5.3 Campo magnético. Soluciones.pdf
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Septiembre 2011. Cuestin 3A.- Dos conductores rectilneos, paralelos y de longitud infinita,separados una distancia d = 30 cm estn recorridos por corrientes elctricas de igual intensidad I = 2A.
a) Determine la intensidad del campo magntico generado por los dos conductores en el puntomedio de la lnea que los une, en el caso de que las corrientes tengan sentidos contrarios.
b) Determine el mdulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre si estosconductores.
Datos: Permeabilidad magntica en el vaco o = 4107
N A2
.Solucin.a. Utilizando la regla de la mano derecha, se determina la direccin que tendrn los campomagnticos creados por cada conductor en el punto medio
21T BBBrrr
+=
En mdulo: { }d
I2III
2d2
I
2d2
IBBB o21
2o1o21
====+=+=
T1067,21030
1042B 6
2
7
=
=
b. Por ser las corrientes de sentido contrario, las fuerzas entre los hilos sern de repulsin, porunidad de longitud su mdulo es:
16
2
7
21o Nm1067,222
10302
104II
d2
F
=
==
l
Junio 2011. Problema 2A.- Un electrn que se mueve con velocidad v = 5103 m/s en el sentidopositivo del eje X entra en una regin del espacio donde hay un campo magntico uniforme B = 10
2 T
dirigido en el sentido positivo del eje Z.
a) Calcule la fuerza Fr que acta sobre el electrn.b) Determine el radio de la rbita circular que describir el electrn.c) Cul es la velocidad angular del electrn?d) Determine la energa del electrn antes y despus de penetrar en la regin del campo magntico.Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,6010
19
C; masa del electrn = 9,111031
kg.Solucin.a. Segn la ley de Lorentz:
( )BvqFrrr
=
jiBvqkBivqF ee
rrrrr
==
( ) ( ) ( ) j0,1,0
100
001
jji
1,0,00,0,1kir
rrr
rr
====
( ) Nj108j10105106,1F 182319rrr
==
-
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b. Si el electrn describe una trayectoria circular se debe cumplir:
cFFrr
= La nica fuerza que acta sobre el electrn es la que genera el
campo magntico (FB), trabajando en mdulo:
cBFF = ;
R
vmF
2
B=
( )m1085,2
108
1051011,9
F
mvR 6
18
2331
B
2
=
==
c.s
rad1075,1
radm1085,2
sm105
R
v 9
6
3
=
==
d. El trabajo realizado por el campo magntico sobre el electrn es nulo debido a que la fuerza y eldesplazamiento son perpendiculares y por tanto la energa que tiene el electrn es debida a su velocidad
(energa cintica).
( ) J104,11051011,921vm21EE2323312ec ====
Modelo 2011. Cuestin 3A. Una carga puntual Q con velocidad kvv zr
r
= entra en una regin donde
existe un campo magntico uniforme de valor: kBjBiBB zyx
rrrr
++= . Determine:
a) La fuerza que experimenta la carga al entrar en el campo magntico.b) La expresin del campo elctrico que debera existir en la regin para que el vector velocidad de
la carga Q permanezca constante.
Solucin.
a. La expresin para la fuerza experimentada por una carga que se desplaza en un campo magntico
es:
( )BvqFr
rr
=
( )0,vB,vBqBB
00,j
BB
v0,i
BB
v0q
BBB
v00
kji
qF zxzyyxzx
z
zy
z
zyx
z =
==
rr
rrr
r
jvqBivqBF zxzy
rrr
+=
b. Si se pretende que la velocidad de la carga permanezca constante se necesita que la resultante delas fuerzas que actan sobre la carga sea nula, de modo que no exista aceleracin.
0FFR EB =+=rrr
jvqBivqBjvqBivqBFF zxzyzxzyBE
rrrrrr
=+==
Modelo 2011. Cuestin 2B.a) Cul es el mdulo de la velocidad de un electrn que se mueve en presencia de un campo
elctrico de mdulo 4 105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos perpendiculares entre sy, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?
b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico si elmdulo de su velocidad es el calculado en el apartado anterior?
Solucin.a. Para que el electrn no se desve y mantenga su velocidad, la resultante de todas las fuerzas que
actan sobre l debe se nula.
0FFR EB =+=rrr
EB FFrr
=
En mdulo:EB FFrr
= EqsenBvq =
-
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sm102
90sen2
104
senB
Ev
55
=
=
=
b. En el momento que se suprime el campo elctrico, la nica fuerza que acta sobre el electrn esla debida al campo magntico, que es perpendicular a su trayectoria y le hace describir una trayectoria
circular sometido a un movimiento circular uniforme, igualndose la fuerza debida al campo magntico
con la fuerza centrpeta a la que se ve sometido el electrn.
cB FFrr
=
En mdulo:
R
vmsenBvq
2
= m1014,190sen2106,1
104101,9
senBq
vmR 6
19
531
=
=
=
Septiembre 2010. F. M. Problema 2A.-Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por losvrtices de un cuadrado de 50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes I1, I2 e I3circulanhacia dentro del papel.
a) Si I1 = I2 = I3 =10 mA, determine el campo magntico en el vrtice A delcuadrado.
b) Si I1= 0, I2=5 mA e I3= 10 mA, determine la fuerza por unidad delongitud entre los hilos recorridos por las corrientes.
Dato: Permeabilidad magntica del vaco o = 4107 N A2
Solucin.a. El campo magntico en el punto A es la suma vectorial de los campos magnticos que crean cadauno de los hilos conductores en ese punto.
En el esquema se
adjunta la regla de la mano
derecha, las lneas de campo
magntico siguen el sentido degiro de los dedos que rodean al
hilo, conocido el sentido de
giro, se puede determinar la
direccin del campo
magntico generado por cadaconductor en el punto A.
El campo magntico
en el punto A ser la suma
vectorial de los campos que
generan cada uno de los hilos
conductores.
321A BBBBrrrr
++=
El mdulo del campo magntico generado por un hilo conductor en un punto se obtiene mediante
la Ley de Biot y Savart.
i
ioi
d2
IB
=
Para poder establecer la direccin y sentido de los vectores campo magntico, se sitan unos ejes
de coordenadas sobre el punto A y se determina el sentido de giro de las lneas de campo magntico
mediante la regla de la mano derecha
Hilo 1: j104j5,02
1010104jd2IB 9
37
1
1o1
rrrr
=
==
-
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4
Hilo 2: Teniendo en cuenta que el campo magntico creado por el hilo es perpendicular a la
diagonal del cuadrado, el vector forma con el eje x un ngulo de 45.
( ) ( ) ( ) ( )( )j45seni45cosd2
Ij45sen
d2
Ii45cos
d2
IB
2
2o
2
2o
2
2o2
rrrrr
+
=
+
=
2
25,05,0d
222 =+=
j102i102j2
2i
2
2
222
1010104B 99
37
2
rrrrr
=
=
Hilo 3: i104i5,02
1010104i
d2
IB 9
37
3
3o3
rrrr
=
=
=
Conocido el campo generado por cada hilo conductor, se calcula el campo total en el punto A.
j106i106i104j102i102j104BBBB 999999321A
rrrrrrrrrr =++=++=
b. Las fuerzas por unidad de longitud entre los hilos conductores sern de igual direccin y mdulo,y de sentidos opuestos porque las corrientes van en el mismo sentido, por lo tanto, bastar con calcular la
fuerza por unidad de longitud en unos de los cables.BlIFrrr
=
( ) ( )( )==== 0,0,110,0,BlIiBklIBlIF 1221122rrrrr
( ) jBlI0,1,0BlI01
00,
01
10,
00
10BlI 121212
r
==
=
jd2
IIj
d2
IIj
d2
IIjBI
l
F 21o21o1o212
2rrrr
r
=
=
==
mN102j
10502
1010105104
l
F 112
3372
=
=
r
r
Septiembre 2010. F. M. Problema 1B.- En un instante determinado un electrn que se mueve con
una velocidad ( ) smi104v 4r
r
= penetra en una regin en la que existe un campo magntico de valorTj8,0B
rr
= siendo ir
y jr
los vectores unitarios en los sentidos positivos de los ejes X e Y
respectivamente. Determine:
a) El mdulo, la direccin y el sentido de la aceleracin adquirida por el electrn en ese instante,efectuando un esquema grfico en la explicacin.
b) La energa cintica del electrn y el radio de la trayectoria que describira el electrn al moverseen el campo, justificando la respuesta.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,61019 C; Masa del electrn me = 9,1103l kg
Solucin.a. La fuerza que experimenta una carga elctrica
cuando se desplaza con una velocidad v
r
dentro de unaregin donde existe un campo magntico B
r
viene dada
por la expresin:
( )BvqFrrr
=
Aplicando a los datos del enunciado
( ) ( )( ) === 0,1,00,0,1BvqjBivqF eerrr
( ) kBvq1,0,0Bvq eer
==
( ) Nk105,12Nk8,0104106,1F 15419rrr
==
Teniendo en cuenta el segundo principio de la dinmica:
amF
rr
= ; smk1063,5smk1012,5101,9
1
Fm
1
a1515
31
rrrr
===
-
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b. ( ) J1028,7104101,92
1vm
2
1E 22
24312c
===
Al entrar en un campo magntico el electrn describe una trayectoria circular, tal como muestra
la figura, por lo tanto la resultante de las fuerzas que actan sobre la carga (electrn) ser igual a lafuerza centrpeta.
R
vmFF
2
c == : nm284m1084,21012,5
1028,72
F
E2
F
mvR 7
15
22c
2
==
===
Septiembre 2010. F. G. Problema 1A.- En una regin del espacio existe un campo elctrico de3105 N C1en el sentido positivo del eje OZy un campo magntico de 0,6 T en el sentido positivo deleje OX.
a) Un protn se mueve en el sentido positivo del eje OY. Dibuje un esquema de las fuerzas queactan sobre l y determine qu velocidad deber tener para que no sea desviado de su
trayectoria.
b) Si en la misma regin del espacio un electrn se moviera en el sentido positivo del eje OYconuna velocidad de 103 m/s, en qu sentido sera desviado?
Dato: Valor absoluto de la carga del electrn y del protn e = 1,61019 CSolucin.a. Para que el protn se desplace en lnea recta dentro de una regin donde existenun campo elctrico y un campo magntico, las fuerzas generadas por ambos sobre l
deben anularse.
ME FFrr
=
La fuerza que genera el campo elctrico sobre el protn viene dado por:
kEqEqF ppE
rrr
==
Siendo E el mdulo del campo elctrico y q p la carga del protn.
La fuerza que genera el campo magntico sobre el protn viene dado por:( ) ( ) ( )( ) ( ) kBvq1,0,0Bvq0,0,10,1,0BvqiBjvqBvqF pppppBrrrrrr
=====
Siendo producto vectorial, v el mdulo de la velocidad y B el mdulo del campo magntico.
Los vectores generados por los campos elctrico y magntico tienen igual direccin y sentidos
opuestos, para que el protn no vare su direccin de desplazamiento, bebern tener igual mdulo.
BE FFrr
=
sm105
T6,0
CN103
B
Ev:BvqEq 5
15
pp =
===
b. Si el electrn se desva al entrar en la regin del apartado anterior, ser debido aque la resultante de las fuerzas que actan sobre el no se anulan, siendo la direccin y
sentido de la desviacin la de la fuerza resultante.
BE FFRrrr
+=
kEqEqF eE
rrr
==
( ) ( ) ( )( ) ( ) kBvq1,0,0Bvq0,0,10,1,0BvqiBjvqBvqF eBrrrrrr
=====
Siendo q el valor absoluto de la carga del electrn.
( ) Nk108,4k6,010103101,6kBvEqkBvqkEqR 143519rrrrrr
=+=+=+=
El electrn se desva en el sentido negativo del eje OZ.
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Septiembre 2010. F. G. Cuestin 2B.- Dos conductores rectilneos e indefinidos, paralelos, por losque circulan corrientes de igual intensidad, I, estn separados una distancia de 0,12 m y se repelen con
una fuerza por unidad de longitud de 6109 N m1.a) Efecte un esquema grfico en el que se dibuje el campo magntico, la fuerza que acta sobre
cada conductor y el sentido de la corriente en cada uno de ellos.
b) Determine el valor de la intensidad de corriente 1, que circula por cada conductor.Dato: permeabilidad magntica en el vaco o = 4 10
7
N A2
Solucin.a.
Segn la Ley de Lorentz:
BlIFrrr
=
Aplicando a cada uno de los conductores:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) jBlI0,1,0BlI0,0,10,0,1BlI0,0,1B0,0,1lIBlIF 2112112112112111rrrr
=====
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) jBlI0,1,0BlI0,0,110,0,BlI0,0,1B10,0,lIBlIF 2111221221221222rrrr
=====
b. Las fuerzas que actan sobre los dos hilo son de igual mdulo (por ambos hilos circula la misma
intensidad de corriente), igual direccin y sentidos opuestos.
Si los vectores lr
y Br
forman 90, el mdulo de la fuerza es:
BlIF = La fuerza sobre el conductor 1 depende de la intensidad de la corriente que los recorre (I1) y del
campo magntico creado por el conductor 2 (B2).
211 BlIF =
El mdulo del campo magntico creado por el conductor 2 se obtiene mediante la ley de Biot y
Savart.
d2
IB 2o2
=
Sustituyendo en la expresin del mdulo de F1
d2
IlIF 2o11
=
La fuerza por unidad de longitud es
{ }d2
I
l
F:III:
d2
II
l
F 2o121
21o1
===
=
A106104
1060,122lF
d2
I 27
9
o
1
=
=
=
Septiembre 2010. F. G. Problema 2B.- Una partcula de masa m = 41016kg y carga q =2,85109 C, que se mueve segn el sentido positivo del eje X con velocidad 2,25106 m/spenetra enuna regin del espacio donde existe un campo magntico uniforme de valor B = 0,9 T orientado segn el
sentido positivo del eje Y. Determine:
a) La fuerza (mdulo, direccin y sentido) que acta sobre la carga.b) El radio de la trayectoria seguida por la carga dentro del campo magntico.Solucin.
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a. La fuerza que genera el campo magntico sobre una carga en movimiento viene dada por la
expresin:
( ) ( ) ( )( ) ===== 0,1,01,0,0BvqjiBvqjBivqBvqFrrrrrrr
( ) kBvq1,0,0Bvq10
01,0,0Bvq
r
==
=
Teniendo en cuenta que la carga es negativa, la fuerza tendr sentido opuesto
k105,77k9,01025,21085,2F 369rrr
==
b. Si la partcula cargada describe una trayectoria circular, ser debido a que la resultante de lasfuerzas que concurren sobre ella es igual a la fuerza centrpeta. Teniendo en cuenta que sobre la partcula
la nica fuerza que acta es la debida al campo magntico, y trabajando en mdulo, se cumplir:
cB FF =
R
vmBvq
2
= :Bq
vm
Bvq
vmR
2
==
cm35m35,09,01085,2
1025,2104
Bq
vm
R 9
616
==
==
Junio 2010. F.M. Cuestin 2A.- Un protn y un electrn se mueven en uncampo magntico uniformeBr
bajo la accin del mismo. Si la velocidad del electrn es 8 veces mayor que la del protn y ambas son
perpendiculares a las lneas del campo magntico, deduzca la relacin numrica existente entre:
a) Los radios de las rbitas que describen.b) Los periodos orbitales de las mismas.
Dato: Se considera que la masa del protn es 1836 veces la masa del electrn.
Solucin.a. Si ambas partculas describen una trayectoria circula ser porque:
cB FFrr
=
Trabajando en mdulo:
R
vmBvq
2
= ;R
vmBq = ;
Bq
vmR =
Aplicando la ecuacin a cada partcula y comparando:
=
=
===
===
=
=
+
+
++
++
+
+
++
+
pe
ep
ee
pp
ep
e
ee
p
pp
e
p
e
ee
e
p
pp
p
v8v
m1836m
vm
vm
qq
Bq
vm
Bq
vm
R
R
:
Bq
vmR
Bq
vmR
2
459
8
1836
v8v
m1836m
8vm
vm1836
pe
ep
pe
pe==
=
===
+
+
+
+
2
459
R
R
e
p=
+
b. Partiendo de la misma igualdad que en el apartado a:
{ }( )
:T
2:RmBvq:
R
RmBvq:Rv:
R
vmBvq 2
22
==
===
qvB
Rm4
T:RT
2
mBvq
22
2
=
=
-
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+
+
+
+
++
++
+
++
++
+
=
=
=
=
e
p
pe
ep
2
e
2
p
ee
e
2
e
pp
p
2
p
2
e
2
p
ee
e
2
e2
e
pp
p
2
p2
p
R
R
vm
vm
T
T
:
Bvq
Rm4
Bvq
Rm4
T
T
:
Bvq
Rm4T
Bvq
Rm4T
+
+
+
+
=
e
p
pe
pe
2
e
2
p
R
R
vm
v8m1836
T
T
:8
183681836
T
T
2
e
2
p=
+
: 1836T
T
e
p=
+
Junio 2010. F.M. Problema 2B.- Por un hilo conductor rectilneo y de gran longitud circula unacorriente de l2 A. El hilo est situado en el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido
positivo. Un electrn se encuentra situado en el eje Y en el punto P de coordenadas (0, 20, 0) expresadasen centmetros. Determine el vector aceleracin del electrn en los siguientes casos:
a) El electrn se encuentra en reposo en la posicin indicada.b) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin positiva del eje Y.c) Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Z.d) Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin negativa del eje X.
Datos: Permeabilidad magntica del vacio o = 4107
N A2
Masa del electrn me =9,1 1031
kg
Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,61019
C
Solucin.
a. Teniendo en cuenta la ley de Lorentz:( )
{ } 0a:amF0F:0v
BvqF===
=
=rrr
b. La intensidad o mdulo del campomagntico a 20 cm del hilo conductor viene
dada por la Ley de Biot y Savart, la direccin y
sentido por la regla de la mano derecha tal y
como se muestra en la figura.
T,
B
d
IB o
o 5
2
7
102110202
12104
2
=
==
( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B0,1,0vqBvqFrrr
( ) Nk1092,1kT102,1s
m1C106,11,0,0qvB
001
010
kji
qvB24519
rr
rrr
===
=
Conocida la fuerza que acta sobre el electrn, se calcula la aceleracin, que tendr igualdireccin y sentido que la fuerza.
amFrr
= : ( ) 262431 smk101,2kN1092,1
Kg101,9
1F
m
1a
rrrr
=
==
c. ( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B1,0,0vqBvqFrrr
( )==
= 0,1,0qvB
001
100
kji
qvB
rrr
( ) Nj1092,1jT102,1s
m1C106,1 24519rr ==
-
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( ) js
m101,2jN1092,1Kg101,9
1F
m
1a 624
31
rrrr
=
==
d. ( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B0,0,1vqBvqFrrr
0
001
001
kji
qvB =
=
rrr
{ } 0a:amF0F ===
Junio 2010. F.G. Cuestin 3A.- Dos partculas de idntica carga describen rbitas circulares en elseno de un campo magntico uniforme bajo la accin del mismo. Ambas partculas poseen la misma
energa cintica y la masa de una es el doble que la de la otra. Calcule la relacin entre:
a) Los radios de las rbitas.b) Los periodos de las rbitas.
Solucin.
a. Si una partcula con carga describe una rbita en el seno de un campo magntico, se cumple:
cB FFrr
=
Trabajando en mdulo:
r
vmBvq
2
= ;r
vmBq =
Por ser ambas partcula de idntica carga y estar inmersa en el mismo campo magntico:
Partcula 1:1
11
r
vmBq =
Partcula 2:2
22
r
vmBq =
Igualando:
2
22
1
11
r
vm
r
vm =
Elevando los dos miembros de la igualdad al cuadrado:
22
222
221
212
1r
vm
r
vm =
Teniendo en cuenta que: c22 Em2vm =
22
c2
21
c1
r
Em2
r
Em221 = ;
22
c2
21
c1
r
Em
r
Em21 =
Teniendo en cuenta el enunciado:
=
=
12
cc
m2m
EE21
22
1
21
1
r
m2
r
m= ;
22
21 r
2
r
1= ; 21
22 r2r = ; 12 r2r =
b. Partiendo de la igualdad2
22
1
11
r
vm
r
vm = , y teniendo en cuenta rv =
2
222
1
111
r
rm
r
rm
=
; 2211 mm = :
T
2= :
22
11
T
2m
T
2m
=
;
2
2
1
1
T
m
T
m=
Volviendo a tener en cuenta el enunciado: 12 m2m =
2
1
1
1
T
m2
T
m
= ; 12 T2T =
-
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10
Modelo 2010. Cuestin 3A.-Una carga puntual Q con velocidad ivv xr
r
= entra en una regin donde
existe un campomagntico uniforme kBjBiBB zyx
rrrr
++= .Determine:
a) La fuerza que se ejerce sobre la carga en el campo magntico.b) El campo elctrico Er que debera existir en la regin para que la carga prosiguiese sin cambio
del vector velocidad.
Solucin.
a. La fuerza que acta sobre una carga elctrica en movimiento dentro de un campo magntico Br
viene dada por la expresin:
( )BvqFrrr
=
Representa producto vectorial
( ) ( )( ) ( )yxzxzyx
xzyxx Bv,Bv,0Q
BBB
00v
kji
QB,B,B0,0,vQF ===
rrr
r
kBQvjBQvF yxzx
rrr
+=
b. Para que la carga se desplace manteniendo constante su vector velocidad, la suma de las fuerzas
que actan sobre ella debe ser cero.La fuerza a la que se ve sometida la carga cuando se desplaza por una regin donde coexisten un
campo magntico y uno elctrico es:
( )BvqEqFrrrr
+=
Si la fuerza resultante debe ser nula:
( ) 0BvqEq =+rrr
( )BvqEqrrr
= ( )BvErrr
=
Teniendo en cuenta el apartado a:
kBvjBvBv yxzx
rrrr
+=
( ) kBvjBvkBvjBvBvE yxzxyxzxrrrrrrr
=+==
Modelo 2010. Cuestin 2B.-a) Cul es la velocidad de un electrn cuando se mueve en presencia de un campo elctrico de
mdulo 3,5105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, asu vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?
b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico?Datos: Masa del electrn me = 9,110
31Kg. Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,610
19C
Solucin.Para facilitar los clculos, y teniendo en cuenta que los
vectores de campo elctrico, campo magntico y velocidad son
perpendiculares entre si, los consideramos sobre los ejes
coordenados tal y como muestra la figura (la eleccin de los ejes es
arbitraria).
La fuerza que experimenta una partcula cargada que se
desplaza a lo largo de un campo magntico mFr
viene dada por la
expresin ( )BvqFmrrr
= , donde representa producto vectorial y q la carga elctrica de la partcula,
aplicando al caso propuesto:
( ) ( ) kvBqkvBq00B
0v0
kji
qBvqF eeem
rr
rrr
rrr
====
La fuerza que experimenta una partcula cargada que se desplaza a lo largo de un campo
elctrico EFr
viene dada por la expresin EqFErr
= , aplicando a este caso:
-
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11
kEqEqF eE
rrr
==
Nota: La direccin y sentido de los vectores mFr
y EFr
se corresponden con el dibujo tenindose en
cuenta el valor negativo de la carga del electrn.
Las fuerzas que ejercen los campos elctrico ( )Er
y magntico ( )Br
sobre el electrn son vectores
de la misma direccin y sentido opuesto. Para que la velocidad del electrn mantenga constante sudireccin, los mdulos de ambas fuerzas deben ser iguales.
B
Ev:EqvBqFF:
EqF
vBqF
eeEm
eE
em===
=
= rrr
r
Donde E es el mdulo del campo elctrico y B el del campo magntico.
sm1075'1
T2
CN105'3
B
Ev 5
5
=
==
b. S 0E =r
y Ti2Brr
= la fuerza que produce el campo magntico tiene carcter normal
(centrpeta).
Bq
mvR:
R
vmvBqFF
e
2
ecm ===rr
m1098'42106'1
1075'1101'9
Bq
mvR 7
19
531
e
==
Septiembre 2009. Problema 2B.- Un hilo conductor rectilneo de longitud infinita est situado en eleje Z y transporta una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor,
tambin infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coordenada x = 10 cm.
Determine:
a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el campo magnticoresultante en el punto del eje X de coordenada x = 2 cm es nulo.
b) La fuerza por unidad de longitud que acta sobre cada conductor, explicando cul es sudireccin y sentido.
Dato Permeabilidad magntica del vaco o= 410-7N A2
Solucin.
a. El sentido de la corriente del segundo hilo (I2), se obtiene teniendo en cuenta que en el puntox = 2, el campo es nulo y por tanto, los campos magnticos creados por los dos conductores deben ser
igual mdulo y sentidos opuestos.
Conociendo el sentido de la
intensidad en el primer conductor (I1),y aplicando la regla de la mano
derecha se obtiene la direccin y
sentido del campo creado por l, y portanto el creado por el segundo
conductor (opuesto).
La direccin y sentido del
campo creado por el segundoconductor nos permite establecer el
sentido de las lneas de campo y el sentido de la intensidad (I2) aplicando de nuevo la regla de la manoderecha.
El valor de la intensidad del segundo conductor se obtiene a partir de la igualdad de los mdulos
de los vectores de campo creados por cada conductor en el punto x = 2.
21 BBrr
=
Empleando la expresin del modulo del campo magntico:
-
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12
2
2o
1
1o
a2
I
a2
I=
Simplificando las constantes y sustituyendo los datos, se calcula I2.
22
2 108
I
m102
A20
=
: A80I2 =
b. La fuerza que ejerce un campo magntico ( )Br
sobre un hilo conductor de longitud l por el que
circula una corriente I viene dada por la expresin:
BlIFrrr
=
donde l es la longitud del hilo que, se considera un vector de mdulo la longitud del hilo, de direccin la
del conductor y de sentido el de la corriente.
El mdulo de la fuerza ser:
senBlIF =
la direccin, perpendicular al plano que determinan lr
y Br
y elsentido el de avance del tornillo que gira de l sobre B como muestra la
figura.
La direccin y sentido de la fuerza, tambin se puede obtener
mediante el producto vectorial de los vectores lr
y Br
.
2111 BlIFrrr
=
( )
( )( ) ( )( ) iBlI
001
100
kji
BlI0,0,1B1,0,0lIF:0,0,1BB
1,0,0ll1111112111
22
11r
rrr
r
r
r
===
=
=
1222 BlIFrrr
=
( )( )
( ) ( )( ) iBlI
001
100
kji
BlI0,0,1B1,0,0lIF:0,0,1BB
1,0,0ll1111111222
11
22 r
rrr
rr
r
=
==
==
La fuerza por unidad de longitud ser el cociente entre la fuerza y la longitud del hilo conductor.
senBIl
F=
El mdulo de la fuerza por unidad de longitud sobre el 2 conductor es:
m
N102,3
1,02
2010480
d2
II90senBI
l
F 37
1o212
2
2
=
=
==
El mdulo de la fuerza por unidad de longitud sobre el 1 conductor es:
mN102,3
1,028010420
d2II90senBI
lF 3
72o
1211
1
=
=
==
Junio 2009. Cuestin 4.- Analice si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a) Una partcula cargada que se mueve en un campo magntico uniforme aumenta su velocidad
cuando se desplaza en la misma direccin de las lneas del campo.
b) Una partcula cargada puede moverse en una regin en la que existe un campo magntico y uncampo elctrico sin experimentar ninguna fuerza.
Solucin.a. FALSO. Cuando una partcula con carga elctrica y en movimiento, se
desplaza en una zona donde existe un campo magntico, se ve sometida a la
accin de una fuerza denominada Fuerza de Lorentz, cuyo valor viene dado por la
expresin:( )Bvq
rrr
=F
-
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13
Como vr
es paralelo a Br
, su producto vectorial es nulo.
0Bv:0
senBvBv=
=
= rrrrrr
Por lo tanto al no estar sometida a fuerza, la partcula sigue una trayectoria rectilnea y uniforme
(M.R.U).
b. VERDADERO. Si las fuerzas que experimenta la carga debido alcampo elctrico y al campo magntico son iguales y opuestas, la fuerza neta
resultante ser nula.
Para que la fuerza magntica (FM) y la fuerza elctrica (FE) tengan lamisma direccin bastar con que la direccin del campo elctrico sea
perpendicular al campo magntico y a la velocidad de la partcula. Para que
tengan sentidos opuestos, ( )( ) ( )EqSignoBvqSigno v
, teniendo en cuenta el
signo de la carga. La figura adjunta muestra el caso de una carga positiva.Para que tengan igual mdulo, la relacin que deben tener las magnitudes ser:
EqsenBvqFF:EqF
senBvqF
EmE
m
==
=
= rrr
r
: = senBvE
Septiembre 2007. Cuestin 4.-a) Cul es la velocidad de un electrn cuando se mueve en presencia de un campo elctrico de
mdulo 3,5105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, asu vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?
b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico?Datos: Masa del electrn me =9,1 10
31 kg; Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,610-19 CSolucin.
Para facilitar los clculos, y teniendo en cuenta que los
vectores de campo elctrico, campo magntico y velocidad son
perpendiculares entre si, los consideramos sobre los ejescoordenados tal y como muestra la figura (la eleccin de los ejes es
arbitraria).
La fuerza que experimenta una partcula cargada que se
desplaza a lo largo de un campo magntico mFr
viene dada por la
expresin ( )BvqFmrrr
= , donde representa producto vectorial y q la carga elctrica de la partcula,
aplicando al caso propuesto:
( ) ( ) kvBqkvBq00B
0v0
kji
qBvqF eeem
rr
rrr
rrr
====
La fuerza que experimenta una partcula cargada que se desplaza a lo largo de un campo
elctrico EFr
viene dada por la expresin EqFErr
= , aplicando a este caso:
kEqEqF eE
rrr
==
Nota: La direccin y sentido de los vectores mFr
y EFr
se corresponden con el dibujo tenindose en
cuenta el valor negativo de la carga del electrn.
Las fuerzas que ejercen los campos elctrico ( )Er
y magntico ( )Br
sobre el electrn son vectores
de la misma direccin y sentido opuesto. Para que la velocidad del electrn mantenga constante su
direccin, los mdulos de ambas fuerzas deben ser iguales.
BEv:EqvBqFF:
EqF
vBqFeeEm
eE
em===
== rrr
r
-
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Donde E es el mdulo del campo elctrico y B el del campo magntico.
sm1075'1
T2
CN105'3
B
Ev 5
5
=
==
b. S 0E =r
y Ti2Brr
= la fuerza que produce el campo magntico tiene carcter normal
(centrpeta).
Bq
mvR:
R
vmvBqFF
e
2
ecm ===rr
m1098'42106'1
1075'1101'9
Bq
mvR 7
19
531
e
==
Septiembre 2007. Problema 2A.- Tres hilos conductores rectilneos, muy largos y paralelos, sedisponen como se muestra en la figura (perpendiculares al plano del papel pasando por los vrtices de un
tringulo rectngulo). La intensidad de corriente que circula por todos ellos es la misma, I = 25 A, aunqueel sentido de la corriente en el hilo C es opuesto al de los otros dos hilos.Determine:
a) E] campo magntico en el punto P, punto medio del segmentoAC.b) La fuerza que acta sobre una carga positiva Q = 1,6l019 C si 10
cm se encuentra en el punto P movindose con una velocidad de
106m/s perpendicular al plano del papel y con sentido hacia fuera.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco o= 4 107 N A
2
Solucin.a. En cualquiera de los tringulos rectngulos se calcula el valor
de a.
En el tringulo BPC:25a:100a2:aa10 2222 ==+=
Cada hilo conductor genera un campo magntico en P de igualmdulo y distinta direccin. La direccin de cada campo se calcula con
la regla de la mano derecha, obteniendo los vectores que se muestran en
la figura.
El campo magntico creado por los tres hilos en el punto P es
la suma vectorial del campo generado por cada uno de los hilos.
CBAP BBBBrrrr
++=
( )
+=+
== j
2
2i
2
2
a2
Ij45seni45cos
a2
IBB ooCA
rrrrrr
( )
+
=+
= j
2
2i
2
2
a2
Ij45seni45cos
a2
IB ooB
rrrrr
Sumando los campos creados pos cada hilo se obtiene el campo magntico total.
+++
+
=++= j
2
2
2
2
2
2i
2
2
2
2
2
2
a2
IBBBB oCBAP
rrrrrr
( )j3ia4
2Ij
2
23i
2
2
a2
IB ooP
rrrrr
+
=
+
=
-
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Sustituyendo por los valores:
( ) ( ) ( ) ( )TmA
Nj3i105j3i
m254
2A25A
N104
j3ia4
2IB 7
2
7
oP
+=+
=+
=
rrrrrrr
b. Q = +1,6l019
C; smk10v6r
r
= . Sobre la carga Q acta la fuerza de Lorentz:
( ) ( )ji3qvB031
100
kji
qvBBvqF P
rr
rrr
rrr
+===
( ) ( )Nji3108ji3T105s
m10C106'1F 207619rrrrr
+=+=
Junio 2007. Cuestin 4.- Un protn que se mueve con velocidad constante en el sentido positivo del
eje X penetra en una regin del espacio donde hay un campo elctrico k104E 5rr
= N/C y un campo
magntico j2Brr
= T, siendo kr
y jr
los vectores unitarios en las direcciones de los ejes Z e Y
respectivamente.a) Determine la velocidad que debe llevar el protn para que atraviese dicha regin sin ser
desviado.
b) En las condiciones del apartado anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie del protn.Datos: Constante de Planckh = 6,63 x10
34J s; Masa del protn mp = 1,6710
27 kg.
Solucin.a. Para que el protn atraviese la regin sin ser desviado, la
resultante de todas las fuerzas que concurren sobre el debe ser nula.
Las fuerzas que actan sobre la carga que se desplaza se pueden
observar sobre la figura adjunta.
BE FFRrrr
+=
kEqEqFpE
rrr
+==
( ) jiBvqjBivqBvqFppB
rrrrrrr
=== ++
( ) ( ) ( ) ( ) k1,0,010
01,
00
01,
01
000,1,00,0,1ji
rrr
==
==
kBvqFpB
rr
+=
0kvBqkEqFFRppBE
==+= ++rrrrr
vBqEqpp ++
= s
m1022
104
B
Ev 5
5
=
==
b. La longitud de onda de De Broglie viene dada por la expresin:
m1064,3102101,9
1063,6
mv
h 9
531
34
DB
=
==
Modelo 2007. Cuestin 3.-Indique el tipo de trayectoria descrita por una partcula cargadapositivamente que posee inicialmente una velocidad vv = i al penetrar en cada una de las siguientes
regiones:
a) Regin con un campo magntico uniforme: B = B ib) Regin con un campo elctrico uniforma: E = E ic) Regin con un campo magntico uniforma: B = Bjd)
Regin con un campo elctrico uniforme: E = Ej
Nota: Los vectores i yj son los vectores unitarios segn los ejes X e Y respectivamente.
Solucin.
-
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16
a) Campo magntico uniforme: Br
= B ir
. Cuando una partcula con carga
elctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo
magntico, adems de los efectos regidos por la ley de Coulomb, se ve sometida a
la accin de una fuerza denominada Fuerza de Lorentz, cuyo valor viene dado por
la expresin:
( )Bvqrrr
=F
Como vr
es paralelo a Br
, su producto vectorial es nulo.
0Bv:0
senBvBv=
=
= rrrrrr
Por lo tanto al no estar sometida a fuerza, la partcula sigue una trayectoria rectilnea y uniforme
(M.R.U).
b) Campo elctrico uniforma: Er
= E ir
. Cuando una partcula con carga
elctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo
elctrico se ve sometida a una fuerza cuyo valor viene dado por la expresin:
Eqrr
=F
La partcula se ve sometida a una fuerza paralela al campo elctrico, y portanto a una aceleracin en la misma direccin del campo y sentido, el mismo si la
carga es positiva y opuesto si es negativa.
En el caso propuesto:
iaFrrr
Eqmp== +
La partcula se ve sometida a una aceleracin en la misma direccin y sentido que su velocidad,
por tanto describe una trayectoria rectilnea uniformemente acelerada, suponiendo que el campo elctrico
es constante.
c) Campo magntico uniforma: Br
= Bjr
. La carga se ve sometida a una
fuerza (Fuerza de Lorentz) perpendicular en todo momento a la velocidad (fuerza
centrpeta), lo que provoca una trayectoria circular en el plano XZ de radio R.
( ) kqvBjiqvBBvqrrrrrr
===F
Bq
vmR:
R
vmvBq:FF
p
p2
ppcM+
+
++ ===
d) Campo elctrico uniforme: Er
= Ejr
. La carga se ve sometida a una
fuerza cuyo valor viene dado por la expresin:
Eqrr
=F : jqErr
=F
j
m
qEa:jqEam
p
rr
rrr
===
+
F
La fuerza sobre la carga es paralela al eje OY en todo momento, lo
cual, provoca una aceleracin en ese eje, mantenindose la velocidad constante
en el eje OX. El resultado es un movimiento parablico, combinacin de ambos movimientos: M.R.U.
(OX), M.R.U.A. (OY).
Septiembre 2006. Cuestin 3.- Un protn que se mueve con una velocidad vr
entra en una regin en
la que existe un campo magntico. B uniforme. Explique cmo es la trayectoria que seguir el protn:
a) Si la velocidad del protn v es paralela a Bb) Si la velocidad del protn v es perpendicular a B
Solucin.
a) La fuerza que acta sobre el protn segn la ley de Lorentz:
-
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( )00senBvqF
BvqF
==
=r
rr
No acta ninguna fuerza sobre el protn, luego seguirn una trayectoria rectilnea y uniforme
paralela al campo B
b) En este nuevo caso, la fuerza ser, aplicando tambin la Ley de Lorentz:( ) kqvB
0B0
00v
kji
qFBvqFr
rrr
rrrr
===
La fuerza ( F ), acta en direccin perpendicular a Byvrr
generando una trayectoria circular en
el plano XZ como muestra la figura.
Modelo 2006. Cuestin 3.- La figura representa una regin en la que existe un campo magnticouniforme B, cuyas lneas de campo son perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera del
mismo. Si entran sucesivamente tres partculas con la misma velocidad v, y describe cada una de ellas la
trayectoria que se muestra en la figura (cada partcula est numerada):
a) Cul es el signo de la carga de cada una de las partculas?b) En cul de ellas es mayor el valor absoluto de la relacin
carga-masa (q/m)?
Solucin.
La velocidad inicial de las partculas es ivv = y el campo magntico es kBB = la fuerza que
sufre una partcula cargada que se mueve en un campo magntico (fuerza de Lorente) es ( )BvqF = .En nuestro caso
( ) ( ) jqvBjqvBkiqvBF === a) Cul es el signo de la carga de cada una de las partculas?
Solucin.
La partcula 1 se desva en el sentido positivo de las jvBqjFFy 111rr
== como v y B son
positivos 0q1
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b) En cul de ellas es mayor el valor absoluto de la relacin carga-masa (q/m)?Solucin.
Como la trayectoria es circular
R
vmqvBFF
2
centrifugaLorentz ==
==
qm
BvR
RBv
mq
En el grfico se observa que R1 > R2:
0m
qy
m
q
m
q
q
m
q
m
q
m
B
v
q
m
B
v
2
2
3
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1 =
>
Modelo 2006. Problema 2B.- Dos conductores rectilneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al
plano XY, pasan por los puntos A (80, 0) y B (0, 60) segn indica la figura, estando las coordenadas
expresadas en centmetros. Las corrientes circulan por ambos conductores en el mismo sentido, hacia
fuera del plano del papel, siendo el valor de la corriente I1 de 6 A. Sabiendo que I2> I1 y que el valor del
campo magntico en el punto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, es de B = 12x 107
T, determine
a) El valor de la corriente I2b) El mdulo, la direccin y el sentido del campo magntico en el
origen de coordenadas O, utilizando el valor de 12, obtenido
anteriormente.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 270 NA104=
Solucin.
a. Las lneas de campo son circunferencias concntricas en el hilo siendo el valor del campo
d2
IB o
=
representa una constante caracterstica del medio que recibe el nombre de permeabilidad
magntica. En el vaco su valor es 0= 4 10-7 T m/A.
La distancia que separa a los conductores es
( ) ( ) ( ) m5,02
1d:m1mc100cm80cm60BAd
22 ====+=
Por la regla de la mano derecha sabemos que el campo en el punto P es la resta de los campogenerados por cada conductor.
-
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Aplicando la regla a la disposicin propuesta y trabajando en mdulo:
( )12o1o2o
12 IIR2
R2
I
R2
IBBB ===
o12
R2
BII =
1o
2 I
RB2I +=
A9IA6A3A6NA104
T1012m5,02I 227
7
2 =+=+
=
b. En el punto O el campo creado por los conductores es:
Campo creado por el conductor A:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tj1015jm8'02
A6NA104j
d2
IBAB 7
271o
1o =
=
==
Campo creado por el conductor B:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ti1040Tim6'02
A12NA104i
d2
IBBB 7
2720
2o
=
=
==
Las direcciones y sentidos de 21 ByB se han deducido teniendo en cuenta la regla de la mano
derecha.El campo total creado por los dos conductores en el punto O, es la suma vectorial de los campos
creados por cada conductor.
Tj1015i1040BBB 7721TOTAL =+=
Septiembre 2005. Cuestin 3.Una partcula cargada penetra con velocidad v en una regin en la que
existe un campo magntico uniforme Br
.Determine la expresin de la fuerza ejercida sobre la partcula en los siguientes casos:
a) La carga es negativa, la velocidad es jvv o rr = y el campo magntico es kBB o rr = .b) La carga es positiva, la velocidad es kjvv o rrr += y el campo magntico es: jBB orr = .
Nota: Los vectores kyj,irrr
son los vectores unitarios segn los ejes X, Y y Z respectivamente.
Solucin.
-
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20
La expresin general de la fuerza que acta sobre una partcula cargada en movimiento por la
presencia de un campo magntico viene dada por la ley de Lorente.
BvqFrrr
=
a. q < 0 ; ( )0,v0,jvv oo ==r
r
; ( )oo B0,0,kBB ==rr
( ) ( )[ ] ( ) iBvqiBvqB00
0v0
kji
qB0,0,0,v0,qBvqF oooo
o
ooo
rr
rrr
rrr
==
===
b. q > 0 ; ( ) ( )ooo v,v0,kjvv =+=rr
r
; ( )0,B0,jBB oo ==rr
( ) ( )[ ] ( ) iBvqiBvq0B0
vv0
kji
q0,B0,v,v0,qBvqF oooo
o
ooooo
rr
rrr
rrr
=====
Junio 2005. Problema 2B.- Por un hilo conductor rectilneo y de gran longitud circula una corrientede 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrn se
encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector aceleracin instantnea
que experimentara dicho electrn si:
a) Se encuentra en reposo.b) Su ve1ocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Y.c) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin positiva del eje Z.d) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin negativa del eje X.
Datos: Permeabilidad magntica del vado o = 4107
N A2
Masa del electrn me =911031
kg
Valor absoluto de la carga del electrn e
= 161019
C
Solucin.La corriente crea un campo magntico
alrededor del hilo, para calcularlo se utiliza la ley de
Ampr.
IdsB oc
=
Para calcular la integral utilizamos el circuito
de la figura c; ya que el campo magntico es tangente alas circunferencias y tiene el mismo valor en todos los
puntos de la circunferencia.
( ) ( )i102I0,10,0B
R2
IBIR2BdsB
2o2
oo
c
v
o
=
===
a. Si el e esta en reposo, la fuerza ser cero, ya que un campo Br
solo ejerce fuerza sobre cargas
en movimiento ( )BvqFrrr
= .
b. Su ve1ocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva deleje OY.
( ) ( )
( )Nk104'38102
106'1A12104
k102
Iei
102
IjeF
24
2
197
2o
2o
r
rrrr
=
=
=
=
=
-
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21
c. Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva
del eje Z.
( ) ( ) ( )
( )jN104'3810212104106'1
j102
IejevBBveF
242
719
2o
r
rrrrr
=
=
=
===
d. Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin negativa del eje X.
Como v y B son paralelos, 0F0Bv ==
Modelo 2005. Problema 2A.- Una partcula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoria rectilneaa travs de dos campos, elctrico y magntico, perpendiculares entre s. El campo elctrico est producido
por dos placas metlicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria) separadas 1 cm y conectadas
a una diferencia de potencial de 80 V. El campo magntico vale 0,002 T. A la salida de las placas, el
campo magntico sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria de la partcula, de forma que, sta
describe una trayectoria circular de 1,14 cm de radio. Determine:
a) La velocidad de la partcula en la regin entre las placas.b) La relacin masa/carga de la partcula.
Solucin.
Suponiendo que la carga es positiva:
Sabiendo que la diferencia de potencial entre las placas es 80V y la distancia entre ambas es de
1cm:
( )cN
8000m01'0
V80
d
V
E ==
=
( )
( )jc
N8000jEE
kT002'0B
==
=r
a. Para que no se desve, FB tiene que ser igual a la FE:(en mdulo)
B
EvEqBvq ==
sustituyendo:
sm104
T002'0
cN8000
v 6==
b. Si la partcula describe una circunferencia de 114 cm de radio, podemos utilizar este dato
sabiendo que la fuerza magntica, a la salida de las placas, acta como fuerza centrpeta:
-
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22
v
BR
q
m
R
vmBvqF
2
m
=
==
Puesto que conocemos todos los datos, slo tenemos que sustituir:
Ckg1057,0
sm104
T002'01014,1q
m 116
2 =
=
Modelo 2005. Problema 2B.-Dos hilos conductores de gran longitud, rectilneos y paralelos, estn
separados una distancia de 50 cm, tal como se indica en la figura. Si por los hilos circulan corrientes
iguales de 12 A de intensidad y con sentidos opuestos, calcule el campo magntico resultante en los
puntos indicados en la figura:
a) Punto P equidistante de ambos conductores.b) Punto Q situado a 50 cm de un conductor y a 100 cm del otro.
Dato: Permeabilidad magntica del vaco 2-70 NA104=
Solucin.
a. El campo total en el punto P es la suma vectorial de los campos producidos por cada corriente.21p BBB +=
Escogemos un sistema de referencia, para dar el carcter vectorial de .B Los dos vectores tienen
la misma direccin y sentido, segn la regla de la mano derecha.
[ ] ( ) Tj1092'1121210252
104jII
a2
BBB
ja2
IBj
a2
IB
5
2
7
21o
21p
2o2
1o1
rrrrr
rrrr
=+
=+=+=
==
b. Para el punto Q, operamos de formaanloga. Por la regla de la mano derecha,
comprobamos que en este caso ByB 21 sonvectores de igual direccin y sentido contrario:
-
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23
( )
( )jT1048B5'02
12104
5'02
IB
jT1024B12
12104
12
IB
72
72o
2
71
72o
1
rrr
rrr
=
=
=
=
=
=
Restamos por tanto 12 BB para hallar el campo resultado en Q:
( )jT1024B 7Qrr =
Septiembre 2004. Cuestin 4.En una regin del espacio existe un campo magntico uniformedirigido en el sentido negativo del eje Z. Indique mediante un esquema la direccin y el sentido de la
fuerza que acta sobre una carga, en los siguientes casos:
a) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z.b) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje X.
Solucin.a. Teniendo en cuenta que la velocidad y el campo magntico son paralelos, yque el producto vectorial de vectores paralelos es nulo:
( ) 0BvqF == +rrr
La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje X con movimiento rectilneo uniforme.
b. En este caso, el campo magntico vendr expresado por un vector de laforma:
( )zB0,0,B =r
y el vector velocidad ser de la forma:
( )00,,vv x=r
El vector fuerza se obtiene como:
( ) ( ) ( ) jBvqjBv1qjB0
0v1q
B00
00v
kji
qBvqF zxzxz
x21
z
x ==
=
== +r
rrr
rrr
Junio 2004. Problema 1B.-Un conductor rectilneo indefinido transporta una corriente de 10 A enel sentido positivo del eje Z. Un protn, que se mueve a 2105 m/s, se encuentra a 50 cm del conductor.Calcule el mdulo de la fuerza ejercida sobre el protn si su velocidad:
a) es perpendicular al conductor y est dirigida hacia l.b) es paralela al conductor.c) es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b).d) En qu casos, de los tres anteriores, el protn ve modificada su energa cintica?
Datos: Permeabilidad magntica del vaco o = 4107 NA2
Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019 CSolucin.a.
El campo B creado por el hilo de corriente es tangencial a las circunferencias pertenecientes a
planos perpendiculares al conductor:
-
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24
Otras vistas del problema son:
La fuerza magntica est expresada por
( )BxvqF = El mdulo de la fuerza es
senBvqF =rrr
donde es el ngulo entre B y v .
Aplicando los datos del enunciado
N1028'1110502
10104102106'190sen
d2
IveF 19
2
7519o
=
==
r
b. El ngulo entre B y v es de nuevo de 90 y por tanto, al igual que en
el apartado anterior.
N1028'190send2
IveF 19o ==
r
c. La direccin perpendicular a z e y, es la x, luego en este caso vr
es paralelo o antiparalelo a Br
y
por tanto la fuerza es nula ya que = 0, y el sen 0 = sen = 0.
d. Una carga en un campo magntico NUNCA ve modifica su energa cintica, ya que la fuerza essiempre perpendicular a la velocidad:
( )BvqFrrr
=
por lo que no realiza trabajo 0EW c ==
Modelo 2004. Problema 2A.-Por dos hilos conductores, rectilneos y paralelos, de gran longitud,separados una distancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente, ensentidos opuestos. En un punto P del piano que definen los conductores, equidistante de ambos, se
introduce un electrn con una velocidad de 4104 m/s paralela y del mismo sentido que la corriente de2 A. determine:
a) El campo magntico en la posicin P del electrn.b) La fuerza magntica que se ejerce sobre el electrn situado en P.Datos: Permeabilidad magntica del vaco o = 410
7
NA2
Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019 C
Solucin.
-
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25
a. El campo magntico creado en P, es la suma vectorial (dado el carcter vectorial deB ) delcampo que produce cada conductor en el punto P.
El Mdulo del campo magntico viene expresado por:
a2
IB o=
Los dos vectores tienen la misma direccin y sentido, por tanto el campo ( )PB resultante, llevala direccin j
r
+ y el mdulo es la suma escalar de ambos campos ( )21 B,Brr
:
ja2
I
a2
IBBB 2o1o21P
rrrr
+=+=
( ) jIIa2
B 21
oP
rr
+=
Sustituyendo valores numricos
= 2
7
AN104
jT104,2B 5P
rr=
b. La fuerza magntica (de Lorentz) sobre el e en movimiento en P es:
( )BvqFrr
=
Operando el producto vectorial:
( ) ( ) i104104'2106'10104'20
10400
kji
106'1F 4519
5
419r
rrr
==
( ) iN1054,1F 19r
=
Septiembre 2003. Cuestin 3.Una partcula de carga positiva q se mueve en la direccin del eje de
las X con una velocidad constante iaVrr
= y entra en una regin donde existe un campo magntico de
direccin eje Y y mdulo constante jbBrr
= .
a) Determine la fuerza ejercida sobre la partcula en mdulo, direccin y sentido.b) Razone que trayectoria seguir la partcula y efecte un esquema grfico.
Solucin.
a. El modulo de la fuerza es, segn la ley de Lorentz:== senBvqBvqF
rrrrr
donde es el ngulo entre v y B
NbaqF90senbaqF ==rr
La direccin y sentido se hallan mediante el producto vectorial ( )Bvrr
.
( ) kqab0b0
00a
kji
qBvqFr
rrr
rrr
===
kbaqFrr
=
-
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26
La direccin y sentido del vector fuerza es la del eje z positivo, que tambin se puede deducir a
travs de la regla de la mano izquierda.
b. Trayectoria de la partcula:
La fuerza magntica acta como fuerza centrpeta en cada punto de la trayectoria, haciendo que
describa una circunferencia de radio:
magnticac FFrr
=
Bq
vmR:Bvq
R
vm
2
==
Utilizando los parmetros del problema:
( )mbq
amR
=
Junio 2003. Cuestin 3.Un protn penetra en una regin donde existe un campo magntico uniforme.Explique que tipo de trayectoria que describir el protn si su velocidad es:
a) paralela al campob) perpendicular al campo.c) Qu sucede si el protn se abandona en reposo en el campo magntico?d) En que cambiaran las anteriores respuestas si en lugar de un protn fuera un electrn?
Solucin.
a.Si v || B como la fuerza es ( ) =
= senBvqFBvqF
rr
=== 0F00sen0 El protn sigue una trayectoria rectilnea y uniforme.
b. ( ) Bvq90senBvqFBvqFBv ===rrrrr
La fuerza es siempre a la velocidad El protn sigue una trayectoria circular uniforme, cuyo radio es:
qB
mvRqvB
R
mv2==
c. = 0v No hay fuerza.
d. Si fuera un e la fuerza ira en sentido contrario y la circunferencia seria de diferente radio.
qBmvRqvB
Rmv
2
==
Modelo 2003. Problema 2A.- Tres hilos conductores rectilneos y paralelos, infinitamente largos,pasan por los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado, segn se indica en la figura. Por cada
uno de los conductores circula una corriente de 25 A en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel.
Calcule:
a) El campo magntico resultante en un punto del conductor C3 debido alos otros dos conductores. Especifique la direccin del vector campo
magntico.
b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida sobre el conductorC3. Especifique la direccin del vector fuerza.
Datos: Permeabilidad magntica del vaco: o = 4107 NA
2.
-
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Solucin.a. La regla de la mano derecha nos permitedeterminar las lneas del fuerza alrededor de cada hilo,
el campo magntico es tangente a estas y por tanto
perpendicular a la lnea que une los hilos, permitiendo
establecer el ngulo que forma el campo magntico con
unos ejes coordenados situados sobre la posicin delhilo 3.
El campo magntico Br
resultante en un punto
del conductor C3 debido a los otros dos conductores, es la suma vectorial de los campos magnticos
generados por cada hilo.
21 BBBrrr
+=
j30senBi30cosBB 111
rrr
+=
j30senBi30cosBB 222
rrr
=
El mdulo del campo magntico B, generado por un hilo por el que circula una corriente I viene
dado por la expresin:
d2
IB o=
Aplicando la expresin a cada hilo y teniendo en cuenta que las distancias e intensidades son lasmismas:
T1050,102
25104BB 5
7
21
=
==
j2
1105i
2
3105B 551
rrr +=
j2
1105i
2
3105B 552
rrr =
++=+= j
21105i
23105j
21105i
23105BBB 555521
rrrrrrr
Ti105BBB 521
rrrr=+=
b. Primero se calcula la resultante de las fuerzas que actan sobre el tercer hilo, y de ella la fuerza
por unidad de longitud sobre el hilo 3.
Por ser los hilos paralelos y circular corrientes del mismos sentido, las fuerza entre ellos es de
atraccin.
En el esquema adjunto se muestran las fuerzas que actan sobre el hilo
3, la resultante es la suma vectorial de las fuerzas que generan los hilos 1 y 2
sobre el 3.
21 FFFrrr
+=
El modulo de la fuerza entre dos hilos conductores y paralelos es:
N1025,1252510,02
104II
d2
F 1
31
7
131o
1 lll
=
==
N1025,1252510,02
104II
d2
F 1
31
7
132o
2 lll
=
==
j1025,1i0FFF
j2
11025,1i
2
31025,1j30senFi30cosFF
j2
11025,1i
2
31025,1j30senFi30cosFF
13
21
13
13
222
13
13
111
rrrrr
rrrrr
rrrrr
=+=
==
==
l
ll
ll
-
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28
La fuerza por unidad de longitud del hilo es:
j1025,1F 3
1
rr
=l
Septiembre 2002. Cuestin 2.- Un electrn se mueve con velocidad v en una regin del espaciodonde coexisten un campo elctrico y uno magntico, ambos estacionarios. Razone si cada uno de estos
campos realiza o no trabajo sobre esta carga.Solucin.
Campo magntico. Si la velocidad del electrn vr
y el campo magntico B forman un ngulo
0 .
( )BvqFmrrr
=
Aparece una fuerza magntica sobre el electrn, siempre perpendicular a vr
, por lo que se
origina una fuerza centrpeta, que genera en el electrn una trayectoria circular de radio:
Bq
VmR
R
vmBvq
2
==
por tanto, la fuerza magntica no realiza trabajo sobre el electrn, ya que no produce una traslacin del
mismo, sino una rotacin, por lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ngulo de 90
090cosdFdFW === o
En el caso de que el ngulo entre v y B sea cero:
0senBVqFm ==
no se origina ninguna fuerza magntica
Campo elctrico.
EqFe =
Aparece una fuerza, que desplaza al electrn en la misma direccin del campo y en el mismo
sentido si la carga es positiva o en sentido contrario si es una carga negativa.
Por tanto, se realiza trabajo sobre el electrn:
dEqW0cosdEqWcosdFW ===
Septiembre 2002. Problema 1B. En la figura se presentan dos hilos conductores rectilneos de granlongitud que son perpendiculares al plano del papel y llevan corrientes de intensidades I1 e I2 de sentidos
hacia el lector.
a) Determine la relacin entre I1 e I2 para que el campo magntico B en el punto P sea paralelo a larecta que une los hilos indicada a la figura.
b) Para la relacin entre I1 e I2 obtenida anteriormente, determine la direccin del campo magnticoB en el punto Q (simtrico del punto P respecto del plano perpendicular a la citada recta que une
los hilos y equidistante de ambos).
Nota: b y c son las distancias del punto P a los conductores.
Solucin.
En la figura tenemos dos hilos conductores rectilneos de gran longitud al plano de papel con I1 e I2hacia el lector.a. Se pide hallar la relacin entre I1 e I2 para que el campo magntico B en P sea paralelo a la recta
que une los hilos. Los campos 1Br
y 2Br
que crean los hilos en el punto P son:
-
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29
Si el campo resultante en P tiene la direccin de la recta que une los dos hilos (direccin OY),
slo tendr componente y, por lo que las componentes x de los dos campos han de anularse entre si:
cosBcosB 21rr
= (1)
Razones trigonomtricas y :
5
3cos
5
4sen ==
5
4cos
5
3sen ==
Desarrollando la expresin (1):
5
4
04'02
I
5
3
03'02
I 2o1o
=
simplificando
04'0
I4
03'0
I3 21 =
Por tanto, la relacin entre I1 e I2 tiene que ser:
304'0
03'04
I
I
2
1 = 1I
I
2
1 = 21 II =
El campo total en el punto P ser: (componente y)
5
3
04'02
I
5
4
03'02
IsenBsenBpB oo21 +=+=
rrr
es decir:
j04'0
03'0
03'0
04'0
10'0
IoBp
r
+
=
j)T(6
I125B op
r
=
b. Se pide para I1 = I2 hallar la direccin de Br
en el punto Q(simtrico a P)
Eje x:
-
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30
xQ21 BcosBcosB =
5
3
03'02
I
5
4
04'02
IB ooQx
=
r
003'0
3
04'0
4
10
IoB
xQ=
=
r
las componentes x de 1B y 2B se anulan mutuamente.
Eje y:
+= senBsenBB 21Qy
r
+
=
+
=
03'0
04'0
04'0
03'0
10'0
IB
5
4
03'02
I
5
3
04'02
IB oQ
ooQ yy
rr
12
25
1'0
IB oQy
=
=
12
I250B oQy
=
6
oI125B
yQ
La direccin y sentido del campo B en es: j6
I125B oQ
=
Modelo 2002. Cuestin 3.- Una partcula cargada se mueve en lnea recta en una determinada regin.Si la carga de la partcula es positiva Puede asegurarse que en esa regin el campo magntico es nulo?
Cambiara su respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?
Solucin.No puede asegurarse que no exista un campo magntico. Podra existir un campo magntico y la
partcula desplazarse paralela al campo, por lo que no se vera sometida a ninguna fuerza como pone de
manifiesto la ley:
BvqFrrr
= senBvqF =r
Si la partcula se desplaza paralela al campo, = 0 sen = 0 y F = 0, desplazndose conmovimiento rectilneo uniforme.
El signo de la carga solo influye en el sentido de la fuerza, si la fuerza en nula, el signo de la
carga no influye.
Septiembre 2001. Cuestin 3.-Una partcula de carga q = 16x1019 C se mueve en un campomagntico uniforme de valor B = 02 T, describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la
direccin del campo magntico con periodo de 32x107 s, y velocidad de 38106 m/s. Calcule:a) El radio de la circunferencia descrita.b) La masa de la partcula.
Solucin.a. Puesto que el periodo del movimiento circular es:
seg102'3T 7=
la velocidad angular es:
srad1096'1
T
2 7=
=
y el radio de la trayectoria lo hallamos relacionando la velocidad angular y la lineal:
0'194mR1096'1
108'3VRRV
7
6
=
=
==
b. El movimiento circular se debe a la fuerza de Lorentz que acta de fuerza centrpeta. A partir dela igualdad:
BvqR
vm
2
=
se despeja la masa de la partcula:
-
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v
BRqm =
sustituyendo los datos:
kg10633'1m 27=
Septiembre 2001. Problema 2A.-Por un hilo conductor rectilneo e infinitamente largo, situadosobre el eje X, circula una corriente elctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo
magntico producido por dicha corriente es de 3105 T en el punto P (0, -dP, 0), y es de 4105
T en elpunto Q (0, +dq, 0). Sabiendo que dP + dq = 7 cm, determine:
a. La intensidad que circula por el hilo conductor.b. Valor y direccin del campo magntico producido por dicha corriente en el punto de
coordenadas ( 0, 6 cm, 0).
Datos: Permeabilidad magntica del vaco 0 = 4107 N A
2
Las cantidades dP y dq son positivas.
Solucin.a. Las lneas de campo magntico generadas por elconductor son crculos concntricos con el mismo por tanto,en el plano yz.
El campo B que produce una corriente indefinida de
carga en un punto separado una distancia radial a del mismo
es:
a2
IB o
=
por tanto, el campo producido en los puntos Q y P:
-2-d2
IB-1-
d2
IB
p
op
q
oq
=
=
Conociendo el campo en los dos puntos y, sabiendo que :
m107dd 2pq=+
( )
=
=
q2
o5-
q
o5
d1072
IT103
d2
IT104
dividiendo ambas expresiones y simplificando:
( )q
q2
5-
5
d
d107
T310
T104 =
ecuacin de 1 grado que permite calcular qd .
cm4dcm3m03'0d pq ===
y la intensidad ,se puede calcular por -1-, por -2-.
( )7-oo
104siendo6AI
d2BI ===
b. En un punto A del eje y, el campo B tiene de mdulo:
T102B1062
A6104B6cmaSi
a2
IB 5A2
7
Ao
A
=
===
La direccin del vector AB es tangente a la lnea del campo magntico que pasa por ese punto, por tanto
tiene direccin .k
El sentido dado por la regla de la mano derecha es ( )k+ :( )Tk102B 5A
rr =
-
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32
Junio 2001. Cuestin 3. Un electrn que se mueve con una velocidad de 106 m/s describe una rbitacircular en el seno de un campo magntico uniforme de valor 01 T cuya direccin es perpendicular a la
velocidad. Determine:
a) El valor del radio de la rbita que realiza el electrn.b) El nmero de vueltas que da el electrn en 0001 s.
Datos: Masa del electrn me= 911031 kg
Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019
CSolucin.
a. La fuerza de Lorentz que experimenta el electrn, hace que describa una trayectoria circular. Esuna fuerza normal. (siempre perpendicular a la velocidad).
( )BxVqF = El modulo de F es:
90senBVqF =
que es la fuerza centrpeta, por tanto:
BVqR
vm-1-
2
=
de -1-, se despeja el radio de la rbita:
qB
vmR
=
Sustituyendo los valores numricos:
m1068'5R 5=
b. Se calcula el periodo(T) del movimiento circular:
seg3'5710Tv
R2T 10-=
= (tiempo que tarda en dar 1 vuelta)
El n de vueltas ser:
=
revolucinseg
1057'3
seg001'0
10
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