6. Movimientos Unidimensionales

Racso Editores 104/08/23

Dr. Félix Aucallanchi V.


De todas las dificultades intelectuales con que se ha enfrentado la mente humana, y que ha superado en los últimos mil quinientos años, la que me parece más asombrosa por su carácter y más admirable por el alcance de sus consecuencias es la que se relaciona con el problema del movimiento.

H. Butterfield

Herbert Butterfield

Oxenhope, Inglaterra

1900 –1979 historiador y filosofo


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Rapidez constante

Si un objeto cubre la misma distancia en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que se mueve con rapidez constante.

[Física Básica, Tippens, Ed. McGraw Hill, 1991, México].

Que un móvil tenga rapidez constante significa que el movimiento conserva la misma rapidez en todo momento, es decir, el objeto no se mueve ni más aprisa ni más lentamente.

Ejemplo.- Si un conductor presiona el pedal del acelerador manteniéndolo, durante cierto tiempo, en la misma posición, se observará que el vehículo presenta una rapidez constante y la aguja del rapidómetro no cambia durante dicho lapso de tiempo.


Movimiento Uniforme

Un movimiento se llama movimiento uniforme, cualquiera que sea su trayectoria, si el móvil presenta una rapidez constante.

[Física, Curso Elemental, Tomo I, Marcelo Alonso, Ed. Centroamericana, 1967, Guatemala]

El movimiento mostrado, es un movimiento uniforme. Se comprueba

que la razón entre los recorridos sAB, sBC y sCD, y los tiempos tAB, tBC

y tCD respectivamente, es constante.

Esto se cumple debido a que la rapidez se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento.

BC CDAB

AB BC CD

= = =constantes ss

t t t


Ejemplo.- Un hombre corre con movimiento uniforme por el cerco rectangular de un parque empleando el doble de tiempo en los lados largos que en los cortos. Si el tiempo de recorrido es de 2 minutos y la rapidez del hombre es de 6 m/s, ¿cuál es la medida del lado corto?

2xHaciendo un diagrama se tiene: A B

CD BCAB AB

ABAB BC

= = 22

ss s xs x

t t t t

BC BC AB= , = y = 2s x t t t t

Luego por tratarse de un movimiento uniforme se debe cumplir que:

Finalmente, aplicando la fórmula de la rapidez media:

s = vp.t 2(2x + x) = 6 m/s. 120 s x = 120 m

2t

xt


Se llama velocidad constante a aquella velocidad que no cambia de valor ni de dirección a lo largo de un movimiento.

Velocidad constante

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Se dice que una partícula tiene un movimiento rectilíneo uniforme si está animado de una velocidad constante.

Si la dirección de la velocidad no cambia la trayectoria es rectilínea

A B C D

t t t

s s s

v = cte.


OBSERVACIONES

a) En tiempos iguales el móvil experimenta desplazamientos iguales.

d) La velocidad media, para cualquier trayecto, y la velocidad instantánea son iguales.

e) La aceleración del móvil es nula en todo el movimiento.

c) La rapidez media, para cualquier trayecto, y la rapidez instantánea son iguales.

b) Para desplazamientos iguales corresponden recorridos iguales.


Ejemplo.- Una partícula se mueve con M.R.U de modo que recorre 200 m en 50 s. Se pide calcular qué tiempo emplea para recorrer 360 m y cuánto recorre en los 60 s siguientes.

La siguiente figura muestra el M.R.U de la partícula:

Resolviendo se tiene que:

A B C D

50 s

v=cte

t =? 60 s

200 m 360 m s= ?

200m 300m= =

50s 60ss

tBC CDAB

AB BC CD

s ss= =

t t t

Por tratarse de un movimiento uniforme, se debe cumplir que:

t = 75 s y s = 240 m.


Ecuación del MRU

En virtud que la velocidad en el M.R.U es constante lo es también su rapidez v cuyo valor debe coincidir con el valor de la rapidez

media vp calculada para cualquier tramo del movimiento.

Por tal razón tendremos:

1ra. La rapidez es directamente proporcional con la distancia recorrida e inversamente proporcional con el tiempo empleado:

2da. El recorrido es directamente proporcional con la rapidez y con el tiempo empleado:

3ra. El tiempo empleado es directamente proporcional con la distancia recorrida e inversamente proporcional con la rapidez.

De aquí se deducen las siguientes reglas o “leyes”:

sv =tv = vp

(*)

Nota.- La ecuación (*) relaciona cantidades escalares positivas.


Ejemplo 1.- Dos partículas salen simultáneamente de dos puntos A y B distanciados 600 m y hacia el encuentro. Si sus rapideces son de 6 m/s y 9 m/s, se pide determinar al cabo de qué tiempo se encuentran.

Las partículas recorren las distancias s1 y s2 hasta encontrarse en E.

Luego, según la figura mostrada, los segmentos verifican la siguiente relación:

1 2 1 2s + s = d v t + v t = d

1 2

dt =v + v

Reemplazando datos se obtiene: t = 40 s.

Tiempo de encuentro


Ejemplo 2.- Dos partículas, separadas 30 m, salen simultánea y rectilíneamente de A y B con rapideces de 7 m/s y 5 m/s, colocado adelante el que salió de B. Se pide después de cuánto tiempo se encuentran.

Las partículas recorren las

distancias s1 y s2 hasta

encontrarse en E. Luego, según esta figura, los segmentos verifican la siguiente relación:

1 2 1 2s - s = d v t - v t = d

1 2

dt=v -v

Tiempo de alcance

Reemplazando datos se obtiene: t = 40 s


Ecuación General del M.R.U

La ley de un movimiento rectilíneo es una función de la forma x = f(t), donde x es la posición del móvil en el instante de tiempo t.

En el caso del M.R.U esta ley se obtiene de la fórmula escalar de la

velocidad media (vm) para un movimiento unidimensional, que, como

sabemos, debe coincidir con la velocidad instantánea (v):

2 1m

2 1

x - xxv = v v = v =t t - t

Si sustituimos xo por x1 y x por x2, además to por t1 y t por t2, se

tiene: x - xo = v(t - to).

ox = x + vt

Si ahora suponemos que el M.R.U

se inicia en el instante to= 0,

entonces al despejar x resulta:


Ejemplo.- Una partícula se mueve con M.R.U a lo largo del eje x de modo que en el instante t = 0 se encuentra en x = 12 m. Se pide calcular su velocidad si en t = 6 s se ubica en x = -48 m.

Observaciones:

- 48=12 + 6 10m/sox = x + vt v v = -

Sustituyendo en la Ecuación General del M.R.U, se tiene:

a) El término v puede representar a la rapidez o a la velocidad, según se apliquen las Leyes del MRU o la Ecuación General del MRU, respectivamente.

b) Si hacemos que xo = 0, entonces: x = v.t

donde x indica la posición final en el eje x y |x| la distancia recorrida.


Gráficas del M.R.U

Llamamos gráficas del M.R.U al conjunto de gráficas construidas sobre los planos x-t o v-t correspondientes a la posición y velocidad relativos al tiempo, respectivamente.

Si conocemos la ley del movimiento del M.R.U, x = f(t), y la velocidad v del móvil durante un lapso de tiempo t, entonces los gráficos correspondientes a este movimiento son dos líneas rectas:


Ejemplo.- Determinar el instante t en que dos móviles se cruzan

sabiendo que sus leyes de movimiento están dadas por x1 = 45 - 6t y

x2 = -5+4t.Calcular el instante t del encuentro equivale a resolver las dos ecuaciones dadas. Luego, igualando se tiene:

Este valor es la abscisa del punto de intersección de las dos gráficas en el plano x-t.

45 - 6t = -5 + 4 50 =10t t

t = 5 s


Aceleración constante

Llamaremos aceleración constante, o aceleración uniforme, a la aceleración de una partícula que no cambia de módulo ni de dirección durante todo el tiempo que dura la observación.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

a = 124 m/s

a = 225 m/s

a =7 22m/s

Oa= 6 m/s2

a= 6 m/s2

a= 6 m/s2

Aceleración constante en dirección pero no en

módulo.

Aceleración constante en módulo pero no en

dirección .

Aceleración constante en módulo y en

dirección .

Si la aceleración de una partícula es constante, para un trayecto determinado, entonces su aceleración media y aceleración instantánea son iguales en todo este trayecto.


Si un móvil no recorre distancias iguales en tiempos iguales se dice que se trata de un movimiento variado.

Movimiento Variado

En un movimiento variado la rapidez cambia de valor, es decir, su valor no es el mismo en todo instante.

En este movimiento la rapidez media vp representa la rapidez con que

debe moverse el móvil para recorrer con movimiento uniforme, y en el mismo tiempo, la distancia que recorrió con movimiento variado.

Ejemplo.- Un móvil se desplaza por un trayecto de 60 m de longitud empleando 12 s. Si el movimiento fue variado, la rapidez que debe emplear para hacer el mismo recorrido con movimiento uniforme viene dado por la rapidez media. Luego:

A 60 mB

vp=5 m/s

12 s

60m5m/s

12sp p psv = v = v =t


El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V) es aquel en el que la aceleración es constante y el movimiento ocurre en una línea recta.

[Física, Principios con Aplicaciones, Giancoli, Ed. Prentice Hall, México, 1997].

Definición de M.R.U.V

En la figura se muestra un automóvil que se mueve rectilíneamente aumentando su velocidad a una tasa constante v = 12 m/s en cada 4 s.

Aceleración: a = 3 m/s2


Ecuaciones Generales del M.R.U.V

Para simplificar el estudio y notación, consideraremos en cualquier

caso, el instante inicial como cero: t1 = 0, de este modo podemos

hacer que: t2 = t sea el tiempo transcurrido.

La posición inicial, x1, y la velocidad inicial, v1, del móvil, se

representarán en adelante como: xo y vo respectivamente, de este

modo cuando el tiempo sea t, la posición y la velocidad finales

serán x y v, respectivamente, en lugar de x2 y v2.

Ec. de la velocidad media

Ec. del desplazamiento

Ec. de los cuadrados de la velocidad

Ec. de la velocidad finalov v at

o2

v vx t

2 2o 2v v a x

212ox v t at


OBSERVACIONES

a) Recuérdese que x, v y a corresponden a las expresiones escalares de los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración, respectivamente, por tanto sus magnitudes poseen valor y signo.

b) El signo de estas cantidades dependerá de cómo se haya elegido la dirección positiva del eje x.

c) Por lo general seleccionamos la dirección hacia la derecha del eje x como la dirección positiva.

d) Se recomienda elegir el origen de coordenadas de modo que simplifique los cálculos, así por ejemplo puede ser preferible que el punto de partida del movimiento sea el origen de coordenadas.

e) En ocasiones se trabaja con la distancia recorrida (s o e) en lugar del desplazamiento x generándose, por ello, una variada cantidad de reglas que es preferible evitar.


Ejemplo 1.- Una camioneta se mueve por una calle recta y aplica los frenos. Si al inicio el rapidómetro indicaba 72 km/h y luego de 5 s indica 18 km/h, ¿cuál fue su aceleración media?.

Elegimos el eje positivo de las x como la dirección del movimiento.

Los datos son: vo= 72 km/h = 20 m/s, v = 18 km/h = 5 m/s, t = 5 s.

Si suponemos que el movimiento fue uniformemente variado con una aceleración igual a la aceleración media a, aplicamos la ecuación de la velocidad final:

El signo negativo se interpreta así: mientras el movimiento es hacia la derecha, la aceleración es hacia la izquierda.

o + 5m/s = 20m/s + (5s)v = v at a

2= -3m/sa


Ejemplo 2.- Se pretende diseñar un aeropuerto para naves pequeñas

que aceleran a razón de 2 m/s2 y que requieren despegar a 108 km/h. Si la pista tiene 150 m de longitud, ¿pueden estos aeroplanos despegar de dicha pista?.

Reconocemos que la nave parte del reposo, es decir: vo= 0, y debe

desplazarse x = 150 m.

Suponiendo que el movimiento es uniformemente variado con una

aceleración a = 2 m/s2, aplicamos la ecuación del desplazamiento para determinar la velocidad de despegue v:

vo=0 v=?

x =150 m

a =2 m/s2

x(+)0

2 2o= + 2v v a x

2 2= 0m/s + 2 2m/s 150mv

= 24,5m/sv

Este valor es menor que la velocidad de despegue requerida 108 km/h = 30 m/s. Luego la longitud dada para la pista no es suficiente y por lo tanto estos aeroplanos no pueden despegar de esta pista.

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