Funciones de Prueba para la Simulacin Electrosttica de Lneas de Transmisin

Abiertas de dos Conductores usando el Mtodo de Momentos

A. Dueas Jimnez, Miembro IEEE

Resumen-- En este trabajo se presentan varias funciones base

que se aplican a una tcnica de simulacin simple basada en el mtodo de momentos (MoM). La tcnica es apropiada para analizar lneas de transmisin abiertas de dos conductores que satisfacen le ecuacin de Laplace. Se muestran tres ejemplos de aplicacin de la tcnica que parten de una estructura de lnea coaxial ranurada, convertida por medio de la teora de imgenes, a una lnea de cinta de arco circular en espejo. El enfoque numrico se valida al comparar los resultados aqu obtenidos con aquellos obtenidos cuando se usan expresiones variacionales. Un ejemplo considera un lnea de cinta de arco circular convexo en espejo con ranuras angulares diferentes, otro trata su dual, esto es, una lnea de cinta de arco circular cncavo en espejo y el ltimo estudia una lnea de cinta de arcos circulares gemelos que se considera como una versin circular de la lnea de cintas planas gemelas.

Palabras Clave-- Anlisis electrosttico, clculos de campo, lneas de transmisin de dos conductores, modelado, tcnicas numricas.

I. INTRODUCCINOS mtodos de anlisis electromagntico se pueden dividir en dos grupos generales: mtodos del dominio o

regin y mtodos de la frontera [1]. En los mtodos del dominio, es la regin limitada por las fronteras la que se discretiza y son ecuaciones diferenciales las que deben ser resueltas; en tanto que en los mtodos de la frontera, son las fronteras mismas las que se discretizan reduciendo por uno el tamao del problema y son ecuaciones integrales las que deben ser resueltas. Algunos mtodos pertenecen a ambas categoras.

El mtodo de momentos, tambin conocido como mtodo de la integral de frontera, es un procedimiento general que puede resolver tanto ecuaciones diferenciales como integrales.

Dos artculos clsicos que presentan aplicaciones de este mtodo a la solucin de problemas de lneas de transmisin

El autor trabaja para el Departamento de Electrnica, Divisin de

Electrnica y Computacin, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras, Universidad de Guadalajara, Apartado Postal 52-14, 45030 Guadalajara, Jalisco, Mxico, Tel.: 52 33 3123 1251, Fax.: 52 33 3942 5920, Ext. 7726, Direccin de correo electrnico: aduenas@telecomm.net.mx

multiconductoras, inmersas en regiones dielctricas de forma arbitraria o multicapa, que se encuentran por encima o entre planos de tierra, fueron publicados a mediados de la dcada del 80 del siglo pasado [2], [3]. En estos trabajos se generan funciones de expansin o base que se usan de manera general.

Con el objeto de agilizar los procesos de solucin en ambos, los problemas electrostticos y los problemas electrodinmicos, es fundamental elegir a estas funciones base (o de prueba en el mtodo de Galerkin) para cada problema en particular. Dichas funciones no slo deben delimitar o restringir adecuadamente al caso de estudio, sino que adems deben asegurar una rpida convergencia en la solucin [4]-[7].

En [2], [3] esta eleccin no se realiza ya que las funciones base propuestas son de uso indistinto para diferentes formas de conductores.

Por otro lado, en [8]-[10] se han presentado varias propuestas para mejorar la eficiencia computacional en la solucin iterativa de matrices de momentos grandes y densas.

Ms recientemente, en [11] se ha presentado un esquema eficiente para la generacin y solucin de estas matrices usando funciones caractersticas cerradas en vez de las funciones tpicas de expansin y ponderacin.

Con esto en mente, el propsito fundamental de este artculo es presentar algunas funciones cerradas para la diagonal principal de la matriz de momentos que generan diferentes funciones de prueba para la solucin de problemas de lneas de transmisin abiertas de dos conductores. En particular, una de estas funciones es ms til para geometras circulares.

II. EL CONCEPTO BSICOEl fenmeno electromagntico es un evento continuo

representado bien por ecuaciones integrales o bien por ecuaciones diferenciales. Con el fin de que el modelo matemtico sea manejado eficientemente dentro del ambiente digital de una computadora, el evento debe convertirse a una forma matricial discretizada o a alguna otra representacin discreta. Esta discretizacin se obtiene al hacer una particin geomtrica de la regin en estudio. Muchas de las tcnicas numricas electromagnticas discretizan o segmentan a esta regin en polgonos pequeos (diferenciales), si la regin es

L

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 4, NO. 6, DECEMBER 2006 385

una superficie, o en tetraedros, si la regin es un volumen. No obstante lo anterior, dentro de estas particiones geomtricas el evento siempre permanece continuo. Por otro lado, puesto que cualquier tipo de lnea de transmisin es realmente una estructura tridimensional que se modela usando una distribucin de carga superficial, esta debe analizarse utilizando una simulacin tridimensional completa. Sin embargo, si la lnea se supone infinitamente larga, con un corte transversal uniforme y con un dielctrico homogneo entre las cintas o conductores, entonces es posible obtener buenos resultados si se lleva a cabo un anlisis bidimensional usando una discretizacion de su contorno por segmentos de arco que estn conformados por distribuciones de carga lineal. Queda claro de esta manera que las distribuciones de carga lineal, superficial y volumtrica, correspondientes a las diferentes segmentaciones fsicas, son en realidad las fuentes de los campos elctrico y potencial estticos. Para una distribucin de carga lineal, el campo elctrico vectorial E y el campo potencial escalar estn dados respectivamente por [12]

31 d

4l l

RU

SH RE , (1)

1 d4

l lR

UM SH (2)

donde es la permitividad del medio, es la densidad de carga lineal, es el vector de posicin que conecta los puntos de fuente con el punto de campo, es el diferencial de lnea y es la distancia entre los puntos de fuente y campo en una regin bidimensional o tridimensional.

H lUR

dlR

Las soluciones de (1) y (2) para una carga lineal que se extiende de f a f [12], estn dadas por

2lEUU

SHU

, (3)

ln2

lU EM SH D

(4)

donde es la coordenada radial cilndrica y D y U E son dos puntos distintos en esta direccin radial, siendo D de (4) el mismo que en (3). U

As, si la carga lineal se considera como una sucesin de cargas puntuales que se extiende al infinito (equivalente bidimensional), entonces los siguientes campos generalizados pueden ser usados para un anlisis bidimensional:

21 d

2s s

RU

SH RE , (5)

1ln d

2 sR sM U

SH (6)

donde R U para (5), R ED para (6) y sU es la densidad de carga superficial.

Estos campos son las representaciones bidimensionales, para una distribucin de carga lineal, obtenidas de sus soluciones.

En (2) la funcin de potencial de Green est dada por

''

1,

4 -G

SHr r

r r (7)

mientras que en (6) est dada por [13]

0'

'

-ln,

2r

G rSH

r r

r r (8)

donde 'R r r y , el cual comnmente se toma como la

unidad, define la referencia de potencial cero.

0r

En ambas expresiones (5) y (6), la segmentacin puede ser suficientemente pequea como para convertir el rea diferencial ds en un punto. Esta particin se efecta sobre las superficies conductoras de la geometra en estudio y puede ser hecha con polgonos muy pequeos (rectngulos o cuadrngulos de longitud unitaria que al ser vistos en seccin transversal se observa que son los segmentos de arco que forman el contorno de dicha geometra). Si para una determinada lnea de transmisin de cintas gemelas cada una de las cintas se divide en reas pequeas (subsecciones de ancho

n

n

j' y longitud unitaria) con una densidad de carga

constante, entonces el campo potencial puede obtenerse de (6) al usar la siguiente sumatoria:

22

1 1

ln d2

nnj

iji jj j j

qR s q A'

M SH'

ij (9)

donde

js

j

q U

', (10)

1 ln d2

ijijj

A R s' SH'

(11)

y ' denota una integral de superficie.

Para reas muy pequeas, la de (11) puede

considerarse como una constante (

ijR

2 2ijR x h y k , en coordenadas rectangulares) y por tanto se puede desplazar fuera de las integrales para dar

ln

2ij

ij

RA

SH. (12)

Ahora bien, cuando los puntos de campo y fuente se

386 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 4, NO. 6, DECEMBER 2006

encuentran en el mismo lugar, existen algunos inconvenientes para evaluar (9) debido a que los trminos propios iiA no se pueden obtener eficientemente ni por medio de (11), ni a travs del calculo directo con la expresin cerrada dada por (12), ya que . Bajo estas condiciones, (11) se

integra directamente considerando la singularidad como se propone en [14], [15]. El integrando se genera por una aproximacin de segmento de arco en la que se alinea un elemento rectilneo de una cinta o banda (un lado de una barra rectangular formada con un segmento de arco) con uno de los ejes de una grfica plana rectangular (real o compleja). As, la doble integracin y su resultado quedan dados por

0ij iiR R

2''

0 0 00ln d d ln 1.5

2

i iiix xx x i

r r

' ' '' SH

(13)

donde , que usualmente se toma como la unidad, define la referencia cero para el potencial. As pues,

0r

> @ 1ln 1.52

iiiA i ' SH, (14)

donde es un factor de escala constante dado por el ancho (valor numrico) de las subreas de longitud unitaria o por el dimetro de los alambres conductores de longitud unitaria que forman las fronteras conductoras.

i'

Este sin embargo, no es el nico valor posible para los trminos propios y otros valores viables y diferentes se pueden obtener para la doble integral, dependiendo de cual variable se usa para la primera integral, de donde se eligen el origen y el valor de y de donde se alinean los elementos rectilneos. Los siguientes son algunos ejemplos:

0r

' 2'0 0 00

ln d d ln 1.52

i iiix x

i x x

r r

' ' '' SH

(15)

dando

> @ 1ln 1.52

iiiA ' SH (16)

2''

0 0 00ln d d ln 1.5

2 2 2

i iiix x

ix xr r

' ' '' SH

(17)

dando

1ln 1.52 2iii iA ' SH (18) y

2''

0 0 00ln d d ln 2 1.5

2 2

i iiix xx x

r r

' ' '' SH

(19)

dando

> @ 1ln 2 1.52

iiiA ' SH (20)

La variacin de (16) con i' para y rH efH (como la de una

microcinta) se muestra en la Fig. 1. El intervalo de i' ha sido establecido intencionalmente desde valores grandes negativos hasta valores grandes positivos (que no corresponden a valores prcticos del ancho de una cinta), con el fin de visualizar una grfica completa de (16).

-5 0 5-2

0

2 x 1010

Parte real de (16)

'i

A ii

-5 0 5-2

0

2 x 1011

Parte imaginaria de (16)

'i

A ii

-5 0 5-5

0

5 x 1011

Parte real de (16)

'i

A ii

-5 0 5-5

0

5 x 1011

Parte imaginaria de (16)

'i

A ii

Fig. 1. Variacin de (16) con i' para y . Se considera una microcinta

segmentada en 100 secciones con y .

rH efH

2.2rH 0.07874 cmH

La expresin dada por (16) converge rpidamente (pocas secciones) para lneas de cinta planas, pero no suficientemente rpido para lneas de cinta de arco circular, como se ver en la siguiente seccin. En vez de esa ecuacin, otra expresin alternativa para los trminos propios, que fue empricamente obtenida y que es til para ambas, las lneas de cinta planas y las de arco circular, es la siguiente:

DUEAS JIMNEZ : A SIMPLE LINE CHARGE TECHNIQUE 387

2

lnln 1.5

2

i

iiiA

'

'

SH

(21)

En esta expresin, la solucin para se da en trminos de

la funcin W de Lambert i'

expZ W W [16]. La variacin de (21) con para y i' rH efH se muestra en la

Fig. 2. En esta figura se puede notar que adems de en cero, (21) tiene otras dos singularidades en 1.5 y 2.5. stas, sin embargo, pueden ser despreciadas ya que tpicamente el ancho de una microcinta prctica genera un menor que 1.5. i'

-5 0 5

-5

0

5

x 1010

Parte real de (21)

'i

A ii

-5 0 5

-2

0

2

x 1010

Parte imaginaria de (21)

'i

A ii

-5 0 5-1

0

1 x 1011

Parte real de (21)

'i

A ii

-5 0 5

-2

0

2

x 1010

Parte imaginaria de (21)

'i

A ii

Fig. 2. Variacin de (21) con para y . Se considera una microcinta

segmentada en 100 secciones con y .

i' rH efH

2.2rH 0.07874 cmH

Si se usa (16), entonces y como se muestra en [15], los elementos propios y mutuos de la matriz > @A se pueden expresar como

>ln 1.52

iiiiA

' '

SH@ (22)

ln2

iij ijA R

'

SH (23)

y la carga por unidad de longitud se obtiene de la solucin de

lQ

> @ > @ > @1s A BU (24)

donde los elementos de > @B son los potenciales sobre las cintas y dl sQ lU .

Por el contrario, si se usa (21), entonces y como se muestra en [14], los elementos mutuos de la matriz > @A se expresan mediante (12) y la carga por unidad de longitud se obtiene directamente de la solucin de

> @ > @ > @1lQ A B (25) As, la capacitancia por unidad de longitud estar dada por

ll

d

QC

V (26)

donde es la diferencia de potencial entre las cintas. dVY la impedancia caracterstica quedar dada por

01

f l d

Zv C V

(27)

donde fv es la velocidad de fase en el medio dielctrico.

Toda esta idea bsica es en esencia el mtodo de momentos en su ms simple interpretacin [15], [17].

III. ALGUNAS GEOMETRAS CIRCULARESSlo unas pocas ecuaciones diferenciales o integrales que

representan estructuras con formas simples y cierto grado de simetra tienen una solucin analtica. En su mayora, las geometras complejas involucran un modelo matemtico que debe ser resuelto numricamente. Una geometra simple tpica es aquella de un cable coaxial. El modelo de esta estructura se complica cuando se incluyen dos ranuras en su geometra. En [18] se obtiene una solucin analtica al problema de esta lnea coaxial ranurada a travs de la distribucin de carga en los conductores y de la distribucin de potencial en las regiones ranuradas. Usando expresiones variacionales, en dicho trabajo se generan un lmite inferior y un lmite superior para estimar la impedancia caracterstica real de un segundo tipo de modo TEM.

Estas expresiones son como sigue.

Lmite superior:

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21

2 3 2 21

0 21, 3, ... 41

11920 4

n

n PP Pn P

Zn PP

f

S

(28)

donde

21 2P S D

D

, (29)

22 cosP n , (30)

22 2

1, 3, ... 4 13

1 222 21, 3, ... 4 1

4

4

n

n

P

nP n PP

nP P

P n P

f

f

S

S

(31)

y donde

4 1 coth lnb

P na

(32)

y es el semingulo de la ranura. DLmite inferior:

0 2

5 3 21, 3, ...

296sin

1.5 lnn

ZnP

n

f

D

D D

(33)

donde

5 coth ln 1b

P na

. (34)

La Fig. 3 muestra la geometra empleada para obtener estas expresiones. Como se puede observar, se aprovech la simetra para analizar slo la mitad de la estructura.

Si el radio va disminuyendo hasta que el conductor interno es absorbido por el plano conductor (Fig. 3(b)), entonces , y la estructura de lnea coaxial ranurada se transforma en una lnea de cinta de arco semicircular (Fig. 3(c)) que a travs de la teora de imgenes es finalmente convertida en una lnea de cinta de arco circular convexo en espejo (Fig. 3(d)).

a

4 2P 5 0P

TABLA I LNEA DE CINTA DE ARCO CIRCULAR CONVEXO EN ESPEJO

MoM usando (16)

MoM usando (21)

Valormedio de

(28) y (33) con

4 2P y

5 0P

Semi-ngu-lo de la ra-

nura ( )D

No.desec-cionesangu-lares de 0.125 cada una

0Z 0Z 0Z

20 1120 59.1694 59.3755 61.6745 40 800 84.4633 85.1492 84.9616 60 480 114.7589 117.8547 112.6431 80 160 202.6294 181.1187 158.6691

La tabla I muestra los resultados obtenidos usando (16) y (21) y el valor medio de (28) y (33) ( ,4 2P 5 0P ) para una lnea de cinta de arco circular convexo en espejo como la de la Fig. 3(d) ( 0.001225r , ), cuando se consideran cuatro ngulos de ranura diferentes. El nmero de segmentos se eligi para mantener un incremento angular constante de 0.125 y

1.0rH

i' fue establecido como unitario. Numricamente,

i' se define como la razn del ancho de la cinta a dos veces el nmero de subsecciones, y como se mencion antes, para una microcinta o lnea de cintas planas gemelas, i' puede tomar cualquier valor que corresponda a valores prcticos del ancho de una cinta. Puesto que en una lnea de cinta de arco circular convexo, el ancho de la cinta depende de su arco, entonces, como se dijo antes, puede ser establecido como unitario.

i'

r b

Fig. 3. (a) Una mitad de una lnea coaxial ranurada. (b) Retraccin del conductor interno. (c) Lnea de cinta de arco semicircular. (d) Lnea de cinta de arco circular convexo en espejo.

En la Fig. 4 se presentan grficas de los resultados obtenidos de (16), (21) y el valor medio de (28) y (33), para un espacio de muestro ampliado. Respectivamente, la

0 MM r a D A fA f

0M PlanoConductor

(a)

r b

A fPlanoConductor

D0 MM

A f0M

(b)

r b

D

Plano de Tierra

(c)

r b

(d)

DUEAS JIMNEZ : A SIMPLE LINE CHARGE TECHNIQUE 389

impedancia caracterstica promedio en cada una de estas curvas es de 108.9517 , 105.8694 y 101.4755 .Asimismo respectivamente, los intervalos de confianza bilaterales al 99% para cada una de estas curvas, se encuentran entre 96.0537 y 121.8496 , entre 94.8999 y 116.8388 y entre 92.5665 y 110.3845 . Como se puede observar, esto se debe a que la curvas obtenidas de (21) y del valor medio de (28) y (33) tienen un comportamiento suave, mientras que la curva obtenida de (16) muestra mltiples desviaciones respecto a este comportamiento montono.

20 30 40 50 60 70 8050

100

150

200

250

300

D (Grados)

Zo (:

)

Ec. (16).Ec. (21).Valor medio de (28) y (33).

Fig. 4. Curvas de la impedancia caracterstica de una lnea de cinta de arco circular convexo en espejo, obtenidas cuando se usan (16), (21) y el valor medio de (28) y (33) para valores de entre 20 y 40. D

La tabla II muestra el mismo ejemplo que en la Tabla I pero con un nmero mayor de segmentos para las ranuras ms grandes de 60 y 80. La comparacin de estos resultados con los de la Tabla I muestra que los cambios en la impedancia caracterstica son despreciables cuando se usa (21), mientras que estos mismos cambios son de considerable magnitud, principalmente para 80, cuando se usa (16). Con esto se demuestra que para este tipo de lneas circulares y principalmente para ranuras grandes, (21) converge ms rpidamente que (16).

TABLA II LNEA DE CINTA DE ARCO CIRCULAR CONVEXO EN ESPEJO (MS SECCIONES)

MoM usando (16)

MoM usando (21)

Valormedio de

(28) y (33) con

4 2P y

5 0P

Semi-ngu-lo de la ra-

nura ( )D

No.desec-cionesangu-lares

de dife-rente tama-

o

0Z 0Z 0Z

20 1120 59.1694 59.3755 61.6745 40 800 84.4633 85.1492 84.9616 60 960 118.9992 118.9681 112.6431 80 640 187.3095 185.4393 158.6691

La tabla III muestra los resultados obtenidos usando (16) y (21) para una lnea de cinta de arco circular cncavo en espejo como la de la Fig. 5(a) ( , ), cuando se

consideran tambin cuatro ngulos de ranura diferentes y cuando similarmente el nmero de segmentos se eligi para mantener un incremento angular constante de 0.125 y

0.001225r 1.0rH

i' se estableci como unitario. Aqu una vez ms, los resultados muestran que, para ranuras grandes, (21) requiere menos iteraciones para generar valores correctos.

TABLA III LNEA DE CINTA DE ARCO CIRCULAR CNCAVO EN ESPEJO

MoM usando (16)

MoM usando (21)

Semi-ngu-lo de la ra-

nura ( D )

No.desec-cionesangu-lares de 0.125 cada una

0Z 0Z

20 1120 92.8150 92.8457 40 800 103.5160 103.8530 60 480 123.1552 125.5230 80 160 202.8708 182.0842

r b

Fig. 5. (a) Lnea de cinta de arco circular cncavo en espejo. (b) Lnea de cinta de arco semicircular invertido.

La tabla IV muestra los resultados obtenidos usando (16) y (21) para lnea de cinta de arco semicircular invertido como la de la Fig. 5(b) ( , ), una vez ms cuando se consideran cuatro ngulos de ranura diferentes y el nmero de segmentos se eligi para mantener un incremento angular constante de 0.125 con

0.001225r 1.0rH

i'establecido como unitario.

Por ultimo para comparacin, en la tabla V se repiten los resultados obtenidos para la lnea de cinta de arco semicircular invertido. En esta tabla los resultados usando

r b

(a)

(b)

390 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 4, NO. 6, DECEMBER 2006

(21) se presentan dos veces, primero como en la tabla IV y luego cuando la lnea se considera como una lnea de cintas planas gemelas. El ancho de las placas se calcula para el arco circular que resulta de la substraccin del ngulo de la ranura a 180.

TABLA IV LNEA DE CINTA DE ARCO CIRCULAR INVERTIDO

Semi-ngu-lo de la ra-

nura ( )D

No.desec-ciones

angu-lares de 0.125 cada una

MoM usando (16)

MoM usando (21)

0Z 0Z

20 1120 77.8885 77.9810 40 800 94.5421 95.0327 60 480 119.0719 121.7851 80 160 202.7503 181.6031

TABLA V LNEA DE CINTA DE ARCO SEMICIRCULAR INVERTIDO

COMPARADA CON UNA LNEA DE CINTAS PLANAS GEMELASMoM usando

(16) MoM usando

(21) Semin-gulo de la ranura ( )ng.D

[(ng.)/180]rPlacas con una separacin de

0.00245/2

0Z 0Z

20(140) 0.299325 (e-2) 77.7008 77.9810 40(100) 0.213803 (e-2) 94.4678 95.0327 60( 60) 0.128282 (e-2) 122.2609 121.7851 80( 20) 0.042761 (e-2) 186.4381 181.6031

IV. CONCLUSINSe ha presentado un procedimiento sencillo para analizar

lneas de transmisin abiertas circulares de dos conductores. La eficacia de la tcnica se ha probado con la solucin numrica de tres problemas diferentes que involucran estructuras de forma circular. Una ecuacin cerrada, que es ms apropiada para geometras circulares, se ha usado para la generacin de los trminos propios de la matriz del mtodo de momentos. Se ha usado tambin, como comparacin, una solucin analtica para confirmar los resultados numricos en uno de los ejemplos.

V. REFERENCIAS[1] C. Hafner, The Generalized Multipole Technique for Computational

Electromagnetics, Artech House, 1990. [2] C. Wei, R. F. Harrington, J. R. Mautz and T. P. Sarkar, Multiconductor

transmission lines in multilayered dielectric media, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-32, pp. 439-450, Apr. 1984.

[3] J. Venkataraman, S. M. Rao, A. R. Djordjevi, T. P. Sarkar and Y. Naiheng, Analysis of arbitrarily oriented microstrip transmission lines in arbitrarily shaped dielectric media over a finite ground plane, IEEETrans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-33, pp. 952-959, Oct. 1985.

[4] S. Caorsi, G. L. Gragnani, and M. Pastorino, Use of redundant testing functions in moment-method solutions for block models, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-41, pp. 305-310, Feb. 1993.

[5] M. I. Aksun and R. Mittra, Choices of expansion and testing functions for the method of moments applied to a class of electromagnetic

problems, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-41, pp. 503-509, Mar. 1993.

[6] R. A. Kipp and C. H. Chan, A numerically efficient technique for the method of moments solution for planar periodic structures in layered media, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-42, pp. 635-643, Apr. 1994.

[7] I. Park, R. Mittra, and M. I. Aksun, Numerically efficient analysis of planar microstrip configurations using closed-form Greens functions, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-43, pp. 394-400, Feb. 1995.

[8] V. V. S. Prakash and R. Mittra, An efficient technique for the iterative solution of large dense matrices arising in method of moments simulation of MMIC problems, IEEE MTT-S Int. Symp., Dig., vol. 3, June, 2002, pp. 2041-2044.

[9] Raj Mittra, V. V. S. Prakash and S. J. Kwon, An improved iterative solution for method of moments problems in electromagnetics, in Proc. IEEE AP-S Symp., vol. 4, June 2002, pp. 622-625.

[10] R. Mittra, V. V. S. Prakash, J-F Ma, S. P. Benham and J. A. Lord, MNM A novel technique for the iterative solution of matrix equations arising in the method of moments formulation, IEE Proc. Science, Measurement and Technology, vol. 149, pp. 246-249, Sep. 2002.

[11] J. Yeo, S. Kksoy, V. V. S. Prakash, and R. Mittra, Efficient generation of method of moments matrices using the characteristic function method, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 52, pp. 3405-3410, Dec. 2004.

[12] W. H. Hayt, Engineering Electromagnetics, New York: Mc-Graw Hill, 1981.

[13] R. E. Collin, Field Theory of Guided Waves, New York: Mc-Graw Hill, 1960.

[14] P. P. Silvester and R. L. Ferrari, Finite Elements for Electrical Engineers, Cambridge: Cambridge University Press, 1983.

[15] M. N. O. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, Boca Raton: CRC Press, 1992.

[16] R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey, and D. E. Knuth, On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, vol. 5, pp. 329-359, 1996.

[17] R. F. Harrington, Field Computation by Moment Methods, New York: Macmillan, 1968.

[18] M. N. O. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, Boca Raton: CRC Press, 1992.

VI. BIOGRAFAAlejandro Dueas Jimnez (S83-M97) naci en Mixtln, Jalisco, Mxico, el 11 de Mayo de 1957. En 1979 termin la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrnica en la Universidad de Guadalajara, Guadalajara, Jalisco, Mxico. En 1984 y 1993 recibi respectivamente los grados de Maestro en Ciencias y Doctor en Ciencias en Telecomunicaciones y Electrnica por parte del Centro de Investigacin Cientfica y de Ecuacin Superior de Ensenada (CICESE), Ensenada, Baja California, Mxico.

De 1984 a 1994 fue Profesor Titular B en el Centro Universitario de Ciencias Bsicas de la Universidad de Colima, Colima, Mxico. En 1989 fue Investigador Visitante en el LEMA, Dpartement dElectricit, cole Politechnique Fdrale de Lausanne, Lausanne, Vaud, Switzerland. De 2001 a 2002 fue Investigador Invitado en el National Institute of Standards and Technology (NIST), Department of Commerce, Boulder, Colorado, U. S. A. Actualmente es Profesor Titular C en el Departamento de Electrnica, Universidad de Guadalajara, Guadalajara, Jalisco, Mxico. Su inters profesional incluye el anlisis y la sntesis de redes de microondas, la instrumentacin y la medicin en altas frecuencias y el modelado matemtico para la enseanza de las microondas.

DUEAS JIMNEZ : A SIMPLE LINE CHARGE TECHNIQUE 391

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