5. Cuantificadores Anidados y Alcance de Un Cuantificador

Cuantificadores Anidados

Lógica 2Mtro. Cristian A. Gutiérrez Ramírez

Hasta ahora

� Hasta ahora hemos formalizado oraciones que contienen sólo un cuantificador. Por ejemplo: Todos los perros son mamíferos.

� Dominio de Discurso los seres vivos.

� Diccionario: Px: x es perro, P’x: x es mamífero.

� Formalización: ∀x(P(x) ⊃ P’(x))

Ejemplos de oraciones que requieren

dos o más cuantificadores para ser

formalizadas.

� Todos aman a alguien.

� Alguien ama a todos.

� Alguien es amados por todos.

� Todos los filósofos y todos los

historiadores son odiados por alguien.

� Algunos físicos y algunos matemáticos

se aprecian entre sí.

Alcance de un cuantificador

� Para poder trabajar con cuantificadores es

necesario aprender la noción de alcance de un

cuantificar.

� El alcance de un cuantificador es pedazo de la

fórmula al que el cuantificador afecta.

� Por ejemplo en la fórmula ∀x(P(x) ⊃ P’(x)), el

cuantificador universal tiene alcance hasta

donde se está el paréntesis derecho (es decir,

prácticamente toda la fórmula).

Alcance de un cuantificador (2)

� En el ejemplo anterior es fácil determinar cuál es el alcance del cuantificador universal por dos razones: 1) afecta a toda la fórmula y 2) sólo hay un cuantificador. Veamos otros ejemplos:

� 1) ∀xP(x) ⊃ P’(x)

Aquí el alcance es sólo la Px, pues no hay paréntesis, esto quiere decir que el cuantificador no está relacionado con el consecuente de del condicional que es P’x.


� 2) ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))

Aquí hay dos cuantificadores, cada uno con su propio alcance.

El cuantificador universal tiene como alcance desde el primer paréntesis izquierdo (el que está inmediatamente después de él) hasta el último paréntesis derecho (que es el que cierra el primer paréntesis izquierdo).

El cuantificador existencial tiene como alcance la fórmula que está entre el paréntesis izquierdo que está después del cuantificador y el penúltimo paréntesis derecho (es decir la fórmula que está inmediatamente después de él.)


� Como puede verse en el ejemplo anterior, dos cuantificadores pueden compartir su dominio de influencia. De hecho, uno de ellos (el de menor alcance) tendrá como alcance un pedazo del alcance del otro. Es como si uno fuese el rey y el otro un duque. Los dominios del primero contienen a los dominios del segundo.


� Ahora bien, ¿qué es el alcance de un

cuantificador? y ¿para qué sirve identificarlo?

� El alcance de un cuantificador es la fórmula

que está escrita inmediatamente después de

él. Una forma de identificarlo es reconstruir la

fórmula con las reglas de formación y observar

a que fórmula se le aplica la regla 4 que le

pega el cuantificador, dicha fórmula es el

alcance del cuantificador.


� En nuestro ejemplo:

� ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)), para obtener está fórmula

debemos aplicar la reglas de form. 4 a la

fórmula (P’(x’) & R2(x,x’)), por lo que dicha

fórmula es su alcance.

� Ahora para obtener la fórmula ∀x(P(x) ⊃

∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))), debemos hacer los

mismo pero para la fórmula (P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) &

R2(x,x’))), es su alcance.


� Ya sabemos cuál es el alcance de un cuantificador, pero ¿para qué nos sirve conocerlo?

� Bueno el alcance de un cuantificador nos permite decir con que variables estárelacionado nuestro cuantificador. Hay que recordar que el cuantificador se relaciona con la variables que son iguales a la que tiene después de él, pero sólo se puede relacionar con las variables que están en su alcance.


� Por lo antes dicho, si tengo un cuantificador seguido de la variable x, este cuantificador sólo se puede relacionar con las variables x que están en su dominio. Por ejemplo:

∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))

En está fórmula, el cuantificador universal sólo se puede relacionar con la variable x que aparece en Px, pues su dominio sólo es Px. No puede relacionarse con la x que aparece en R2(x,x’) pues está fórmula está más allá de su alcance.


� Cuando una variable no está ligada (relacionada) con ningún cuantificador, decimos que es una variable libre y entonces la fórmula en la que aparece no tiene un significado bien determinado.

� Por ejemplo, la fórmula Px, no dice si todos tiene la propiedad P o si la tiene alguien, en realidad es una fórmula que no dice nada.

� Para que una fórmula tenga un significado, no debe tener variables libres.

Ejercicio 1: Determine el alcance de los

cuantificadores que aparecen en la siguientes

fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué

cuantificadores y cuáles son variables libres.

� ∀x(P(x) ⊃ P’(x’))

� ∀xP(x) ⊃ ∃x’P’(x’)

� ∀xP(x) ⊃ ∃x’R2(x,x’)

� ∀x(P(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))

� ∀xP(x) ⊃ ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’))

� ∃x((P(x) & P’x’) ∃x’(P’(x’) & R2(x,x’)))

� ∃x(P(x) & ∀x’(P’(x’) ⊃ (x=x’)))


� Las cosa no siempre son tan simple podemos tener la siguiente fórmula ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) &R2(x,x)))

� Es fácil ver que es una fórmula y que el alcance del cuantificador universal es (P(x) ⊃∃x(P’(x) & R2(x,x))) y que el alcance del cuantificador existencial es x(P’(x) & R2(x,x)).

� El problema es que ambos cuantificadores están relacionados con la misma variable, en este caso x.

� ¿Qué sucede en estás situaciones?


� Primero que nada debemos decir que

ninguna variable puede estar

relacionada con más de un

cuantificador, son muy fieles. Pero

entonces ¿con quién se quedan? ¿con

el cuantificador de mayor alcance o con

el cuantificador de menor alcance? ¿con

el rey o con el conde?


� Resulta que se quedan con el cuantificador de

menor alcance, el que tienen más cerca (se

quedan con el conde, les gustan las relaciones

más cercanas).

� Así en nuestro ejemplo: ∀x(P(x) ⊃ ∃x(P’(x) &

R2(x,x))) El cuantificador universal sólo se

relaciona con la x de Px y el existencial con

todas las x en la fórmula (P’(x) & R2(x,x))

Ejercicio 2: Determine el alcance de los

cuantificadores que aparecen en la siguientes

fórmulas y diga qué variables están ligadas con qué

cuantificadores y cuáles son variables libres.

� ∀x(P(x) ⊃ ∃xP’(x))

� ∀xP(x) ⊃ ∃xP’(x)

� ∀x(P(x) ⊃ ∃xR2(x,x))

� ∀xP(x) ⊃ ∃x(P’(x’) & R2(x,x))

� ∃x((P(x) & P’x’) ∃x(P’(x) & R2(x,x’)))

� ∃x(P(x) & ∀x(P’(x) ⊃ (x=x)))

Cuantificadores Anidados

� Ahora que conocemos las nociones de

alcance de cuantificadores y de

variables libres entendemos cuáles

variables están relacionadas con cuáles

cuantificadores.

� Es tiempo de ver cómo nos sirve esto

para formalizar oraciones que requieran

de más de un cuantificador.

Cuantificadores Anidados (2)

� Retomemos un ejemplo:

Todos aman a alguien.

� Dominio de discurso: los seres humanos

� Diccionario: R2xy: x ama a y.

� Formalización: ∀x∃x’R2(x,x’)

� La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso ama a algún ser humano.


� Otro ejemplo:

Todos son amados por alguien.



� Formalización: ∀x∃x’R2(x’,x)

� La fórmula dice que cualquier sujeto del dominio de discurso es amado por algún ser humano.


� Otro ejemplo:

Alguien ama a todos.



� Formalización: ∃x∀x’R2(x,x’)

� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a todos los seres humanos.


� Otro ejemplo:

Alguien es amados por todos.



� Formalización: ∃x∀x’R2(x’,x)

� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que es amado por todos los seres humanos, o bien, que todos los seres humanos aman a ese alguien.


� Otro ejemplo:

Todos aman a todos.



� Formalización: ∀x∀x’R2(x,x’)

� La fórmula dice que todo sujeto del dominio de discurso ama a todos los seres humanos.


� Otro ejemplo:

Alguien ama a alguien.



� Formalización: ∃x∃x’R2(x,x’)

� La fórmula dice que hay un sujeto del dominio de discurso que ama a algún ser humano.


� Un ejemplo más complicado:

Todos los filósofos y todos los historiadores son odiados por alguien.


� Diccionario: Px: x es filósofo, P’x: x es historiador, R2xy: x odia a y.

� Formalización: ∀x((P(x) ∨ P’(x)) ⊃ ∃x’R2(x’,x))

� La fórmula dice que si cualquier sujeto es o bien filósofo o bien historiador, es odia por alguien.


� Un ejemplo más complicado:

Algunos físicos y algunos matemáticos se aprecian entre sí.


� Diccionario: Px: x es físico, P’x: x es matemático, R2xy: x aprecia a y.

� Formalización:

∃x∃x’((P(x) ∧ P’(x)) ∧ (R2(x,x’) ∧ R2(x’,x)))

� La fórmula dice que hay por lo menos un físico y un matemático tales que el primero aprecia al segundo y viceversa.

Formalicemos 1:

� Todos amamos a alguien que no nos ama.

� Alguien que es amado por todos es muy afortunado.

� Si alguien odia a todos, tiene un problema mental.

� Todos los amigos de María aman a alguien.

Formalicemos 2:

� Si alguien es borracho, todos somos borrachos.

� Hay alguien que si es borracho, todos somos borrachos.

� Si todos somos borrachos, entonces hay alguien borrachos.

� Hay alguien que si todos son borrachos, entonces él es borracho.

Gracias

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