5-relacion equivalencia
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Estructuras
Discretas I
Relación
Equivalencia
Universidad Nacional San Agustín
Dra. Norka Bedregal
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RE
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Dra. Norka Bedregal2
Relación de equivalencia
Sea R una relación en un conjunto A. R es de equivalencia si, y sólo si es:
• reflexiva,
• simétrica,
• transitiva
En esta sección se estudian las relaciones de equivalencia, las cuales
permiten agrupar en conjuntos disjuntos los elementos que tienen
características o propiedades en común.
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Dra. Norka Bedregal3
Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto
RE
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Dra. Norka Bedregal4
Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto
mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases
de equivalencia.
Se llama partición de un
conjunto A, a todo
conjunto de subconjuntos
no vacíos, disjuntos dos a
dos, de modo que la unión
de dichos conjuntos
formen el conjunto A.
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Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.
R= {(x, y) / x,y ∈∈∈∈ H ^ "x es compatriota de y"}
� R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo.
� R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x".
� R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
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Definición (Módulo)
Sea a un entero y n un entero positivo, “a mod n” representa el residuo de a
divido por n.
La forma de definir el residuo de “a mod n” es un entero r tal que
a = q n + r con 0≤ r <n.
Ejemplos:
� 17 mod 5 = 2 porque 17 = 3*5 + 2
� -133 mod 9 = 2 porque -133 = -15*9 + 2
Ejemplo
Considere la siguiente relación en :
R es una relación de equivalenciaRE
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Dra. Norka Bedregal7
R es reflexivaSea .
Puesto que , concluimos que
R es simétrica
De esta forma . Por lo tanto
Supongamos que
Entonces es decir,
Por lo tanto
Como se tiene que .
Luego podemos concluir que
Así . Por lo tanto es simétrica RE
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Dra. Norka Bedregal8
R es transitiva
Supongamos que .
Entonces y
.
Es decir
Por lo tanto
Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores tenemos que
Es decir,
Como , se tiene que .RE
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Luego se puede concluir que
Así , y por lo tanto
La relación de equivalencia se llama congruencia
módulo n.
Clase de equivalencia.
Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada ,
la clase de equivalencia de x con respecto a R es el conjunto definido
como sigue:
Conjunto Cociente
Es el conjunto de clases de equivalencia. Se denota A/R
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Dra. Norka Bedregal10
Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.
R= {(x, y) / x,y ∈∈∈∈ H ^ "x es compatriota de y"}
� Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada
por sus compatriotas.
� El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por
todas las clases de equivalencias.
� H/R es una partición de H.
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Ejemplo:
Considérense las siguientes relaciones de equivalencia en
Dado , se tiene que:
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Dra. Norka Bedregal12
Ejemplo:
Considere la relación de equivalencia congruencia módulo 5.
Dado , se tiene que:
Es decir, la clase de equivalencia del entero a es el conjunto de números y
para los cuales la diferencia es un múltiplo de 5. Así, por ejemplo,
RE
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Como se observa en este ejemplo,
conjunto de números con residuo 0 cuando se dividen por 5.
conjunto de números con residuo 1cuando se dividen por 5.
conjunto de números con residuo 2 cuando se dividen por 5.
conjunto de números con residuo 3 cuando se dividen por 5.
conjunto de números con residuo 4 cuando se dividen por 5.
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Dra. Norka Bedregal14
Además, se tiene que
En general para todo para algún .
Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos cinco
conjuntos.
Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos n
conjuntos.
Por lo tanto la colección de las clases de equivalencia de la relación
congruencia módulo n es una partición de con n elementos
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Dra. Norka Bedregal15
Teorema
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto
Entonces
Ejemplo:
Para la relación de equivalencia congruencia módulo n:
Se tiene que,
Donde
Esto quiere decir, que la relación de congruencia módulo n particiona en n
subconjuntos o bloques.
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Dra. Norka Bedregal16
Teorema
Sea una partición en A. La relación
es de equivalencia en A.
Ejemplo:
Considere una partición de .
Sea R la relación de equivalencia inducida por entonces
De esta forma,
Puesto que para ,se tiene que
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Dra. Norka Bedregal17
Los últimos dos teoremas muestran como:
•Si es una partición del conjunto A, la relación de equivalencia
inducida por define como “equivalentes” dos elementos x, y, si y
solamente si ellos están en el mismo bloque de la partición.
•Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A, la partición
inducida por R “coloca” dos elementos x, y en el mismo bloque si y
solamente si ellos son equivalentes
Teorema
Sea una partición de un conjunto A y R una relación de
equivalencia en A. Entonces es la partición inducida por R si y
solamente si R es la relación de equivalencia inducida por
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Dra. Norka Bedregal18
Ejercicio 1.-
¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?
� R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},
� donde S = {a / a es cualquier persona}
� S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es
congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo
resto al ser divididos por 2.
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Dra. Norka Bedregal19
Ejercicio 2.-¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?
R = {(a, b)/ a R b sí y sólo sí a y b viven en Medellín}, donde S = {a / a vive en Medellín}.
R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona}.
R = {(a, b)/ a y b tienen un pariente común}, donde S = {a / a es cualquier persona }.
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Dra. Norka Bedregal20
Ejercicio 3.-Defina la relación "@ " en Z como m @ n sí y sólo sí m2 = n2. Muestre que @ es una relación de equivalencia en Z . Describa las clases de equivalencia. ¿Cuantas hay?.
Ejercicio 4.-Considere la relación en Z definida como m R n sí y sólo sí m3 - n3 es congruente a 0 (mod 5) ¿ Es una relación de equivalencia?.
Ejercicio 5.-
Sea S un conjunto. ¿ Es la igualdad "=" una relación de equivalencia en S?.
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Dra. Norka Bedregal21
Ejercicio 6.-
Escriba las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo 4.
¿Cuál es el conjunto cociente?.
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Dra. Norka Bedregal22
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