o

Respuesta estacionaria de circuitos estimulados conAC.

Eduardo Fuentes, Cod: 261769, Daniel Beltran, Cod: 262253, John Herrera, Cod: 223661

Resumen-Se diseñaron circuitos RC, RL y RLC, los tres con las misma configuración de 3 resistencias en serie y paralelo y excitados con una señal sinusoidal de 7VRMS a distintas frecuencias. Se montaron los tres circuitos planteados y con ayuda de un osciloscopio se observaron las tensiones de los elementos con impedancia reactiva, de las cuales se notaron básicamente dos características importantes en las ondas: la fase respecto a su corriente y la magnitud de las ondas. Se observa en los circuitos RL y RC la tensión adelanta a la corriente en un ángulo de 90o en una bobina y está en atraso con un ángulo de 90o en la capacitancia, mientras que en un circuito RLC el ángulo de desfase del conjunto LC depende de su impedancia equivalente. I . INTRODUCCION Para conocer con detalle la respuesta estacionaria en circuitos estimulados con una señal sinusoidal, es necesaria la obtención de diferentes características que pueden generalizar la respuesta. Se pretende entonces con la practica comparar el análisis teórico con los resultados experimentales. Una de las características importantes es la fase que existe entre tensión y corriente en cada elemento reactivo. Teóricamente se tiene que la tensión en una bobina adelanta a su corriente en 90 grados, mientras que en un condensador la tensión está en atraso unos 90 grados respecto a su corriente. La otra característica importante en la amplitud de la onda que teóricamente depende de la frecuencia de la relación entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural del circuito. Estas condiciones se buscan observar con ayuda del osciloscopio.

II-B. Curvas Lissajous

Las figuras de Lissajous pueden observarse en la pantalla del osciloscopio con el modo x-y, de esta forma la sen˜ al del canal I se representa en el eje vertical y la del canal II en el eje horizontal. Los diagramas mostrados en la figura 1 son los resultados de dos sen˜ ales de la misma frecuencia con a´ngulos de desfase de 0o , 35o , 90o y 180o .

II-A. EL Fasor

II. MARCO TEO´ RICO

Una corriente o una tensio´ n sinusoidal con una frecuencia determinada se caracteriza solo por dos para´metros que son la amplitud y la fase. La representacio´ n compleja de estas variables se representa por los mismos para´metros. Si se tiene entonces una corriente exresada en forma de coseno:

center Im cos(wt + φ)

Figura 1. Curvas de Lissajous presentes en el osciloscopio

Su representacio´ n en forma compleja resulta Para hallar el a´ngulo de desfase entre las dos sen˜

ales,center Im e

j(wt+φ)

Con esto, si se define Im y φ la corriente queda definida completamente. Con esto un circuito excitado con una tensio´ n o corriente sinusoidal con frecuencia angular w definida, es posible definir cada tensio´ n y corriente del circuito con su amplitud y su fase con un factor ejwt . Si se nota entonces, el factor exponencial presente en todas la tensiones y corrientes puede ser ignorado para la solucio´ n de las ecuaciones. Por

ejemplo si tenemos la tensio´ n Vm la podemos escribir en forma exponencial simplemente como Vm e

j0 .Ahora, dado que tenemos que la tensio´ n y la corriente

se pueden representar simplemente con su magnitud y fase se pueden expresar de forma polar, ahorrando tiempo al resolver los circuitos. Si se tiene entonces la tensio´ n:

vt = Vm cos(wt) = Vm cos(wt + 0o

)

La podemos representar co´ modamente como

∗

Vm ∠00

Y de la misma manera teniendo una corriente

it = Im cos(wt + φ)

La expresamos como

primero hay que calcular las distancias a,b, como se muestra en la figura 1. Posteriormente se usa la relacio´ n que se muestra a continuacio´ n para despejar el a´ngulo de desfase θ.

aSen(θ) = ( )

bPara calcular el desfase, entre dos sen˜ ales que se

visualizan en el dominio del tiempo se puede usar la ecuacio´ n que sigue.

∆T 360oDesf ase =

TDonde ∆T es el tiempo que hay entre las 2 sen˜ ales y T es el periodo de las mismas.

III. CA´ LCULOS NECESARIOS

III-A. Disen˜ o de Circuito RC

Para el circuito de la Figura 2 s hace un ana´lisis por medio de fasores de esta forma las ecuaciones de malla quedan como sigue:

7 = I1 · 100Ω + (I1 − I2 ) · 3,3kΩ I2

Im ∠φ0 0 = I2 · 220Ω +j · ω · 1µF

+ (I 2 − I1 ) · 3,3kΩ

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (0.339 ∠46,18 ) (3.39 ∠46,18 )R2 (6.769 ∠ − 2,07 ) (2.05 ∠ − 2,07 )R3 (0.559 ∠83,18 ) (2.54 ∠83,18 )C1 (6.746 ∠ − 6,81 ) (2.54 ∠83,18 )

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (2.277 ∠4,35 ) (22.77 ∠4,35 )R2 (4.73 ∠ − 2,09 ) (1.43 ∠ − 2,09 )R3 (4.697 ∠4,78 ) (21.35 ∠4,78 )C1 (0.566 ∠ − 85,21 ) (21.35 ∠4,78 )

s

s

s

Figura 2. Circuito RC para ana´lisis en estado estacionario.

Donde ω corresponde a la frecuencia angular y el circuito

Figura 3. Onda esperada para cuando ω = 60hz en el circuito RC.

se resolvera´

para diferentes valores de ω como sigue: Al esto es necesario de hacer as´ı pues el osciloscopio solo mide

solucionar para f = 60hz es decir ω = 120π r ad se obtienen lo datos mostrados en la siguiente tabla

Cuadro I. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RC A 60H Z

Para f = 600hz es decir ω = 1,2π k r ad se obtiene los datos

sen˜ ales de tensio´ n.La gra´fica de lissajous que se muestra en la figura 4 se

obtiene al ubicar en modo xy el osciloscopio cuando se tienen las ondas de la figura anterior, se espera igualmente que esta forma se conserve al cambiar la frecuencia.

de la tabla II

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (1.758 ∠35,6 ) (17.58 ∠35,60 )R2 (5.663 ∠ − 10,41 ) (1.71 ∠ − 10,41 )R3 (3.615 ∠39,91 ) (16.43 ∠39,91 )C1 (4.359 ∠ − 50,08 ) (16.43 ∠39,91 )

Cuadro II. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RC A 600H Z

Para f = 6khz es decir ω = 12π k r ad se obtiene los datos

Figura 4. Figura de Lissajous esperada para cuando ω = 60hz en el circuitoRC

de la tabla III

Cuadro III. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RC A 6K H Z

La figura 3 muestra la onda de corriente y tensio´ n del condensador que se espera obtener cuando ω = 60hz en los otros casos donde la frecuencia cambia se espera que el a´ngulo de desfase entre dichas ondas sea el mismo por lo cual las ondas sera´n muy similares y solo hay un cambio en la magnitud es decir en la amplitud de las ondas. Es importante denotar que para este caso y todos los que siguen cuando se habla de la onda de corriente en realidad se observa la onda de tensio´ n en dicha resistencia pero la forma de onda sera igual solo cambia su magnitud y al estar dicha parte del circuito en serie esta corriente representa tambie´n la del otro elemento,

III-B. Disen˜ o de Circuito RL

Figura 5. Circuito RL para ana´lisis en estado estacionario.

Para el circuito de la Figura 5 se hace un ana´lisis por medio de fasores de esta forma las ecuaciones de malla quedan como sigue:

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (2.284 ∠ − 1,85 ) (22.84 ∠ − 1,85 )R2 (4.717 ∠0,89 ) (1.42 ∠0,89 )R3 (4.711 ∠ − 2,04 ) (21.41 ∠ − 2,04 )L1 (0.242 ∠87,95 ) (21.41 ∠ − 2,04 )

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (1.567 ∠ − 41,43 ) (15.67 ∠ − 41,43 )R2 (5.916 ∠10,10 ) (1.79 ∠10,10 )R3 (3.218 ∠ − 46,94 ) (14.63 ∠ − 46,94 )L1 (4.964 ∠43,05 ) (14.63 ∠ − 46,94 )

s

s

s

s

7 = I1 · 100Ω + (I1 − I2 ) · 3,3kΩ0 = I2 · 220Ω + I2 j · ω · 9mH + (I 2 − I1 ) · 3,3kΩ

Donde ω corresponde a la frecuencia angular y el circuito

La gra´fica de lissajous que se muestra en la figura 7 se obtiene al ubicar en modo xy el osciloscopio cuando se tienen las ondas de la figura anterior, se espera igualmente que esta forma se conserve al cambiar la frecuencia.

se resolvera´

para diferentes valores de ω como sigue: Al

solucionar para f = 200hz es decir ω = 400π r ad se obtienenlo datos mostrados en la siguiente tabla

Cuadro IV. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RL A 200H Z

Para f = 6khz es decir ω = 12,0π k r ad se obtiene los datos de la tabla V

Cuadro V. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RL A

6KH Z

Para f = 60khz es decir ω = 120π k r ad se obtiene los datos

Figura 7. Figura de Lissajous esperada para cuando ω = 6K hz en el circuitoRL

III-C. Disen˜ o de Circuito RLC

de la tabla VI

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (0.295 ∠ − 40,71 ) (2.95 ∠ − 40,71 )R2 (6.778 ∠1,62 ) (2.05 ∠1,62 )R3 (0.438 ∠ − 84,66 ) (1.99 ∠ − 84,66 )L1 (6.764.964 ∠5,33 ) (1.99 ∠ − 84,66 )

Cuadro VI. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RL A 60K H Z

La figura 6 muestra la onda de corriente y tensio´ n del condensador que se espera obtener cuando ω = 6K hz en los otros casos donde la frecuencia cambia se espera que el a´ngulo de desfase entre dichas ondas sea el mismo por lo cual las ondas sera´n muy similares y solo hay un cambio en la

Figura 8. Circuito RLC para ana´lisis en estado estacionario.

Para el circuito de la Figura 8 se hace un ana´lisis por medio de fasores de esta forma las ecuaciones de malla quedan como sigue:

magnitud es decir en la amplitud de las ondas.7 = I1

· 100Ω + (I1− I2 ) · 3,3kΩ

I2 0 = I2 · 220Ω + I2 j · ω · 9mH + j · ω · 0,1µF

+ (I 2 − I1 ) ·

3,3kΩ

El circuito se resolvera´ para diferentes valores de ω como sigue: Al solucionar para f = 900hz es decir ω = 1,8π K r ad

se obtienen lo datos mostrados en la siguiente tabla

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (0.461 ∠53,53 ) (4.61 ∠53,53 )R2 (6.735 ∠ − 3,15 ) (2.04 ∠ − 3,15 )R3 (0.855 ∠79,54 ) (3.89 ∠79,54 )C1 (6.879 ∠ − 10,45 ) (3.89 ∠79,54 )L1 (0.197 ∠169,54 ) (3.89 ∠79,54 )

Figura 6. Onda esperada para cuando ω = 6khz en el circuito RL.Cuadro VII. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RLC A 900H Z

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (0.688 ∠ − 56,58 ) (6.88 ∠ − 56,58 )R2 (6.645 ∠4,96 ) (2.01 ∠4,96 )R3 (1.36 ∠ − 73,21 ) (6.18 ∠ − 73,21 )C1 (0.492 ∠ − 163,21 ) (6.18 ∠ − 73,21 )L1 (6.997 ∠16,78 ) (6.18 ∠ − 73,21 )

s

s

Para f = 5,3khz es decir ω = 10,6π k r adse obtiene

los datos de la tabla VIII este valor de frecuencia tiene la caracter´ıstica especial de ser muy cercano a la frecuencia de resonancia, por lo cual es donde las tensiones en la bobina y en el condensador son mas altas.

Elemento Tensio´ n(v) Corriente(mA)R1 (2.285∠96,09 ) (22.85∠96,09 )R2 (4.714 ∠ − 46,59 ) (1.42 ∠ − 46,59 )R3 (4.714 ∠0,10 ) (21.42 ∠0,10 )C1 (6.434 ∠ − 89,89 ) (21.42 ∠0,10 )L1 (6.422 ∠90,10 ) (21.42 ∠0,10 )

Cuadro VIII. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RLC A5.3KH Z

Para f = 20khz es decir ω = 40π k r ad se obtiene los datos

Figura 10. Ondas de tensio´ n para la resistencia y el condensador.

de la tabla IX

Cuadro IX. T E N S I O N E S Y C O R R I E N T E S PA R A C I R C U I TO RLC A

20K H Z

Figura 9. Ondas de tensio´ n para el condensador y la bobina.

La figura 9 muestra la onda de tensio´ n en el inductor y en el condensador que se espera obtener cuando ω = 5,3K hz en los otros casos donde la frecuencia cambia se espera que el a´ngulo de desfase entres si que es de 180 sea el mismo por lo cual las ondas sera´n muy similares y solo hay un cambio en la magnitud es decir en la amplitud de las ondas.

La figura 10 muestra la onda de tensio´ n en el resistencia y en el condensador que se espera obtener cuando ω = 5,3K hz la onda de la resistencia corresponde a la que su cruce es muy cercano a 0 y la del condensador como se espera obtener 90 atras de la sen˜ al de tensio´ n de la resistencia, en los otros casos donde la frecuencia cambia se espera que el a´ngulo de desfaseentres si (−90 ) sea el mismo por lo cual las ondas sera´n muysimilares y solo hay un cambio en la magnitud es decir en laamplitud de las ondas.

La figura 11 muestra la onda de tensio´ n en el resistencia y en el inductor que se espera obtener para l frecuencia en cuestio´ n,

Figura 11. Ondas de tensio´ n para la resistencia y el inductor.

la onda de la resistencia es la que tiene un cruce muy cercano a 0 y la del inductor 90 adelante de e´sta ultima, al igual que en los casos anteriores, cuando cambie la frecuencia se espera que el a´ngulo de desfase entres si (90 ) sea el mismo por lo cual las ondas sera´n muy similares y solo hay un cambio en la amplitud.

Figura 12. Figura de Lissajous esperada para cuando ω = 5,3K hz en el circuito RLC

La gra´fica de lissajous que se muestra en la figura 12 se obtiene al ubicar en modo xy el osciloscopio cuando se tienen las ondas de la figura 9, se espera igualmente que esta forma se conserve al cambiar la frecuencia. Para cuando se tienen las sen˜ ales de la figura 10 y 11 se espera obtener la circunferencia que se mostro´ para el caso RL y RC.

IV. PROCEDIM IENTOS

1. Se disen˜ a un circuito RL con una excitaciones de 7v RMS y una bobina de 9mH. El circuito es montado en el laboratorio para observar la relacio´ n la tensio´ n de la bobina con su corriente para distintas frecuencias. Para llevar a cabo la medicio´ n se conectan las terminales de un canal osciloscopio en la bobina y se conectan los del canal restante en una resistencia que se encuentra en serie con la inductancia, a pesar de que esta ultima es en realidad una sen˜ al de tensio´ n tiene la misma forma de onda que la sen˜ al de corriente. Con el fin de que la tierra del osciloscopio no sea la misma del generador, se conecta un desacoplador de tierra al osciloscopio. Finalmente se debe tener en cuenta que uno de los dos canales de se debe invertir pues el punto comu´ n es compartido por la bobina y la rresistencia

2. Se disen˜ a ahora un circuito RC, con la misma fuente de excitacio´ n del punto anterior y con una capacitancia de 1muF. Se realizan los mismos procedimientos y se toman las mismas precauciones del punto anterior.

3. Se disen˜ a un circuito RLC con una sen˜ al de excitacio´ n de 7v RMS, una bobina de 9mH y un capacitar de0.1µF. Se monta en el laboratorio para observar de nuevo el comportamiento de la tensio´ n de la capa- citancia y la bobina con respecto a sus corrientes, y adema´s observar el comportamiento de la bobina y la capacitancia como conjunto. De manera adicional se observan las figuras de Lissajous con la funcio´ n X-Y del osciloscopio, en los 3 circuitos disen˜ ados a diferentes frecuencias. Se tienen las mismas consideraciones y precauciones que en los casos anteriores.

REFERENCIAS

[1] Hayt William H. Kemmerly Jack. E. Ana´lisis de Circuitos en Ingenier´ıa,

7ma edicio´ n.[2] Gu´ıa de laboratorio Circuitos 2, Respuesta estacionaria de circuitos

estimulados con AC. Universidad Nacional de Colombia, Bogota´ DC,2015.