SIMULACIONES NUMERICAS

SIMULACIONES NUMERICAS

PSEUDO FUNCIONESUn Ejemplo para Analizar

por Marcelo Crotti (ltima modificacin - 20 de abril de 2000).

Es posible que el ejemplo desarrollado en esta pgina deba ser ledo con mucho detenimiento para comprender en toda su magnitud el mensaje asociado. Bsicamente presentar una demostracin simple de dos puntos que son incompatibles con el uso habitual de las curvas de KR. Estos dos puntos pueden resumirse de la siguiente forma:

1. Dos historias de produccin totalmente diferentes pueden tener asociada la misma curva de Permeabilidad Relativa.

2. Cuando intervienen fuerzas capilares y gravitatorias, el uso de pseudo funciones presenta severas restricciones, incluso cuando se tienen en cuenta estas fuerzas para desarrollar las pseudo-funciones. (No estoy haciendo referencia a un problema constructivo sino a un serio problema conceptual).

El Ejemplo

Para la demostracin voy a usar un tpico esquema de reservorio en capas para derivar las pseudo-funciones de KR, empleando dos situaciones extremas.

Capas totalmente no-comunicadas (sin cross-flow), con predominio total de las fuerzas viscosas.

Capas totalmente comunicadas con predominio total de las fuerzas gravitatorias.

El esquema de reservorio se puede ver en la figura 1, con 10 capas de igual espesor, igual porosidad y permeabilidades crecientes del tope hacia la base. Las permeabilidades se han elegido crecientes de 1 a 10 mD, en forma arbitraria.

Fig.-1 . Esquema de reservorio horizontal con 10 capas paralelas

Aunque las conclusiones son vlidas para cualquier modelo ms complejo, el empleo de un modelo simple permite entender cablmente el planteo realizado y sus consecuencias.

Por razones que se harn evidentes ms adelante (y que se relacionan con la posibilidad de emplear el concepto de KR) se elige una relacin de movilidades igual a 1 (M = (kw/uw)/(Ko/uo) = 1), asumiendo un desplazamiento tipo "pistn" para el caso de desplazamiento viscoso.

Para construir las pseudo-funciones de KR se proceder de acuerdo a la metodologa de amplia aceptacin, desarrollada por Dake. Para ello se construye la KR puntual en la cara de salida, resolviendo caudales y saturacin de fases en el extremo de produccin (identificado con el sub-ndice "2").

Primer caso: Capas no comunicadas

En este caso cada capa es barrida a una velocidad que se relaciona en forma directa con su permeabilidad. Como las movilidades son iguales (M=1), una vez establecida la presin de desplazamiento, el reemplazo de una fase por otra no afecta el caudal total de la capa. De este modo, la capa de permeabilidad = 10 mD se barre 10 veces ms rpido que la capa de permeabilidad = 1mD.

Para realizar las cuentas voy a asumir una serie de valores tpicos para los parmetros significativos. De este modo en todas las capas se asignan:

Swi= 25 %

Sor = 30 %

Kro[Swirr] = 1.00

Krw[Sor] = 0.33

Uo = 3.00 cp

Uw 1.00 cp

Desplazamiento = Pistn Perfecto

Cuando se produce el breakthrough en la capa ms permeable (cuando el frente de agua alcanza la cara de produccin), la capa menos permeable est barrida en slo un 10% de su longitud, y las dems capas, en forma proporcional a su permeabilidad. Esta situacin se ejemplifica en la Figura 2.

Fig.-2 . Capas no comunicadas. Saturacin de agua al "Breakthrough" de la capa ms permeable

De este modo, la saturacin de agua en el extremo de produccin (Sw2), en las condiciones de la Fig. 2 puede calcularse como:

Sw2 = Swirr + 0.1 * (100-Swirr-Sor) = 25 + 0.1 * (100 - 25 - 30) = 29.5

Y la permeabilidad relativa al agua es:

Krw2 = 0.33 * 10 / (10+9+...+1) = 0.33 * 10 / 55 = 0.061

Y repitiendo los clculos a medida que evoluciona el desplazamiento se obtiene la siguiente curva de KR (Fig. 3).

Fig.-3 . Curva de KR para el sistema de la Fig. 2

Cuya tabla de valores es (Tabla I):

Tabla I - Curva de KR para el sistema de la Fig. 2

Sw2KroKrwKrw/Kro

25.00 1.000 - -

29.50 0.818 0.061 0.07

34.00 0.655 0.115 0.18

38.50 0.509 0.164 0.32

43.00 0.382 0.206 0.54

47.50 0.273 0.242 0.89

52.00 0.182 0.273 1.50

56.50 0.109 0.297 2.72

61.00 0.055 0.315 5.78

65.50 0.018 0.327 18.00

70.00 - 0.333

Segundo caso: Capas comunicadas con total segregacin gravitacional.

En este caso las capas se van acuatizando desde la base hacia el tope pues el agua inyectada alcanza el equilibrio gravitacional con el petrleo dentro del medio poroso. De este modo, la capa de permeabilidad = 10 mD se barre primero, sencillamente porque est en la parte baja de la estructura. En la Figura 4 se esquematiza la situacin para cuando la capa inferior est completamente acuatizada.

Fig.-4 . Equilibrio Vertical. Saturacin de agua al completarse el barrido de la capa ms permeable

Y haciendo las cuentas, como en el caso anterior, se obtiene EXACTAMENTE la misma pseudo funcin que para el caso de capas no comunicadas, puesto que las capas se llenan exactamente en el mismo orden.

Sorprendente?.

Por supuesto !!!. Pueden hacerse las cuentas, pero es evidente que las historias de produccin son totalmente diferentes. Puede observarse, por comparacin de las figuras 2 y 4, que aunque se tiene la misma RAP en los dos casos (la capa ms permeable produciendo agua y todas las otras petrleo) la acumulada de petrleo es mucho ms grande en la Fig. 2 que en la Fig. 4.

Las Aclaraciones

1. En el primer caso estudiado se estableci que las capas no estaban comunicadas. Esta restriccin no es necesaria con M=1 pues en estas condiciones los gradientes de presin en todas las capas son idnticos (lineales) y, por lo tanto la nica fuerza impulsora para el "cross flow" es la gravitatoria. Y la fuerza gravitatoria pierde importancia con viscosidades elevadas, pequeas diferencias de densidad, bajas permeabilidades verticales y altas velocidades de flujo.

2. En base a la aclaracin previa puede observarse que los dos casos presentados son posibles en el mismo reservorio. Con altos caudales el sistema se aproxima al del caso 1, y con muy bajos caudales, la accin de la gravedad hace ms representativa la situacin presentada en el caso 2.

3. Para ayudar a comprender el mecanismo de produccin con equilibrio vertical (predominio de las fuerzas gravitatorias) puede hacerse una visualizacin por etapas:

En una primera etapa (y para un tiempo corto de inyeccin), en el extremo de inyeccin cada capa admite un volumen de agua en relacin directa a su permeabilidad. En el extremo de produccin de cada capa se produce el mismo volumen que el inyectado (suposicin de fluidos incompresibles). Las capas no acuatizadas producen petrleo y las acuatizadas slo agua.

En una segunda etapa (slo a los fines de la visualizacin) el agua se reacomoda de acuerdo con la accin de la gravedad (conviene pensar en este punto como si se cerrara el sistema hasta alcanzar el equilibrio en funcin de la densidad de las diferentes fases).

Se vuelve a la primera etapa.

De esta forma todas las capas producen (dado que tienen un gradiente de presin aplicado entre ambos extremos), pero el "frente" de agua avanza en el sentido vertical entre etapa y etapa.

4. En el ejemplo desarrolado, tcnicamente las pseudo funciones son diferentes para los dos sistemas. En el primer caso la funcin es escalonada y en el segundo los puntos estn unidos por lneas rectas continuas conforme al esquema de llenado. Sin embargo la divisin en 10 capas es arbitraria. Pueden elegirse tantas capas como se crea necesario para definir una funcin continua o simplemente una gradacin continua de permeabilidades ("infinitas" capas) con idntico resultado que el desarrollado en este planteo.

Las Consecuencias

Como resultado directo del ejemplo disponemos de un caso simple donde se muestra que la misma curva de Permeabilidad Relativa puede corresponder a dos historias de produccin muy diferentes.

Como se discute ms adelante, este caso no es una excepcin. Por el contrario es la regla para todos los casos en que las fuerzas involucradas en el desplazamiento no sean slo las viscosas.

A esta altura cabe hacerse una pregunta simple: Como puede determinarse si en el reservorio estn actuando slo las fuerzas viscosas?La respuesta tambin es "simple": Si la relacin de produccin (agua-petrleo o gas-petrleo) depende de los caudales, existe una fuerte indicacin de que hay otras fuerzas implicadas en los mecanismos de produccin. La teora del desplazamiento frontal (que caracteriza el desplazamiento viscoso) es la nica que muestra independencia de la relacin de produccin con el caudal.

Las Explicaciones

Parece evidente que en alguna parte del ejemplo desarrollado comet alguna transgresin, puesto que uno de los supuestos bsicos en los clculos de reservorio es que existe una dependencia directa entre la curva de permeabilidad relativa y la historia de produccin. Y, por supuesto, la transgresin existe. Pero es mucho ms profunda que un ejemplo engaoso o mal analizado.

En realidad el ejemplo es transparente y lo que est poniendo de manifiesto es una falla seria en las simplificaciones habituales. Para poder detectar esta falla, voy a tratar de desmenuzar la cadena de razonamientos que acompaa al uso habitual de las curvas KR (directas o pseudo-funciones). Esta cadena puede enunciarse de la siguiente forma.

1. La ley de Darcy describe razonablemente bien el flujo monofsico en un medio poroso. La parte ms simple, que quiero destacar por su importancia, establece que el caudal es proporcional al gradiente de presin.

2. La ley de Darcy es muy simple y casi "intuitiva".

3. El flujo multifsico se aparta notoriamente de la ley de Darcy. El caudal pasa a depender notoriamente de otras variables (saturacin de fases, historia de saturaciones, mojabilidad, etc, etc).

4. Por facilidad conceptual y numrica es frecuente conservar las leyes simples con factores de correccin adecuados para alejamientos de la "idealidad".

5. Las curvas de permeabilidad relativa constituyen el "factor" de correccin para la ley de Darcy. A cada saturacin del sistema se le aplica un factor de correccin variable entre 0 y 1. La experiencia demostr que este factor no es predecible ni correlacionable y depende de numerosas variables.

6. La prctica gener dos definiciones, generalmente no bien diferenciadas para el trmino permeabilidad relativa. A nivel de laboratorio es la curva obtenida en funcin de las saturaciones puntuales, originada slo por efecto de las fuerzas viscosas luego de simplificar y establecer las dems variables del sistema. A nivel de reservorio es la curva que permite predecir los caudales de produccin en funcin de la saturacin media del sistema y que es el resultado del mecanismo de produccin que involucra todas las fuerzas en equilibrio y variables conocidas (o no) del reservorio.

7. Para un medio poroso y un juego de fluidos elegido, existen "infinitas" curvas de KR, puesto que existen "infinitos" equilibrios entre las tres fuerzas principales impulsoras de la produccin. Y cada fuerza da lugar a un juego diferente de curvas KR vs saturacin. Hasta los puntos extremos de saturacin dependen del mecanismo de produccin.

8. El desarrollo de Buckley y Leverett, completado con el trabajo de Welge, permiti derivar una relacin simple, para sistemas lineales, entre la curva de flujo fraccional y los parmetros fundamentales del desplazamiento inmiscible (regido por fuerzas viscosas).

9. El desarrollo de Welge permiti relacionar la saturacin media del sistema con la saturacin del extremo de produccin (cuando el mecanismo de produccin obedece al desplazamiento viscoso).

10. La construccin de la curva de flujo fraccional no depende de ninguna teora. Es slo un grfico de la dependencia de los caudales de produccin, con la saturacin de fases en el extremo de produccin.

11. La interpretacin habitual de la curva de flujo fraccional S depende de una teora (la teora del avance frontal de Buckley y Leverett / Welge).

12. Dado que se dispona de una excelente descripcin del desplazamiento inmiscible para sistemas lineales, se dio por sentado que todo sistema "reducible" a un sistema lineal deba responder a las ecuaciones del sistema lineal (un supuesto increblemente dbil).

13. Las pseudo-funciones de KR son una herramienta destinada a reducir sistemas complejos a sistemas ms simples (generalmente se intenta obtener una curva que describa un sistema lineal equivalente al sistema complejo).

Para mostrar la debilidad del argumento sealada en el punto 12, puedo recurrir a millares de ejemplos fsicos donde un sistema complejo que se reduce a una formulacin ms simple automticamente pierde posibilidades de descripcin de la realidad.

Cuando un conjunto de fuerzas se reemplaza por una resultante, esa resultante es incapaz de explicar los detalles del sistema. Puedo emplear una fuerza resultante para clcular el tiempo en que un vehculo recorrer los siguientes 100 m. Pero esa resultante no me permite explicar por qu se rompi una biela en el mismo trayecto, o por qu se perfor la tapa de cilindros, o por qu el conductor apret mal los pedales y no pudo alcanzar la velocidad prevista. Las teoras simples son maravillosas, pero los detalles a veces son fundamentales.

Si, para describir la temperatura de un gas se emplea slo la velocidad media de las molculas y ms adelante se emplea esa velocidad para describir la velocidad de las reacciones qumicas en las que inteviene el gas, los clculos resultan errneos pues a cualquier temperatura hay molculas con velocidades por encima y por debajo de la media. La velocidad media permite predecir la presin, pero no la velocidad de las reacciones qumicas.

etc, etc.

Sin embargo prefiero emplear el ejemplo que estoy desarrollando en esta pgina.

En la figura 2 se observa que la saturacin en el extremo de produccin (Sw2) es muy diferente a la saturacin media del sistema. Pero en la figura 4 ambas saturaciones son iguales !!. Es evidente que el desarrollo de Welge no puede aplicarse a la produccin ejemplificada en la figura 4. La pseudo funcin es correcta. El uso de la pseudo-funcin es incorrecto si se pretende usar la curva de flujo fraccional en su forma habitual. O sea que nos encontramos deciddamente frente a un caso reducido a un sistema lineal donde no son aplicables las ecuaciones del sistema lineal.

Donde est la inconsistencia?. En que en el desarrollo de Buckley y Leverett se elimin el equilibrio gravitacional para hacer la deduccin de las ecuaciones. No es sorprendente que esas ecuaciones no describan el resultado del equilibrio gravitacional.

En realidad la falla es muy profunda: Al validar las ecuaciones del desplazamiento frontal para todos los sistemas lineales se le est dando validez a las frmulas fuera del estricto mbito en que fueron desarrolladas.

Y si a esta altura el comentario es: De acuerdo, pero no tengo nada mejor y por lo tanto seguir usando este modelo, debo aclarar que con poco esfuerzo se puede emplear un modelo mucho ms consistente. Cuando se identifica y se entiende el problema, recin se est en condiciones de resolverlo.

Otras aclaraciones pertinentes:

La simulacin numrica con la curva de la figura 3, genera una historia de produccin en concordancia con el modelo del caso 1 (fig. 2). Esto no es sorprendente pues (aunque parezca extrao por ser un sistema laminado) este modelo (M=1) cumple con el desarrollo de Buckley y Leverett.

Cuando empec este desarrollo mencion que elega la relacin de movilidades igual a 1. Ahora espero mostrar por qu es necesario hacerlo:

En el ejemplo de la figura 2 (capas no comunicadas) para calcular las pseudo-funciones de KR se emplea la ley de Darcy, relacionando caudales con gradientes de presin. Y esto es posible slo porque el gradiente de presiones es el mismo en todas las capas y adems es el mismo a lo largo de toda la longitud del modelo. En cuanto M deja de tener el valor 1, los gradientes en cada capa sufren un quiebre en la interfase (o una variacin continua), diferente para cada capa. En ese caso el clculo de la curva de KR en el extremo de produccin es conceptualmente incongruente pues si bien existen caudales de produccin no existe un gradiente de presiones nico (adems, la relacin entre los gradientes de las diferentes capas es variable en el tiempo). Y la ley de Darcy para el conjunto necesita un gradiente nico en cada punto del clculo.

En consecuencia. la curva de KR derivada en la figura 2 para M=1 no slo no es vlida para otros valores de M, sino que carece de significado fsico, pues la ley de Darcy no es definible en el extremo de produccin.

Sin embargo es definible una curva KR media. Pues existen caudales medios, saturaciones medias y gradientes medios (identicos para todas las capas).

Las Conclusiones

Por ahora quiero destacar nicamente dos conclusin de todo este desarrollo.

Es marcadamente incorrecto emplear las ecuaciones de Welge para describir sistemas lineales o pseudo-lineales en los que intervienen otras fuerzas adems de las fuerzas viscosas.

El concepto de permeabilidad relativa pierde sentido fsico cuando lo pierde la ley de Darcy. Las curvas KR son un factor de correccin de la ley de Darcy. Y esta ley pierde sentido fsico cuando no se pueden establecer las variables que relaciona (en particular caudal y gradiente de presiones).

Dejo para ms adelante, la resolucin completa del problema pues es necesario establecer otros puntos antes de plantear un desarrollo consistente.

El Grillado en la Simulacin Numrica(ltima modificacin - 21 de abril de 2000).La propuesta desarrollada en esta pgina es una consecuencia directa de otros desarrollos hechos en este foro y apunta a hacer un uso ms adecuado de los simuladores numricos como herramienta interpretativa y predictiva.A medida que han ido mejorando las herramientas de clculo (potencia de las computadoras) el uso de los simuladores numricos a mantenido las siguientes tendencias originales:1. Aumentar el grillado horizontal (global o con refinamientos locales) para disminuir la dispersin numrica.

2. Generar pseudo funciones para contemplar la heterogeneidad vertical o la accin de las fuerzas gravitatorias, manteniendo en un mnimo el grillado vertical.

Sin embargo en otros desarrollos he presentado argumentos razonablemente consistentes sealando que: La curva de KR a usar en la simulacin numrica debe trazarse en funcin de la saturacin media (y no puntual) de cada bloque.

Cuando predominan fuerzas capilares y gravitatorias, el uso de pseudo funciones es errneo pues conduce a emplear frmulas (implcitas en la simulacin numrica) que slo son vlidas en desplazamientos dominados por las fuerzas viscosas.

Por lo tanto, para simular el comportamiento de los reservorios, parece una aproximacin ms adecuada la de:

1. Mantener en un mnimo el grillado horizontal. En cuyo caso se puede evitar la dispersin numrica con el empleo de saturaciones medias del bloque, mediante pseudo funciones derivadas nicamente como consecuencia de las fuerzas viscosas y del nmero de celdas empleadas.

2. Aumentar el grillado vertical. Para que la accin de las fuerzas capilar y gravitatoria se reflejen en el resultado dinmico del equilibrio entre caudales, permeabilidades verticales, diferencia de densidad, espesores, etc. para cada seccin del reservorio y para cada rgimen de explotacin.

Este cambio drstico en las tendencias del empleo de la simulacin numrica debe acompaarse de un esfuerzo importante para definir las curvas de KR en funcin de la saturacin media de cada bloque y los puntos extremos de saturacin que sean operativos. La recompensa ser una descripcin mucho ms cercana a la realidad fsica del reservorio.Nota de inters: Con el mtodo no estacionario, los laboratorios miden la curva de KR en funcin de la saturacin media y calculan la curva de KR en funcin de la saturacin puntual mediante un proceso bastante complejo derivado de la teora del desplazamiento.......