551303 Matemáticas II

GUIA DE ESTUDIOS

MATEMÁTICAS II

PLAN SEP 115

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

1

INTRODUCCION

La presente guía de estudios es un instrumento educativo que sirve para orientar y auxiliar en el proceso de aprendizaje enseñanza de la asignatura de MATEMÁTICAS II, contenida en el plan de estudios a nivel bachillerato.

Está concebida para asistir a los estudiantes, durante su proceso formativo en las ciencias exactas. En este sentido se pretende fortalecer la formación educativa del estudiante para que sea capaz de alcanzar los conocimientos generales con respecto a los objetivos fundamentales de la materia. La guía ofrece una visión adecuada, clara y precisa de la estructura y contenidos de la asignatura Matemáticas II para implementar una estrategia de estudio que lo habilite para poder presentar los exámenes correspondientes con resultados positivos.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

El estudiante:Resolverá problemas geométricos y trigonométricos de carácter teórico o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la geometría plana y la trigonometría, que favorezca la deducción del comportamiento gráfico de las figuras formadas por líneas en el plano (Geometría Euclidiana) y una aplicación correspondiente a la medición de triángulos (Trigonometría), mostrando interés científico y actitudes críticas, reflexivas y responsables, que le permitan su desenvolvimiento escolar.

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UNIDAD I ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

OBJETIVO DE UNIDAD:Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de ángulos en el plano y su clasificación, así como de triángulos y los conceptos de semejanza y congruencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

1.1 Ángulos en el plano1.1.1 Definición

1 De la definición de ángulo2 De la definición de bisectriz

1.1.2 Clasificación3 Un ángulo agudo mide__________4 Un ángulo obtuso mide_________5 Un ángulo recto mide__________6 Un ángulo llano mide__________7 Un ángulo de una vuelta mide__________8 De la característica de los ángulos adyacentes 9 Dos ángulos son complementarios cuando suman_________10 Dos ángulos son suplementarios cuando suman ____________11 Dos ángulos opuestos por un vértice son ___________12 Demostrar que los AOD =COB A C

O

D B13 Si AOC =COB están a una razón de 2:3 ¿Cuánto mide cada uno? C

A B O14 Si AOD =2x, DOC=5x y COB=3x ¿Cuánto mide cada uno? D C

5x A 2x 3x B O15 Si AOD es recto y AOD y AOD están en la relación 4:5 ¿Cuánto vale cada uno? B C

O A16 Si AOD es recto y DOC=2x , COB=3x y AOB=4x ¿Cuánto vale cada uno? D C

B

3

17 Encontrar el valor de cada ángulo de la siguientes figuras A C C B

x O 2x 5x O 4x D B A D18 Hallar el ángulo que es igual a su complemento19 Hallar el ángulo que es igual al doble de su complemento20 Hallar un ángulo y su complemento que están en relación 3:4 21 Hallar el ángulo que es igual a su suplemento22 Hallar un ángulo y su suplemento que están en relación 3:123 Hallar un ángulo y su complemento que están en relación 2:324 Hallar dos ángulos que están en relación 3:4 y suman 70°25 Hallar dos ángulos que están en relación 4:9 y suman 130°

1.1.3 Medición de ángulos en el sistema sexagesimal26 Definir los siguientes conceptosa) Gradob) Minutoc) Segundo

27 Hallar los suplementos de los siguientes ángulosa) 135°12´b) 145°35´25´ć) 109°45´d) 175°35é) 75°25´

28 Hallar los complementos de los siguientes ángulosa) 18°25´b) 13°20´15´ć) 25°13´4´´d) 79°13’25’’e) 45°58´´

1.1.4 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante29 De la siguiente los tipos de ángulos de la figura siguiente Internos Externos 1 2 alternos 3 4 correspondientes

5 6 8 7

30 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos en cada caso

1 2 a) 1=120° 3 4 b) 7=(8)/2 c) 5=5x y 6=13x

5 6 7 8

31 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos si 3=2x y 4=6x

1 2

3 4

4

32 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor del ángulo x 60°

x33 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos x y y 45°

y x 34 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos x y y x y

100°

35 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor del ángulo A C

130°

A B36 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos x ,y,z y w

x y z w 70°

37 Tomando de referencia la figura siguiente calcula el valor de los ángulos A,B;C y D A B

60°

C D

1.2 Triángulos1.2.1 Definición y clasificación

1. De la definición de triangulo2. Los puntos de intersección se llaman_________3. Los segmentos determinados se llaman________4. Cuales son los elementos de los triángulos5. Características de un triángulo isósceles

5

6. Características de un triángulo equilátero7. Características de un triángulo escaleno8. Un triángulo acutángulo tiene _______________9. Un triángulo acutángulo tiene______________10. Un triangulo rectángulo tiene____________11. Dibuja un triángulo rectángulo indicando sus elementos12. En un triangulo la mediana es: 13. El punto de intersección de las medianas se llama__________ 14. En un triangulo la altura mediana es: 15. El punto de intersección de las alturas se llama__________ 16. En un triangulo la bisectriz es: 17. El punto de intersección de las bisectrices se llama__________ 18. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° de acuerdo al

siguiente figura c x y

A B19. Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de un triangulo es igual a 360° de acuerdo al

siguiente figura

c

A B

20. Probar que el valor e un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes de acuerdo con la siguiente figura

C

A B

1.2.2 Congruencia

1.CompletaDos triángulos son iguales si:a) Tienen un lado _________ y los ángulos____________son igualesb) Tienen dos __________iguales y el ángulo_________entre ellos son ______respectivamentec) Tienen ____ lados________

2.CompletaDos triángulos rectángulos son iguales si:a) La ___________y un___________son igualesb) Un ________y el ángulo________son igualesc) Un cateto y el ángulo____________son igualesd) Los dos ____________ son iguales

1.2.3 Semejanza

1. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres ángulo respectivamente__________2. Son lados homólogos aquellos que se oponen ángulos__________3. Cuando el ∆ABC∆ABC se tiene la propiedad del________4. Cuando el ∆ABC∆A´B´C´ se cumple ∆A´B´C´∆ABC se tiene la propiedad del________

6

5. Cuando el ∆ABC∆A´BĆ y A´BĆ´∆A´´B´Ć´´ se cumple ∆ABC∆A´´B´Ć´´ se tiene la propiedad del________

6. Se llama ____________a la razón entre lados homólogos7. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ________ respectivamente_______ 8. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ________ proporcionales y el _________comprendido9.Dos triángulos son semejantes si tienen tres ________ proporcionales10. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo _________igual11. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen sus ________ proporcionales12. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un _________ y la ________

proporcionales13. En dos triángulos son semejantes las alturas correspondientes son proporcionales a sus ______

14. Si AB‖DE demostrar que ∆ABC∆DCE y si AC=3, AD=2 y AB=4 calcular DE C B E

A

D

15. Si PQ‖AB Y QR‖CD demostrar que ∆PCQ∆RQB A

P R

C B Q

16. Si EB‖CD y AB=2 BC=18 y BE=3 calcular CD C

E

A B C

1.2.4 Teorema de Pitágoras

1. Enuncia el teorema de Pitágoras2. En los siguientes ejercicios a y b representan los catetos y c la hipotenusa, encuentra la medida que falta

a) si a=15 b=20 c=b) si a=5 b=12 c=c) si b=16 c=65 a=d) si a=14 c=25 b=e) si a=1 b=1 c=f) si a=1 b=2 c=g) si b=9 c=12 a=h) si b=60 c=61 a=i) si a=15 c=17 b=

3. Calcular la longitud de un cable apoyado a 6 metros de altura y a 8 metros de su base4. La altura con respecto al vértice B de un triangulo mide 8cm, los lados que contienen B miden 6 y 17 cm. respectivamente ¿Cuál es la longitud del tercer lado?5. ¿Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 48 y 90 cm. respectivamente?6. Un rectángulo tiene 248 cm. de perímetro, uno de sUs lados mide 96 cm. ¿Cuánto mide cada una

7

de sus diagonales?7. Si las diagonales de un rombo 12 y 16 cm. respectivamente ¿Cuánto miden cada uno de sus lados?8. Si un punto A tiene como coordenadas (24,70) ¿Cuál es la distancia del punto al origen?9. La distancia del origen a un punto A es de 34 unidades, y se sabe que tiene como abscisa 30 ¿Cuál es la ordenad de dicho punto?10. Si una resbaladilla tiene una altura de 2 m respecto al suelo y el extremo de la misma esta situado a 3 m de la escalera ¿Cuánto mide la longitud de de la resbaladilla?11. Una pirámide tiene como base un cuadrado de lado 25 m y la altura de 50 m ¿Cuál será la distancia que deba subir una persona hasta la punta de la misma?12. Se tiene una cuerda de 20 m y se coloca un extremo en la punta de un árbol y el otro en el suelo a una distancia de 7m de la base del árbol ¿Cuál es la altura del árbol?

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UNIDAD II POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

OBJETIVO DE UNIDAD:Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de conceptos sobre polígonos y circunferencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia en entorno en el que se desenvuelve.

2.1 Polígonos2.1.1 Definición

1. De la definición de poligonal y de polígono2. Dibuja una poligonal cerrada y una abierta

2.1.2 Clasificación

1. Relaciona las columnasa) Tiene todos sus lados iguales Cóncavo ( )b) Es aquél que tiene todos sus ángulos iguales Equilátero ( )c) Es aquél que tiene todos sus ángulos menores que 180° Convexo ( )d) Es aquél que tiene al menos un ángulo mayor a 180° Equiángulo ( )

2. Escribe que tipo de polígono se trata: Cóncavo, Equilátero, Convexo ó Equiángulo.

_________ _________ ________ _______ _________ ___________

3. De la definición de polígono regular4. Completa la siguiente tabla

POLÍGONO NO DE LADOS MEDIDA DE UN ANGULO

triangulo 3 lados 60°

4 lados

pentágono

6 lados

eptágono

8 lados

eneágono

10 lados 36°

undecágono

dodecágono

15 lados

¿Que pasa cuando el numero de lados tiende a ∞ ?5. De la definición de polígono irregular6. Dibuja los siguientes polígonos irregulares y da sus características:

Rectángulo Trapecio Trapezoide Rombo Romboide

7. De la definición de diagonal8. Trace todas las diagonales de los siguientes polígonos

9

9. Si la suma de los ángulos interiores de todo polígono convexo es a) Da una explicación de la formulab) Calcula la suma de los ángulos de las siguientes figuras

10. Di cuáles son ángulos exteriores y cuales ángulos interiores de la siguiente figura

A 1 C A = D = 2 3 1 = 2 = B B = E =

3 = C = D 6 = F = 5 4 5 = 4 = E 6 F

2.1.3 Suma de ángulos

11. Si la formula de un ángulo interior de un polígono regular es calcula los

valores de cada ángulo de las figuras:

12. Cuanto vale la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo?13. Calcular la suma de los ángulos exteriores de las siguientes polígonos y di cuanto vale cada

ángulo

14. Cuantas diagonales se pueden trazar desde un vértice si el polígono tiene 4 lados 7lados 8 lados 12 lados

15. Cuantas diagonales se pueden trazar en un polígono de: 6 lados 8 lados 5 lados

16. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260°?17. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1800°?18. Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado19. Hallar la suma de los ángulos interiores de un heptágono

10

20. Hallar la suma de los ángulos exteriores de un pentágono21. Hallar el valor de un ángulo interior de un dodecágono regular22. Hallar el valor de un ángulo interior de un decágono regular23. Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior es de 60°24. Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior es de 90°25. Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior es de 135°26. Hallar la suma de los ángulos exteriores de un heptágono27. Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono de 20 lados28. Determinar el polígono regular cuyo ángulo exterior es 120°29. Determinar el polígono regular cuyo ángulo exterior es 60°

2.1.4 Triángulos de polígonos

30. ¿Cuál es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono?31. ¿Cuál es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un dodecágono?32. ¿Cuál es el número total de diagonales que se pueden trazar en un decágono?33. ¿Cuál es el número total de diagonales que se pueden trazar en un hexágono?34. ¿Cuál es el polígono que tiene 14 diagonales en total?35. ¿Cuál es el polígono que tiene20 diagonales en total?36. ¿Cuál es el polígono en el que se trazan nueve diagonales desde un vértice?37. ¿Cuál es el polígono en el que se trazan seis diagonales desde un vértice?

SI un polígono regular es aquel que tiene sus ángulos y lados iguales 38. Definir que es un polígono inscrito y un polígono circunscrito39. Definir que es un circunferencia inscrita y una circunferencia circunscrita40. Definir que es el radio de un polígono regular41. Definir que es el ángulo central42. Traza un una circunferencia de radio 5cm y divídela tres arcos iguales y traza las cuerdas que

unen a los puntos sucesivos Que polígono regular se forma? traza ahora el punto medio de cada arco subtendido por cada lado del polígono y únelo a cada vértice próximo ¿Qué polígono inscrito se forma? Que pasa si se realiza e l proceso otra vez

43. Realiza lo mismo que el ejercicio anterior pero ahora divide la circunferencia en cuatro arcos iguales

44. Traza un una circunferencia de radio 5cm y divídela cinco arcos iguales y traza las tangentes por

los puntos de división o por los puntos medios de los arcos ¿Qué figuras se forman?

2.1.5 Cálculo de área y perímetros

45. Definir que es el apotema de un polígono regular46. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio3cm, cuyo lado es

32 cm.47. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5cm, cuyo lado es

53 cm.48. Si el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 9 cm. vale 9 cm.

hallar e valor del hexágono circunscrito en la misma circunferencia

49. Si el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio 6cm vale

hallar e valor del polígono de 16 lados inscrito en la misma circunferencia50. Si el lado de un cuadrado regular inscrito en una circunferencia de radio 7cm vale

hallar e valor del cuadrado circunscrito en la misma circunferencia

51. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 202 cm. calcular el valor del diámetro

52. Calcular el lado de un hexágono regular inscrito circunferencia de radio 10cm,

11

53. Calcular la apotema y lado de decágono inscrito en una circunferencia de radio2cm, sabiendo que

el lado del pentágono inscrito vale 54. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm., 55. Calcular el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio7cm, , 56. Definir el concepto de perímetro y área 57. Calcular el perímetro y área de de un triangulo equilátero de lado 3cm58. Calcular el perímetro y área de de un triangulo rectángulo de lados 3cm, 4cm y 5cm59. Calcular el área de de un triangulo de base 8cm y altura 6cm60. Calcular el área de un triangulo cuyos lados son 9,7y5cm respectivamente aplique la formula

de Heron

61. Calcular el área y perímetro de un rectángulo de lados 2cm y 5cm respectivamente62. Calcular el área y perímetro de cu8n cuadrado de lado 3cm63. Calcular el área y perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm. y su apotema

vale 1.5 cm.

64. Calcular el área y perímetro de un rombo cuyos lados miden 2 cm. y las diagonales miden 3.5cm y

1.7 cm. respectivamente65. Calcular el área y perímetro de un trapecio cuya base mayor mide 4 cm. y la menor 1.5 cm.

altura 2 cm. y el ultimo lado 3.3 cm.66. Calcular el área y perímetro del polígono irregular las unidades están en cm.

3.16

67. Para la siguiente figura ABCD de área 49 cm. calcular a) . el valor de x b) el área sombreado de cada figura c) el área total sombreada d) el perímetro de la figura

D N M C 2 O L X P K 2 A B I J X 2 2

68. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal es de 9 cm. y la altura es de 2 cm.?69. Calcular el área de un hexágono regular de lado 3cm y apotema de 1.5 cm.70. Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 42 cm.71. Si se aumentan en dos cm. los lados de un cuadrado su área aumenta en 36cm2 cual es el

lado del cuadrado

72. Calcular el área en blanco figuras

H

G

E F

12

o

o

o

El cuadrado tiene lado 2cm el triangulo equilátero de lado 3cm

El cuadrado tiene lado 2cm el triangulo equilátero de lado 3cm

2.2 Circunferencia y círculo2.2.1 Definición y elementos y 2.2.2 Rectas tangentes a un círculo

1. Definir el concepto de circunferencia2. Definir el concepto de circulo

3. Definir los siguientes conceptos a) Radiob) Diámetroc) Cuerdad) Arcoe) Tangentef) Secante

2.2.3 Ángulos

4. Definir los siguientes ángulos de una circunferenciaa) Ángulo central b) Ángulo inscrito c) Ángulo semi-inscrito d) Ángulo ex-inscritoe) Ángulo adyacente f) Ángulo interiorg) Ángulo exterior

5. Para las siguientes figuras

A

AB=100°

B

¿Cuánto vale el AOB?

A

B AC=150°

C

¿Cuánto vale el ABC?

CA

13

o

B o

o

o

o

o

BC=220°

B¿Cuánto vale el ABC? A E

A

BD=20° AC=80°

B D C¿Cuánto vale el BCD?

A C DC=60°

E AE=130° D

¿Cuánto vale el DBC?

A

C AOB=70°

B

¿Cuánto vale el ACB?

A

C BOC=40°

B

¿Cuánto vale el BAC?

A D ABC=80°

B C DC=35°

¿Cuánto vale el AD?

E F D ED paralela a FB C BD=30°

B AF=100° A

¿Cuánto vale el BCD Y AE?

2.2.4 Perímetros y áreas6. Calcula el perímetro y área de una circunferencia de radio 6 cm.7. Calcular el perímetro y área de una circunferencia de radio 22 cm.8. ¿Cuál es radio de de una circunferencia cuyo perímetro es de 120 cm?9. ¿Cuál es el área de una circunferencia cuyo diámetro es 20 cm?10. ¿Cuál es el radio de una circunferencia de área 90 cm2?

14

11. Calcular el área de una corona circular donde el radio mayor mide 8 cm. y el menor 5cm12. Calcular el área de una corona de una moneda de $5 13. Calcular el área de un sector circular cuyo radio mide 12 cm. y la longitud del arco es de 8 cm.14. Si el radio de una circunferencia es de 540 cm. calcular el área del sector circular que define un ángulo de 60°.15. Calcular el área del segmento circular de 130° que pertenece a un circulo de 4cm de radio ,cuya cuerda mide 7cmy la altura del triangulo correspondiente es de 2.5cm17 Determinar el área de un segmento circular definido en una circunferencia de radio 9 cm. y cuya cuerda mide igual que el radio, la longitud del arco es de 16 cm

UNIDAD III FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVO DE UNIDAD:Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de las funciones trigonométricas, para la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia en entorno en el que se desenvuelve.

3.1 Conversión de medidas de ángulos3.1.1 Medición de ángulos 1. Diga cuáles son los dos tipos de medición de ángulos.2. Graficar los siguientes ángulos en un mismo plano cartesiano.

a)20ºb) 30ºc) 45ºd) 60ºe) 75ºf) 90ºg) 120º

h) 135ºi) 150ºj) 180ºk) 270ºl) 300ºm) 360º

3. Graficar en un plano a) 1/3 radianesb) 2/3 radianesc) 1/2 radianesd) 3/2 radianese) radianes

f) 5/4 radianesg) 3/2 radianesh) 7/5 radianesi) 2 radianes

3.2.1 Conversión de ángulos en grados y radianes

4. Explica las formulas de conversión de ángulos, grados a radianes y viceversa.5. Convertir a grados

a) 5/3 radianesb) 7/8 radianesc) 3/4 radianesd) 6/4 radianese) 1/2 radianesf) 2/3 radianes

g) 0.385 radianesh) 2.358 radianesi) 45.25 radianesj) 0.1205 radianesk) 2.85236 radianesl) 2.94587 radianes

6. Convertir a radianes.a) 358º23´b) 25º35´c) 185ºd) 355ºe) 125º26´f) 625º

g) 90ºh) 270ºi) 360ºj) 60ºk) 256º25´l) 78º78´

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3.2 Funciones trigonométricas para ángulos agudos 3.2.1 Funciones recíprocas

7. Considerando el siguiente triangulo establezca las funciones trigonométricas primarias y

reciprocas.

A(6,8)

8. Si valor del Cos = calcula las demás razones trigonométricas.

9. Si el valor de Csc = calcula las demás razones trigonométricas.

10. Encontrar las funciones Sen, Cos y Tan del ángulo en su posición normal cuya recta del lado final pasa por el punto P.

a) P(-5,-12) b) P(-5,-5) c) P(-9,12) d) P(15,-8) e) P(-8,0)

3.2.2 Identidades pitagóricas

11. Utilizando las identidades trigonométricas, reciprocas y pitagóricas demuestra las siguientes identidades.

a.

b.c.d.

e.

f.

g.

h.

i.

j. sen t (csc t –sen t) = cos2 t k. (cos2 t - 1) (tan2 t + 1) = 1- sec2 t

l.

m.

n.

o.

p.

16

12. Usa las entidades pitagóricas para escribir la expresión como un entero.a.

b.

c.

d.

3.2.3 Cálculo de los valores 30, 45 y 60

13. Considere el siguiente triángulo y complete la siguiente tabla.

2 2

14. Considere el siguiente triángulo y complete la siguiente tabla.

2 2 45°

2

3.2.4 Resolución de triángulos rectángulos

15. Calcule las razones trigonométricas y el valor del ángulo agudo de los siguientes triángulosa) b)

3 5 5 9

4c) d)

6 4

=30° =60°Sen Cos Tan Cot Sec Csc

=45°Sen Cos Tan Cot Sec Csc

17

60°

5 5e) f)

25 15 7 13a)

16. Resolver los siguientes triángulos rectángulos con cuatro cifras decimales.a)

3 x 29º19´ b)

3 5

c)

15

45°

17. Resolver los siguientes problemas de triángulos rectángulos

a. Un leñador ubicado a 200 pies de la base de una secoya, observa que el ángulo entre el suelo y parte superior del árbol es de 60º. Calcula la altura del árbol.

b. En las llanuras de Salisbury, Inglaterra fue construida utilizando bloques de piedra maciza que pesaban hasta 9 000 libras cada uno. Levantar una sola de estas piedras requería de unas 550 personas, quienes subían la piedra por una rampa inclinada a un ángulo de 9º. Calcula la distancia en que movían una piedra para levantar a una altura de 30 pies.

c. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57º20´. Calcula la altura de la torre.

d. Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega directamente hacia l edificio. Si el observador está a 100 pies snm (sobre el nivel del mar) y el ángulo de depresión de la lancha cambia de 25º a 40º durante el periodo de observación, calcula la distancia que recorre la lancha.

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e. Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo, uno de ellos en dirección N23ºE a una velocidad de 11 millas por hora y el segundo en dirección 567ºE a 15 millas por hora. Calcula el rumbo del segundo barco con respecto al primero, una hora después.

f. Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda a 4 pies sobre del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y hace un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula la altura de la cometa sobre el nivel del suelo, si sueltan 500 pies de cuerda.

g. Un piloto que vuela a una altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a un ángulo de 10º. Calcula, a los 100 pies más cercanos, la distancia del avión a los números al principio del descenso.

h. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y un punto en el suelo horizontal que está a 40.0 metros de la base de antena. Si el alambre hace un ángulo de 58º20´ con el suelo, calcula la longitud del alambre.

i. Un cohete es disparado al novel del mar y sube a un ángulo constante de 75º hasta una distancia de 10 000 pies. Calcula su altitud al pie más cercano.

j. Un constructor desea construir una rampa de 24 pies de largo que se levanta a una altura de 5 pies sobre el nivel del suelo. Calcula el ángulo de la rampa con la horizontal.

k. Un octágono regular está inscrito en un círculo de 12.0 cm. de radio. Calcula el perímetro del octágono.

l. La estructura natural hecha por e hombre, en el mundo, es una torre transmisora de televisión situada en Fargo, Dakota del norte. Desde una distancia de 1 milla a nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 21º 20´24´´. Determina su altura.

m. Desde un punto a que está 8.20 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación de la parte alta de un inmueble es 31º20´ y el ángulo de depresión de la base del mismo es 12º50. Calcula la altura del edificio

n. Un avión que vuela a una altitud de 10 000 pies pasa discretamente sobre un objeto fijo en el suelo. Un minuto después el ángulo de depresión del objeto es de 42º. Calcula la rapidez del avión a la milla por hora más cercana.

o. La torre Eiffel. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 200 pies de su base, el ángulo de elevación es 79.2º, calcula la altura de la torre.

p. La gran pirámide de Egipto mide 147 metros de altura, con una base cuadrada de 230 metros por lado. Aproxima, al grado más cercano, el ángulo que se forma cuando un observador se sitúa en el punto medio de uno de los lados y observa la cúspide de la pirámide.

q. Para nueva carretera debe excavarse un túnel bajo la montaña que mide 260 pies de altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 36º. De una distancia de 150 pies en el otro lado, el ángulo de elevación es de 47º. Calcula la longitud del túnel al pie más próximo.

r. El fabricante de un sistema computarizado de proyección recomienda instalar un proyector en un techo. La distancia del extremo del soporte de montaje al centro de la pantalla es 85.5 pulgadas, y el ángulo de depresión es 30º.

a.Si se deprecia el grosor de la pantalla, ¿a qué distancia de la pared debe montarse el soporte?

b.Si el soporte mide 18 pulgadas de largo y la pantalla está a 6 pies de altura, determina la distancia del techo al borde superior de la pantalla.

19

3.3 Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud3.3.1En un plano coordenado

19. Encontrar todas las razones trigonométricas para el ángulo si:

a) cuadrante III.

b) cuadrante II.

c) cuadrante I.

20. De acuerdo ala siguiente figura completa la tabla de los signos de las funciones trigonométricas.

P(-x,y) X P(x,y)

Y

P(-x,-y) P(x,-y)

21. Calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo (90°-a) si a=40°

22. Calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo (180°-a) si a=30°23. Calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo (180°+a) si a=135°24. Calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo (360°-a) si a=75°25. Calcular el valor de las funciones trigonométricas del ángulo (-a) si a=65°26. calcular sen(+) si si sen =3/5 en el primer cuadrante y cos =-2/5 en el segundo cuadrante27. calcular cos(+) si si cos =12/144 en el primer cuadrante y cos=-4/5 en el tercer cuadrante28. calcular tan(+) si si tan =4/3 en el primer cuadrante y tan =-4/3 en el segundo cuadrante

29. calcular sen(-) si si sen = en el primer cuadrante y cos = en el segundo cuadrante

30. calcular sen2

31. calcular cos2 si

32. Aproxima todos los ángulos del intervalo que satisfagan la ecuación al 0.01 de radián más cercano.a. sen = 0.4195b. cos = -0.1207c. tan = 0.42d. csc = 1.258e. sec = -3.51

33. Hallar la amplitud y el periodo y traza la gráfica de la ecuación.a. y = 4 sen x

Signo en los cuadrantes Función I II III IVSenCos Tan Cot Sec Csc

20

b. y = sen 1/4xc. y = ½ sen 4xd. y = -4 sen xe. y = sen (-4x)f. y = ½ cos 3xg. y = cos (-3x)h. y = 2 cos 1/3xi. y = -3 cos x

34. Hallar la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y traza la gráfica de la ecuación.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

21

3.3.2 El círculo unitario

35. Completa los valores por simetría para el ángulo de 45°.



37. Considere el siguiente triangulo y complete la siguiente tabla.

B P(Cos,sen) B´

=45° =135° =225° =315°Sen Cos Tan Cot Sec Csc



funciónGrados

radianesCoordenadas de P

valor de la función

Sen 0 0 (1,0) 0Cos 0 0 (1,0) 1Tan 0 0 (1,0) 0Cot 0 0 (1,0) Sec 0 0 (1,0) 1Csc 0 0 (1,0)

SenCosTanCot Sec Csc

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

Sen Cos Tan Cot Sec Csc

22

1 x

ssssssssssssc´

45°

30°

60°

y C X

a) Gira el punto P hacia (1,0) y el ángulo será cerob) Gira el punto P hacia (0,1) y el ángulo será 90°=π/2c) Gira el punto P hacia (-1,0) y el ángulo será 180°= πd) Gira el punto P hacia (0,-1) y el ángulo será 270°= 3/2 π e) Gira el punto P hacia (1,0) y el ángulo será 360°= 2 π

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UNIDAD IV LEYES DE SENOS Y COSENOS

OBJETIVO DE UNIDAD:Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de las Leyes de Senos y Cosenos para la resolución de triángulos oblicuángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia en entorno en el que se desenvuelve.

4.1 Leyes de Senos y Cosenos4.1.1 Ley de senos y 4.1.2 Ley de cosenos1. Que es un triangulo oblicuángulo2. Enuncia la ley de los senos3. Enuncia la ley de los cosenos

4.1.3 Resolución de triángulos oblicuángulos

4. Para resolver un triangulo oblicuángulo se tienen tres casos:a) __________________b) __________________c) __________________

Considerando la siguiente figura resuelve los ejercicios aplicando la ley adecuada C

b a

B A c 5. B=12.67° , C=100° y b=13.16. A=41° , B=77° y c=1007. a=25, b= 80, c= 608. A=60º, b=20, c=309. A=40.3º, B=62.9º b=5.6310. A=80.1º, a=8.0, b=3.411. a=4.5 , b=6.3 y C=60°12. A=32°, B=48° y a=1013. b=3.4, c=2.8 y A=82°14. a=45, b=67 y C=35°15. a=10.5, b=40.8 y C=120°16. b=38, c=42 y A=135.5°17. B=48° ,A=43.4° y c=8.618. C=73.2°, A=13.7° y c=20.519. a=300, b=500 y c=60020. a=7.23 ,b=6 y c=1821. a=15, c=2.8 y B=135°22. a=11.2 , B=15.3 y C=116.4°23. a=20, b=40 y C=28°24. B=63° , b=5 y c=425. a=4.21, b=1.84 y C=30.7°

4.1.4 Aplicaciones prácticas1. Se requiere determinar el área de un terreno que presenta la siguiente figura

25m 30m 35m 15m 45m

2. Dos fuerzas de 200kg y 250kg forman un ángulo de 60° entres si y se aplican a un cuerpo en el mismo punto. hallar la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza de 200 Kg.

24

250 Kg. resultante

200kg3. Dos fuerzas de magnitud 340 Kg. y 475 Kg. forman un ángulo de 34.6° se aplican a un objeto en el mismo punto .hallar la magnitud de la resultante

4. Desde una posición en la base de una colina, un observador mide el ángulo de elevación de la punta de una antena y es de 43.5°. después de caminar 1500 m hacia la base de la antena sobre una pendiente de 30° vuelve a medir el ángulo y resulta de 75.4° .determinar la altura de la colina y la antena

5. Determinar que el área del triangulo oblicuángulo es

C

A B

6. Un peso w esta atado a un cable que pende a su vez de dos poleas. si en cierto momento el ángulo =41° y el ángulo =75° ¿ Cuál es la distancia del peso w al poste izquierdo?

7. Resolver la estructura siguiente sabiendo que los triángulos son iguales C

20 m

A 20m B8. Un barco navega 200 millas a un ángulo de 33° hacia el noroeste y después altera su rumbo aun

ángulo de66° en la misma dirección y navega 300 millas calcular la distancia desde el punto de partida hasta el punto final y la me4dida del ángulo

66° 33° 200kg

9. Un tercer agujero de un campo de golf esta a 350 yardas como se muestra en la figura calcular la distancia directa desde T hasta el agujero H sobre el obtusángulo de agua

D 200yardas 127° H

150 yardas

25

h

w

20m

T10. Ángulos de un terreno triangular. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 pies de

longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados.

11. A fin de establecer la distancia entre los puntos a y b, un agrimensor selecciona un punto C que está a 375 yardas de a y 530 yardas de B. si el BAC mide 49º30´, calcula la distancia entre A y B.

12. Un camino recto hace un ángulo de 15º con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 57º, un poste vertical que está a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo. Calcula la longitud del poste.

13. Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son 24º10´ y 47º40´, respectivamente. Los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.

14. Un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25º con la horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45º con la horizontal.

15. Localización de un incendio forestal. Un guardabosque ubicado en un punto de observación a avista un incendio en dirección N27º10´ y otro guardabosque, que está en un punto de observación b a 6 millas directamente al este de a, advierte el mismo incendio en N52º40´. calcula la distancia desde punto e observación al incendio.

16. Altura de una catedral. Una catedral se encuentra sobre una colina, cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48º, cuando se ve a una distancia de 200 pies desde la base de la colina, es de 41º. La colina se eleva en un ángulo de 32º. Calcula la altura de la catedral.

17. Relaciones en un prisma. El volumen v del prisma triangular recto es de 1/3 bh, donde b es el área de la base y h es la altura del prisma calcula. h y v.

18. Un programa emplea sistema de coordenadas para ubicar posiciones geográficas. Una torre de perforación petrolera, situada frente a la costa en el punto P y Q, y se encuentra que QPR y RQP miden 55º50´ y 65º22´, respectivamente. Si los puntos P y Q tienen coordenadas (1487.7, 3452.8) y (3145.8, 5127.5), respectivamente, calcula las coordenadas de R.

19. Dimensiones de un terreno triangular. El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73º40´, y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado.

20. Distancia entre vehículos. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84º en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a qué distancia aproximada se hallarán uno de otro al cabo de 20 minutos?

21. Distancia de vuelo. Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130º y luego 80 millas en dirección 245º. ¿a qué distancia aproximada se encontrará del punto A?

22. Rumbo de una lancha de motor. Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta con lados de 2 Km., 4 Km. y 3 Km., respectivamente. Recorrió el primer lado en dirección N20º y el segundo en dirección si , donde es la medida en grados de un ángulo agudo. Calcula, al minuto más cercano, la dirección en que recorrió el tercer lado.

23. Ángulo de una caja. La caja rectangular tiene dimensiones de 8´´ x 6´´ x 4´´. Calcula el ángulo formado por una diagonal de la base y una diagonal del lado de 6´´ x 4´´.

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24. Un rombo tienen lados de 100 cm. de longitud y el ángulo en uno de los vértices es de 70º. Calcula las longitudes de las diagonales al décimo de cm. más cercano.

25. Distancia en un parque de béisbol. Un parque de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y están a 90 pies una de otra; el montículo del lanzador se halla a 60.5 pies del plato. Calcula la distancia del montículo del lanzador a cada una de las otras tres bases.

26. Reconocimiento. Un aeroplano P de reconocimiento, que vuela a 10 000 pies por arriba de un punto R sobre la superficie del agua, localiza un submarino S a un ángulo de depresión de 37 y un buque tanque T a un ángulo de depresión de 21º, Además, el SPT resulta ser de 110º. Calcula la distancia entre el submarino y el buque tanque.

27. Diseño de automóviles. La portezuela trasera de un auto mide 42 pulgadas de largo. hay que fijar un soporte, que mide 24 pulgadas cuando está extendido por completo, tanto a la portezuela como a la carrocería, de modo que cuando la portezuela se abra del todo, el soporte quede en posición vertical y haya un espacio libre de 32 pulgadas. Calcula las longitudes de los segmentos TQ y TP.

28. Un campo triangular tiene longitudes a, b y c (en yd). Calcula el número de acres del campo ( 1 acre = 4840 yd2)

1) a = 115, b = 140, c = 2002) a = 320, b = 350, c = 500

29. Calcula el área de un paralelogramo que tiene lados de longitud a y b (en pies) si el ángulo de un vértice mide .1) a = 12.0, b = 16.0, = 40º2) a = 40.3, b = 52.6, = 100º

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551303 Matemáticas II

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