown

_1069829228.unknown

_1069829420.unknown

_1069829458.unknown

_1069829297.unknown

_1069829173.unknown

_1069829210.unknown

_1069829139.unknown

_1069827614.unknown

_1069827774.unknown

_1069828983.unknown

_1069827912.unknown

_1069827661.unknown

_1069825687.unknown

_1069827524.unknown

_1069824865.unknown

_1025087950.unknown

_1027063885.unknown

_1027347868.unknown

_1069823754.unknown

_1069824355.unknown

_1036903909.unknown

_1036903993.unknown

_1036904016.unknown

_1036903947.unknown

_1027347927.unknown

_1027064056.unknown

_1027064752.unknown

_1027064282.unknown

_1027064032.unknown

_1027063539.unknown

_1027063587.unknown

_1027063647.unknown

_1027063573.unknown

_1027063436.unknown

_1027063473.unknown

_1026628095.unknown

_1026628466.unknown

_1025017593.unknown

_1025018615.unknown

_1025018851.unknown

_1025020743.unknown

_1025020836.unknown

_1025087925.unknown

_1025021035.unknown

_1025020820.unknown

_1025020233.unknown

_1025020694.unknown

_1025020102.unknown

_1025019884.unknown

_1025018724.unknown

_1025018806.unknown

_1025018677.unknown

_1025018117.unknown

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