7 Problemas Matemática 2011

¿QUÉ QUEREMOS LOGRAR?

Entender el significado de los problemas en la enseñanza de la matemática

Explicar los rasgos que caracterizan a un problema matemático.

Entender el proceso de resolución de problemas que propone George Pólya.

Difundir la tipología de problemas y entre ellos los PAEV que utiliza la UMC en el proceso de evaluación de los estudiantes de segundo grado de primaria.

MATEMÁTICA, para pensar y competir

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Programa Estratégico: “Logros de Aprendizaje al Finalizar el III Ciclo de la EBR” – Cajamarca

Polya (1965) consideraba que el profesor tiene en sus manos la llave del éxito, si es capaz de estimular en sus alumnos la curiosidad despertará en ellos el gusto por el pensamiento independiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el interés y entonces todo habrá terminado.


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INSTRUCCIONES: Lee con cuidado las preguntas y las alternativas, marca solamente una de ellas o un número.

III. ¿Qué es un problema matemático?a) Un ejercicio que le permite al estudiante

demostrar si ha aprendido un concepto o un procedimiento.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

b) Un ejercicio contextualizado en el que el estudiante puede aplicar un concepto o un procedimiento matemático a una situación real.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

c) Una situación que le permite al estudiante desarrollar nuevas habilidades.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

d) Una situación que provee al estudiante la posibilidad de discusiones y descubrimientos relacionados con algún tema.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

e) Una situación que motiva al estudiante a aprender nuevos conceptos o procedimientos.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

IV. ¿Para qué sirve un problema matemático?a) Solo como medio de recreación para los

estudiantes0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

b) Como medio para enseñar y aprender matemáticas0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

c) Para desarrollar nuevas habilidades0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

d) Solamente para aplicar la teoría0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

e) Como medio para realizar descubrimientos.0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

f) Para realizar generalizaciones0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

I. Características de los problemas matemáticosa) Sólo tienen una respuesta correcta

0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

b) Sólo existe un modo de resolverlo0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

c) Si alguien sabe sobre el tema puede resolverlo en cinco minutos o menos0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

d) Si alguien sabe sobre el tema puede resolverlo en diez minutos o menos0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

e) Si alguien sabe sobre el tema puede resolverlo en quince minutos o menos0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

f) Si alguien que sabe sobre el tema no lo puede resolver en un corto tiempo es porque el problema no tiene solución0) Completamente en desacuerdo1) En desacuerdo2) De acuerdo3) Completamente de acuerdo

II. ¿Cuál es el papel de la resolución de problemas en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas? Marque su posición sólo un número (0 más cercana y 5 más lejana)a) Apoyar y afirmar los conocimientos adquiridos

por el estudiante después de desarrollar la teoría de un tema. 0 1 2 3 4 5

b) Desarrollar en el estudiante el pensamiento lógico y el tratamiento axiomático formal de las matemáticas. 0 1 2 3 4 5

c) Preparar de la mejor manera a los estudiantes para enfrentar con éxito los exámenes, en particular las pruebas nacionales. 0 1 2 3 4 5

d) Contextualizar diferentes temas de las matemáticas con el propósito de preparar a los estudiantes para la vida. 0 1 2 3 4 5

e) Inducir en los estudiantes el razonamiento crítico, el pensamiento creativo y la habilidad para construir y aplicar conceptos. 0 1 2 3 4 5

f) Motivar al máximo a los estudiantes para que adquieran los conceptos relacionados con un tema.0 1 2 3 4 5


¿QUÉ ES UN PROBLEMA MATEMÁTICO?

«Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una

excusa».(Proverbio chino)

Un texto de matemáticas, cuya primera edición data de 1940 dice: “existen numerosos problemas cuya resolución se reduce a la de una ecuación de primer grado con una incógnita. Por ejemplo el siguiente: Un número es tal que su duplo disminuido en 3 unidades es igual a dicho número aumentado en 2. ¿Cuál es ese número?” (Repetto, Linskens y Fesquet, 1967, p. 207).

A continuación lo resuelve y establece una serie de pasos para resolver “problemas” del mismo tipo.

La idea que subyace en lo expuesto interiormente es la conceptualización tradicional de problema como un enunciado verbal. Sin embargo, tal conceptualización resulta insuficiente para una estrategia pedagógica basada en la resolución de problemas. A través del tiempo se ha propuesto una serie de definiciones del término problema; estas

definiciones buscan establecer criterios que sirvan como marco de referencia para que, a través de la resolución de problemas que cumplan tales criterios, el estudiante pueda construir los conceptos matemáticos de manera significativa.

Según Gómez y Carulla (s. f.), lo que se persigue es que el estudiante desarrolle un pensamiento matemático de alto nivel; este tipo de pensamiento tiene (según Resnick, citado por Gómez y Carulla) características tales como las siguientes:

Es no-algorítmico en el sentido de que el camino para la acción no está completamente especificado con anterioridad.

Es complejo en tanto que el camino total no es “visible” desde un único punto de vista.

Con frecuencia da lugar a soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios.

Hay incertidumbre puesto que en principio no se conoce todo lo que se requiere para desarrollar la tarea.

Se requiere de mecanismos propios de regulación.

Se requiere gran cantidad de trabajo mental con el propósito de desarrollar las estrategias y los criterios involucrados.

Podemos decir que los enunciados anteriores describen lo que serían las características de un problema matemático; sin embargo, una definición precisa implica ciertas dificultades.

Para Schoenfeld (1985) la dificultad de definir el término “problema” radica en que es relativo: un problema no es inherente a una tarea matemática, más bien es una relación particular entre el individuo y la tarea; utiliza la

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palabra problema para referirse a una tarea que resulta difícil para el individuo que está tratando de resolverla.

Charnay (1994) dice que un problema puede verse como una terna situación-alumno-entorno; el problema se da sólo si el alumno percibe una dificultad, en ese sentido lo que es un problema para un estudiante no necesariamente lo es para otro. En un sentido parecido se pronuncia Callejo (1994), citada por Remesal (1999), cuando señala que un problema es una situación cuya solución no es inmediatamente accesible al sujeto dado que no cuenta con un algoritmo que la resuelva de manera inmediata, esto implica que es un concepto relativo al sujeto que intenta resolverlo.

CREENCIAS ACERCA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Diversos estudios (por ejemplo Callejo y Vila (2003), Remesal (1999)) reflejan que una buena cantidad de estudiantes y profesores tienen un concepto de problema de tipo tradicional; se le reconoce como una categoría de pregunta escolar que se caracteriza por algunos aspectos formales como la manera en que está enunciado (verbalmente) y el formato.

No se percibe una diferencia entre ejercicio y problema y se percibe que una situación es intrínsicamente problemática y que, por lo tanto, su carácter de problema no depende del resolutor. Por otra parte, perciben que para resolver un problema hay que dominar algoritmos ampliamente y con seguridad.

IDEAS Y CREENCIAS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La principal razón de existir del matemático es resolver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten

las matemáticas es en problemas y soluciones."Paul R. Halmos

La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación

matemática. Mediante la resolución de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.

Aquí algunas ideas: En el libro de Hofsdadter, Gödel,

Escher y Bach, se dice que «las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas, siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que el alumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones».

Santaló (1985), gran matemático español y además muy interesado en su didáctica, señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».

En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien justificado que todos los textos de matemáticas, contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática».

M. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atrae a los

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matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas».

En varios países del mundo, el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención, especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes.

¿QUÉ ENTENDEMOS POR PROBLEMA?

Aunque no es sencillo, y quizás parezca superfluo, para entendernos es interesante delimitar, siquiera sea en grandes rasgos, qué es lo que entendemos por problema. Pero, como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos, haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos.

No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas, los que llevan dentro una cierta "historia", que se pueden contar. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida.

Pero no es el único aspecto a destacar. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático).

En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; se trata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez localizado, se aplica y basta. Justamente, la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha

desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una somera reflexión, contestan: "lo sé" o "no lo sé", según hayan localizado o no el algoritmo apropiado. Ahí acaban, en general, sus elucubraciones.

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos dispersos, y no siempre de matemáticas; hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto relaciones nuevas.

Por tanto, un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todo ello, una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. E incluso, sin haber acabado el proceso, sin haber logrado la solución, también en el proceso de búsqueda, en los avances que vamos realizando, encontraremos una componente placentera.

Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior, todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: Los algoritmos que se suelen

explicar en clase, o que aparecen en los libros de texto, resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden, estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma.

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Las situaciones existen en la realidad. Los problemas los alumbramos nosotros. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos.

La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos; nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando, y que logra, por utilizar la expresión de Koestler (1983), que dos y dos son cinco.

Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. Todo ello es de particular interés en la enseñanza, porque de cómo se plantea la cuestión, el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende, en un porcentaje muy importante, el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos.

RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS

Una vez que tenemos un problema, los hay mejores y peores, vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas. Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero, 1984): No son cuestiones con trampas ni

acertijos. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando.

Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), el interés de los problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello, los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos otros campos.

Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad, aunque si se tienen que señalar cuáles son, es bien dificultoso hacerlo. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos.

Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas.

1. Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad de reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas.

Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la enseñanza,

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la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.

PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».

Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.

Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una

manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

El método de cuatro pasos de

Pólya

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema.

Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.

Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la

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pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: dividir. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.

Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro Cómo Plantear y Resolver Problemas de este autor (está editado por Trillas).

Paso 1: Entender el Problema

1. ¿Entiendes todo lo que dice? 2. ¿Puedes replantear el problema en

tus propias palabras?

3. ¿Distingues cuáles son los datos?

4. ¿Sabes a qué quieres llegar?

5. ¿Hay suficiente información?

6. ¿Hay información extraña?

7. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

2. Usar una variable.

3. Buscar un Patrón.

4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple.

6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama.

8. Usar razonamiento directo.

9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los Números.

11. Resolver un problema equivalente.

12. Trabajar hacia atrás.

13. Usar casos.

14. Resolver una ecuación.

15. Buscar una fórmula.

16. Usar un modelo.

17. Usar análisis dimensional.

18. Identificar sub-metas.

19. Usar coordenadas.

20. Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan

1. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

2. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).

3. No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

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Paso 4: Mirar hacia atrás

1. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

2. ¿Adviertes una solución más sencilla?

3. ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:

Algunas sugerencias hechas por quienes

tienen éxito en resolver problemas

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Acepta el reto de resolver el

problema.2. Reescribe el problema en tus propias

palabras.

3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar.

4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.

5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.

6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un

descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos.

8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar.

9. Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.

10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.

12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.

15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.

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TIPOS DE PROBLEMAS A TRABAJAR EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Problemas aritméticos

de primer nivel:de cambiode combinación

aditivo-sustractivos - de comparaciónde igualación

- de repartos equitativos

de multiplicación – división - de factor N- de razón- de producto

cartesiano.

de segundo nivel

de tercer nivel

Problemas geométricos

Problemas de razonamiento lógico

Problemas de recuento sistemático

Problemas de razonamiento inductivo

Problemas de azar y probabilidad


16.¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Creemos que es importante presentar a nuestros lectores la tipología de los problemas matemáticos, a pesar que existen muchas clasificaciones, pero hemos seleccionado una que según el análisis realizado nos parece que es necesario conocer.

TIPOS DE PROBLEMAS

La clasificación que se presenta a continuación pretende servir de ayuda para recordar la variedad de problemas que debieran ser tratados con los estudiantes.

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1. Problemas aritméticosSon aquellos que, en su enunciado, presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución.Se clasifican en problemas aritméticos de primer, segundo o tercer nivel teniendo en cuenta el número de operaciones que es necesario utilizar para su resolución, así como la naturaleza de los datos que en ellos aparecen.

1.1. Problemas aritméticos de primer nivelPodrían llamarse también de un solo paso, ya que es necesaria la aplicación de una sola operación para su resolución. Se dividen en problemas o situaciones aditivo-sustractivas ymultiplicación-división.

1.1.1. Problemas aditivo-sustractivosSon aquellos que se resuelven por medio de la adición o la sustracción. Según la situación planteada en el enunciado pueden ser:

a) Problemas de cambio

Se identifican porque en el texto del enunciado incluyen una secuencia temporal, muchas veces manifestada a través de los tiempos verbales utilizados. Parten de una cantidad inicial (Ci), la cual se ve modificada en el tiempo, para dar lugar a otra cantidad final (Cf). Vergnaud llama a estas situaciones, problemas ETE: estado - transformación - estado.

De las tres cantidades que deben aparecer en el problema: Ci, modificación y Cf, dos de ellas serán datos y la otra será la incógnita, de donde se pueden deducir en principio tres casuísticas para esta tipología de problemas. Teniendo en cuenta además que la modificación que actúa sobre la cantidad inicial puede producir un aumento o una disminución se duplicará finalmente el número de casos.

Casuística:

El día 8 de noviembre conté el dinero que tenía en el chanchito y eran 17 nuevos soles (Ci). Hoy es el último día del mes y tengo 28 nuevos soles (Cf). ¿Cuánto dinero he ahorrado durante este mes?

b) Problemas de combinaciónEn su enunciado se describe una relación entre conjuntos (P1) y (P2) que unidos forman el todo (T). La pregunta del problema hace referencia a la determinación de una de las partes (P1) o (P2) o del todo (T).

Casuística:

A una sesión de rondas asistieron 153 personas (P1). Si la sala tiene 185 sillas (T), ¿cuántas sillas se encontraban vacías?

c) Problemas de comparaciónSon problemas en los que, a través de un comparativo de superioridad (más que…) o de inferioridad (menos que…), se establece una relación de comparación entre dos cantidades.La información aportada por el enunciado está en relación con la cantidad de referencia (Cr), la cantidad comparada (Cc) o bien la diferencia (D) entre ambas cantidades. Del mismo modo que en los problemas de cambio,

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de las tres cantidades que deben aparecer en el problema: (Cr), (D) y (Cc), dos de ellas serán datos y la otra será la incógnita, de donde pueden deducirse en principio tres casos posibles dentro de este tipo de problemas.

Casuística:

Mario y Jonás están recolectando chungas. Mario tiene 187 chungas (Cc), tiene 46 más que Jonás (D). ¿Cuántas chungas tiene Jonás?

d) Problemas de igualaciónEn su enunciado incluyen un comparativo de igualdad (tantos como… , igual que… ). Son situaciones en las que se da al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación. Dicho de otro modo, una de las cantidades (cantidad de referencia Cr) debe modificarse o se modifica creciendo o disminuyendo (D) para llegar a ser igual a la otra cantidad (cantidad comparada Cc).En el texto del problema se da información referida a las cantidades (Cr), (D), y (Cc), dos de las cuales aparecerán como datos y la tercera como incógnita a calcular. De nuevo pueden considerarse a partir de esta información tres casos de problemas, pero teniendo en cuenta que el sentido de cambio puede ser aumentando o disminuyendo dependiendo de la relación entre las cantidades Cr y Cc eso duplica el número de posibilidades.

Casuística:

Daniel ha leído 18 páginas de su libro de cuentos de cuentos (Cc). Alberto ha leído 12 páginas (Cr). ¿Cuántas páginas más debe leer Alberto para leer las mismas páginas que Daniel?

1.1.2. Problemas de multiplicación-división. Se resuelven a través de una multiplicación o una división. Según la situación planteada en el enunciado pueden ser:

a) Problemas de repartos equitativos o de grupos iguales. Son aquellas situaciones en las que una cantidad debe repartirse entre un cierto número de grupos, de modo que cada

grupo reciba el mismo número de elementos. En el enunciado se hará referencia a tres informaciones: la cantidad a repartir, el número de grupos a formar o el número de elementos por cada grupo. Dos de estas constituirán los datos y una tercera será la incógnita a calcular. Según esto se distinguen tres tipos diferentes de problemas en esta categoría:

Cantidad a

repartir

N° de grupo

s

Elementos por grupo

Operación

REP 1

X X ? :

REP 2

X ? X :

REP 3

? X X X

Casuística:

En clase hay 18 alumnos. Después de repartir una bolsa grande de caramelos entre todos los alumnos, a cada uno le han correspondido 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?

b) Problemas de factor N o de comparación multiplicativa.Son muy similares a las situaciones aditivas de comparación. En ellos intervienen dos cantidades del mismo tipo las cuales se comparan (cantidad referente Cr y cantidad comparada Cc) para establecer entre ellas una razón o factor (F). Se caracterizan también porque en el enunciado se incluyen cuantificadores del tipo "… veces más que…" "… veces menos que…"De las tres informaciones a las que se alude en el enunciado (Cr), (Cc) y (F), dos de ellas aparecerán como datos y una tercera será la incógnita. De aquí surgirían tres posibles tipos de problemas. Ahora bien, al considerar que la comparación establecida entre las cantidades puede ser en términos de "veces más que" o "veces menos que", eso duplica el número de posibilidades:

Cr

FCc

“n vece

s más

”

“n veces menos

”

Operación

Factor 1

X X ? X X

46 .



Factor 2

X X ? X :

Factor 3

X ? X X :

Factor 4

X ? X X :

Factor 5

? X X X :

Factor 6

? X X X X

Casuística:

Unos chales cuestan 72 nuevos soles (Cr). Una pelota cuesta 8 veces menos (F). ¿Cuánto cuesta el balón?

c) Problemas de razón o de tasaEste tipo de problemas incluye en el enunciado informaciones que hacen referencia a medidas de tres magnitudes diferentes. Una de ellas, la llamada magnitud intensiva o tasa, (Ci), resulta de relacionar las otras dos (una de las magnitudes dadas en el problema respecto a la unidad de la otra magnitud ej. km/h, euros/kilo,…) que a su vez se llaman extensivas (Ce1 y Ce). Las posibilidades que se ofrecen son:

Ce 1Ci=Ce/

Ce1Ce

Operación

Razón 1 X X ? X

Razón 2 ? X X :

Razón 3 X ? X :

Casuística

Por un saco de papas hemos pagado 276 nuevos soles (Ce). Si el precio de esa clase de papa es de 3 nuevos soles/kilo (Ci), ¿cuántos kilos pesa el saco de papas que hemos comprado?

d) Problemas de producto cartesianoSe trata de combinar de todas las formas posibles (T), los objetos de un tipo (C1) con los objetos de otro tipo (C2).

C1 C2 T Operación

Cartesiano 1 X X ? X

Cartesiano 2 ? X X :

Cartesiano 3 X ? X :

Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas diferentes (T). Tengo 4 pantalones (C1 ó C2). ¿Cuántas camisas tengo?

1.2. Problemas aritméticos de segundo nivelTambién llamados problemas combinados. Para su resolución es necesario realizar varias operaciones (dos o más) en un cierto orden. Son más complejos que los de primer nivel puesto que supone establecer unas relaciones más complejas entre los datos aportados por el enunciado. Dentro de esta tipología podría hablarse de diferentes clasificaciones según el criterio seguido. Así, por ejemplo, atendiendo a la estructura del enunciado pueden ser:

1.2.1. Problemas combinados fraccionadosSon aquellos en los que en el enunciado aparecen varias preguntas encadenadas, las cuales ofrecen al resolutor el plan para responder a la última pregunta, que es propiamente la finalidad del problema.

Un señor lleva en su bolsillo 300 nuevos soles. Entra a una tienda de ropa y compra 3 polos que le cuestan 72 nuevos soles cada uno y 2 camisas a 15 nuevos soles la unidad. ¿Cuánto dinero valen los tres polos? ¿Cuánto paga por las camisas? ¿Cuánto dinero gasta el señor en la tienda? ¿Cuánto dinero le quedará en su bolsillo al salir?

1.2.2. Problemas combinados compactosResultan bastante más complejos que los fraccionados ya que en ellos aparece solamente una pregunta al final del enunciado. En este caso el resolutor debe relacionar los datos aportados, de un modo estratégico y concebir el plan que le llevará hasta la solución del problema.

Ejemplo:

El coche de mi padre consume 6 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Cuando salió de casa antes de iniciar un viaje, el depósito estaba lleno y caben 57 litros. Después de andar 750 km.,

47 .



¿qué distancia podría recorrer todavía sin volver a repostar combustible?

1.2.3. Problemas combinados purosSon aquellos en los que los pasos intermedios a realizar para resolver el problema pertenecen todos al mismo campo operativo-conceptual. Es decir se aplican bien sumas y/o restas, o bien multiplicaciones y/o divisiones.

Para celebrar el fin de semestre, las tres secciones de tercero de mi colegio hemos ido al centro vacacional. En cada sección hay 25 alumnos. Si hemos pagado en total 225 nuevos soles, ¿cuánto nos ha costado a cada alumno la entrada al centro vacacional?

1.2.4. Problemas combinados mixtosEn su resolución intervienen distintas operaciones pertenecientes a campos conceptuales diferentes.

En un concurso escolar ganamos 1200 nuevos soles. Para celebrarlo compramos libros de lectura para la escuela por un valor de 192 nuevos soles. Después hicimos una excursión en la que gastamos 900 nuevos soles. El resto del dinero lo utilizamos en hacer una merienda. ¿Cuánto dinero costó la merienda?

1.2.6. Problemas combinados indirectosSe caracterizan porque la persona que resuelve el problema debe reordenar los datos en función de la pregunta formulada en el enunciado, y combinarlos de forma que le permitan elaborar el plan que le llevará a la solución.

Un tanque contenía 112 litros de agua. Con ella se llenaron 3 bidones iguales y 2 baldes de 15 litros cada uno. En el tanque quedaron todavía 7 litros de agua. ¿Cuál era la capacidad de cada bidón?

1.3. Problemas aritméticos de tercer nivelSon aquellos en los que los datos del enunciado vienen dados en forma de números decimales, fraccionarios o porcentuales. La situación planteada es similar a las de primer o segundo nivel,

la dificultad añadida está precisamente en el tipo de números en los que se expresan los datos.

Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había comprado. Pagó por cada botella 1,10 euros. En la venta ganó 140 euros. ¿A cómo vendió cada botella?

Una chacra tiene 60 surcos iguales, sólo 3 están sembrados. ¿Qué porcentaje de surcos están sembrados en la chacra?

Una pieza de ¾ de kilo de pollo cuesta 3 nuevos soles. ¿Cuánto pagaremos por 2 kilos de esa misma carne?

2. Problemas geométricosCon ellos se trabajan diversos contenidos y conceptos de ámbito geométrico, diferentes formas y elementos, figuras bidimensionales y tridimensionales, orientación y visión espacial, los giros… El componente aritmético pasa a un segundo plano y cobra importancia todo lo relacionado con aspectos geométricos. Estos problemas se inician en Educación Primaria pero luego su tratamiento continúa en Secundaria. Es importante que los alumnos adquieran una buena base para que vayan ampliando sus conocimientos en cursos posteriores.

Juntando las piezas 1 y 2 se han hecho varias construcciones. Encuentra las dos piezas en cada construcción y luego píntalas.

3. Problemas de razonamiento lógico

Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones con un componente lógico. Actividades de este tipo podrían ser por ejemplo:

3.1. NuméricosLos criptogramas, líneas u otras figuras sobre las que hay que colocar números cumpliendo unas determinadas condiciones, aquellos en los que se dan unas pistas para que a partir de ellas se

48 .



determine el número o números que las cumplen, …

Acaba este cuadrado numérico para que sea mágico, es decir, tienes que conseguir que cada fila, cada columna y las dos diagonales sumen lo mismo

7 A B

C D E

14 8 10

3.2. Balanzas de dos brazosProblemas gráficos en los que una vez representadas algunas "pesadas" realizadas, se trata de averiguar otras equivalencias en función de los objetos utilizados.

Observa la balanza y deduce el peso de la jarra

3.3. EnigmasAunque no tienen por qué ser propiamente matemáticos, mantienen la mente despierta, estimulan la imaginación y desarrollan la facultad de la inteligencia. Constituyen un ejercicio mental y desarrollan estrategias que resultan útiles en muchas ocasiones. Son actividades en las que es fundamental la expresión verbal del proceso seguido para su resolución, ya que no sólo es importante dar la respuesta sino también hacer partícipes al resto de compañeros de cómo se ha llegado hasta ella.

Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la selva. Al cabo de cierto tiempo encuentran un río que deben cruzar, pero no pueden atravesarlo nadando. Al otro lado ven a dos niños con una pequeña canoa que se ofrecen a ayudarles. La canoa es tan pequeña que en cada viaje solamente caben los dos niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de ayudarles a resolver este problema?

3.4. Análisis de proposicionesSon actividades que desarrollan la capacidad para articular

argumentaciones y dar explicaciones. Exigen utilizar el lenguaje con precisión.

Escribe VERDADERO o FALSO, detrás de las siguientes condicionales: Si sumo dos números impares,

entonces el resultado es par. Si hace sol, entonces no hay nubes. Si no es alemán, entonces no es

europeo. Si el resultado de un producto es

par, entonces los dos números son pares.

Si soy propietario de un coche, entonces tengo el carné de conducir.

Si apruebo el examen, entonces he sacado un cinco.

Tener 6 años es condición necesaria y suficiente para estudiar 1º de primaria.

Saber hablar inglés es condición necesaria y suficiente para dar clase de inglés.

49 .



Clasificación de los PAEV1

(Problemas Aritméticos Elementales Verbales)

(*) Definiciones extraídas de un texto de la Unidad de Medición de Calidad Educativa Ministerio de Educación del Perú

El análisis global del texto del problema es uno de los más importantes al momento de investigar las dificultades cognitivas en el proceso de solución de los PAEV. Este sirve básicamente para comprender los procesos utilizados por los niños para resolver los problemas. Desde la perspectiva del análisis global, los PAEV se pueden clasificar en las categorías siguientes:

1. Problemas de combinación2. Problemas de cambio (transformación)3. Problemas de igualación4. Problemas de comparación

Para la prueba de matemática de segundo grado de primaria se ha considerado esta clasificación para realizar la selección de las categorías y luego graduarlas en niveles de complejidad. Se han tenido en cuenta los resultados de las investigaciones experimentales de Puig (1996), Vergnaud (1986), Nescher (1982) y Riley (1983) con niños de edades similares y/o menores.

1. PROBLEMAS DE COMBINACIÓN (JUNTAR Y SEPARAR)

Los problemas de combinación son problemas verbales en los que se describe una relación entre conjuntos que son partes de un todo (parte-parte-todo). La pregunta del problema puede hacer referencia acerca del todo o acerca de alguna de las partes.

Requieren de las nociones de JUNTAR Y SEPARAR

Ejemplos de problemas de combinación:

COMBINACIÓN 1

Hay 10 hombres. Hay 25 mujeres. ¿Cuántas personas hay?

COMBINACIÓN 2

Hay 35 personas, de las cuales 10 son hombres. ¿Cuántas mujeres hay?

La estructura de los PAEV de COMBINACIÓN se muestra a continuación:

Parte Parte Todo

COMBINACIÓN 1

Dato Dato Incógnita

1 Extraído del Marco de trabajo de la EN2004, anexos de Matemática.

50 .


PARTE PARTE

TODO

TODO

PARTE PARTE


COMBINACIÓN 2

Dato Incógnita Dato

2. PROBLEMAS DE CAMBIO (TRANSFORMACIÓN) (AGREGAR Y QUITAR)Los problemas clasificados como de cambio son problemas verbales en los que las relaciones lógicas siguen una secuencia temporal de sucesos. Hay una situación inicial, un cambio o transformación que se da en el tiempo, y una situación final.

En el problema se presentan tres cantidades: la inicial, la final y la de cambio. La variación puede darse aumentando la cantidad o disminuyéndola. Considerando estas variables tendremos seis tipos de problemas de cambio. A continuación, un ejemplo por cada tipo de PAEV de CAMBIO:

Ejemplos de problemas de cambio:

CAMBIO 1 Karen tenía 12 soles. Le dan 6 soles. ¿Cuántos soles tiene ahora?

CAMBIO 2 Karen tiene 18 soles. Da 6 soles. ¿Cuántos soles le quedan?

CAMBIO 3 Karen tenía 12 soles. Lola le dio algunos soles. Ahora tiene 18 soles.

¿Cuántos soles le dio Lola?

CAMBIO 4 Karen tenía 18 soles. Le dio algunos a Lola. Ahora tiene 12 soles.

¿Cuántos soles le dio a Lola?

CAMBIO 5 Karen tenía algunos soles. Lola le dio 6 soles. Ahora tiene 18 soles.

¿Cuántos soles tenía Karen?

CAMBIO 6 Karen tenía algunos soles. Le dio 6 soles a Lola. Ahora tiene 12 soles.

¿Cuántos soles tenía Karen?

La estructura de los PAEV de CAMBIO se muestra a continuación:

Cantidad Inicial

Cantidad de Cambio

CantidadFinal

CrecerDecrec

er

CAMBIO 1 Dato Dato Incógnita *

CAMBIO2 Dato Dato Incógnita *

CAMBIO 3 Dato Incógnita Dato *

CAMBIO 4 Dato Incógnita Dato *

51 .


INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL

INICIO CAMBIO FINAL


CAMBIO 5 Incógnita Dato Dato *

CAMBIO 6 Incógnita Dato Dato *

3. PROBLEMAS DE IGUALACIÓN (IGUAL A, TANTOS COMO)

Los problemas de igualación son problemas verbales en los que hay que realizar una comparación para igualar dos cantidades. Se presenta una cantidad que sirve de referencia (a la que se quiere igualar), la cantidad comparada y la diferencia (que es la cantidad que igualaría ambas cantidades iniciales).

Usualmente en los PAEV de igualación encontramos expresiones del tipo “tantos como”, “igual a”.

Ejemplos de problemas de Igualación:

IGUALACIÓN 1

Javier tiene 30 soles. Pepe tiene 23 soles. ¿Cuántos soles tiene que ganar Pepe para tener tanto como Javier?

IGUALACIÓN 2

Javier pesa 50 kilogramos. Pepe pesa 62 kilogramos. ¿Cuántos kilogramos tiene que perder Pepe para pesar tanto como Javier?

IGUALACIÓN 3

Javier tiene 15 canicas. Si Pepe gana 6 canicas, tendrá tantas canicas como Javier. ¿Cuántas canicas tiene Pepe?

IGUALACIÓN 4

Javier tiene 21 soles. Si Pepe pierde 5 soles, tendrá tantos soles como Javier. ¿Cuántos soles tiene Pepe?

IGUALACIÓN 5

Pepe tiene 30 soles. Si Pepe gana 8 soles, tendrá tantos soles como Javier. ¿Cuántos soles tiene Javier?

IGUALACIÓN 6

Pepe tiene 18 soles. Si Pepe pierde 11 soles, tendrá tantos soles como Javier. ¿Cuántos soles tiene Javier?

La estructura de los PAEV de IGUALACIÓN se muestra a continuación:

Referencia Comparada Diferencia Más Menos

IGUALACIÓN 1

Dato Dato Incógnita *

IGUALACIÓN 2

Dato Dato Incógnita *

52 .


REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA

REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA


IGUALACIÓN 3

Dato Incógnita Dato *

IGUALACIÓN 4

Dato Incógnita Dato *

IGUALACIÓN 5

Incógnita Dato Dato *

IGUALACIÓN 6

Incógnita Dato Dato *

53 .



4. PROBLEMAS DE COMPARACIÓN (MÁS QUE, MENOS QUE, MAYOR QUE)Los problemas de comparación son problemas verbales que presentan una relación de comparación entre dos cantidades. Se presenta una cantidad que sirve de referencia (con la que quiere comparar), una cantidad con la que se compara y la diferencia entre estas cantidades.

Usualmente en los PAEV de comparación encontramos expresiones del tipo “más que” y “menos que”.

A continuación se muestra un ejemplo para cada tipo de PAEV de COMPARACIÓN:

Ejemplos de problemas de Comparación:

COMPARACIÓN 1

César tiene 8 caramelos. Manolo tiene 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Manolo más que César?

COMPARACIÓN 2

César tiene 15 figuritas. Manolo tiene 7 figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene Manolo menos que César?

COMPARACIÓN 3

César tiene 12 años. Manolo tiene 3 años más que César. ¿Cuántos años tiene Manolo?

COMPARACIÓN 4

César tiene 5 lápices. Manolo tiene 2 lápices menos que César. ¿Cuántos lápices tiene Manolo?

COMPARACIÓN 5

César tiene 28 bolitas. César tiene 6 bolitas más que Manolo. ¿Cuántas bolitas tiene Manolo?

COMPARACIÓN 6

César tiene 2 hermanos. César tiene 3 hermanos menos que Manolo. ¿Cuántos hermanos tiene Manolo?

La estructura de los PAEV de COMPARACIÓN se muestra a continuación:

Referencia Comparada Diferencia Más Menos

COMPARACIÓN 1 Dato Dato Incógnita *

COMPARACIÓN 2 Dato Dato Incógnita *

COMPARACIÓN 3 Dato Incógnita Dato *

COMPARACIÓN 4 Dato Incógnita Dato *

COMPARACIÓN 5 Incógnita Dato Dato *

54 .


REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

REFERENCIA

COMPARADA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA

COMPARADA

REFERENCIA

DIFERENCIA


COMPARACIÓN 6 Incógnita Dato Dato *

SE DEBE UTILIZAR LOS CONTEXTOS DE NUESTRA ESCUELA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS

MATEMÁTICOS

Chacra: surcos, plantas, peones, yuntas, semillas, sacos o costales Casa: ambientes, hermanos, años de edad, actividades Animales domésticos: gatos, aves de corral, perros, cuyes, conejos, vacunos, ovejas, Plantas silvestres: llantén, yerba buena, perejil, Plantas domésticas: ají, yerba luisa, , arvejas, maíz, papa, Árboles, cerros, ríos, quebradas, Escuela: mobiliario, estudiantes, profesores, padres de familia Tejidos: frazadas, ponchos, chales, chompas, alforjas, bolsos, Mediciones: metros, codos, dedos, palmas, pies, pulgadas – madera, casa, baldes,

tazas, jarros, botellas, litros, tiempo, minutos, segundos, Rondas campesinas, abigeos, reuniones Alimentos: limas, naranjas, uvas, plátanos, chirimoyas, mísperos Música: huaynos, marineras, vals, cumbia Juegos: chungas, cartas, tejos, fútbol, voleibol, Cuadernos, libros, páginas, líneas, palabras, escritas libres, total páginas Distancia de lugares, entre comunidades, caminos. Transporte: carros, combis, camionetas, motocicletas, bicicletas, carretillas Carrera: lenta, en metros, en vueltas a la casa o a la escuela.

EXISTEN DIVERSOS SOPORTES PARA UTILIZAR EN ESTOS PROCESOS MATEMÁTICOS

Tablas Lista de precios Lista de menú

TE PRESENTAMOS ALGUNOS EJEMPLOS QUE HEMOS TRABAJADO

Nombre de la actividad: NOS DIVERTIMOS JUNTANDO Y SEPARANDO

CAPACIDADES CONSIDERADAS:Resuelve situaciones aditivas que requieren juntar o separarInterpreta y elabora esquemas de clasificación.

María está en la cocina ayudando a su mamá a ordenar los platos y las tazas. Al secar los platos cuenta que hay 5 y al secar las tazas cuenta que hay 4. Entonces se pregunta: si junto los platos y las tazas ¿cuántos tengo en total?

COMPRENDIENDO EL PROLEMA

Completa dibujando los platos que ha secado María.

55 .



Completa dibujando las tazas que ha secado María.

Ahora escribo los números en la tabla

PLATOS TAZAS

IDEANDO UN PLAN PARA RESOLVER EL PROBLEMA:

Para saber cuántos hay en total, sumamos los 5 platos más las 4 tazas

Verifico si el total que he colocado es el verdadero.

PLATOS TAZAS

5 4

………….

RESPONDIENDO EL PROBLEMA

Escribo el número que resulta de la operación y damos respuesta a lo solicitado en el problema. ¿Cuántos platos y tazas hay en total?

56 .


4 tazas

5 platos

5 4+ = .....

…....


57 .


Tazas

4 7+ ¿?


RESOLVIENDO PROBLEMAS SIMILARES

En la cocina, a María le dice su mamá, que cuente los platos y las tazas que hay en la mesa y ella dice que en total hay 7. Si al separar los platos sólo cuenta que hay 4. ¿Cuántas tazas hay?

COMPRENDIENDO EL PROLEMA

Coloco los números en la tabla según la cantidad de platos y tazas que observo, para entender qué falta saber.

¿Qué falta contar tazas o platos?

Si ya contaron los platos, entonces falta contar las tazas.

IDEANDO UN PLAN:

¿Qué puedo hacer para saber cuántas tazas hay?¿Sumo o resto? ¿Puedo hacer las dos operaciones? ¿Cómo?

Puedo sumar al número 4 otro número para que dé como suma total 7

58 .


PLATOS TAZAS

Escribe el número

Escribe el número

En total cuenta

María cuenta sólo 4 platosFalta saber ¿cuántas tazas hay?

¿?

Platos Platos y tazas

=


También puedo restar al número 7 una cantidad para que dé como diferencia el número 4.

59 .



RESPONDIENDO EL PROBLEMA

La diferencia o la suma lo escribo en el recuadro que ha quedado en blanco y verifico.

Aquí escribe la cantidad de tazas.

Ahora responde.

Ahora resuelve otro problema:

A una reunión de la escuela asistieron 29 personas. Si la sala tiene 35 sillas, ¿cuántas sillas se encontraban vacías?

60 .


PLATOS TAZAS

4

7

Tazas


En la cocina, a María le dice su mamá, que cuente los platos y las tazas que hay en la mesa y ella dice que en total hay 8. Si al separar las tazas sólo cuenta que hay 6. ¿Cuántas tazas hay?

Comprendiendo los datos de una tabla

Marca con una X los platos, leyendo las palabras y números que aparecen en la tabla del costado.

Continúa resolviendo el problema.

61 .


PLATOS TAZAS

Total

Platos

¿?

8

6


AHORA REALIZA PROCESOS HEURÍSTICOS PARA TRABAJAR PROBLEMAS DE CAMBIO, DE IGUALACIÓN Y DE COMPARACIÓN CON TUS ALUMNOS.

PROBLEMA DE CAMBIOJosé parte en su camioneta llevando 5 pasajeros, si en el camino suben 3 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros llega a su destino?

PROBLEMAS DE IGUALACIÓNEl aula de Daniel tiene 8 libros de cuentos. En el aula de Alberto solamente hay 5 libros. ¿Cuántos libros más debe tener el aula de Alberto para tener los mismos que el aula de Daniel?

Rafaela tiene 5 mangos y Anita 3 mangos. ¿Cuántos mangos debe comer Rafaela para tener igual que Anita?

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNMaribel y Javier están haciendo una colección de dibujos de animales. Maribel tiene 18 dibujos de animales, tiene 6 más que Javier. ¿Cuántos dibujos de animales tiene Javier?

62 .


7 Problemas Matemática 2011

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